单项式乘多项式法则
整式乘法的公式
一、单项式乘以单项式文字语言：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
符号语言：（ma）.（nb）=(mn)ab图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为nb,宽为ma的长方形，也可以看成mn个小长方形，由面积相等得：（ma）.（nb）=(mn)ab！二、单项式乘以多项式文字语言：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
符号语言：a(b+c+d)=ab+ac+ad图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为（b+c+d),宽为a的长方形，也可以看成3个小长方形，由面积相等得：a(b+c+d)=ab+ac+ad!三、多项式乘以多项式文字语言：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
符号语言：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为（a+b),宽为(c+d)的长方形，也可以看成4个小长方形，由面积相等得：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd四、完全平方公式文字语言：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍。
符号语言：图形语言：分析：我们可以把图1看成一个长为（a+b),宽为(a+b)的长方形，也可以看成4个小长方形，由面积相等得(1);我们把图2边长为（a-b)的正方形，可以转化成边长为a的正方形减去两个面积为ab的正方形，再加上边长为b的正方形，可得（2）。
五、平方差公式文字语言：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
符号语言：图形语言：分析：我们可以把左侧图形转化为右侧图形，由面积相等得:(a+b)(a-b)=a^2-b^2六、立方差公式文字语言：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。
符号语言：图形语言：分析：由面积相等得a^3-b^3=a^2(a-b)+b^2(a-b)+ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)!七、连续n个自然数立方和公式（n>0）文字语言：前n个自然数的立方和，等于前n个自然之和的平方。
八年级数学单项式与多项式的乘法1
式的每一项 ,再把所有的积相加 .即
m(a b c) ma mb mc (m, a,b,c都是单项式)
注意:
(1) 单项式与多项式相乘,结果是一 个多项式,其项数与因式中多项式的项 数相同.
(2) 计算时,要注意符号问题,多项式中 每一项都包括它前面的符号,同时还要注 意单项式的符号.
.
2.例题讲解.
例1 计算 : (1)0.5ab( 2 ab2 2ab); 3
(2)x(x2 xy y2 ) y(x2 xy y2 );
(3)4ab[2a2b (ab ab2 ) 3b].
解:
(1)0.5ab(2 ab2 2ab) 3
1 a b(2 a b2 2a b) 23
1 ab2c 1 a2b2 (8b3c6 )
24
a3b7c7.
2. 什么叫多项式? 几个单项式的代数和叫做多项式.
如: 2x2 x 1.它的项是: 2x2, x, 1.
3. 乘法对加法的分配律.
a(b c) ab ac
二.讲授新课.
计算:
2a(2a2 3a 1) (2a) 2a2 (2a)(3a) (2a) 1 4a3 6a2 2a. 1. 单项式与多项式相乘的法则 :
(4)( x2 )3 2x3[x3 x2 (4x 1)].
四.小结.
