线性代数课件11n阶行列式的定义

一个中心方法：矩阵的初等行变换 一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定
行列式
矩阵
第一章 §1 行列式的定义
本节我们将讨论： 方程个数和未知数个数相同，且
系数满足特定条件的线性方程组的求 解，从而得到行列式这个工具.
本节结构
➢ 二阶行列式的引出 ➢ 三阶行列式的引出 ➢ n阶行列式的引出 ➢ 四类特殊行列式计算
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规 则计算出的数，即
a11 a1n
D (1)t a1 p1 a2 p2 anpn
an1 ann
n!
称为n阶行列式, 其中t为列标排列的逆序数。
n 阶行列式定义的三个要点
（1）是n!项的代数和； （2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定； （3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）.
a11 a12
0 D
a22
00
a1n
a2n a11a22 ann
ann
n 阶行列式也可以定义为：
(1) D
t
a a p11 p2 2
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
n1n
2）副对角行列式
00 00 D 0 an1,2 an1 0
0 a1n a 2,n1 0
n n 11
的逆序数为
n( n1) 2
00 00
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 an1
3）下三角行列式
a11 0 D a21 a22
an1 an2
0 0
a11a22 ann
ann
4）上三角行列式
b3 a32 a33 a11 D2 a21 a31
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 D3 a21 a22
b1 a13 a31 a32 b2 a23 , b3 a33
b1 b2 . b3
例2 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
预备知识--全排列及其逆序数
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个
元素的全排列
标准次序：由小到大的次序 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序。 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个
排列的逆序数.
例如排列
54231
54 2 3 1
5前面比5大的数有0个； 4前面比4大的数有1个； 2前面比2大的数有2个； 3前面比3大的数有2个； 1前面比1大的数有4个. t=0+1+2+2+4=9
D1 D
xn
Dn D
D 是用 i
b1 b2
替换
D 中的第i列
bn
a1i
a2i
而得.
ani
n阶行列式的计算原则 -----正确求解线性方程组的解
说明: 观察二阶与三阶行列式的计算
共同特性之一是对角线法则； 但是四阶及以上阶行列式没有对角线法则
于是寻找二阶和三阶行列式计算的其它共性, 并试图推广到n阶行列式，且能正确求解方程组.
…… 由n 元方程组（n 个变量、n 个方程） 求解得n 阶行列式
大胆猜测
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21
x1
an1 x1
a22 x2 an2 x2
a2n xn ann xn
b1 bn
a11 a1n 当 D 0 时,
an1 ann
x1
21 3. 7
二、三阶行列式的引出
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
进行高斯消元可以得到：
其中
Dx1 Dx2
D1 D2
Dx3 D3
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
于是
D a11
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
a21
a12 a22
,
D1
b1 b2
a12 a22
,
D2
a11 a21
b1 b2
（ （ DDaa11xx11aa21 2222
Da112a21）x1 Da212a21）x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
D3 a11a22b3 a12b2a31 b1a21a32 a11b2a32 a12a21b3 b1a22a31
当 D 0 时，三元线性方程组的解为：
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
三阶行列式定义
设 有9个 数 排 成3行3列 的 数 表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a21 x1
a22 x2
b2 .
D a11 a12 a21 a22
xx11
Db11a22 aD11a22
a12b2 a12a21
b1
D1 b2
a12 a22
b1a22 b2a12
xx22
Da121b2 aD11a22
b1a21 a12a21
D2
a11 a21
b1 b2
a11b2 a21b1
问题描述：
绪论
当我们手里握着n+1个黄豆，随意抛到地平 面上，建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一 条n次多项式曲线插值这n+1个点？
Lagrange定理：给定n+1个不同点，插值这 个n+不1 同点的n次多项式曲线存在且唯一.
比如：100个黄豆，99次多项式曲线.
P99 ( x) a0 a1 x a2 x 2 a99 x99 100个黄豆： ( x1 , y1 ),, ( x100 , y100 )
(2) a12
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2
a11x1 a12 x2 b1,
1
a21x1 a22 x2 b2 .
