回转体的投影
第四章回转体
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
螺旋输送器
物料进口
物料移动方向
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3. 回转面的形成及投影 （1）回转面的形成 母线（直线或曲线）绕一固定直线回转所形成的曲面称为 回转面。
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（2）回转面的投影
画回转面的投影主要是画回转面转向线的投影：画回转面 的V面投影，主要是画回转面V面转向线的V面投影；画回转面的 H面投影，主要是画回转面H面转向线的H面投影。
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例
求斩子（一种工具）的三面投影图
例5 画出简化后零件的三面投影图
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〔例4-7〕完成图4-32a所示切割圆柱的H面投影。
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平面与圆柱相交
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作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
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例
画全三面投影
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2.圆锥的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
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[例题]
求圆锥截交线
解题步骤 1．分析 截平面为正垂面，截 交线为椭圆；截交线的水平投 影和侧面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ、 Ⅳ ； 3．求出一般点Ⅴ； 4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
平面立体、回转体的投影
第四章 第一节 基本体的投影及其表面取点
例：根据三棱锥表面上A点的正面投影a'，求出A点的另两投影。 根据三棱锥表面上A点的正面投影a 求出A点的另两投影。
作图步骤： 作图步骤：
第四章 第一节 基本体的投影及其表面取点
二、回转体的投影及其表面取点
若组成曲面立体的曲面为回转面，则该立体也称为回转体。 若组成曲面立体的曲面为回转面，则该立体也称为回转体。 回转面—一条线绕着另一条线旋转其运动的轨迹称为回转面。 回转面—一条线绕着另一条线旋转其运动的轨迹称为回转面。 母线—运动的线（直线或曲线） 母线—运动的线（直线或曲线） 轴线— 轴线—即不动的线 素线— 素线—母线位于回转面任一位置时的线
第四章 第一节 基本体的投影及其表面取点
正六棱柱视图分析： 正六棱柱视图分析：
1.俯视图 1.俯视图
上下底面的投影重合为一正六边形， 上下底面的投影重合为一正六边形，六个侧表面积聚为正六边形的 六条边。 六条边。
2.主视图
上下底积聚为两条线，中间的四条棱线围成三个线框。 上下底积聚为两条线，中间的四条棱线围成三个线框。
3.左视图
上下底投影仍为直线。 上下底投影仍为直线。 注意：中间三条线构成两个线框。 注意：中间三条线构成两个线框。
第四章 第一节 基本体的投影及其表面取点
例：画出正六棱柱的三视图。 画出正六棱柱的三视图。 绘图步骤： 绘图步骤：
第四章 第一节 基本体的投影及其表面取点
⑵ 棱柱表面取点
问题： 问题 ： 现在六棱柱表面 上给出一A点的正面投影a 上给出一A点的正面投影a '， 如何求得A点的另两投影？ 如何求得A点的另两投影？ 说明： 说明： 1.点一定是在立体的表面 1.点一定是在立体的表面 如图所示。 上，如图所示。 2.立体表面上的点的投影 2.立体表面上的点的投影 仍然符合点的投影规律。 仍然符合点的投影规律。 求作立体表面上点的意义： 求作立体表面上点的意义： 在立体表面上求作点的方 法，是后面学习立体的截断、 是后面学习立体的截断、 开槽和相贯的作图基础。.棱柱
回转体的投影
C
d”
a’ c’d’ A
X
a
d
C
a”b” c”
b c
Y
圆柱的三面投影图
a’
c’(d’) b’ d’
a”(b”) c’ （1） 先绘出圆柱的对称线、
回转轴线。 （2）绘出圆柱的顶面和底面 。 （3）画出正面转向轮廓线和 侧面转向轮廓线。 Z
圆柱投影图的绘制：
a’
c’(d’) d
b’d’