1．单项式与多项式相乘的依据是乘法 对加法的分配律．
2．单项式与多项式相乘，其积仍是多 项式，项数与原多项式的项数相同，注 意不要漏乘项．
3．积的每一项的符号由原多项式各项 符号和单项式的符号来决定，注意运用 去括号法则．
4ab[2a2b (ab 3b ab2 3b)]
单项式与多项式相乘知识点
单项式与多项式相乘一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握单项式与多项式相乘的法则．难点是正确、迅速地进行单项式与多项式相乘的计算．本节知识是进一步学习多项式乘法，以及乘法公式等后续知识的基础。
1．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即其中，可以表示一个数、一个字母，也可以是一个代数式．2．利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：（1）多项式每一项都包括前面的符号，例如中的多项式，共有两项，就是．运用法则计算时，一定要强调积的符号． （2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项．因此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．（3）对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要合并，从而得出最简结果．3﹒根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项的符号； 4﹒非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式；积的项数与所乘多项式的项数相等；5﹒对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序；也要注意合并同类项，得出最简结果．三、教法建议1．单项式与多项式相乘的基本依据是乘法分配律，故在本课开始先讲述乘法分配律，由有理数过渡到字母．2．由乘法分配律过渡到单项乘多项式的法则时，也可以采用以下代换的方法，如计算：(-4x2)·(2x2+3x-1)．设m=-4x2，a=2x2，b=3x，c=-1，∴(-4x2)·(2x2+3x-1)=m(a+b+c)=ma+mb+mc=(-4x2)·2x2+(-4x2)·3x+(-4x2)·(-1)=-8x4-12x3+4x2．这样过渡较自然，同时也渗透了一些代换的思想．3．单项式与多项式相乘，积仍是多项式，它的项数与多项式的项数相同．这是单项式与多项式相乘的结果，这个结果也是我们掌握法则的关键．一般说来，对于一个运算法则的掌握应从分析结果开始，分析结果的结构，分析结果与各算式的关系，这样才能较好地掌握法则．教学设计示例一、教学目标1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导．2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算．3．培养灵活运用知识的能力，通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力．4．通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力．5．渗透公式恒等变形的数学美．二、学法引导1．教学方法：讲授法、练习法．2．学生学法：学习单项式与多项式相乘的运算法则是运用了“转化”的数学思想方法，利用分配律把单项式乘以多项式问题转化为前面学过的单项式与单项式相乘；最后再合并同类项，故在学习中应充分利用这种方法去解题．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点单项式与多项式乘法法则及其应用．（二）难点单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．（三）解决办法复习单项式与单项式的乘法法则，并注意在解题过程中将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式后符号确定的问题．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪、胶片．六、师生互动活动设计1．设计一道可运用乘法分配律进行简便运算的题目，让学生复习乘法分配律，并为引入单项式与多项式的乘法法则打下良好的基础．2．通过面积分割法，形象直观地引入单项式与多项式的乘法法则，并引导学生用文字语言概括出其结论．3．通过举例，教师分析、讲解并示范板书全过程，让学生规范解题过程，再通过反复的练习巩固所学过的法则．七、教学步骤（一）明确目标本节课重点学习单项式与多项式的乘法法则及其应用．（二）整体感知单项式乘以多项式的乘法运算主要是将它转化为单项式与单项式的乘法运算，放首先应适当复习并掌握单项式与单项式的乘法运算方法，再在计算过程中注意单项式与多项式相乘后的符号问题．（三）教学过程1．复习导入复习：（1）叙述单项式乘法法则．（单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.）（２）什么叫多项式？说出多项式的项和各项系数.2．探索新知，讲授新课简便计算：引申：计算，基中m、a、b、c都是单项式，因为式中字母都表示数，故分配律对代数式也适用，则引导学生用学过的长方形面积知识加以验证，把宽为m，长分别是a、b、c的三个小长方形拼成大长方形，研究图形面积的整体与部分关系．