第十一章 流水作业的排序问题
流水线作业排序问题
流水线作业排序问题/productioncontrol/200908091604.html流水作业排序问题的基本特征是每个工件的加工路线都一致。
在流水生产线上制造不同的零件，遇到的就是流水作业排序问题。
我们说加工路线一致，是指工件的流向一致，并不要求每个工件必须经过加工路线上每台机器加工。
如果某些工件不经某些机器加工，则设相应的加工时间为零。
一般说来，对于流水作业排序问题，工件在不同机器上的加工顺序不尽一致。
但本节要讨论的是一种特殊情况，即所有工件在各台机器上的加工顺序都相同的情况。
这就是排列排序问题。
流水作业排列排序问题常被称作“同顺序”排序问题。
对于一般情形，排列排序问题的最优解不一定是相应的流水作业排序问题的最优解，但一般是比较好的解；对于仅有2台和3台机器的特殊情况，可以证明，排列排序问题下的最优解一定是相应流水作业排序问题的最优解。
这里只讨论排列排序问题。
但对于2台机器的排序问题，实际上不限于排列排序问题。
一、最长流程时间Fmax的计算这里所讨论的是n／m／P /Fmax，问题，其中n为工件数，m为机器数，P表示流水线作业排列排序问题，Fmax为目标函数。
目标函数是使最长流程时间最短，最长流程时间又称作加工周期，它是从第一个工件在第一台机器开始加工时算起，到最后一个工件在最后一台机器上完成加工时为止所经过的时间。
由于假设所有工件的到达时间都为零(ri=0，i= 1，2，…，n)，所以Fmax等于排在末位加工的工件在车间的停留时间，也等于一批工件的最长完工时间Cmax。
设n个工件的加工顺序为S＝(S1，S2，S3，…，Sn)，其中Si为第i位加工的工件的代号。
以表示工件Si在机器M k上的完工时间, 表示工件Si在Mk上的加工时间，k= 1，2，…，m；i=1，2，…，n，则可按以下公式计算：在熟悉以上计算公式之后，可直接在加工时间矩阵上从左向右计算完工时间。
下面以一例说明。
例9．4 有一个6／4／p／F max问题，其加工时间如表9—6所示。
机械制造行业中的流水作业排序问题-文档资料
机械制造行业中的流水作业排序问题一、生产作业计划与流水作业排序问题假如某个车间需要生产n种零部件,这n种零部件需要经过m台设备进行加工,并且每种零部件在每台设备上的加工时间各不相同.那么怎样编排这n种零部件的加工顺序可以使总加工时间最短，这是排序要解决的问题。
一般说来，排序只是确定工件在机器上的加工顺序，而编制生产作业计划，则不仅包括确定工件的加工顺序，而且还包括确定机器加工每个工件的开始时间和完工时间。
可以说解决好排序问题是顺利完成生产作业计划的保障.二、排序问题的表示方法通常我们用4个参数来表示不同的排序问题，4个参数表示法为:n/m/p/Fmax其中,n为零部件数，m为设备（或机器数），p表示流水作业排列排序问题，Fmax则表示目标函数，通常是使其值最小。
流水作业排序问题的基本特征是每个零部件的加工路线都一致，并且每个零部件在每台设备上的加工顺序都相同。
我们所说的加工路线一致，是指零部件的流向一致，并不要求每个零部件必须经过加工路线上每台设备加工.如果某些零部件不经过某些设备加工，则设相应的加工时间为零。
上述公式是一个递推公式，在熟悉这个计算公式之后，可以直接在矩阵上计算完工时间。
某车间生产的产品符合4/3/p/Fmax问题，其加工时间如下表所示：如果车间按照S=（1，2，3,4)的顺序组织生产，按照上述公式递推，将每个零部件的完工时间标在其加工时间的右上角。
对于第一行第一列,只需要把加工时间的数值作为完工时间标在加工时间的右上角。
对于第一行的其它元素，只需从左到右依次将前一列右上角的数字加上本列的加工时间,将结果填在计算列加工时间的右上角.对于第二行到第m行，第一列的算法相同.只要把上一行右上角的数字和本行的时间相加,将结果填在本行加工时间的右上角；从第2列到第n列，则要从本行前一列右上角和本列上一行右上角数字中取大者，再和本列加工时间相加,将结果填在本列加工时间的右上角。
这样最后一行的最后一列右上角的数字即为Fmax。
问题描述n个作业{1,2,…,n}要在由2台机器M1和M2组成的流
业集S在机器M2的等待时间为b(1)情况下的一个最优调度。则
(1)，’(2)，…，’(n)是N的一个调度，这个调度所需的时间 为a(1)+T(S,b(1))<a(1)+T’。这与是N的最优调度矛盾。故
T’T(S,b(1))。从而T’=T(S,b(1))。即流水作业调度问题具有
最优子结构的性质。
3
流水作业调度
2. 递归结构
由流水作业调度问题的最优子结构性质可知：
T ( N ,0) min{a i T ( N {i}, bi )}
1 i n
T ( S , t ) min{ai T ( S {i}, bi max{ t ai ,0})}
iS
T(S,t)中的bi+max{t-ai,0}：
的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选 择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由01背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的 递归式如下：
j wn vn m(n, j ) 0 0 j wn
j wi max{m(i 1, j ),m(i 1, j wi ) vi } m(i, j ) 0 j wi m(i 1, j )
2
流水作业调度
1. 最优子结构性质
设是n个流水作业的一个最优调度，所需的加工时间为 a(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为b(1)时，安 排作业(2)，…，(n)所需的时间。 记S=N-{(1)}，则有T’=T(S,b(1))。
由T的最优性可知，T’T(S,b(1))。若T’>T(S,b(1))，设’是作
生产与运作管理的计算题