a”(b”)
c’
1.求特殊位置点 2.求一般位置点 3.判断可见性，光滑
连接各点 4.整理图线，完成图形
例：已知联轴节的正投影和水平投影，求侧面投影。 联轴节的主体是圆筒，其上端用两个左、右对称并平行于轴线的 侧平面P及垂直于轴线的水平面Q截切。其下端用两个左、右对称并 平行于轴线的侧平面S及垂直于轴线的水平面R截切。
回转体的投影
二、曲面立体的投影及表面取点
回转体由回转面或回转面与平面围成。回转面是由母线（直线或 曲线）绕某一轴线旋转而形成的。常见的回转体有： 圆柱 转向轮 廓线
圆锥
圆球
圆环
素线
纬线
母线的任一位置称为素线，母线上各点的运动轨迹都是垂直于轴 线的圆，称为纬线或纬圆。根据这一性质可在回转面上作素线、纬线 取点。 回转面上的转向轮廓素线，就是在某一投影方向观察曲面立体时 可见与不可见部分的分界素线。
圆柱表面由圆柱 面和顶面、底面所组 成。圆柱面是由一直 母线绕与之平行的轴 线回转而成。
Z
b’ c’d’ V a’ D A d” a”b” B c” W
如图所示，圆柱 的轴线垂直于H面， 其上下底圆为水平面 ，水平投影反映实形 ，其正面和侧面投影 重影为一直线。而圆 柱面则用曲面投影的 转向轮廓线表示。
回转体的投影
圆柱体投影第二节回转体的投影回转体是曲面体的一种，回转体是由回转面或回转面与平面围成的立体。
工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球等。
一、圆柱（一）形成回转面由母线（直线或曲线）绕一固定的轴线（直线）作回转运动形成的。
曲面上任一位置的母线称为素线。
（二）投影垂直轴的投影面上投影为圆形，平行轴的投影面上投影为大小相等的矩形。
水平投影反映实形仍为圆，正面、侧面投影均为水平直线段，其长度等于圆的直径。
水平投影积聚成圆周，正面、侧面投影都是矩形。
（三）表面取点圆锥体投影二、圆锥圆锥是由圆锥面和底面所围成。
（一）形成圆锥面是由一条直线（母线）绕一条与其相交的直线（轴线）回转一周所形成的曲面。
底面为垂直轴线的圆。
（二）投影在轴所垂直的投影面上是个圆，在轴平行的投影面上是两个完全相等的等腰三角形。
在圆锥的投影图中也必须用点画线画出圆的中心线和圆锥面轴线的投影。
（三）取点利用素线作辅助线，用素线作辅助线取点的方法称为素线法。
同时，圆锥面又是回转面，母线上任一点的运动轨迹是圆（此圆垂直于轴线，称为纬圆），故也可利用纬圆作辅助线，用纬圆作辅助线取点的方法称为纬圆法。
圆球体投影三、圆球体（一）形成圆球面是由圆（曲线）绕其一条直线（轴线）回转一周形成的曲面。
（二）投影圆球的三个投影都是圆，它们的直径都等于圆球的直径。
是三个不同方向最大圆的投影。
它们在所平行的投影面上反映圆的实形，其余两个投影与圆的中心线重合。
在圆球的投影图上必须用点画线画出圆的中心线。
（三）取点平行圆法。
回转体轴线的投影使用 绘制
回转体轴线的投影使用绘制1.引言1.1 概述本文主要讨论回转体轴线的投影使用绘制。
回转体是一种具有旋转对称性的几何体，其轴线是指围绕其旋转的中心线。
在工程制图和设计中，准确地绘制回转体轴线的投影是非常重要的。
在本文中，我们将首先介绍轴线的定义和特点。
轴线是回转体的旋转中心线，具有对称性，并且与回转体的几何形状密切相关。
了解轴线的定义和特点对于正确理解回转体的投影方法至关重要。
接下来，我们将详细探讨回转体的投影方法。
投影是将三维物体在二维平面上的表现，常用于工程制图和设计中。
回转体的投影方法包括平行投影和透视投影两种。
平行投影是一种简化的投影方法，可以在工程制图中使用。
透视投影则更接近于人眼的视觉效果，常用于建筑设计和艺术绘画中。
最后，我们将讨论投影使用的重要性。
正确绘制回转体轴线的投影可以提供准确的信息和视觉效果，有助于工程制图的准确性和可读性。
同时，投影使用还可以帮助设计师更好地理解和展示回转体的形状和结构。
总结起来，本文将介绍回转体轴线的投影使用绘制。
我们将探讨轴线的定义和特点，详细介绍回转体的投影方法，并强调投影使用的重要性。
通过学习本文，读者将能够更好地理解和应用回转体轴线的投影绘制技巧。
文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先，在引言部分，将对本文要解决的问题进行概述，并介绍文章的整体结构和目的。
接下来，在正文部分，将从两个方面展开讨论。
首先，将介绍轴线的定义和特点，包括轴线在绘制中的作用和基本概念。
然后，将详细探讨回转体的投影方法，包括不同类型的回转体投影方法以及它们在绘制过程中的应用。
通过对这些内容的阐述，读者将能够全面了解回转体轴线的投影使用的基本原理和技巧。
最后，在结论部分，将强调投影使用的重要性，并对本文的内容进行总结和归纳。
本文旨在帮助读者更好地理解和应用回转体轴线的投影，提高绘图技能和准确性。
通过以上结构的组织，希望能够为读者提供一个清晰和有序的阅读体验，使其更好地理解和掌握回转体轴线的投影使用的技巧和方法。