由该等式，你能说出单项式与多项式相乘的法则吗？单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．例1 计算：（1）（2）说明：计算按课本，讲解时，要紧扣法则：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘．②要注意符号，多项式的每一项包括它前面的符号．③“把所得积相加”时，不要忘了加上加号．例2 化简：化简按课本，化街时直接写成省略加号的代数和，注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项．练习：错例辨析（1）（2）（2）错在单项式与多项式的每一项相乘之后没有添上加号，故正确答案为（四）总结、扩展1．由学生叙述单项式与多项式相乘法则，并回答积仍是多项式，积的项数与多项式因式的项数相同．2．考点剖析：单项式乘以多项式这一知识点在中考试卷中都是以与其他知识综合命题的形式考查的．但它是多项式乘法、因式分解、分式通分、解分式方程等知识的重要基础．故必须掌握好．如。
单项式与多项式相乘完整版课件PPT
三.选择
下列计算错误的是( D ) (A)5x(2x2-y)=10x3-5xy (B)-3xa+b •4xa-b=-12x2a (C)2a2b•4ab2=8a3b3 (D)(-xn-1y2)•(-xym)2=xnym+2
=(-xn-1y2)•(x2y2m=) -xn+1y2m+2
四:解方程
7x-(x–3)x–3x(2–x)=(2x+1)x+6
2.4（a-
4a-4b+4
b3+.13)x=（_2_x_-_y_2_)_=____6__x__2__-__3__x__y__2_____________
4.-3x（2x-5y+6z)=__-_6_x_2_+1_5_x_y_-_1_8_xz____ 5.(-2a2)2（-a-2b+c)=-_4_a_5_-_8_a4_b_+_4_a_4_c__
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
注：
单项式与多项式相乘时，分两个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式 与单项式乘积的代数和的形式； ②单项式的乘法运算。
作业：
一、教科书P104习题14.1第3（4）、4题。
二、已知 a 2 ，b 3 求
3ab(a2b ab2 ab) ab2 (2a2 3ab 2a) 的值。
想一想
如何进行单项式的乘法运算？ 单项式的系数？ 相同字母的幂？ 只在一个单项式里含有的字母？
（系数×系数）×（同字母幂相乘）×单独的幂
计算
( 2a2b3c) (-3ab) = -6a3b4c
问题: 怎样算简便？
6(1 1 1) 236
=6×
1 2
+6×
单项式乘单项式、多项式乘多项式、同底数幂相除、单项式相除
单项式乘单项式：1、如=⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯101010105103725251553）（）（））（（‗‗‗‗‗ 2、==∙∙∙=+abcc c bc acb a 252525)()(.‗‗‗‗‗一般的，单项式与单项式相乘，把它们的‗‗‗‗‗、‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗。
运用单项式乘单项式法则时可按以下三个步骤进行：①先把各因式的系数相乘，作为积的系数；②把各因式的同底数幂相乘，底数不变、指数相加；③只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式.单项式与单项式相乘，结果仍是单项式. 3、（1）计算：（－5a ²b ）（－3a ）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗=‗‗‗‗‗‗‗‗. （2）计算（2x ）³（－5xy ²）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗=‗‗‗‗‗‗‗‗.（3）（））（（10810436⨯⨯=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗ 4、计算(1));21())3222(4(y y xxy ∙∙-- (2)a abc abc 12()31()21-32∙∙-（³b ）单项式乘多项式：1、p （a+b+c ）=pa+pb+pc(根据乘法的分配律得到这个等式) 2、一般的，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的‗‗‗‗‗‗‗，再把所得的积‗‗‗‗‗ 3、计算：（1）（－4x ²）（3x+1） （2）ab 32(²－2ab)ab 21∙4、（x ²+ax+1）（－6x ³）的计算结果不含x4的项，则a=‗‗‗‗‗.5、已知单项式－ba y x 832+与单项式b a yx y -∙324的和是单项式，求这两个单项式的积.6、先化简再求值：（1）已知x ²-3=0， (2)已知02)1(2=+--b a ，求x （x ²－x ）－x ²（5+x ）+9的值. 求3ab ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∙b ab ab a 231(36的值.