第2章 构件内力分析基础

第2章构件内力分析基础学习目标理解各种基本变形的受力和变形特点；掌握各种基本变形的内力特点、计算方法；掌握各种基本变形的内力图、力矩图的画法。

2．1构件的变形2．1．1构件的基本要求机械工作时，组成机械的各个构件都要受到外力的作用。

例如，吊起重物的钢丝绳要承受重物的重力、轧钢机轧辊要受到钢坯阻力的作用等。

构件在载荷作用下都会发生一定的变形，随着载荷的继续增加，有些构件可能会突然断裂，有些构件则发生过大变形直至破坏。

为了保证构件正常工作，每一个构件都要有承受足够载荷的能力。

具有一定承载能力的构件，要满足下面3个方面的要求：1．强度要求强度是构件抵抗破坏的能力，满足强度要求是指正常受力的构件不能被破坏。

这是对构件的最基本的要求。

例如，吊起重物的钢丝绳不允许断裂，齿轮在传动过程中不允许破损，机器主轴不允许折断或扭坏等。

2．刚度要求刚度是构件抵抗变形的能力，满足刚度要求是指正常受力的构件的变形量不能超过允许的限度。

有时构件在载荷的作用下虽然不会发生破坏，但如果变形过大，会导致构件不能正常工作。

例如，齿轮轴变形过大会影响齿轮的啮合状况，如图2—l(a)所示；车床主轴变形过大会影响工件的加工精度，如图2—l(b)所示。

因此，对于自身变形会影响机械工作性能的构件，必须满足一定的刚度要求。

图2—1受载荷作用的构件变形3．稳定性要求稳定性是构件保持原有平衡状态的能力。

对于中心受压的细长直杆，例如，图2—2(a)所示的内燃机的挺杆、图2—2(b)所示的千斤顶的顶杆等，当压力较小时，受压杆件均能保持直线的平衡状态，但随着压力的增加，压杆会突然变弯而丧失工作能力，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。

因此，要求压杆必须在工作中始终保持原有的直线状态，即具有足够的稳定性。

为了满足构件在强度、刚度、稳定性3个方面的要求，达到安全可靠的目的，必须为构件选择适当的材料、合理的截面形状和尺寸，同时还必须尽可能降低材料的消耗量，以符合经济的原则。

图2—2中心受压的细长直杆2．1．2变形固体的概念在第1章中，假定物体是刚体，就是假定物体在外力作用下，形状尺寸大小不变。

实际上，在自然界中绝对的刚体是不存在的，只是物体的微小变形对研究平衡问题影响很小，可以忽略，而在实际应用中，物体在外力的作用下都会产生变形。

如外力不超过一定限度，绝大多数材料在受外力作用时都会发生变形，在外力解除后又可以恢复原形。

但外力过大，超过一定限度后，外力解除后只能恢复部分变形，而遗留一部分不能消除的变形。

随外力解除而消失的变形称为弹性变形，外力解除后不能消失的变形称为塑性变形，也称为残余变形或永久变形。

本课程中仅限于研究物体的小变形和弹性变形。

2．1．3杆件的基本变形工程实际中的构件形状是多种多样的，但大多数是杆件。

所谓杆件，是指长度尺寸远大于其他两个方向尺寸的构件。

例如，丝杠、轴、连杆等均可以简化成杆件。

杆件的几何特征可以用其轴线和垂直于轴线的横截面来表示。

轴线为直线的杆件称为直杆；横截面大小形状完全相同的杆件称为等截面杆。

材料力学中研究的主要对象是等截面直杆，简称为等直杆。

杆件在外力作用下发生的基本变形有下列4种：1．拉伸与压缩这种变形的特点是杆件受到大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力作用时，引起杆件在轴线方向上发生伸长或缩短，如图2—3所示。

