线性代数课件11n阶行列式的定义
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线性代数n阶行列式的定义PPT课件
为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的 位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。
对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及 列标排列同时经过一次对换。
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设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s 列标排列的逆序数为 t
由定理，对换改变排列的奇偶性
定义3
奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。
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计算排列的逆序数的方法：
法 1：
n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数
排在1前面，记为 m1 ;
再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 m2 ;
继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，
记为 mn 0 ;
思考： n级排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码 排在较小数码之前的情况。
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定义2
1）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。
2）一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的
逆序数，通常记为 (i1 , i2 ,, in )
123，231，312 132，213，321
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义4： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
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定理1： 对换改变排列的奇偶性。 证明思路： 先证相邻两数的对换，再证一般对换。
法3：
数 in1 后面比 in1 小的数的个数
(i1 , i2 ,, in ) 数 in 前面比 in 大的数的个数
线性代数11n阶行列式PPT课件
(1). a13a24a31a42 ＋ (2). a21a32a43a14 － (3). a12a23a34a43
25
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n阶行列式的等价定义
视情况灵活选用定义
（1）行、列下标任意排列
a11 a12 a1n
Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1) a a a (i1i2in ) ( j1 j2 jn )
21
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22
三、 n阶行列式
先分析三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
归纳每项内容及符号的规律
（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
32 x 1
1 1 2x 1
求 x3 的 系 数.
32
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解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
对应于
1 1 2x 1
1 a a a a 1 a a a a (1234) 11 22 33 44
1243
11 22 34 43
1
i1 j1 i2 j2
in jn
（2）列按自然序排列
Dn
(1) (i1i2in ) ai11 ai2 2 ainn
(i1i2 in )
26
第26页/共38页
例2：计算下三角形行列式
a11 0 0 D a21 a22 0
解：
an1 an2 ann 主对角线
25
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n阶行列式的等价定义
视情况灵活选用定义
（1）行、列下标任意排列
a11 a12 a1n
Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1) a a a (i1i2in ) ( j1 j2 jn )
21
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22
三、 n阶行列式
先分析三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
归纳每项内容及符号的规律
（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
32 x 1
1 1 2x 1
求 x3 的 系 数.
32
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解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
对应于
1 1 2x 1
1 a a a a 1 a a a a (1234) 11 22 33 44
1243
11 22 34 43
1
i1 j1 i2 j2
in jn
（2）列按自然序排列
Dn
(1) (i1i2in ) ai11 ai2 2 ainn
(i1i2 in )
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例2：计算下三角形行列式
a11 0 0 D a21 a22 0
解：
an1 an2 ann 主对角线
线性代数课程课件-第一节n阶行列式的定义
行列式性质3
如果行列式的某行(列）的各元 素是两个元素之和，那么这个 行列式等于两个行列式的和。
行列式转置性质
行列式D的转置行列式DT等于 D，即DT=D。
行列式性质2
把行列式中某一行（列）的所 有元素都乘以一个数K，等于 用数K乘以行列式。
行列式性质4
如果行列式中有两行（列）相 同，那么行列式为零。
n阶行列式的运算规则
01
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
02
克拉默法则
如果线性方程组系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解，且解向量
可由系数行列式的各列元素唯一确定。
03
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素
性质
范德蒙德行列式的值等于$prod_{1 leq j < i leq n} (x_i - x_j)$，即所有不同两行对应元素之差的乘积。若$x_i = x_j$（$i neq j$），则范德蒙德行列式的值为零。
04 n阶行列式的性质与运算
n阶行列式的性质
行列式性质1
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
主对角线