多项式乘多项式：1、（a+b）(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq可以先把其中一个多项式如p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则计算.总体上看，计算结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即（a+b）(p+q) =ap+aq+bp+bq.一般的，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的‗‗‗‗‗‗‗‗乘另一个多项式的‗‗‗‗‗‗‗‗，再把所得的积‗‗‗‗‗‗.2、计算：（1）（3x+1）（x+2）；（2）（x³－2）（x³+3）－（x³）²+x²·x；3、若a+b=m，ab=－4，则（a－2）(b－2)= ‗‗‗‗‗‗‗；4、若多项式（x²+mx+n）（x²－3x+4）展开后不含x³和x²的项，则m=‗‗‗‗‗，n=‗‗‗‗.5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白的面积，其面积是‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.6、先化简，再求值：①（a+b）（a－b）+b（a+2b）－b²②已知x²－5x=3，求（x－1）(2x－1)－（x+1）²+1 其中a=1,b=－2; 的值.7、解方程（3x－2）（2x－3）=（6x+5）（x－1）－1.8、有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼成一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需要A类卡片‗‗‗‗‗‗张，B类卡片‗‗‗‗‗‗张，C类卡片‗‗‗‗‗‗张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法.同底数幂的除法：∵,)(a aa amnn m n nm ==∙+--(a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n)∴aa anm nm-=÷.一般地，我们有 ∴aa anm n m-=÷(a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n).即同底数幂相除，底数‗‗‗‗‗‗，指数‗‗‗‗‗‗.注意：（1）底数可以是单项式，也可以是多项式；（2）底数不能为0;(3)当三个数或三个以上的同底数幂相除时，也具有这一性质. 任何一个不等于0的数的0次幂都等于1,那么a =‗‗‗‗.（a ≠0）. 1、 若（ｘ－１）＝１，则ｘ取值范围是‗‗‗‗‗‗． 2、 计算（１）;28x x ÷（２）;)()(25ab ab ÷（３）)-()()-25xy xy xy ÷÷-（． （４）（ｘ－２ｙ）³÷（２ｙ－ｘ）² ３、①若,4,3==a ay x则=-ayx ‗‗‗‗‗‗；②若,5,342==y x 则22yx -的值为‗‗‗‗‗‗．③若n m x xnm,(,8,4==是正整数），则xnm -3的值是‗‗‗‗‗‗．④求2416÷÷nm＝‗‗‗‗．零指数幂：５、若（ｘ－３）无意义，则（ｘ²）³÷（ｘ²·ｘ）的值是‗‗‗‗‗‗． ５、计算：①）－3(0n （ｎ≠３）＝‗‗‗‗‗‗；②若1)2(0=-x ，则ｘ的取值范围是‗‗‗‗‗‗； ６、若（２ｘ＋ｙ－３）无意义，且３ｘ＋２ｙ＝８，则３ｘ²－ｙ＝‗‗‗‗．７、计算： ①);3410(y y y÷÷ ②))()(5(32243aa a -÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙ ③3(3)1()32330-÷++-８、①已知,27,9==a an m求anm 23-的值．②已知,6,433==y x求2792yx yx --+的值．单项式相除：∵4a ²x ³·3ab ²=12a ³b ²x ³， ∴12a ³b ²x ³÷3ab ²=4a ²x ³.一般的，单项式相除，把‗‗‗‗‗与‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.1、①计算2x x 46÷的结果是‗‗‗‗‗‗‗‗； ②‗‗‗‗‗‗‗‗‗÷.56)65(32y a ax x y =- 2、已知,72223288b b a b a n m =÷那么m=‗‗‗‗‗‗‗，n=‗‗‗‗‗‗‗.3、计算（)3()6(101046⨯÷⨯=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；4、一个单项式与单项式ba n n 1136---的积为,172c ba n n +则这个单项式是‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.5、计算：（1）－8a ²b ³÷6a ²b ÷b ²； （2）（－0.3a ²b ³c ²）÷（－3ab ）²·（10a ³b ²c ）； (3);)2()2()2-(22123y x x y y x n n --++÷∙ （4）);)103(10638⨯⨯÷6、已知,2,3==x xn m求x nm 23-的值.。
单项式乘以多项式
单项式乘以多项式单项式乘以多项式是代数学中的一种基本运算。
在这个操作中，我们将一个单项式与一个多项式相乘，得到一个新的多项式。
首先，我们来了解一下什么是单项式和多项式。
单项式是指只包含一个项的代数式，它包含一个常数与一个或多个变量的乘积。