例如汽缸的活塞杆、起吊重物的绳索、千斤顶的顶杆等。

图2—3拉伸与压缩2．剪切和挤压螺栓、铆钉、销钉、键等构件受到大小相等、方向相反、作用线垂直于杆轴且距离很近的一对力作用时，引起杆件的横截面间发生相对错动，如图2—4(a)所示，这种变形称为剪切；除承受剪切作用外，还需要在被联接件的接触面上相互压紧，如图2—4(b)所示，这种现象称为挤压。

联接件除了可能以剪切的形式破坏外，还可能因挤压而破坏。

图2—4剪切和挤压3．扭转这种变形的特点是杆件受到大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力偶矩作用时，引起杆件的横截面绕其轴线发生相对转动，如图2—5所示。

例如，汽车方向盘的转向轴、机器中的各种传动轴、电机轴等。

4．弯曲这种变形的特点是杆件受到垂直于杆件的轴向力，或由作用于杆轴纵向平面内的一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力偶矩作用时，原为直线的轴线变成曲线，如图2—6所示。

例如，车辆的车轴、起重机的大梁等。

图2—5扭转图2—6弯曲还有一些杆件同时承受几种基本变形，例如，车床主轴工作时要承受弯曲、扭转和压缩3种变形；钻床立柱同时承受拉伸和弯曲两种基本变形，这些情况称为组合变形。

2．2轴向拉伸和压缩2．2．1 内力的概念通常所说的内力，是指构件内部质点之间相互作用的力，它在构件没有受到外力作用时就已经存在。

正是由于内力的作用，才使得构件内各质点能紧密相连，并保持一定的形状。

本课程中所说的内力则是指构件受到外力作用时构件内部各质点之间相互作用力的改变量，称为“附加内力”。

这种附加内力随外力增大而增大，当它达到一定极限时，构件便发生破坏。

因此，它与构件的强度密切相关。

本课程所研究的附加内力，以后均简称为内力。

2．2．2轴向拉伸(或压缩)时横截面上的内力——轴力以图2—7(a)所示拉杆为例，欲求拉杆任一截面m—m上的内力。

可以假想用一平面将杆件沿截面m—m截为两段，任取其中一段，如以左段作为研究对象，并将右段杆对左段杆的作用以内力N代替。

由于原来整个杆件处于平衡状态，被截开后的各段也必然处于平衡状态，所以左段杆除受F力作用外，截面m—m上必定有作用力N与之平衡[图2—7(b)]，该力就是右段杆对左段杆的作用力，即截面m—m上的内力。

列出左段杆的平衡方程∑x=0 即N-F=0得N=F若以右段作为研究对象，如图2—7(c)所示，同样可得∑x=0即N’-F=0得N’=F实际上N与N’是一对作用力与反作用力。

因此，对于同一截面，如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。

这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，程，以确定截面内力的方法称为截面法。

图2—7截面法求杆件内力截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：①沿所研究截面假想地将杆件截为两部分，于该部分的外力。

取其中一部分作为研究对象，建立平衡方任选其中一部分作为研究对象，画出作用②画出截面的内力，取代另一部分对所研究部分的作用。

③对研究部分建立静力平衡方程，解方程，确定内力的大小、方向。

由于轴向拉伸或压缩时杆件横截面上的内力Ⅳ与外力F共线，且与杆件重合，所以这里的内力称为轴力。

轴力的正负号表示杆件不同的变形。

杆件拉伸时，轴力背离截面取正号。

杆件压缩时，轴力指向截面取负号。

如果在杆件两端和中间部分均有外力作用，仍可应用截面法求各截面上的轴力。

可以采用一个直接利用外力计算轴力的规则：杆件承受拉伸(或压缩)时，杆件内任一截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数和，外力背离截面时取正，外力指向截面时取负。

2．2．3轴力图为了形象地表示轴力沿直杆轴线的变化规律，可以用平行于轴线的坐标表示截面位置，用垂直于轴线的坐标表示截面上的轴力数值，画出轴力与截面位置的关系图，如图2—8(b)所示，称为轴力图。