从左上角到右下角的连线 称为主对角线，主对角线 上的元素称为主对角元素。
n阶行列式的性质
01
02
03
04
行列式转置
行列式行与列互换，其值不变 。
行列式性质
对换行列式的两行（列），行 列式变号。
行列式的数乘性质
某一行（列）的所有元素的公 因子可以提到行列式符号的外
面。
行列式的加法性质
若行列式中有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。
n阶行列式的定义.ppt
1234
例3
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角(反对角)行列式(未写出的元素全部为0)
Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
217986354
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
例1 计算反对角行列式
0001 0020 0300 4000
解 分析 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1只能等于 4 ,
第二节 n阶行列式的定义
《n阶行列式》课件
转置行列式
n阶行列式等于其主对角线上的元素 的乘积减去副对角线上的元素的乘积 。
将行列式的行和列互换后所得到的行 列式称为原行列式的转置行列式，其 值与原行列式相等。
Laplace展开公式
将n阶行列式展开为若干个n-1阶行列 式的乘积，每个n-1阶行列式与原行 列式中的元素有关。
REPORT
CATALOG
代数余子式的计算方法
直接计算法
01
根据代数余子式的定义，直接计算n-1阶行列式，再乘以-1的相
应指数。
递推法
02
利用行列式的展开性质，将高阶行列式转化为低阶行列式，再
利用已知的低阶行列式计算高阶行列式。
公式法
03
利用已知的代数余子式公式进行计算，可以大公式
行列式展开公式
02
行列式可以用于计算矩阵的某些重要属性，如行列 式的值、矩阵的秩等。
03
行列式和矩阵在数值计算、线性代数等领域中有着 广泛的应用。
行列式与线性变换的关系
1
行列式描述了线性变换对空间的影响，特别是对 空间体积的影响。
2
行列式的值决定了线性变换的性质，如可逆性、 奇异性等。
3
在线性代数中，行列式是研究线性变换的重要工 具之一。
行列式与微积分的关系
01 行列式在微积分中常常用于解决某些积分问题， 如定积分、多重积分等。
02 行列式可以用于计算某些几何量，如体积、面积 等。
03 在微分学中，行列式可以用于计算某些函数的导 数和偏导数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
特殊行列式介绍
范德蒙德行列式
三阶行列式的几何意 义：表示平行六面体 的体积。
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
2 当 k为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
n阶行列式的定义
n阶行列式的定义第二节 n 阶行列式的定义介绍线性代数的思想方法及其要点，关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处内容要点：从三阶行列式讲起，应如何定义行列式，对于更高阶行列式定义的启发于思考。
一、排列与逆序定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。
例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序。
定义2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21n i i i N根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:设在一个n 级排列n i i i 21中,比),,2,1(n k i k =大的且排在k i 前面的数由共有k t 个, 则k i 的逆序的个数为k t , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即.)(12121∑==+++=nk k n n t t t t i i i N定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.二、n 阶行列式的定义定义4 由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号 nnn n n n a a a a a a a a a212222111211 称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n nj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即∑-=nn n jj j nj j j j j j N nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1( 其中∑nj j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里数ija 称为元素，称 n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- 为行列式的一般项.注: (1) n 阶行列式是!n 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2) n nj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j j N -(不算元素本身所带的符号);(3) 一阶行列式 ,||a a =不要与绝对值记号相混淆.三、对换为进一步研究n 阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。
线性代数第1章行列式n阶行列式的定义
行列式中如果有两行（ 列）元素成比例，则此 行列式等于零。
把行列式的某一列（行 ）的各元素乘以同一数 然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列 式不变。
行列式的计算
80%
直接计算法
按照定义直接计算，适用于低阶 行列式。
100%
降阶法
利用性质将高阶行列式降为低阶 行列式计算，适用于高阶行列式 。
80%
将深入讲解特征值与特征向量的定义、性质以及 计算方法等。
向量与线性方程组
将探讨向量的概念、向量的线性组合与线性方程 组的关系等内容。
二次型与正定矩阵
将介绍二次型的概念、正定矩阵的判定以及二次 型的标准化等内容。
学习建议与要求
熟练掌握行列式的定义、性 质和计算方法，能够灵活运 用所学知识解决相关问题。
线性代数第1章行列式n阶行列 式的定义
目
CONTENCT
录
• 引言 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质与计算 • 克莱姆法则 • 行列式的应用 • 总结与展望
01
引言
线性代数的重要性
02
01
03
是数学的一个分支，研究线性方程组、向量空间、矩 阵等概念和性质。
在计算机科学、物理学、工程学等领域有广泛应用， 如计算机图形学、量子力学、电路分析等。
本章内容与目标
01
掌握n阶行列式的定义和性质，理解行列式与矩阵的关系。
02
学会计算低阶行列式，了解高阶行列式的计算方法和技巧。
03
了解克拉默法则及其在线性方程组中的应用，理解行列式在 解决实际问题中的意义和作用。
02
n阶行列式的定义
行列式的概念
行列式是数学中的一个基本概念，表示一个方阵的 数值特征。
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