例如，3x、-2xy^2z和4是单项式。
多项式是指包含两个或更多项的代数式，每个项之间通过加法或减法进行连接。
每个项都是单项式。
例如，2x + 3、-4xy + 5x^2 + 7和2xy^2 - 3z^3是多项式。
现在，我们来看一下如何进行单项式乘以多项式的运算。
假设我们要计算一个单项式a与一个多项式b的乘积。
我们可以将单项式a 的每一项与多项式b相乘，然后将得到的乘积相加。
具体的步骤如下：1. 将单项式a的每一项与多项式b相乘。
这可以通过将单项式的每一项依次与多项式的每一项相乘来完成。
例如，如果单项式a是3x，多项式b是2xy + 4z，那么我们先将3x与2xy相乘，得到6x^2y，再将3x与4z相乘，得到12xz。
2. 将得到的乘积相加。
将步骤1中得到的所有乘积相加，即可得到最终的结果。
继续以上面的例子为例，我们将6x^2y和12xz相加，得到最终的结果6x^2y + 12xz。
通过以上步骤，我们可以将一个单项式和一个多项式相乘，得到一个新的多项式。
这种运算在代数问题中非常常见，可以用来解决各种数学和科学领域的问题。
总结起来，单项式乘以多项式的方法是将单项式的每一项依次与多项式的每一项相乘，然后将得到的乘积相加。
这是一种基本的代数运算，有助于我们解决各种问题。
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘一、教学目标：1.探索并掌握单项式乘以多项式的法则.2.灵活运用单项式乘以多项式的法则进行运算.二、教学重、难点：重点：单项式与多项式乘法法的应用.难点：单项式与多项式相乘时结果的符号的确定.三、教学过程：复习回顾1.请说出单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.什么叫多项式？几个单项式的和叫做多项式.3.什么叫多项式的项？在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.练一练：1.计算：4a2x5·(-3a3bx2)2.说出多项式2x2-3x-1的项.知识精讲章前引言绿地面积，要把街心花园的一块长 p 米，宽 b 米的长方形绿地，向两边分别加宽 a 米和 c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系？ 如何从数学的角度认识不同表示法之间的关系？方法一：p(a + b + c) ①方法二：pa + pb + pc ②由于①②表示同一个数量，所以p(a + b + c)= pa + pb + pc单项式乘多项式根据乘法的分配律：p(a + b + c)= pa + pb + pc上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.注：积的项数与多项式的项数相同.典例解析例1.计算：(1) (-4x 2)(3x+1) (2) (32ab 2-2ab)·21ab【针对练习】1.计算：(1) 3a(5a-2b) (2) (x-3y)·(-6x)2.化简：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)例2.计算:(1)a3−2a[12a2−3(13a−1)]; (2) [xy(x2﹣xy)﹣x2y(x﹣y)]•3xy2例3.计算：(1)(−2a2b)3⋅(3b2−4a+6); (2)(−2m)2⋅(14m2−5m−3).【针对练习】计算：(1) (−3x2)2⋅(−x2+2x−1) ; (2) (−2ab)2⋅(34ab2−3ab+25a)例4.先化简，再求值：3a2(a3b2−2ab)−3a(−a2b)2，其中(a−2)2+|b+1|=0．【针对练习】先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。
15.1.4 单项式乘多项式
① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项 ② 去括号时注意符号的确定.
如何进行多项式与多项式相乘的运算 ？
某地区在退耕还林期间，有一块原长m米， 宽为a米的长方形林区增长了n米，加宽了b 米，请你表示这块林区现在的面积。 b
a
m n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？ b a mb ma nb na
课时小结：
整式的乘法几点注意：
1.单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的 项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各 项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负
。
3、多项式乘多项式的结果仍是多项式，先用一 个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每 一项，再把所得的积相加。 4、对于混合运算，要确定运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减。
2 2 3
问题： 如图，设长方形长为（a+b+c），宽为m，
则面积为；
m（a+b+c）
这个长方形可分割为宽为m，长分别为a、b、c 的三个小长方形， 它们的面积之和为ma+mb+mc
∴ m(a+b+c)=ma+mb+mc
m ma
a
mb
mc
c
b
m(a+b＋c) = ma+mb＋mc