-、流水作业排序1. 最长流程时间的计算例：有一个6/4/F/Fmax 问题，其加工时间如下表所示，当按顺序 加工 S=(6, 1, 5, 2, 4, 3) 时,求Fmax工件代号i 14 6 35 2 P 订 4 5 3 4 8 5 P 「23 9 1 3 7 5 PQ7 6 8 2 5 g563924解：列出加工时间矩阵根 据 公式Gsi 二max{Gk-i )si , C KSM }+ P sik,计算各行加丄时间，最后得出结果 Fmax=CmsnFmax=572•两台机器排序冋题的最优算法(Johnson 算法)例：求下表所示的6/2/F/Fmax 的最优解将工件2排在第1位 2将工件 将工件 将工件将工件将工件 3排在第 5排在第 6排在第 4排在第 最优加6位2位 3位5位4位2 56 1 4 S=(2, 5, 6, 1,4,33由上表可计算出，Fmax =283.—般n/m/F/Fmax问题的最优算法(一)Palmar算法(入i二刀[k-(m+l)/2]P ik k二1, 2,…,m按入i不增的顺序排列」】件)例：有一个4/3/F/Fmax问题，其加工时间如下表所示，用Palmar求解.解：入i二刀[k-(3+l)/2]P ik , k=l,2 , 3入i二-Pil+ Pi3于是,入1=-PU+ P13 =-1+4=3入2二-P21+ P23 =2+5二3入3二-P31+ P33 =-6+8=2入4二-P41+ P43 =-3+2二T按入i不增的顺序排列工件，得到加工顺序(1, 2, 3, 4)和(2, 1, 3, 4 )，经计算,二者都是最优顺序，Fmax=28(二)关键工件法例：有一个4/3/F/Fmax问题，其加工时间如下表所示,用关键工件法求解.3■ ■Pa Pit 24解：由上表可知，力口 u工时间最长的是3号工件，Pil<=Pi3的工件为1和2,按Pil不减的顺序排成Sa=(l,2),Pil>Pi3 的工件为4号工件，Sb= (4),这样得到加工顺序为(1,2, 3,4 )。
【运营管理】第十一章作业排序
11.2.3 n/2排序问题
• 是指n种工件在2台机器设备上进行加工的排 序问题。
• 当两台设备上流水加工工件所用的完工时间 最少时，第二台设备的闲置时间也得到最小 化。
Johnson算法
使用条件： 1、排序的目标是使全部完工时间最小 2、工件在两台设备上的加工顺序完全相同 3、所有工件同时到达第一台设备等待加工 4、每种工件在每台设备上的加工时间均已知
例题
• 假设某银行的一个储蓄所有8名储蓄工作人员，储蓄 所根据历史数据，估计每天顾客对储蓄工作人员的需 求量数据如下表。该所的所长需要为这8名储蓄工作 人员安排工作日，在不影响服务水平的前提下，使这 8名员工每周都能享受2天连续的休息日，并且尽量安 排在周末休息。另外，所长还想了解根据目前的客户 量，储蓄工作人员数是否能够满足需求，是存在人员 不足的问题，还是人员冗余的问题。
1 2 n
Mห้องสมุดไป่ตู้
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
1 2
aij表示工件j(j 1,2,, n)在设备i(i 1,2)的加工时间。
假设有六个工件（ABCDEF）需要在机床X和Y上加工， 加工顺序是先X后Y，每个工件所需加工时间（单位：
小时）见表，管理者希望找到一个最优化的排序方 案，使所有工件的加工总时间最少。
顾客到达
排队规则
排队系统
服务机构
顾客离去
排队规则
• 先到先服务 • 后到先服务 • 随机服务 • 有优先权的服务
服务结构
• 是指提供服务的服务人员数或者服务台数量。
2）调整顾客到达率的措施
• 采用预约系统 • 采用预订系统 • 采用差异定价措施
11.3.2服务人员排序
11.作业排序
在M中寻找到的最小值为2，对应的产品为B，
对应的设备为磨床，因此，应 将产品B排在 最后加工。在M中划去产品B，得余下的工时 矩阵M1 :
A B C D E F A C D E F 车床 磨床
3 7 4 6 8 9
M=
5 2 7 4 6 5
3 4 6 8 9
车床 磨床
M 1=
(3)所有工件同时到达第一台设备等待加工;
(4)每种工件在每台设备上的加工时间均已知。 约翰逊算法的基本思路在于:尽量减少第二台设备上
的等待加工的时间，因此，在第二台设备上加工时 间长的工件先加工，在第二台设备上加工时间短的 工件后加工。
约翰逊算法的步骤如下: (1)先作n个工件在两台设备上的加工时间的
磨工序定额工时h
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
6
4 6 2
2
6 4 4
如何具体地组织生产活动、安排作业顺序和
及时反馈信息，对生产活动进行调整与控制， 使各种资源得到合理利用，同时又能按期完 成各项订单任务，是作业排序与控制所需要 研究和解决的问题。
作业排序的主要目标包括:
(1)满足交货日期的需要
(2)降低在制品库存，加快流动资金周转
为C和D，其对应的设备分别为车床和磨床， 因此，应将产品C排在产品A之后加工，而将 产品D排在产品B之前加工。在M2中划去户 品C和D，得余下的工时矩阵M3:
C D E F E 车床 磨床 F
4 6 8 9
8
9
车床 磨床
M 2=
7 4 6 5
M 3=
6 5
在M3中找到的最小值为5，对应的产品为F，
n/m(m≥3)的流水作业排序是一个复杂的问题。
第11章-作业及习题参考答案
第11章（8分）将下面程序划分为基本块，并画出其基本块程序流图。
(1) if a<b goto (3)(2) halt(3) if c<d goto (5)(4) goto (8)(5) t1:=y+z(6) x :=t1(7) goto (1)(8) t2:=y-z(9) x :=t2(10) goto (1)11.1答：所谓代码优化即对代码进行等价变换，使得变换后的代码与变换前代码运行结果相同，而运行速度加快或占用存储空间少，或两者兼有。