从轴力图上可以确定最大轴力及其所在的截面位置。

习惯上将正轴力(拉伸时的内力)画在上方，将负轴力(压缩时的内力)画在下方。

例2—1如图2—8(a)所示，一等直杆受到F，=90 kN，F2=70 kN，F3=30 kN外力的作用，试求各截面的轴力，并作轴力图。

解：(1)计算各截面的轴力图2—8根据轴力计算规则，各截面的轴力可以直接写为N1=F1-F2+F3=50 kNN2=-F2+F3=-40 kNN3=F3=30 kN(2)作轴力图如图6—8(b)所示，杆件的最大轴力为N max=50 kN2．3剪切和挤压2．3．1剪切的内力工程中用于联接的各种零件，例如螺栓、铆钉、销钉、键等构件都要承受剪切和挤压的作用。

当作用在零件两侧的外力大小相等、方向相反、作用线垂直于杆轴且距离很近时，两侧作用力之间的截面有发生相对错动的趋势，零件的这种变形称为剪切变形。

发生相对错动的截面称为剪切面。

如果零件受剪切时只有一个剪切面(图2—9)，称为单剪；如果零件受剪切时有两个剪切面(图2—10)，称为双剪。

以图2—9(a)所示铆钉为例，计算剪切面上的内力。

应用截面法，如图2—9(b)所示，将铆钉用一个假想平面沿剪切面切开，取其下半部分作为研究对象。

为了保持下段铆钉的平衡，截面上必有内力存在，这个与截面相切的内力称为剪力，用F Q表示，如图2—9(c)所示。

如图2—9(c)所示，根据平衡条件，剪力F Q的大小为：F Q=F 。

图2—9 单剪图2—10 双剪2．3．2挤压力螺栓、铆钉、销钉、键等各种联接构件除承受剪切作用外，还需要在被联接件的接触面上相互压紧，这种现象称为挤压，如图2—4(b)所示。

仍以铆钉联接为例，铆钉与被联接的钢板在一个半圆柱面上互相接触，产生挤压作用。

通常把两个接触面间的压力称为挤压力，以符号F j表示。

挤压力F j的大小为F j=F。

2．4圆轴扭转如果在与圆杆轴线相垂直的平面内作用有大小相等、转向相反的外力偶，使杆的相邻截面发生绕轴线的相对错动，这种变形称为圆轴的扭转变形，如图2—11(a)所示。

2．4．1 圆轴扭转时的扭矩分析用截面法分析轴的内力。

将轴沿指定截面m—m切成两段，舍去右段，保留左段。

由于作用于轴上的外力只有绕杆轴线的外力偶，所以横截面上只能有绕x轴的内力偶矩分量——扭矩T，其余的内力分量均为零，如图2—11(b)所示。

扭矩的大小仍可依据保留段的平衡条件确定，即∑M=0 即T-M=0得T=M图2—11用截面法分析轴的内力2．4．2扭矩的计算规则和符号规定某一截面上的扭矩，等于截面一侧所有外力偶矩的代数和，扭矩的转向与外力偶矩恰好相反，用右手四指弯向表示扭矩的转向，大拇指的指向与截面外法线n相同时扭矩为正，反之为负。

如图2—11(c)所示扭矩丁为正；图2—11(d)所示扭矩71为负。

2．4．3扭矩图如果在圆轴上同时作用有几个外力偶，一般情况下，不同区段上扭矩是不相同的，各截面的扭矩可用截面法分段求出。

为了清晰地反映出扭矩随截面位置的变化情况，常常把这种变化情况绘制成函数图像，称为扭矩图。

其画法与轴力图类似，取平行于轴线的横坐标x表示各横截面的位置，垂直于轴线的纵坐标T表示相应截面上的扭矩值，正值画在x轴上方，负值画在x轴下方。

2．4．4外力偶矩的计算在工程中许多受扭转的构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出它所传递的功率和转速，这时可用下面的公式求出作用于轴上的外力偶矩。

若已知功率P 的单位为kw ，转速n 的单位为r ／min ，则外力偶矩为 M =9 550×p n（2—1）下面举例说明扭矩的计算与扭矩图的绘制方法。