观察这个式子有什么特征? 思考： 你能说出单项式与多项式相乘的法则吗？
计算 :
( 2) x ( x xy y ) y ( x xy y )
2 2 2 2
x x y xy x y xy y 3 2 x 2x y y 3;
3
2
2
单项式乘以多项式
单项式乘以多项式
单项式乘以多项式 1
多项式乘以单项式，就是将多项式的每一项乘以单项式，然后将各项相加。
其实就是乘法分配律:A(B+C)=AB+AC
拓展阅读：多项式乘多项式法则
多项式乘法的规则是:当一个多项式乘以一个多项式时，一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后将所得乘积相加在一起，所得和即为该多项式的解。
由多项式乘多项式法则可以得到的公式为：
(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd。
这个公式的运算过程，也可以表示为：
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
多项式乘多项式就是利用乘法分配律法则得出来的。
多项式的运算还有：
1、多项式的加法
多项式是指有限个单项式的和。
由不同类别的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数称为该多项式的次数。
多项式相加是指多项式中相似项的系数相加在一起，字母不变。
也可以说是类似的术语合并。
2、多项式的乘法
多项式相乘是指将一个多项式中的每个单项与另一个多项式中的每个单项相乘，然后合并相似项。
平方差公式是什么
表达式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式
当除式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。
这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。
而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即
(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差。
单项式与多项式乘法(公开课)
问题1 怎样算简便？
6(1 1 1) 236
=6×
1 2
+6× 1 3
-
6×
1 6
=3+2-1
=4
问题2
问题 如果上述算式中的数字 换成字母m,a,b,c其中它们表示的 都是有理数，那么我们还可以仿 上式计算m（a＋b＋c）吗？
① ②③
m ma mb mc
看 图 说
明
a
bc
(1)大长方形的长是_a__+_b_+_c__面积
一.判断
1.m(a+b+c+d)=ma+b+c+d(×)
× 2. 1 a(a2 a 2) 1 a3 1 a2 1( )
2
22
3.(-2x)•（ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x(×)
4.一个单项式乘以一个多项式，所
得的结果仍是一个多项式( √ )
二.填空
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
怎样叙述单项式与多项 式相乘的法则?
m(a+b+c)=ma+mb+mc
(m、a、b、c都是单项式)
单项式与多项式相乘法则
单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项 式的每一项，再把所得 的积相加
几点注意：
1.单项式乘多项式的结果仍是多项式， 积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时， 要注意积的各项符号的确定：
注意: 1.将2a2与5a前面的“-”看成性质符 号 2.单项式与多项式相乘的结果中，
练习：计算
1
（1）－2a2﹙ ab＋b2﹚－5a﹙a2b－ab2﹚
第12章 12.2 2.单项式与多项式相乘
5．－2ab(a2－3a＋1)＝ －2a3b＋6a2b－2ab
.
6．设 A＝－12x2y，B＝2xy2－52xy，则 A·B＝ －x3y3＋51x3y2
.
7．计算：
(1)－5x(2x2－3x＋4); (2)(2x＋4y)(－6xy)；
(3)(－2a)2·(a2b－ab2); (4)(2xy2－3x2y－1)·12xyz.
单项式与多项式相乘法则． 【例 1】计算：(－2x3y)·(3xy2－3xy＋1)．
【思路分析】单项式为－2x3y，应注意符号，多项式含有三项：3xy2、－3xy、 1，所以结果为多项式，特别是“1”不能漏乘． 【规范解答】原式＝－2x3y·3xy2＋(－2x3y)·(－3xy)＋(－2x3y)×1＝－6x4y3＋ 6x4y2－2x3y. 【方法归纳】单项式与多项式相乘分两步：(1)利用分配律转化为单项式乘 以单项式；(2)将单项式相乘的结果相加．
(2)a2(a＋2)－a(a2－3)－3a＋5，其中 a2－4＝0.
解：原式＝a3＋2a2－a3＋3a－3a＋5＝2a2＋5. ∵a2－4＝0，∴a2＝4.∴原式＝2×4＋5＝13.
21．若不论 x 取何值时，多项式 x3－2x2－4x－1 与 x(x2＋mx＋n)＋2(mx－12) 的值都相等，求常数 m、n 的值． 解：∵x(x2＋mx＋n)＋2(mx－12)＝x3＋mx2＋(n＋2m)x－1，且无论 x 取何值， 它与多项式 x3－2x2－4x－1 的值都相等，∴m＝－2，∴n＋2m＝－4，解得 n＝0.