进行优化的基础是中间或目标代码生成，以及基本块的识别、控制流分析和数据流分析。
2答：根据不同的阶段，分为中间代码优化和目标代码的优化。
根据优化所涉及的程序范围，又可分为局部优化、循环优化和全局优化。
3答：最常用的代码优化技术有：（1）删除多余运算（2）代码外提（3）强度削弱（4）变换循环控制条件（5）合并已知量和复写传播（6）删除无用赋值4 图11.23是图11.22的C代码的部分四元式代码序列(1) 请将图11.23的四元式代码序列划分为基本块并做出其流图?(2) 将每个基本块的公共子表达式删除?(3) 找出流图中的循环,将循环不变量计算移出循环外?(4) 找出每个循环中的归纳变量，并且在可能的地方删除它们图11.22void quicksort(m,n)int m,n;1 / 10{ int i,j;int v,x; if (n<=m) return;/* fragment begins here */ i = m-1;j = n;v = a[n];while(1) {do i = i+1;while (a[i]<v);do j = j-1; while (a[j]>v);if (i>=j) break;x = a[i];a[i] = a[j];a[j] = x;}x = a[i];a[i] = a[n];a[n] = x;/* fragment ends here */ quicksort (m,j);quicksort(i+1,n);}图11.23(1) i:=m-1(2)j:=n(3) t1:=4*n(4) v:=a[t1](5) i:=i+1(6) t2:=4*i(7) t3:=a[t2](8) if t3< v goto (5)(9) j:=j-1(10)t4:=4*j(11)t5:=a[t4](12)if t5> v goto (9)(13)if i >= j goto (23)(14)t6:=4*i(15)x:=a[t6] (16) t7:=4*i(17) t8:=4*j(18) t9:=a[t8](19) a[t7]:=t9(20) t10:=4*j(21) a[t10]:=x(22) goto (5)(23) t11:=4*i(24) x:=a[t11](25) t12:=4*i(26) t13:=4*n(27) t14:=a[t13](28) a[t12]:=t14(29) t15:=4*n(30) a[t15]:=x答：（1）1-4为第1块，5-8为第2块，9-12为第3块，13句为第4块，14-22为第5块，23-30句为第6块。
零件加工流水作业排序问题—车间作业计划
方法只用 4 个参数就可以表示大多数不同的排序问题。4 参数表示法为：
n/ m/ A/ B
其中, n －工件数； m －机器数； A －车间类型，在 A 的位置若标以“ F ”，则代表流水作业排序问题。若标以 “ P ”， 则表示流水作业排列排序问题。若标以“ G ”，则表示一般单件作业排序问 题。当 m = 1 ，则 A 处为空白。因为对于单台机器的排序问题来说，无所谓加工路线问 题，当然也就谈不上是流水作业还是单件作业的问题了。 B －目标函数，通常是使其值最小。 有了这 4 个符号，就可以简明地表示不同的排序问题。例如， n / 3 / P / Cmax 表示
i ti1 ti 2 ti 3 ti 4
6 2，2 5，7 5，12 1，13 表 2 顺序 S 下的加工时间矩阵 1 5 2 4，6 4，11 5，17 4，21 4，10 4，15 5，22 3，25 2，12 5，20 8，30 2，32 4 1，13 7，27 5，35 3，38 3 3，16 6，33 7，42 4，46
j =1 m
Cmax ：最长完工时间， Cmax = max{ci } ；
1≤i ≤ n
Fi ： J i 的流程时间，即工件在车间的实际停留时间， Fi = Ci − ri = H i + Ti ； Fmax ：最长流程时间， Fmax = max{Fi } ；
1≤i ≤ n
Li ：工件的延迟时间， Li = Ci − d i ；当 Li > 0 （正延迟） ，说明 J i 的实际完工时 ，说明 J i 提前完工；当 Li = 0 （零延迟） ， Ji 间超过了完工期限；当 Li < 0 （负延迟）
当 ri = 0 ， i = 1,2, L , n 时，最大流程时间为
流水作业排列排序问题
C3(2)
P23
Fmax= Cm(sn)
GWM-PPT V2010.1
汇报人：杨猛
2、最长流程时间Fmax的计算
例题:6/4/p/ Fmax，其加工时间如表1所示
J1(精灵 精灵) 精灵 M1(冲压) M2(焊装) M3(涂装) M4(总装) M4( ) 4 4 5 4 J2(炫丽 炫丽) 炫丽 2 5 8 2 J3(酷熊 酷熊) 酷熊 3 6 7 4 J4(凌傲 凌傲) 凌傲 1 7 5 3 4 4 5 3
序列A为（2，5，6，1），序列B为（4，3），构 成最优顺序为（2，5，6，1，4，3）
J2 M1 M2
GWM-PPT V2010.1
J5 3 7
J6 4 4
J1 5 7
汇报人：杨猛
J4 5 4
J3 8 2
1 2
3、n/m/p/ Fmax问题的启发式算法
J1 M1 M2 M3 M4 3 7 4 5 J2 12 4 8 7 J3 9 6 7 11 J4 4 8 1 5 J5 5 5 3 9 J6 6 10 12 2
汇报人：杨猛
J4 113 727 535 338
J3 316 633 742 446
22 57 512 113
三、约翰逊算法及其启发式算法
GWM-PPT V2010.1
汇报人：杨猛
1、n/2/P/Fmax 约翰逊算法
◆Johnson算法:一短、二看、三排序
J3 J1 M1 M2 2 8 7 3 J2 5 4 J1 J3 8 2 3 7
表1
J5(腾翼） J6（哈弗） 腾翼） （哈弗） 腾翼 2 5 5 1
生产管理课件 11作业排序
加工周期为46
课堂作业：求Fmax.