回转面及回转体多面正投影
导点、导线、导面： 控制母线运动而本身 不动的点、线、面
回转面：由母线旋转而形成的曲面，如圆柱 曲面
非回转面：如双曲抛物面等
按是否由 母线绕轴 旋转而成
直纹面：由直线作为母线旋转而形成的曲面 回转面
(又称直线面) ，如柱面、锥面等
曲线面：由曲线作为母线旋转而形成的曲面， 如球面、圆环面等 母线类型
圆柱投影特性
最后素线 最右素线
最左素线 最右素线 最前素线 最后素线 最左素线 最前素线
圆柱轴线垂直于H面，上下 端面的H面投影反映实形，V面和 W面的投影积聚为直线。圆柱面 的H投影积聚为圆周，V面和W面 投影为矩形。
注意圆柱面上最左、最右、 最前、最后素线在V面和W面投 影中的位置。 后半圆柱面的V面投影不可见； 右半圆柱面的W面投影不可见。
f" d"
c
e f
圆柱面上取点，可利用H面投影的积聚性来求其余投 影。注意后半圆柱面的V面投影不可见；右半圆柱面的W 面投影不可见。
A
O1
A1
a0′
′ c0′ b0′ (d0)
) d0″ a0″(c0″
b0″
d(d0) a(a0) b(b0) c(c0)
在图示位置时，圆柱轴线 ３ )布图 由“长对正” ( 画出反映立体 ４ 利用“宽相等” １ : 选回转轴 (２ ２ ＢＢ 、ＤＤＯ为 １) ) ＡＡ 轮廓线素线的 Ｏ 为铅垂线，圆柱的顶面和底 Ｏ、ＣＣＯ 开始画三视图！ 和立体的高度画出主 对Ｗ面的转向轮廓线， 主要形状特征的俯视 和 "高平齐”画出左 和底面棱线为画图参 对Ｖ面的转向轮廓线， 投影分析与曲面的可 面是水平面，水平投影为反 它左边的点可见。 视图。 它前边的点可见。 图。 视图（二求三）。 考基准。 见性的判断 映实形的圆。圆柱面的俯视 图积聚成一个圆；在另两个 视图上分别以两个方向的转 向轮廓线的投影表示。
第3章 回转体的三视图及表面交线
3.1 回转体的投影及其表面取点
3.2 回转体的截交线
3.3 回转体的相贯线 本章小节
§3-1回转体的投影及其表面取点
常见的回转体
回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称为回
转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。
3.1.1 圆柱体
3.1.1.1 圆柱体的形成
圆的正面投1'2'，然
s
k
后作出水平投影k在此 圆周上，由k' 求出k，
最后求出k"。
3.1.3 圆球
3.1.3.1 圆球面的形成 • 球是圆母线绕其直径回转轴旋转而成的。 • 球的三面投影均为圆，且与球的直径相等。
例：已知A、B两点在球面上，并知a和b‘的投影，求A、B两 点的另两个投影。 解: 利用辅助纬圆作图。 a' (a") 作图：过a作直线∥OX得水平 投影12，正面投影为直径为 12的圆，a'必在此圆周上。 因a可见，位于上半球，求得 a'，由a、a' 求出a"，因a 在右半球，所以a"不可见。 因为b'处于正面投影外形轮 廓线上，可由b'直接求得b、 b"。
图3-13 开槽圆柱的三视图
5'（6'） 6" • • 1'（2'） • 2" • • • 3'（4'） 4"
•
5"
• • 1" 3"
2
• •64
• • 5 1 3
完成后的投影图
3.2.2.1 圆锥体的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥的截交线有圆、椭圆、抛物线 与直线围成的平面图形、双曲线与直线围成的平面图形和三角形五种，见表 3-2。
6-回转体的投影及其表面的交线
2` 1` b`
a 1
c
b
2
形成：锥面可看作直线SA绕与它相交的轴线旋转而成。 构成：圆锥体由圆锥面，底面（平面）所围成。
Z V s' S c' (d') b' d" a" (b") c" b c Y
最前轮 廓素线
s"
O
母线
S
素线
X
a'
A
a d
C
● ●
例：根据给定的形体的两面投影，求作侧面投影。
空间分析与投影分析； 作图步骤：①作圆柱的侧面投影； ②找点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 的投影；
(3')1' 3" 1"
2' (4&#
2" 5"
Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅱ
(4) 3
Ⅴ
1 (2)
5
例：根据给定的形体的两面投影，求作侧面投影。
③判断可见性，连线、加深
两个侧平面截圆球的截交 水平面截圆球的截交线的 线的投影，在侧视图上为 投影，在俯视图上为部分 部分圆弧，在俯视图上积 圆弧，在侧视图上积聚为 直线。 聚为直线。
判断可见性
例:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平面 截切，侧面投影为圆 ；球面被水平面截切 ，水平面投影为圆。
4 1
3 2
