12-3相关函数的性质资料

性质1
RX
(0)
E[ X
2 (t )]
2 X
0.
性质2 RX ( ) RX ( ).
性质3
RX
(
)
RX
(0)和 C X
(
)
Cx (0)
2 X
.
性质4 RX ( ) 是非负定的.
性质5 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,
且其周期也是T0 .
微弱的正弦信号. RV ( )
o
例2 设平稳过程X (t)的自相关函数为RX ( ),
证明 :
P{
X (t
)
X (t )
a}
2RX
(0) a2
RX
(
)
.
证明 利用切比雪夫不等式有
P{
X (t
)
X (t )
a}
E{
X (t
)
a2
X(t) 2}
证毕.
2RX
(0) a2
RX
(
)
三、小结
相关函数的性质
噪声和干扰一般当 的值适当增大时, X (t )
和X (t)即呈现独立或不相关, 则有
lim
RX (
)
lim
C
X
(
)
0.
二、应用举例
例1 设某接收机输出电压V(t)是周期信号S(t)和噪 声电压N(t) 之和, 即 V (t) S(t) N (t). 又设S(t)和 N(t)是两个互不相关(实际问题中一般 都是如此)的各态历经过程, 且 E[N (t)] 0. 由于V(t) 的自相关函数为
RX
(
)
RX
(0)和 C X
(
)
Cx (0)
2 X
.
此式表明:
自相关(自协方差)函数都在 0处取到最大值.
类似的, 可推得以下有关互相关函数和互协方
差函数的不等式:
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0),
CXY ( ) 2 CX (0)CY (0).
性质4 RX ( ) 是非负定的.
即 对于任意数组 t1, t2 ,, tn T和任意实值函数
性质2 RX ( ) RX ( ) 即 RX ( )是的偶函数.
注意: 互相关函数既不是奇函数, 也不是偶函数,
但满足 RXY ( ) RYX ( )
实际问题中只需计算或测量
RX ( ), RY ( ), RXY ( )和RYX ( )在 0的值.
性质3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式
i , j1
n
E[ X (ti )X (t j )]g(ti )g(t j )
i , j1
n
E{ X (ti ) X (t j )g(ti )g(t j )}
i, j1
n
E{[ X (ti )g(ti )]2} 0.
i 1
证毕.
性质5 如果平稳过程X(t) 满足条件
P{ X (t T0 ) X (t)} 1
RS (τ
)
a2 2
cos , RN (τ
)
b2e τ
(
0)
且噪声平均功率 RN (0) b2远大于信号平均功率
RS (0) a2 / 2.
从关系式
RS
(τ
)
a2 2
cosτ
b2e τ
a2 cos
2
( 充分大)
来看,
自相关分析仪记录到的RV ( ), 0的图形当充
分大后应呈现正弦曲线, 亦即从强噪声中检测到
RV ( ) RS ( ) RN ( ). 根据性质5, RS ( )是周期函数.
又因为一般噪声电压当 τ 值适当增大时,
X (t )和X (t)即呈现独立或不相关,
则有
lim
τ
RN
(τ
)
0.
于是,对于充分大的值, 有 RV ( ) RS ( ).
相关接收法
如果将V(t)为自相关分析仪的输入, 则对于充
柯西资料 施瓦兹
{E[X (t)(X (t T0 ) X (t )]}2
E[X 2(t)]E{[X (t T0 ) X (t )]2} 0 得到 E{ X (t)[ X (t T0 ) X (t )]} 0 展开得 RX ( T0 ) RX ( ).
说明2 在实际中, 各种具有零均值的非周期性
则称它为周期是 T0 的平稳过程.
周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,
且其周期也是T0 . 说明1 由平稳性 EX (t) X (t T0 ) 0 及方差的性质知:
条件 P{X (t (t T0 ) X (t)} 1 E{[X (t T0 ) X (t)]2} 0
由柯西-施瓦兹不等式
n
g(t) 都有 RX (ti t j )g(ti )g(t j ) 0.
i, j1
说明
由于任一连续函数, 只要具有非负定性, 那 末该函数必是某平衡过程的自相关函数. 所以对 于平稳过程而言, 自相关函数的非负定性是最本 质的.
源自文库
证明 根据自相关函数的定义和均值运算性质有
n
RX (ti t j )g(ti )g(t j )
第三节 相关函数的性质
一、相关函数的性质 二、应用举例 三、小结
一、相关函数的性质
假设 X(t) 和Y(t)是平稳相关过程,
RX ( )、RY ( )和RXY ( ) 分别是它们的自相关函数
和互相关函数. 性质1 RX (0) E[ X 2(t)] ΨX2 0.
平稳过程X(t) 的“平均功率”
分大的值, 分析仪记录到的是周期函数R( )的曲线, 如果只有噪声而无信号,则对充分大的 值, 记录 到的 RS ( ) 0.
所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周
期成分就可以判断接收机的输出有无周期信号. 这种探查信号的方法称为相关接收法.
例如, 特别假设接收机输出电压中的信号和 噪声过程的自相关函数分别为