表3顺序S下的加工时间矩阵
i P i1 P i2 P i3 P i4
1 2 3 4 56
3
3
3 6 4 10 212 113 316
25 511 415 318 725 631
510 415 520 727 532 436
111 217 323 229 335 137
2、关键工件法
（1）计算每个工件的总加工时间，找出加工时间最长 的工件C，将其作为关键工件；
（2）对于余下的工件若Pi1≤Pim，则按Pi1不减的顺序排 成一个序列Sa，若Pi1＞Pim，则按Pim不增的顺序排列成 一个序列Sb。 （3）顺序（ Sa，C，Sb）即为所求顺序。
关键工件法求近优解举例
参数表示法:
n /m /P / Fmax所有零件在每台机器上的 加工顺序相同。如在M1上都是第一道工 序，M2上都是第二道工序。
n /m /F / Fmax不同零件在每台机器上的 加工顺序不同。如零件1在M1上不加工， 在M2上才是第一道工序；而零件2在M1上 是第一道工序。
第二节 流水作业排序问题
Johnson法则只是一个充分条件，不是必 要条件。不符合这个法则的加工顺序， 也可能是最优顺序。如对例11-2顺序(2 ，5，6，4，1，3)不符合Johnson法则， 但它也是一个最优顺序
对于3台机器的流水车间排序问题，只有 几种特殊类型的问题找到了有效算法。
对于一般的流水车间排列排序问题，可 以用分支定界法。
③ 若所有零件都已排序，停止。否则， 转步骤①。
例题：求表11-3所示的6/2/F/Fmax问题的最优解。
表11-3加工时间矩阵
【经典】建模-组合优化模型-排序问题
（X,t） （X/{i,j},zij(t))
f (X ,t,i, j) ai aj f [X /i, j, zij(t)]
zij (t ) max[zi(t) aj,0] bj max(t ai aj bi bj, bi bj aj, bj)
zji (t ) max( t ai aj bi bj, bi bj ai, bi)
ai f (X / i,t ai bi) 当t ai时
f (X ,t,i)
ai f (X / i,bi)
当t ai时
zi(t) max( t ai,0) bi f ( X , t, i) ai f [ X / i, zi(t)]
X/i表示在集合X中去掉工件i后剩下的工件集合
5
6
8
+2
+2
-5
9
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
43
2
T
动态规划思想
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以 把一个n 维决策问题变换为几个一维最优 化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一 种算法。必须对具体问题进行具体分析， 运用动态规划的原理和方法，建立相应的 模型，然后再用动态规划方法去求解。
j2
j3
j4
j5
7
1
5
4
交货日期（d） 23
20
8
6
14
分析：
加工工件在机床A上有加工顺序问题，在机
床B上也有加工顺序问题。可以证明：最优 排序方案可以只在机床A、B上加工顺 序相同的排序中寻找。即使如此，所有
可能的方案仍有n!个，这是一个不小的数， 用穷举法是不现实的。
流水作业调度问题
一、 问题描述给定n 个作业，每个作业有两道工序，分别在两台机器上处理。
一台机器一次只能处理一道工序，并且一道工序一旦开始就必须进行下去直到完成。
一个作业只有在机器1上的处理完成以后才能由机器2处理。
假设已知作业i 在机器j 上需要的处理时间为t[i,j]。
流水作业调度问题就是要求确定一个作业的处理顺序使得尽快完成这n 个作业。
二、 算法分析n 个作业{1,2,…,n}要在由2台机器1M 和2M 组成的流水线上完成加工。
每个作业加工的顺序都是先在1M 上加工，然后在2M 上加工。
1M 和2M 加工作业i 所需要的时间分别为t[i,1]和t[i,2], n i ≤≤1.流水作业调度问题要求确定这n 个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器1M 上开始加工，到最后一个作业在机器2M 上加工完成所需的时间最少。
从直观上我们可以看到，一个最优调度应使机器1M 没有空闲时间，且机器2M 的空闲时间是最少。
在一般情况下，机器2M 上会有机器空闲和作业积压两种情况。
设全部作业的集合为},....,2,1{n N =。
N S ⊆是N 的作业子集。
在一般情况下，机器1M 开始加工S 中作业时，机器2M 还在加工其他作业，要等时间t 后才能利用。
将这种情况下完成S 中作业所需的最短时间计为),(t S T 。
流水作业调度问题的最优解为)0,(N T 。
1. 证明流水作业调度问题具有最优子结构设a 是所给n 个流水作业的一个最优调度，它所需要的加工时间为']1),1([T a t +。