☆ 明确回转体的形状 ☆ 分析截平面与回转体轴线的相对位置 2)明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等)
☆ 关键在分析截平面与投影面的相对位置
⒉ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： ☆先取特殊点，后取中间点。
第八章 常见回转体
二、圆环的画法
三、圆环的投影特点
四பைடு நூலகம்圆环投影可见性的判别
由上向下看， 由上向下看，此部分可见
由前向后看， 由前向后看，此部分可见
五、圆环表面上取点
1' 2' （n'） m'
1
2
m
本章结束
二、圆球的画法
三、圆球的投影特点
四、圆球可见性的判别
五、圆球表面上取点
§8-5 圆环的投影
一、圆环的形成 二、圆环的画法 三、圆环的投影特点 四、圆环投影可见性的判别 五、圆环表面上取点
一、圆环的形成
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 但不通过圆心的轴线旋转而成。 但不通过圆心的轴线旋转而成。
二、圆锥的画法
三、圆锥的投影特点
四、圆锥可见性的判别
五、圆锥表面上取点
§8-4 圆球的投影
一、圆球的形成 二、圆球的画法 三、圆球的投影特点 四、圆球投影可见性的判别 五、圆球表面上取点
一、圆球的形成
球是由球面围成的。 球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径 为轴线旋转而成。 为轴线旋转而成。
§8-2 圆柱的投影
一、圆柱的形成 二、圆柱的画法 三、圆柱的投影特点 四、圆柱投影可见性的判别 五、圆柱表面上取点
一、圆柱的形成
曲面可以看作由一条线按照一定规律运动所形成， 曲面可以看作由一条线按照一定规律运动所形成， 运动的线称为母线， 运动的线称为母线，而曲面上任意位置处的母线称为 素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。 素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。 圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。 圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可以 看作直线绕与它平行的轴线旋转而成。 看作直线绕与它平行的轴线旋转而成。
回转体的投影
一、常见的回转体
回转体的投影
回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称 为回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称 为回转体。
回转体（面）的形成
O
轴线
母线
O
二、圆柱体的投影
回转轴
母线
水平投影为一圆，反 映顶、底圆的实形， 圆柱面上所有素线都 积聚在该圆周上。
D A C B
பைடு நூலகம்
圆柱体表面上的点：
因为m'为可见，在前半圆柱面 上；n'为不可见，在后半圆柱面 上。两点的侧面投影积聚在圆 周上。
作图：过m'作水平线交右半圆 周于m"，过（n'）作水平线交 左半圆周于n"，再由m'和m"， （n'）和n"求出（m）、n
(n')
m'
n" m"
n
（m）
三、圆锥体的投影
回转轴
母线
圆锥体是由圆锥面和底面所 围成的立体。圆锥面是一直 母线绕与它相交的回转轴旋 转而成的。
利用辅助纬圆作图。 a' (a") b" (b)
b'
作图：过a作直线∥OX得水 平投影12，正面投影为直径 为12的圆，a'必在此圆周上。 因a可见，位于上半球，求得 a'，由a、a' 求出a"，因a 在 右半球，所以a"不可见。 因为b处于正面投影外形线上， 可由b'直接求得b、b"。
1
a 2
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
k'
回转体的投影
（1）画出轴线和中心线；
（2）画顶面和底面的投影；
（3）画转向轮廓线的投影。
b’ d’ a”(b”) c’
可见性分析
a’ c’(d’) d
b’ d’
a”(b”)
c’ V a’
Z
c’d’ b’ D
A
d”
B
a”b”
c”W
C
a
b
c
a’ c’d’ A d
X
a
d” a”b” c”
Cb
c
Y
4、圆柱表面点的投影
Z
m (n)
a’
V
m’
X
W
m” M
n
a
m
m
Y
m (n )
(a”)
三、圆球
1、 圆球的形成
球面是以圆为母线绕该圆上 任一直径回转而形成的。
转向轮廓线
2、圆球的三面投影
球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等。 但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线的投影。