第1讲n阶行列式的定义与性质PPT幻灯片课件
新的列下标排列的逆序数为
，
1
则
1 ( p1... pj ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排
列的逆序数1与原列下标排列的逆序数 的奇
偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： (1)1 (1) (1) (1)r1 (1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn (1)1r a1 p1 ...a jpj ...aipi ...anpn
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
an1 an2 ... ann
简记为det(aij )。数aij称为行列式det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
(1) a1 p1a2 p2 ...anpn
p1 p2 ... pn
称为 n 阶行列式，记作
a11 a12 ... a1n
的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
奇偶性相同，且有
(1) a1 p1a2 p2 ...aipi ...anpn (1)s aq1 a1 q2 2 ...aqj j ...aqnn
又若 pi j，则q j i(即aipi aij aqj j )，由此可见
排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
线性代数第1章n阶行列式
乘法性质可以用数学表达式表示为：C = A * B。
乘法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过程。
行列式的加法性质
01
行列式的加法性质是指两个同阶行列式相加时，其结果的行列式等于将这两个 行列式对应元素相加得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们 的和C也是一个n阶行列式，且C的值等于将A和B对应元素相加得到的行列式。
02
加法性质可以用数学表达式表示为：C = A + B。
03
加法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过 程。同时，它也表明行列式是一个线性空间中的元素，具有线性性质。
03
n阶行列式的展开
二阶行列式的展开
• 二阶行列式由两个元素组成，按照对角线法则，可以展开 为两个一元一次方程的乘积。
具体地，对于n阶行列式，其展开结果为若干个一元一次 方程的乘积之和。
04
行列式的计算方法
代数余子式
定义
在n阶行列式中，去掉某行和某列后所得 到的(n-1)阶行列式，与原来的n阶行列式 相比，该(n-1)阶行列式前面多了一个负号 ，这个(n-1)阶行列式称为代数余子式。
性质
代数余子式与原来的n阶行列式中的 元素有关，并且代数余子式的符号由 去掉的行和列的元素的排列顺序决定。
感谢您的观看
转置运算可以用数学表达式表示为：D' = D。
转置运算在行列式中非常重要，因为它可以简化计算过程，并且有助于理解行列式 与其他数学概念之间的关系。
行列式的乘法性质
行列式的乘法性质是指两个行列式相乘时，其结果的行列式等于将其中一个行列式的行与另 一个行列式的列相乘得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们的乘积C也是 一个n阶行列式，且C的值等于将A的行与B的列相乘得到的行列式。
乘法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过程。
行列式的加法性质
01
行列式的加法性质是指两个同阶行列式相加时，其结果的行列式等于将这两个 行列式对应元素相加得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们 的和C也是一个n阶行列式，且C的值等于将A和B对应元素相加得到的行列式。
02
加法性质可以用数学表达式表示为：C = A + B。
03
加法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过 程。同时，它也表明行列式是一个线性空间中的元素，具有线性性质。
03
n阶行列式的展开
二阶行列式的展开
• 二阶行列式由两个元素组成，按照对角线法则，可以展开 为两个一元一次方程的乘积。
具体地，对于n阶行列式，其展开结果为若干个一元一次 方程的乘积之和。
04
行列式的计算方法
代数余子式
定义
在n阶行列式中，去掉某行和某列后所得 到的(n-1)阶行列式，与原来的n阶行列式 相比，该(n-1)阶行列式前面多了一个负号 ，这个(n-1)阶行列式称为代数余子式。
性质
代数余子式与原来的n阶行列式中的 元素有关，并且代数余子式的符号由 去掉的行和列的元素的排列顺序决定。
感谢您的观看
转置运算可以用数学表达式表示为：D' = D。
转置运算在行列式中非常重要，因为它可以简化计算过程，并且有助于理解行列式 与其他数学概念之间的关系。
行列式的乘法性质
行列式的乘法性质是指两个行列式相乘时，其结果的行列式等于将其中一个行列式的行与另 一个行列式的列相乘得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们的乘积C也是 一个n阶行列式，且C的值等于将A的行与B的列相乘得到的行列式。
11n阶行列式111二阶三阶行列式n阶行列式的概念来源
a11a22 a12a21
为二阶行列式，记作
a11 a12 a11a 22 a12 a 21 a21 a22
aij (i, j 1,2) 称为这个二阶行列式的元素， aij 的 两个下角标 i, j 分别表示所在的行和列的序号， 常称 aij 是行列式的（i, j）元素。
对线性方程组（1），记 a11 a12 D a11a 22 a12 a 21 0 a21 a22 b1 a12 D1 b1a 22 a12b2 b2 a22
的类似解法，我们引入三阶行列式。
a11
定义: 称
a12 a32
a13 a 23 a33
a 21 a 22 a31
= a11a22 a33 a12 a23a31
a13a21a32 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33
为三阶行列式。
例如
3 1 2
0 1 1
i j时
元素中的一个 ( pi 1,2, , ，且 n) 是
p1 p2 p3 便是 pn
pi于 pj
的一个排列。 1,2, n
对于排列 p1 p2 p3 pn ， 称排在 pi前且比 pi 大的
数的个数 t 为 pi的逆序数，把这个排列中各数 i 的逆序数之和称为这个排列的逆序数，
n
i1i2 in
(1)
( i1i2 in )
a i11 a i2 2 a in n
1.2 定义:
n 阶行列式的性质
设 D aij
a11 D
T
n
，称
a21 an1 an 2 ann
a12 a1n
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a11
a12
a11a22 a12a21.
a21
a22
④当行标调成标准排列时
列标排列
12
21
逆序数t
0
1
(1)t
+
-
观察三阶行列式
D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
①3!项代数和 ②不同行不同列 三个元素的乘积
③三项为正,三 项为负.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
(2) a12
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2
a11x1 a12 x2 b1,
1
a21x1 a22 x2 b2 .