其中，'T 是在机器2M 的等待时间为]2),1([a t 时，安排作业)(),......,3(),2(n a a a 所需的时间。
记)}1({a N S -=，则我们可以得到])2),1([,('a t S T T =。
事实上，有T 的定义可知])2),1([,('a t S T T ≥.若])2),1([,('a t S T T >，设'a 是作业集S 在机器2M 的等待时间为]2),1([a t 情况下的一个最优调度。
作业排序
作业：用Palmer法求解
2、关键工件法
（1）计算每个工件的总加工时间，找出加工时间最长 的工件C，将其作为关键工件； （2）对于余下的工件若Pi1≤Pim，则按Pi1 不减的顺序排 成一个序列Sa ，若Pi1＞Pim， 则按Pim 不增的顺序排列成 一个序列Sb。 （3）顺序（ Sa，C，Sb）即为所求顺序。
K = 1
m
i [k (3 1) / 2]Pik
k 1
m
i [k 2]Pik
k 1
m
=(1-2) Pi1+(2-2) Pi2+(3-2) Pi3
=- P i1 + P i3
λi =- P i1 + P i3 λ1 = - P 11 + P 13= -1+4 = 3 λ2 = -P21 + P23= -2 + 5= 3 λ3 =- P31 + P33 = -6 + 8 = 2 λ4 =-P 41+P43 = -3 + 2 = -1 按λi不增的顺序排列，得到加工顺序 （1，2，3，4）和（2，1，3，4）， 两者均为最优顺序，Fmax=28。
例：有一个4/3/P/ Fmax 问题，其加工时间如下 表所示，用Palmer法求解。
表11 加工时间矩阵 -5 i Pi1 Pi2 Pi3 1 1 8 4 2 2 4 5 3 6 2 8 4 3 9 2
解
i [k (m 1) / 2]Pik , (k 1,2,3, )
k 1
M2
M3 M4
t1 t2 t3 t T平顺
4
时间 第1个工序的所有工件加工完成的时刻为基准，向前推（n-1）个t2时间，作为
作业排序
6
华北电力大学工业工程教研室
第一节 作业排序的基本概念
Ci —— Ji 的完工时间 Ci = ri +∑( Pij + Wij ) = ri + Pi + Wi Cmax —— 最长完工时间,Cmax = max{Ci}, 即一 批工件中的最长完工时间; Fi —— Ji 的流程时间,即工件在车间的实际停留 时间, Fi = Ci －ri = Pi + Wi ; Fmax —— 最长流程时间, Fmax = max{Fi}, 即一 批工件中的最长流程时间; Li —— Ji 工件的延迟时间， Li = Ci －di = ri + Pi + Wi － di = (Pi + Wi ) － (di － ri ) = Fi －ai
华北电力大学工业工程教研室
10
第一节 作业排序的基本概念
4. 另外，按参数的性质，可以划分为 确定型排序问题 —— 指加工时间和有关参数是已知 确定的量 随机型排序问题 ——加工时间和有关参数为随机变量 这两种排序问题的解法本质上不同。 现只讨论几种有代表性的排序问题。
11
华北电力大学工业工程教研室
min(ai,bj)<min(aj,bi) (11.3)
则Ji应该排在Jj之前。如果中间为等号，则工件 i 既 可排在工件 j 之前，也可以排在它之后。
按式(11.3)可以确定每两个工件的相对位置,从 而可以得到n个工件的完整的顺序。但是,这样做比 较麻烦。事实上,按Johnson法则可以得出比较简单 的求解步骤,我们称这些步骤为Johnson算法。
4
华北电力大学工业工程教研室
第一节 作业排序的基本概念
二、假设条件与符号说明
生产运作管理---第十一章_流水作业的排序问题
• • • • • •
将工件2排在第1位 将工件3排在第6位 将工件5排在第2位 将工件6排在第3位 将工件4排在第5位 将工件1排在第4位
2 2 2 2 2 2
5 5 5 5
6 6 6
1
4 4
3 3 3 3 3
• 最优加工顺序为S=(2,5,6,1,4,3), Fmax =28
Johnson算法的改进
2 2 4 5
3 6 2 8
4 3 9 2
举例
i 1 Pi1 1 2 2 3 6 4 3
l=1
Pi3
Pi1+Pi2
9
5
6
8
8
2
12
l=2
Pi2+Pi3
12
9
10
11
当 l＝1 时，按 Johnson 算法得到加工顺 序（1 ， 2 ，3，4）；当 l=2 时，得到加 工顺序(2，3，1，4)。对于顺序（2，3， 1 ， 4 ），相应的 Fmax=29。所以，取 顺序（1，2，3，4）。
10
2 2 20 5 30 8 32 2
12
4 1 27 7 35 5 38 3
13
3 3 33 6 42 7 46 4
16
最长流程时间的计算
i
Pi1
举例2
2
6
1
4 4
4
5
6 9
18 24 30 3
3 12 19 32
35 4
5
8 24
16
22 34 44
30 36
48 52
Pi2
Pi3 Pi4
3
1
2 1 8
5
8 7 22
第11章制造业作业计划(2).