V面的圆
——前后两半球的分界线圆的投影。
H面的圆
规定：转向轮廓线的投影只能
Z
画在该投影面上。
正面转向轮廓线
X
侧面转向轮廓线
Y
一、圆柱
1、圆柱的形成
投影特点：一个投影为圆，其余二投 影为相同的矩形线框。
圆柱面是由一直线绕与之平行的轴线回转而成。圆柱体由
圆柱面和顶面、底面所组成。
Z
2、圆柱的三面投影
V
假设圆柱的轴线为铅垂线。
D
B
W
A
C
A C
X Y
3、作图
作业：已知1点的正面投影，求出其它两个投影。
2.6回转体投影
⑷ 圆锥面上取点
★辅助直线法 ★辅助圆法
球
– 形成
以半圆为母线，以直径为轴回转一周形成的回转面为球面， 围成球体
– 球的三面投影
为三个直径相等的圆
– 球体的表面取点
与圆柱和圆锥类似
圆环（自学）
圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。 个方向轮廓线的投影。
圆锥体
⑴ 圆锥体的组成 圆锥面和底面组成 组成。 由圆锥面和底面组成。 ⑵ 圆锥体的三视图
在图示位置， 在图示位置，俯视图为一 圆。另两个视图为等边三 角形， 角形，三角形的底边为圆 锥底面的投影， 锥底面的投影，两腰分别 为圆锥面不同方向的两条 轮廓素线的投影。 轮廓素线的投影。
s′ ′ A
●
S O
A
O1 A1 a′ ′ a″ ″
⑵ 圆柱体的三视图 圆柱面的俯视图积聚 积聚成一 圆柱面的俯视图积聚成一 ⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的 个圆， 个圆，在另两个视图上分别以 可见性的判断 两个方向的轮廓素线的投影表 a ⑷ 圆柱面上取点 示。
利用投影 的积聚性
圆锥体
– 形成
以直线为母线，绕与 之相交的轴回转一周 所形成的回转面—— 圆锥面，和垂直于轴 的底面围成圆锥体
底面上的点
– 底面上的点的正面投影和侧面投影在矩形线框的上、下边 上
O
圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。 圆柱面和两底面组成。 组成 圆柱面是由直线AA 圆柱面是由直线 1绕与 它平行的轴线OO1旋转而成。 旋转而成。 它平行的轴线 直线AA 称为母线。 直线 1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任 一直线称为圆柱面的素线 素线。 一直线称为圆柱面的素线。
工程制图-3-2回转体
侧面外形线
外形线定义
回转面向某个投影面投射 时，切于回转面的诸投射 线所组成的平面或柱面与 回转面的切线称为回转面 的外形线(又称外形轮廓 线、转向轮廓线)。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材一、回转面的形成及其投影特征
侧面外形线
1）外形线由投影产生,投影方向不同,外形线 在回转面上的位置不同
回转面向V面投影时所具有的外形线称正面外形线 回转面向H面投影时所具有的外形线称水平外形线 回转面向W面投影时所具有的外形线称侧面外形线
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§3-2 回转体的投影
表面由回转面或者回转面与平面构成的立体称为回转体。 立体的投影是立体各表面投影的总和。因此，画回转体的投影 实质就是画给定了位置的回转面和平面的投影。运用回转面及 平面的投影特征可完成回转体的投影作图。
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一、回转面的形成及其投影特征 二、常见回转体的投影
正面外形线 正面投射方向
2）外形线是回转面特殊位置素线
3）外形线是回转面在该方向投影可见与不可见的分界线 4）外形线在其它投影方向不用画。
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二、常见回转体的投影
1.圆柱 2.圆锥 3.圆球 4.组合回转体
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 二、常见回转体的投影—圆柱
2)画底面三面投影
2.作图
3)画锥面三面投影
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其它不完全圆锥体的投影
二、常见回转体的投影—圆锥
圆锥台
四分之一圆锥台
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3.表面取点取线
二、常见回转体的投影—圆锥
a’ b’
3.2 回转体的投影
图3-7 圆锥的形成和投影
3.2 回转体的投影
