高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答

不等式的基本知识

(一)不等式与不等关系

1、应用不等式（组)表示不等关系; 不等式的主要性质：

(1)对称性:a b b a <⇔> (2)传递性:c a c b b a >⇒>>, （3）加法法则：c b c a b a +>+⇒>;

d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向可加)

（4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；

bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘）

(5)倒数法则:b

a a

b b a 1

10,<⇒

>> （6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 （7）开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

２、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

（二）解不等式

１、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆， 0>∆ 0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

2

>

=

+

+

a

c

bx

ax

有两相异实根

)

(

,

2

1

2

1

x

x

x

x<

有两相等实根

a

b

x

x

2

2

1

-

=

=无实根的解集

)0

(

2

>

>

+

+

a

c

bx

ax{}

2

1

x

x

x

x

x>

<或

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

-

≠

a

b

x

x

2

R

的解集

)0

(

2

>

<

+

+

a

c

bx

ax{}

2

1

x

x

x

x<

<∅∅

2、简单的一元高次不等式的解法:

标根法:其步骤是：(１）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（２）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回；（３)根据曲线显现()

f x的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()

如：x x x

+--<

1120

23

3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0

()()

0()()0;0

()0

()()

f x

g x

f x f x

f x

g x

g x

g x g x

≥

⎧

>⇔>≥⇔⎨

≠

⎩

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A

x

f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()

min

f x A

>若不等式()B

x

f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()

max

f x B

<

（三)线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ａx＋Ｂy+C=0某一侧所有点组成的平面区域．（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ａｘ+Bｙ+C＝０同一侧的所有点(y

x,)，把它的坐标(y

x,)代入Ax

＋By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(ｘ０,y ０),从Ａｘ0+B ｙ0+C 的正负即可判断Ax +Ｂｙ+C ＞０表示直线哪一侧的平面区域．(特殊地，当C ≠0时,常把原点作为此特殊点） ３、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、ｙ的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、ｙ的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数.

③线性规划问题:

一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;

(２）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b ｙ=０，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

（四）基本不等式2a b

ab +≤

1．若a,b ∈R ,则ａ2＋b ２

≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.

２．如果a ，b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 变形: 有:a+

b ≥ab 2;ab ≤2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+b a ,当且仅当a=ｂ时取等号．

3．如果a ，b ∈Ｒ+,ａ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;

如果a,b ∈R ＋,且a+b ＝S (定值),当且仅当ａ=ｂ时,ab 有最大值4

2

S .

注：（1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,

可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (２)求最值的重要条件“一正，二定，三取等”