j 的紧后工序放入{
t }，使
t＝t＋1。
⑤ 若还有未安排的工序，转步骤②；否则，停止。
例 11.4 有一个 2/3/G/Fmax 问题，其加工描述矩阵 D 和加工时间矩阵 T 分别为：
1,1,1 1,2,3 1,3,2 D＝
2,1,3 2,2,1 2,3,2
241 T＝
345
试构成一个能动作业计划。
既然优先调度法则中的一些法则对一定的目标函数的效果明显地比其它法则好，我们为 什么不能运用这些法则来影响随机抽样呢？显然，如果我们把除 RANDOM 法则以外的某个法 则对一个问题使用多次，也只能得到一种作业计划。这样做毫无意义。但是， 我们可以给不 同的工序按某一优先调度法则分配不同的挑选概率， 这样就可以得到多个作业计划供比较。 例如，在构在无延迟作业计划的第③步有 3 道工序，A、B 和 C 可挑选，这 3 道工序所需的时 间分别为 3，4 和 7。如果按 RANDOM 法则，每道工序挑选上的概率都是 1／3；如果按 SPT 法则，则只能挑选工序 A，不可能产生多个作业计划。现按目标函数的要求，选择了 SPT 法 则。按概率调度法，将这 3 道工序按加工时间从小到大排列，然后给每道工序从大到小分配一 个被挑选的概率，比如 A、B 和 C 的挑选概率分别为 6／14、5／14 和 3／14。这样，既保证 了 SPT 法则起作用，又可产生多个作业计划供挑选。
作业计划(non-delay schedule)是没有任何延迟出现的能动作业计划。所谓“延迟”，指有工件
等待加工时，序。
能动作业计划和无延迟作业计划在研究一般单件作业排序问题时有重要作用。下面先介
绍它们的生成方法。为此，先作一些符号说明。
我们称每安排一道工序称作一“步”，设
机械制造行业中的流水作业排序问题
ｌ Ｉ ｆ ｌ
３ ４ ８ ７
Ｉ ｌ ｆ ｌ
４ ２ ７ ６ ”
台设 备进行加工 ，并且每种零 部件在每 台设 备上 的加工 时间各不相
同。那么怎样编排这 ｎ 种零部件 的加工顺序可 以使总加工时间最短 ，
这 是 排 序 要 解 决 的 问题 。 般说来 ，排序只是确定工件在机器上的加 工顺序 ，而编制生产
一
、
生产作 业计 划与流水作业排序 问题
生产作业计划是根据企业年度 、 季度计划的要求 ， 来具体地安排 车 间、工段、班组乃至工作地在月 、 旬、日 以及昼夜 、 轮班和小 时的 工作任务 。 对于大型机械制造企业 ， 生产作业计划 一般分 为公 司级生 产作业计划 和车 间级生产作业计划两级 。一般来说 ， 公 司生产制造部 负责编制和下达公 司级生产作业计划 ， 各 车间的作业计划员在接到公 司级生产作业计划 以后 ，要负责编制本 车间的生 产作业计划 ， 并将车 间级生产作业计划分解落实到各个班组及各个工作地 ， 将车间 的生产 任务变成各个班组 、 各个工作地的生产任务。 每个工作地生产作业计 划 的完成 ，保证了车间生产作业计划的完成 ； 每个 车间生产作业计划 的完成 ，保证 了公 司级生产计划 的完成 ；公 司级生产计划 的完成 ，保 证 了公司生产经 营计划 的完成 。 假如某个车 间需要生产 ｎ种零部件 ，这 １ ＇ １ 种零部件需要经过 ｍ
为零 。 设ｎ 个 工 件雕 船 工 顺序为ｓ ＝｛ ｓ ｓ ， … ・ ｓ ， 翼 申ｓ ｔ 为 第 位 抽工 的 工 件的 代 号・ 以Ｇ ±表
。
式 中，ｍ为机器数 ；ｐ ｉ ｋ为工件 ｉ 在 Ｍｋ上的加工 时间。 按照各工件 ｉ 不增的顺 序排列工件 ，可得出令人满 意的顺序 。 对 于本 例 中 ） Ｌ ｉ ＿一Ｐ ｉ ｌ ＋Ｐ ｉ ３
第十一章 作业排序
22
44
22
总数
115
118
3
36
平均数
23.0
0.6 7.2
平均在制品库存=115/44=2.61个
平均总库存=118/44=2.68个
假设：顾客不会提前取货，如果加工延迟，顾客将在加工完成后马上去走。
平均在制品库存=各工件流程时间之和/全部完工时间 平均总库存=全部在制品库存+完成品库存（等待顾客取货） 各工件的实际取货时间=等待加工时间+加工时间+等待取货时间 平均总库存=各工件实际取货时间之和/全部完工时间 排序结果比较 SPT规则排序，平均流程时间更短，在制品库存更少。 EDD规则排序，为顾客提供更好的服务，总库存水平低。
五、局部与整体优先规则及其事例
优先调度规则可以分为局部优先规则和整体优先规则两类，局 部优先规则决定工作的优先分配顺序仅以在单个工作地队列中的工 作所代表的信息为依据。例如，EDD，FCFS和SPT都是局部优先规则。 相比之下，整体优先规则决定工作地优先分配顺序不仅根据正在排 序的工作地，而且还要考虑到其他工作地的信息。SCR、MWKR、LWKR 以及MOPNR都是整体优先规则。整体优先规则可以看作是更好的选择， 但由于需要较多的信息，而信息的获取也是要付出成本的，因此在 某些情况下不一定能够提供足够的优势。
第十一章 作业排序
作业排序的基本概念 制造业中的生产作业排序 服务业中的服务作业排序
第一节 作业排序的基本概念
一、作业计划与排序
排序：只是确定工件在机器上的加工顺序。 作业计划：不仅包括确定工件的加工顺序，还包括确定机器加工每个 工件的开始时间和完成时间 工件等待：一个工件的某道工序完成之后，执行它下一道工序的机器 还在加工其他工件，这时，工件要等待一段时间才能开始加工。 机器空闲：一台机器已经完成对某个工件的加工，但随后要加工的工 件还未到达。 提供服务者：指“工作地”、“机器”、“人员”等。 接受服务者：指“工作”、“工件”、“顾客”等。 排程难点：按时间来分配特定的工作，但许多工作同时为同一资源而 竞争。
生产第十一章-制造业作业计划与控制