2
a21a11 x1 a22a11 x2 b2a11
) a11a21 x1 a12a21x2 b1a21
(2) a11
(1) a21
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
一个中心方法：矩阵的初等行变换 一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定
行列式
矩阵
第一章 §1 行列式的定义
本节我们将讨论： 方程个数和未知数个数相同，且
系数满足特定条件的线性方程组的求 解，从而得到行列式这个工具.
本节结构
➢ 二阶行列式的引出 ➢ 三阶行列式的引出 ➢ n阶行列式的引出 ➢ 四类特殊行列式计算
0 11
D1 3 2 1 40, D2 60, D3 20. 28 3 1
得 a D1 D 2, b D2 D 3,c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
三、n 阶行列式的引出
由二元方程组（两个变量、两个方程） 求解得二阶行列式
由三元方程组（三个变量、三个方程） 求解得三阶行列式
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规 则计算出的数，即
a11 a1n
D (1)t a1 p1 a2 p2 anpn
an1 ann
n!
称为n阶行列式, 其中t为列标排列的逆序数。
n 阶行列式定义的三个要点
（1）是n!项的代数和； （2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定； （3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）.
➢ 克拉默（Cramer）法则
一、 二阶行列式的引出
我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律
a11x1 a12 x2 b1, 1 a21x1 a22 x2 b2 . 2
用高斯消元法求其解：
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22
(1) a22
) a21a12 x1 a22a12 x2 b2a12
于是
D a11
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
a21
a12 a22
,
D1
b1 b2
a12 a22
,
D2
a11 a21
b1 b2
（ （ DDaa11xx11aa21 2222
Da112a21）x1 Da212a21）x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
D3 a11a22b3 a12b2a31 b1a21a32 a11b2a32 a12a21b3 b1a22a31
当 D 0 时，三元线性方程组的解为：
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
三阶行列式定义
设 有9个 数 排 成3行3列 的 数 表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
方程组有唯一解
请观察，此公式有何特点？
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
(3)
1、 分母相同，由方程组的四个系数确定.
2、分子分母都是两数乘积之差.
二阶行列式定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
a11 a12
(5)
记
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a31 a32 a33
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
三阶行列式的计算
D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
b3 a32 a33 a11 D2 a21 a31
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 D3 a21 a22
b1 a13 a31 a32 b2 a23 , b3 a33
b1 b2 . b3
例2 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
a0 a1 x1 a2 x12 a99x199 y1
a0
a1 x100
a2 x100 2
a99x10099
y100
用高斯消元法求解麻烦！
4个黄豆模拟
寻找新工具便于用计算机求解
线性代数的中心内容：
线性方程组求解 一次方程
由高斯消元法引入两个求解工具
绪论
解的存在性 解的结构
问题描述：
绪论
当我们手里握着n+1个黄豆，随意抛到地平 面上，建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一 条n次多项式曲线插值这n+1个点？
Lagrange定理：给定n+1个不同点，插值这 个n+不1 同点的n次多项式曲线存在且唯一.
比如：100个黄豆，99次多项式曲线.
P99 ( x) a0 a1 x a2 x 2 a99 x99 100个黄豆： ( x1 , y1 ),, ( x100 , y100 )
例3
求一个二次多项式f x, 使
f 1 0, f 2 3, f 3 28.
解
设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c,
由题意得
f 1 a b c 0,
f 2 4a 2b c 3,
f 3 9a 3b c 28,
111
又
D 4 2 1 20 0,
9 3 1
1 0 1
1 2 D3 2 1
1 1
故方程组的解为:
2 1 5, 0
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a21 x1
a22 x2
b2 .
D a11 a12 a21 a22
xx11
Db11a22 aD11a22
a12b2 a12a21
b1
D1 b2
a12 a22
b1a22 b2a12
xx22
Da121b2 aD11a22
b1a21 a12a21
D2
a11 a21
b1 b2
a11b2 a21b1
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
（ （aa1111aa2222
a12a21）x1 a12a21）x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
当 a11a22 a12a21 0 时，
a11 a12
0 D
a22
00
a1n
a2n a11a22 ann
ann
n 阶行列式也可以定义为：
(1) D
t
a a p11 p2 2
21 3. 7
二、三阶行列式的引出
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
进行高斯消元可以得到：
其中
Dx1 Dx2
D1 D2
Dx3 D3
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
2, 1,
x1 x2 x3 0.
解
由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
观察三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
④当行标调成标准排列时
列标排列
123
231
312
321
213
132