（1）转向轮廓线在回转面上的位置取决于投射线的方向，因而是对某一投 影面而言的。素线SA和SB是对正面的转向轮廓线，而最前和最后两条素线SC和SD 则是对侧面的转向轮廓线。 （2）转向轮廓线是回转面上可见部分和不可见部分的分界线。当轴线平行 于投影面时，转向轮廓线所决定的平面与相应投影面平行，并且是回转面的对称 面。例如素线SA 和SB与正面平行，它们所决定的平面将圆锥分成前后两半。因 此，对于母线与轴线处于同一平面内形成的回转面，转向轮廓线的投影反映母线 的实形及母线与轴线的相对位置。 （3）转向轮廓线的三面投影应符合投影面平行线（或面）的投影特性，其 余两投影与轴线或圆的对称中心线重合。 初学者在掌握转向轮廓线空间概念的基础上，必须熟悉它们的投影关 系， 为以后的学习打下基础。如图3-7（c）所示的点Ⅰ和点Ⅱ的三个投影，主要目的 是表明圆锥面上转向轮廓线SA 和SC 的投影关系。
图3-10 圆球的形成和投影
3.2 回转体的投影
2.球面上取点 2.球面上取点 图3-11表示已知球面上点Ⅰ的正面投影1′，求作其水平投影1和侧面投影 1″的方法。由于通过球心的直线都可以看作球的轴线，在这个图中，把球的轴 线视为投影面垂直线，辅助纬圆平行于水平面。作图方法和步骤与图3-9的作图 方法与步骤完全相同。图3-12则是把球的轴线看成是正垂线，利用平行于正面的 辅助纬圆来作图的（可和图3-11进行比较）。
教学难点： 教学难点：
回转体表面上点的投影。
3.2 回转体的投影
回转体的曲表面是由一母线绕定轴旋转而成的回转面。常见的回转体有圆 柱、圆锥、圆环和圆球等。由于回转体的侧面是光滑曲面，因此，画投影图时， 仅画曲面上可见面和不可见面的分界线的投影，这种分界线称为转向轮廓线。 3.2.1 圆柱体 1.形成和投影分析 1.形成和投影分析 圆柱体的表面是圆柱面和上、下底面。圆柱面可以看成是由一直线绕与它平 行的轴线回转而成，如图3-5（a）所示。因此，圆柱面上的素线都是平行于轴线 的直线。 从图3-5（b）可以看出，圆柱的水平投影是圆，是上下底圆面的水平投影， 也是圆柱面积聚性投影;正面投影和侧面投影这两个矩形的四条直线，分别是圆 柱的上、下底面和圆柱面对正面和对侧面的转向轮廓线的投影。
回转体及其投影
第四章 回转体及其投影曲面体的表面由曲面或曲面与平面构成，最常见的曲面体是回转体。
本章主要讨论曲面体的构成要素曲线、曲面的投影特征；回转体的投影；平面与回转体相交、回转面与回转面相交，交线的投影。
§4-1 曲线、曲面的投影曲线、曲面和直线、平面一样都是构成立体表面形状及其轮廓线的几何元素。
掌握曲线、曲面的投影特征，有利于学习曲面立体的投影作图，本节将概括介绍曲线、曲面的形成、分类及常见曲线、曲面的投影特征。
一、曲线1.曲线的基本知识（1）曲线的形成工程上常用的曲线都具有一定规律，称为规律曲线。
规律曲线的形成通常有下列三种形式：图4-1 曲线的形成1) 动点的运动轨迹L（图4-1a），即动点A在运动方向连续改变下所形成的轨迹。
2) 两面的交线L，平面与曲面或者曲面与曲面的交线（图4-1b）。
3) 直线族或曲线族的包络线L，即与直线族中每一条直线都相切的曲线L，或与圆族中每一个圆都相切的曲线L（图4-1c）。
（2）曲线的分类平面曲线曲线上所有的点都在同一平面内，如圆、椭圆、双曲线等。
空间曲线曲线上任意连续的四点不在同一平面内。
如圆柱螺旋线等。
（3）曲线的投影特征1) 曲线的投影一般仍为曲线，平面曲线在特殊情况下（平面曲线所在平面垂直于投影面时）可投影为直线（图4-2a）。
2）点在曲线上，点的各面投影均在曲线的同面投影上。
因此，取曲线上若干个点，求出这些点的投影，并依次光滑地连接这些点的同面投影，就可得曲线的投影。
这是作曲线投影的基本方法（图4-2a）。
3) 曲线上某点的切线的投影，一般情况下，该切线的投影也过切点与曲线的投影相切（图4-2b）。
但当曲线的切线垂直于投影面时，切线在该投影面上的投影积聚为一点，曲线的该面投影则在该点形成一个尖的回折点（图4-2c）。
根据曲线的这些投影特性，可以作出曲线的投影和检查曲线投影的正确性。
图4-2 曲线的投影特征2.常见平面曲线（圆）的投影圆是最常见的一种规律曲线，下面介绍特殊位置平面内的圆的投影。
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第9讲3-2 回转体的投影教学目标：1、掌握回转体的基本绘图要领；2、掌握圆柱、圆锥、圆球和圆环及其表面的求点、线的方法；教学重点：基本回转体的画图方法教学难点：圆环表面取点教学手段：结合实例课堂讲解教学用具：多媒体教学过程：一、回转体及基本画图方法：工程上常见的曲面立体是回转体。
回转体是由回转面或回转面与平面所围成的立体。
回转面是由母线（直线或曲线）绕某一轴线旋转而形成的。
最常见的回转体有椭圆、圆锥、圆球和圆环。
画回转体的投影图时，一般应画出各方向转向轮廓的一个投影（其中与旋转轴线、对称中心线重合的两个投影，被省略不画）和回转线的三个投影（其中两个投影为直线、一个投影积聚成点，用对称中心线表示，根据机械制图规定表示轴线、对称中心线均用细点画线画出，且要超出图形的轮廓线3～5mm）。