*
工件号 1 2 3 4 5 6
ai 5 1 8 5 3 4
bi 7 2 2 4 7 4
*
四、作业排序方案的评价标准
1.工作流程时间 从工件可以开始加工至完工的时间，包括在各个机器之间的移动时间、等待时间、加工时间以及由于机器故障、部件无法得到等问题引起的延误时间等。 2. 加工周期 完成一组工作所需的全部时间。它是从第一个工件在第一台机器上开始加工时算起，到最后一个工件在最后一台机器上完工时为止所经过的时间。
3
6
9
9
12
12
3
机壳1
9
8
17
17
10
17
7
机壳5
17
12
29
29
22
29
7
机壳3
29
15
44
44
20
44
24
总数
102
120
18
38
平均数
20.4
3.6
7.6
平均在制品库存=102/44=2.32个 平均总库存=120/44=2.73个
SPT规则排序结果
顾客实际取货时间基于以下假设：顾客不会在预定取货时间之前来取货；如果有拖延发生，他们将在加工结束时马上取走。
12.5
0
操作1
A, 1.2
E,1.5
D,3.0
B,2.5
C,1.6
2.6
5.5
9.0
11
13.7
操作2
i
C
B
D
E
A
操作1
操作2
*
【例 题】
根据Johnson算法求以下8/2/F/Fmax问题的
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2、两台机器排序问题 、
两台机器排序的目标是使最大完成时间（ 两台机器排序的目标是使最大完成时间（总 加工周期） 加工周期）Fmax最短 。 最短 实现两台机器排序的最大完成时间Fmax最 最 实现两台机器排序的最大完成时间 短的目标， 短的目标，一优化算法就是著名的约翰逊法 (Johnson’s Law)。其具体求解过程如下例所 。 示。
3 2
6 8
7 6
1 4
5 3
求解过程
由约翰逊法可知， 中最小加工时间值是1个时间单位 由约翰逊法可知，表5-8中最小加工时间值是 个时间单位， 它又 中最小加工时间值是 个时间单位， 是出现在设备1上 根据约翰逊法的规则，应将对应的工件4排 是出现在设备 上，根据约翰逊法的规则，应将对应的工件 排 在第一位，即得： 在第一位，即得： J4 - * - * - * - * 去掉J4，在剩余的工件中再找最小值，不难看出，最小值是2个 去掉 ，在剩余的工件中再找最小值，不难看出，最小值是 个 时间单位，它是出现在设备2上的 所以应将对应的工件J1排 上的， 时间单位 ，它是出现在设备 上的 ，所以应将对应的工件 排 在最后一位，即： 在最后一位， J4 - * - * - * - J1 再去掉J1，在剩余的J2、 、 中重复上述步骤 求解过程为： 中重复上述步骤， 再去掉 ，在剩余的 、J3、J5中重复上述步骤， 求解过程为 ： J4 - * - * - J5 - J1 J4 - J2 - * - J5 - J1 J4 - J2 - J3- J5 - J1 当同时出现多个最小值时，可从中任选一个。 当同时出现多个最小值时，可从中任选一个。最后得 J4 - J2 - J3- J5 - J1
排序常用的符号
Ji----工件 ，i=1,2,..n。 工件i 工件 Mj ---- 机器 ，j＝1，2，…，m. 机器j， ＝ ， ， ， di----工件 的完工期限。 工件Ji 工件 的完工期限。 pij----工件 在机器 上的加工时间 工件Ji在机器 上的加工时间,j=1,…,m 工件 在机器Mj上的加工时间 Pi----工件 的加工时间, 工件Ji的加工时间 工件 的加工时间 wij----工件 在机器 前的等待时间 j=1,…,m 工件Ji在机器 前的等待时间, 工件 在机器Mj前的等待时间 Wi----工件 在加工过程中总的等待时间 工件Ji在加工过程中总的等待时间 工件 在加工过程中总的等待时间, Ci----工件 的完成时间 工件Ji 工件 的完成时间, Fi----工件 的流程时间，即工件在车间的实际停留时间，在工 工件Ji 工件 件都已到达的情况下, 件都已到达的情况下 Fi= Pi+ Wi Li----工件 的延误时间 Li= Ci- di , Li<=0 按期或完成提前； 工件Ji 工件 的延误时间, Li>0 延误 Fmax----最长流程时间， Fmax＝max{Fi} 最长流程时间， 最长流程时间
I Ai Bi 1 5 7 2 1 2 3 8 2 4 5 4 5 3 7 6 4 4
•将工件 排在第 位 将工件2排在第 将工件 排在第1位 •将工件 排在第 位 将工件3排在第 将工件 排在第6位 •将工件 排在第 位 将工件5排在第 将工件 排在第2位 •将工件 排在第 位 将工件6排在第 将工件 排在第3位 •将工件 排在第 位 将工件4排在第 将工件 排在第5位 将工件1排在第 位 将工件 排在第4位 排在第
(3)如果该最小值是在设备 上，将对应的工件 如果该最小值是在设备1上 如果该最小值是在设备 • 排在前面，如果该最小值是在设备2上，则将对 排在前面，如果该最小值是在设备 上 • 应的工件排在后面。 应的工件排在后面。
•
(4)排除已安排好的工件，在剩余的工件中重 排除已安排好的工件， 排除已安排好的工件 复步骤(2)和 ，直到所有工件都安排完毕。 复步骤 和(3)，直到所有工件都安排完毕。
第十一章 流水作业的排序问题
一、排序问题的基本概念
排序是确定工件（零部件） 排序是确定工件（零部件）在一台 是确定工件 或一组设备上加工的先后顺序。 或一组设备上加工的先后顺序。 在一定约束条件下， 在一定约束条件下，寻找总加工时 间最短的安排产品加工顺序的方法，就 间最短的安排产品加工顺序的方法， 生产作业排序。 是生产作业排序。
