第2章 内力应力应变、轴向拉伸和压缩

AB为钢杆，许用应力
2
160 MPa
求：结构的许可载荷 解： （1）以节点B为研究对 象，受力分析如图所示 ，由平衡方程可得
N1 3P N 2 2P
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（2）计算各杆的许可轴力 查表可知角钢的横截面面积为
A 3.791 cm2
N1 max A1 1 100 104 7 106 70 kN N 2 max A2 2 2 3.791 104 160 106 121 kN
N=-F 其中m—m截面上的轴力为______.
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练习
20
练习
• 课本P44 2-1
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[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。 解：x 坐标向右为正，坐标原点在
q(x)
L N – x O
自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为： q(x) x
第二章
轴向拉伸和压缩（Axial Tension)
§2–1 轴向拉压的概念及实例
§2–2 内力、截面法、轴力及轴力图 §2–3 截面上的应力及强度条件
§2-4
§2-5
拉压杆的变形 弹性定律
拉压杆的弹性应变能
§2-6 拉压超静定问题及其处理方法 §2-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能
§2–1 轴向拉压的概念及实例
x
图3
0 a (1cos2a ) 2 或: 0 sin 2a a 2
例6 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。 解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
P 410000 0 127 .4MPa 2 A 3.1410
应力[]=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。
q
钢拉杆
8.5m
解： ① 整体平衡求支反力 q
HA
RA
钢拉杆
8.5m
RB
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
② 局部平衡求 轴力： q HC ③应力： RC
mC 0 N 26.3kN
HA
RA ④强度校核与结论： N
3 N 4 P 4 25 10 ②应力： max MPa 2 2 162 A πd 3. 14 0.014
③强度校核： max 162MPa 170MPa ④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
b´ d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 拉伸应力： P

N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
D
PD D PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA P B P C P D 0
N1 5P 8P 4P P 0
N1 2P
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
N2
B
PB
C
PC C PC
D
PD
别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
x 0
Nx
kL2 2
1 2 N ( x) kxdx kx 2 1 2 N ( x)max kL 2
§2–3 截面上的应力及强度条件
问题提出： P P 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力； ②材料承受荷载的能力。 一、应力的概念 1. 定义：由外力引起的内力集度。 P P
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（3）确定结构的许可载荷 由1杆的强度确定
Pmax 1
N 1 max 40.4 kN 3
N1 3P N 2 2P
由2杆的强度确定
Pmax 2
N 2 max 60.5 kN 2
综上可知结构的许可载荷为
P
40.4 kN
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[例5] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
7. 强度设计准则（Strength Design）：
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
N ( x) max max( ) A( x)

其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应力。 依强度准则可进行三种强度计算： ①校核强度：

max


P
轴力图如右图
N 2P +
N3
D
PD D PD
N4
5P
+ P x
– 3P
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
5kN 5kN
8kN
3kN
+
8kN
–
3kN
练习
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练习
图示杆沿其轴线作用着三个集中力，
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定
义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示：
①平均应力：
pM
P A
P
M
A
②全应力（总应力）：
Δ P dP pM lim dA Δ A0 Δ A
③全应力分解为： 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
P 则： pa a Aa
k P k P P
a
k Pa
a
k
Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
A 由几何关系： cos a Aa
pa P P a cos a 0 cos a Aa A

A Aa cos a
代入上式，得：
斜截面上全应力： pa 0 cosa
斜截面上全应力： pa 0 cosa 分解： pa
5
二
工程实例
6
7
8
§2–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为 二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
在下列杆件中,哪些杆件是轴向拉压杆?
PL NBD hcos
BD杆面积A：
A NBD / ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L x
XA
A
B
YA

NB
P
C
③ 求VBD 的最小值： V ALBD
o
2 PL Ah / sin ; [ ] sin 2
45 时, Vmin
2 PL [ ]
三、拉(压)杆斜截面上的应力 设有一等直杆受拉力P作用。 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Pa=P
N ( x) max max( ) A( x)
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）：
②设计截面尺寸： Amin
N max [ ]
③许可载荷：
Nmax A
;
f ( Ni )
构件失效时的应力称为极限应力
u
，实验测得。
N 正常工作时杆件内的应力称为工作应力 A
构件工作时应力的最高限度称为许用应力 其中,n为安全系数 , 且 n>1
u
n
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[例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。 解：① 轴力：N = P =25kN
杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。 轴力用 N 表示，方向与轴线重合
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
N N
N
N
N>0
N<0
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轴力方程（函数）
N N ( x)
轴力图：横坐标 x 表示横截面的位置
纵坐标 N 表示相应截面上的轴力
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| a |max 当a = ± 45°时，
0
2 当a = 0,90°时， | a |min 0
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
补充： 1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面 上的应力情况，称为这点的应力状态。 2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体，常用的是正六面体。
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[]。