转向轮廓线就是在某一投影方向上观察曲面立体（如回转体）时可见与不可见部分的分界线。
回转体有一重要特性，母线的任一位置称为素线；母线上各点的运动轨迹皆为垂直于回转轴线的圆，这些圆周称为纬线（纬圆，回转圆）。
根据这一性质，可在回转面上作素线取点、线、称为素线法；也可在回转面上作纬线取点、线，称为纬线（纬圆，回转圆）法。
二、圆柱圆柱是由圆柱面和顶圆平面、底圆平面围成的。
如图3-5a所示,圆柱面可以看作是一条直母线AAσ绕与它平行的的轴线OO1旋转而成.（一）圆柱的投影图3-5b、c为轴线处于铅垂线位置时的院住直观图及其投影图。
1.投影分析（1）圆柱的顶圆平面、底圆平面为水平面，其水平投影反映顶、底圆平面真形，且重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影的直线a′b′c′d′、a’0c0’b0’d0’和d〃a〃c〃b〃、d〃0a〃0c〃0b〃0且等于顶、底圆的直径。
（2）圆镞面因其轴线为铅垂线，故圆柱面上所有素线必须为铅垂线，圆柱面为铅垂面，其水平投影积聚为一圆，其与顶、底圆平面俯视轮廓的水平投影圆周相重合。
没一条素线的水平投影都积聚为点，且落在该圆周上。
（3）图柱的正面投影应画出该圆柱面正视转向轮廓的正面投影。
圆柱面上最左、最右两条素线AA。
和BB是正视方向可见部分（前半人圆柱面）和不可见部分（后半个圆柱面）的分界线，称为正视转视轮廓线。
这两条素线也可以表示了圆柱正面投影范围，所以正视转向轮廓线AA和BB的正面投影（矩形aabb中的aa和bb）必须画出。
而这两条正视转向轮廓线的水平投影积聚在圆周的最左点a（a＇）和最右点b（b＇）；其侧面投影a＂a＂T和b＂b＂现圆柱轴线的侧面投影重合，省略不画。
（4）圆柱面的侧面投影应画出该圆柱面侧视转向轮廓线的侧面投影。
圆柱面上最前、最后两条素线CC0和DD0是侧视方向可见部分（左半个圆柱面）和不可见部分（右半个圆柱面）的分界面，称为侧视转向轮廓线。
这两条素线也表示了圆柱侧面投影范围，所以侧视转向轮廓线CC．和DD．的侧面投影（矩形ddcc中的dd和cc）必须画出。
而这两条正视转向轮廓的水平投影积聚在圆周的最前点c（c）和最后点d（d）；其正面投影c＇c＇和d＇d ＇现圆柱轴线的正面投影重合，亦省略不画。
2.作图步骤图示回转体时，必须画出轴线和对称中心线，均用细点画表示。
画轴线处于特殊位置时的圆柱三面投影图时，一般先画出轴线和对称中心线（均用细点画线表示）；然后画出圆柱面有积聚性的投影（为圆）；再根据投影关系画出圆柱的另外两人个投影（为同样大小的矩形），表明转向轮廓线的投影。
（二）圆柱表面上取点、线轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱在轴线所垂直的投影面上的投影有积聚性，其顶、底圆平面的另两个投影有积聚性。
因此，在圆柱表面上取点、线，均可有积聚性作图。
对于圆柱表面上的点（如轮廓线上点）其投影均可直接作出，并表明可见性。
1.圆柱表面上取点如图4-6所示，已知圆柱面上点E、点和F和G的正面投影e＇f＇和（g＇），试分别求出它们另两个投影，其作法如下；（1）求e＇e＂由于e＇是可见的，所以点E在前半个圆柱面上，又因点E在左半个圆柱面上，所以e＂也必为可见。
作图可利用圆柱面有积聚性的投影，先求出点E的水平投影（e）（在前半个圆周上），再由e＇和﹝e﹞求出侧南投影e＂。
（2）求f、f＂由于点F在圆柱的最左的正视转向轮廓线上，姑另两个投影均可直接求出。
其水平投影（f）积聚在圆柱面水平投影（圆）的最左点上，即与最左正视转向轮廓线的水平投影重合，其侧面投影f＂重合在圆柱轴线的侧面投影上，且f＂可见。
（3）求g、g＂由于（g＇）为不可见，所以点G在后半个圆柱面上，又因点G在右半个圆柱面上，所以（g＂）也为不可见。
作图时可利用圆柱有积聚性的投影，先求出点G的水平投影（g）（在后半个圆周上），再由（g＇）和（g）求出侧面投影（g＂）。
2.圆柱表面上取线在圆柱表面上取线，可先取属于线上的特殊点，再取属于线上一些一般点，经判别可见性后，再顺次连成所要取的线。
如图3-7所示，以知圆柱表面素线上的直线AB的正面投影a＇b＇和一段平行于水平面的回转圆弧BC的正面投影b＇c＇（积聚成直线），试求其另两个投影，其作法如下：（1）求ab、a＂b＂由于直线AB在圆柱表面素线上（AB平行于轴线），利用圆柱面水平投影的积聚性，即可求出直线AB的水平投影a（b）（积聚在圆周）上，再按投影投影关系求出a＂b＂。
由于直线AB 在左半个圆柱面上，其侧面投影a＂b＂为可见。
（2）求bc、b＂c＂由于圆柱表面上的一段回转圆弧BC平行于水平面，姑水平投影bc 反映真形——积聚在圆柱投影的圆周上），再按投影关系求出b＂c＂（积聚成直线）。
BC在左半个圆柱面上，其侧面投影b＂c＂为可见。
三、圆锥圆锥是有圆锥面和底圆平面围成的。