举例
J1 机器1 机器 机器2 机器 机器3 机器 机器4 机器 机器5 机器 总和 pi1 pi2 pi3 pi4 pi5 5 5 8 2 5 25 J2 5 5 3 8 2 23 J3 4 5 3 2 1 15 J4 1 3 4 1 2 11 J5 2 6 7 5 8 28 J6 10 10 4 6 10 40
举例
• AB两台设备完成 个零件的加工任务，每个 两台设备完成5个零件的加工任务 两台设备完成 个零件的加工任务， 工件在设备上的加工时间如下表所示。 工件在设备上的加工时间如下表所示。求总 加工周期最短的作业顺序。 加工周期最短的作业顺序。 •
设备 \工件编号 工件编号
J1
J2
J3
J4
J5
设备A 设备 设备B 设备
10
2 2 20 5 30 8 32 2
12
4 1 27 7 35 5 38 3
13
3 3 33 6 42 7 46 4
16
最长流程时间的计算 i Pi1 Pi2 Pi3 pi4 1 4 3 7 5 4 5 9 6 6 6 3 1 8 3 3 4 3 2 9
举例2 5 8 7 5 2 2 6 5 9 4
二、排序问题的分类和表示法
1、排序问题的分类： 、排序问题的分类：
• 根据机器数的多少 单台机器的排序问题 多台机器的排序问题 • 根据加工路线的特征 单件作业排序(Job Shop) 单件作业排序 流水作业排序(Flow Shop) 流水作业排序 • 根据工件到达系统的情况 静态排序 动态排序
• 根据参数的性质 确定型排序 随机型排序 • 根据要实现的目标 单目标排序 多目标排序
假设条件
1.一个工件不能同时在几台不同的机器上加工。 一个工件不能同时在几台不同的机器上加工。 一个工件不能同时在几台不同的机器上加工 2.工件在加工过程中采取平行移动方式，即当上一道工 工件在加工过程中采取平行移动方式， 工件在加工过程中采取平行移动方式 序完工后，立即送下道工序加工。 序完工后，立即送下道工序加工。 3.不允许中断。当一个工件一旦开始加工，必须一直进 不允许中断。 不允许中断 当一个工件一旦开始加工， 行到完工，不得中途停止插入其它工件。 行到完工，不得中途停止插入其它工件。 4.每道工序只在一台机器上完成。 每道工序只在一台机器上完成。 每道工序只在一台机器上完成 5.工件数、机器数和加工时间已知，加工时间与加工顺 工件数、 工件数 机器数和加工时间已知， 序无关。 序无关。 6.每台机器同时只能加工一个工件。 每台机器同时只能加工一个工件。 每台机器同时只能加工一个工件
i Pi1 Pi2 Pi3 pi4 1 4 4 5 4 2 2 5 8 2 3 3 6 7 4 4 1 7 5 3 5 4 4 5 3 6 2 5 5 1
最长流程时间的计算 i Pi1 Pi2 Pi3 pi4 6 2 7 5 12 5 13 1
2
1 4 11 4 17 5 21 4
6
5 4 15 4 22 5 25 3
2、排序问题的表示法 排序问题的表示法
排序问题常用四个符号来描述: 排序问题常用四个符号来描述 n/m/A/B 其中, 工件数； 其中 n-----工件数； 工件数 m-----机器数； 机器数； 机器数 A----车间类型； 车间类型； 车间类型 F=流水型排序， P=排列排序 流水型排序， 排列排序 流水型排序 G=一般类型 即单件型排序 一般类型,即单件型排序 一般类型 B-----目标函数 目标函数
(a) J1 - J2 - J3- J4 源自 J5AB30
(b) J4 - J2 - J3- J5 - J1
A
B
26
比较
可以看出， 可以看出，初始作业顺序的总加工周期 是30，用约翰逊法排出的作业顺序总加工 ， 周期是26，显然后者的结果优于前者。 周期是 ，显然后者的结果优于前者。
两台机器排序问题的算法（续）
三、流水作业排序问题
1、最长流程时间Fmax的计算 、最长流程时间 的计算 举例：有一个6/4/p/ Fmax问题，其加工时 问题， 举例：有一个 问题 间如下表所示。当按顺序S＝（ ＝（6， ， ， 间如下表所示。当按顺序 ＝（ ，1，5， 2，4，3）加工时，求Fmax。 ， ， ）加工时， 。
约翰逊－ 约翰逊－贝尔曼法则
• 约翰逊法解决这种问题分为 个步骤： 约翰逊法解决这种问题分为4个步骤： 个步骤 • (1)列出所有工件在两台设备上的作业时间。 列出所有工件在两台设备上的作业时间。 列出所有工件在两台设备上的作业时间
•
(2)找出作业时间最小者。 (2)找出作业时间最小者。 找出作业时间最小者
排序困难性
例如，考虑 项任务 工件）， 项任务（ ），有 ！ 例如，考虑32项任务（工件），有32！≈2.6×1035种 × 方案,假定计算机每秒钟可以检查 假定计算机每秒钟可以检查1 个顺序, 方案 假定计算机每秒钟可以检查 billion个顺序 个顺序 全部检验完毕需要8.4× 个世纪。 全部检验完毕需要 ×1015个世纪。 如果只有16个工件 同样按每秒钟可以检查1 个工件, 如果只有 个工件 同样按每秒钟可以检查 billion 个顺序计算, 也需要2/3年 个顺序计算 也需要 年。 以上问题还没有考虑其他的约束条件, 如机器、 以上问题还没有考虑其他的约束条件 如机器、人 力资源、厂房场地等，如果加上这些约束条件， 力资源、厂房场地等，如果加上这些约束条件，所 需要的时间就无法想象了。 需要的时间就无法想象了。 所以，很有必要去寻找一些有效算法， 所以，很有必要去寻找一些有效算法，解决管理中 的实际问题。 的实际问题。