2
a21a11 x1 a22a11 x2 b2a11
) a11a21 x1 a12a21x2 b1a21
(2) a11
(1) a21
a21 a22
(4)
a a a a 数 11 22
12 21 称为数表（4）所确定的
二阶行列式, 记为
a11 a12
用二阶行列式表示两数乘积之差
a21 a22
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12
a21 a22
a11a22 a12a21.
a11 x1
a12 x2
b , 系数行列式 1
2, 1,
x1 x2 x3 0.
解
由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
观察三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
④当行标调成标准排列时
列标排列
123
231
312
321
213
132
逆序数t
0
2
2
3
1
1
(1)t + + + - - -
方程组有唯一解
请观察，此公式有何特点？
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
(3)
1、 分母相同，由方程组的四个系数确定.
2、分子分母都是两数乘积之差.
二阶行列式定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
a11 a12
(5)
记
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a31 a32 a33
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
三阶行列式的计算
D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
例3
求一个二次多项式f x, 使
f 1 0, f 2 3, f 3 28.
解
设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c,
由题意得
f 1 a b c 0,
f 2 4a 2b c 3,
f 3 9a 3b c 28,
111
又
D 4 2 1 20 0,
9 3 1
由行列式的定义不难看出：
如果一个行列式有一行（或一列）的元素 全为零，则此行列式的值必为零。
四、思考与讨论
1 000
0001
1 2 0 0 24
5 330
4 794
0020
0
3
0
0
=24
or
24
?
4000
五、四类特殊行列式计算
1）主对角行列式
1 0 0 2
D 00 00
00 00
1 2
n1 0 0 n
a11
a12
a11a22 a12a21.
a21
a22
④当行标调成标准排列时
列标排列
12
21
逆序数t
0
1
(1)t
+
-
观察三阶行列式
D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
①3!项代数和 ②不同行不同列 三个元素的乘积
③三项为正,三 项为负.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
（ （aa1111aa2222
a12a21）x1 a12a21）x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
当 a11a22 a12a21 0 时，
0 11
D1 3 2 1 40, D2 60, D3 20. 28 3 1
得 a D1 D 2, b D2 D 3,c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
三、n 阶行列式的引出
由二元方程组（两个变量、两个方程） 求解得二阶行列式
由三元方程组（三个变量、三个方程） 求解得三阶行列式
当 a11a当22D a102a时21
0 时，
x1
方程组有唯一解
x2
D1
D D2
D
例1 求解二元线性方程组
3 2
x1 x1
2x2 12, x2 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
a0 a1 x1 a2 x12 a99x199 y1
a0
a1 x100
a2 x100 2
a99x10099
y100
用高斯消元法求解麻烦！
4个黄豆模拟
寻找新工具便于用计算机求解
线性代数的中心内容：
线性方程组求解 一次方程
由高斯消元法引入两个求解工具
绪论
解的存在性 解的结构
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
D1 b1a22a33 a12a23b3 a13b2a32 b1a23a32 a12b2a33 a13a22b3
D2 a11b2a33 b1a23a31 a13a21b3 a11a23b3 b1a21a33 a13b2a31
1 0 1
1 2 D3 2 1
1 1
故方程组的解为:
2 1 5, 0
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
t= 9
自然排列
若一个排列中的所有元素按标准次序 排列，则称之为标准排列或自然排列.
逆序数为奇数的排列叫做奇排列； 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
观察二阶行列式
a11
a12
a11a22 a12a21.
a12
a22
① 2！项的代数和；
② 不同行不同列2个元素的乘积；
③ 1项为正,1项为负；
观察二阶行列式
➢ 克拉默（Craຫໍສະໝຸດ Baiduer）法则
一、 二阶行列式的引出
我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律
a11x1 a12 x2 b1, 1 a21x1 a22 x2 b2 . 2
用高斯消元法求其解：
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22
(1) a22
) a21a12 x1 a22a12 x2 b2a12