如图3-8a所示，圆锥面何以看作是一条直母线SA绕与它相交的轴线○○1回转而形成。
在圆锥面上任一位置的素线，均交于锥顶S。
（一）圆锥的投影图4一8b、c为轴线处于铅垂线位置时的圆锥直观图及其投影图。
1.投影分析（1）底圆平面为水平面，其水平投影为圆，且反映底圆平面的真形。
底圆平面的正面投影和侧面投影均积聚为直线，且等于底圆的直径。
（2）圆锥面的三个投影均无积聚性。
圆锥面的水平投影为圆，且与圆锥底圆平面的水平投影重合，整个圆锥面的水平投影都可见。
（3）圆锥面的正面投影，要画出该圆锥面正视转向轮廓线的正面投影。
圆锥面上最左，最右两条素线SA、SB的正面投影s＇a＇、s＇b＇，也是圆锥面的正视转向轮廓线的正面投影，正视转向轮廓线是圆锥面在正面投影中（前半个圆锥面）可见和（后半个圆锥面）不可见的分界线。
它们还表示了圆锥面的投影范围，而这两条正视转向轮廓线SA、SB的水平投影sa、sb与圆锥水平投影（圆）的水平对称中心线重合，省略不画；其侧面投影s＂a＂、s＂b＂与圆锥轴线的侧面投影重合，也省略不画。
（4）圆锥面的侧面投影，要画出该圆锥面测视转向轮廓线侧面投影。
圆锥面上最前、最后两条素线SC、SD的侧面，也是圆锥面的侧视转向轮廓线的侧面投影，侧视转向轮廓线是圆锥面投影中（左半个圆锥面）可见和（右半个圆锥面）不可见的分界线，它们还表示了圆锥面的投影范围。
而这两条侧视转向轮廓线SCSD的正面投影与圆锥轴线的正面投影重合，省略不画；其水平投影与圆锥水平投影（圆）的垂直对称中心线重合，也省略不画。
2.作图步骤画轴线处于特殊位置时的圆锥三面投影图时，一般先画出轴线和对称中心（用细点画线表示）；然后画出圆锥反映为圆的投影；再根据投影管辖化出圆锥的另两个投影（为同样大小的等腰三角形）。
（二）圆锥面上取点、线轴线处于特殊位置的圆锥，只有底面两个投影有积聚性，而圆锥面的三个投影都没有积聚性。
因此，在圆锥表面上取点、线，除处于圆锥面转向轮廓线上特殊位置的点或底圆平面的点，可以直接求出之外，其余处于圆锥表面上一般位置的点，则必须用辅助线（素线法或纬线法）作图，并表明可见性。
1.圆锥表面上取点如图4一9所示，以知圆锥表面上E和F的正面投影e＇和f＇，试求它们的两个投影，其作法如下:（1）求e、e＂由于点E为圆锥面上右前方的一般为点，故需用辅助线作图。
①素线法由于过锥顶的圆锥面上的任何素线均为直线，故可过E及锥顶S作锥面的素线SI。
即先过e＇作s＇l＇，由l＇求出l和l，连接sl和s＂l＂，分别为辅助线SI的水平投影和侧面投影。
则E的水平投影和侧面投影必在SI的同面投影上，从而即可求出e和(e＂)。
e可见，又应E在由半个锥面上，所以(e＂)为不可见.②辅助线（纬圆、回转圆）法过E在圆锥面上作一水平辅助圆（纬圆），点E的投影在该纬圆的同面投影上。
即先过e＇作水平线2＇3＇，它是纬圆的正面投影，2＇3＇的长度即为该纬圆的直径，从而可画出圆心与s重合的该纬圆的水平投影；由e＇作投影连线，与纬圆的水平投影（圆）交于点e，再由e＇和e求出(e＂)(2).求f、f＂由于点F在最左正视转向轮廓线SA上，为圆锥面上特殊位置的点，故可直接求出f和f＂。
由于f＇在s＇a＇上，则f必在sa上，f＂必在s＂a＂上。
且f、f＂均为可见。
2.圆锥表面上取线在圆锥表面上取线，可先取属于线上的特殊点，再取属于线上的一些一般点，经判别可见性后，再顺次连成所要取的线。
如图4一10所示，以知圆锥表面素线上的直线AB的正面投影a＇b＇和圆锥表面少年宫垂直于轴线（圆锥轴线垂直于水平面）的一段回转弧CD 的正面投影c＇d＇（积聚成直线）。
试求另两个投影，作法如下：（1）求ab、a＂b＂由于直线AB在圆锥表面素线上，故饿过直线AB作锥面上的素线SI。
即先过a＇b＇作s＇l＇，由l＇先求出l，再求出l＂，连接s、l和s＂、l＂，分别为辅助线SI的水平投影和侧面投影。
则直线AB的水平投影和侧面投影必SI的同面投影上，从而即可求出ab和a＂b＂。
Ab可见；因直线AB在左半个圆锥面上，所以a＂b＂也可见。
（2）求圆锥表面上一段回转圆弧CD的水平投影和侧面投影由于圆锥表面上垂直于轴线（轴线垂直水平面）的一段回转圆弧CD必平行于水平面，故水平面投影反映真形。
过c＇d＇作c＇2＇（回转圆直径），由c＇2＇求出c2，即可求出cd。
其侧面投影和正面投影同样积聚成直线，由于CD在邹半个圆锥面上，故c＂d＂亦为可见。
四、圆球如图4一11所示，圆球面可以看作由一圆为母线，绕其通过圆心且在同一平面的轴线（直径）回转而形成的曲面。
由于过球心（圆心）可作无数条轴线（直径），故任一平面与圆球的交线皆为一圆周。
由于圆球面为光滑曲面，故图示圆球面时只需画出回转轴线、对称中心及转向轮廓线即可。
（一）圆球的投影图4一 11b、c为圆球直观图及其投影图。
1.投影分析圆球的三面投影均为等直径的圆，它们的直径为球的直径。
（1）正面投影的圆是圆球正视转向轮廓线（过球心平行于正面的转向轮廓线，是前、后半泅面的可见与不可秒年的分界线）的正面投影。