项是( B ) A．x2y2
B．－x2y2
C．12x2y2
D．－2x2y2
3．已知－2x2y(－xmy2＋3xyn)＝2x4y3－6x3y4，则 m、n 的值分别是( A )
单项式与多项式相乘
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
今天的努力是为了明天的幸福单项式与多项式相乘
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是掌握单项式与多项式相乘的法则.难点是正确、迅速地进行单项式与多项式相乘的计算.本节知识是进一步学习多项式乘法，以及乘法公式等后续知识的基础。
1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的
积相加，即
其中，可以表示一个数、一个字母，也可以是一个代数式.
2.利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：
(1)多项式每一项都包括前面的符号，例如中的多项式，共有两项，就是. 运用法则计算时，一定要强调积的符号.
(2)单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项.因此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项
数相同.
(3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要
合并，从而得出最简结果.
3﹒根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项的符号;
4﹒非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式;积的项数与所乘多项式的项数相等;
5﹒对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序;也要。
《单项式与多项式相乘》教案
尝试教学法：《单项式与多项式相乘》教案资中三中 林 惠一、回顾交流，课堂演练1. 请说出单项式与单项式相乘的法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2.说出多项式 2x 2+3x-1的项和各项的系数。
3 计算：（1）2a 2b 3c(-3ab) (2) )654332(12+-⨯ 【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生． 【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示． 二、分析指导，引入新课．运用乘法分配律，，你能计算m(a+b+c)吗？引入新课单项式与多项式相乘．今天我们用乘法分配律解答单项式与多项式相乘，．如何运用乘法分配律解答单项式与多项式相乘，看书p 27三、尝试学习，总结法则。
小试牛刀：【尝试1】计算： （１）2a ·（3a 2－5b ）．解：原式＝2a ·3a 2+（－2a ）·（－5b ）＝6a 3+10ab（２）(-4x)(2x 2+3x-1)【学生活动】小组合作，讨论．部份学生上台板演。
【教师活动】对学生的演算进行点评，提问个别学生，学生进行归纳，老师点评：议一议：单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加． 单项式乘多项式注意事项：（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”比一比：（１）ab(ab 2－2ab) （2）(-2x 3y)(3xy 2－3xy+1)=a 4b 4－10a 3b 3+2a 3b 3=a 4b 4－8 a 3b 3（2）)(5)(22222ab b a a b ab a --+- ))(5()5()2(222222ab a b a a b a ab a --+-+-+⋅-== 2232235522b a b a b a b a +---=22337b a b a +-赛一赛: 1.化简：x(x 2－1) +2x 2(x+1) －3x(2x －5) )5()3(2)3(122)1(222-•-+•-+•+•+-•+•=x x x x x x x x x解：原式=x x x x x x 156222233+-++-=x x x 144323+-2.计算： (x 2)3－x 2(4x+1)四、课堂测试： （一、）填空：1、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的_______，再把所得的_____相加。
单项式和多项式相乘的法则
单项式和多项式相乘的法则好嘞，今天我们聊聊单项式和多项式相乘的那些事儿。
哎呀，这可是个有趣的话题，听起来复杂，但其实说白了就是简单的数学游戏嘛。
想象一下，单项式就像一个单打独斗的小英雄，而多项式就像是一支大队伍，里面有好几个小伙伴。
它们合起来，嘿嘿，简直是“强强联手”的节奏呀！你瞧，单项式一般就一个变量，像是个小单人沙发，坐着刚刚好。
比如说3x，简单明了，没什么花里胡哨的。
可是多项式就不一样了，像是个聚会，里面有几个小伙伴，比如说2x² + 3x + 5，简直热闹得很。
每一个小伙伴都有自己的特点，组合在一起就是一幅生动的画卷。
单项式和多项式相乘的时候，我们得学会一个法则，叫“分配律”。
乍一听这名字，可能觉得有点儿高大上，其实就是把单项式“派发”给多项式里面的每一个小伙伴。
想象一下，就像过年时给每个人发红包，你得把自己的红包分给每一个人。
举个例子，假设我们要把3x这个单项式和2x² + 3x + 5这个多项式相乘，先把3x给每个小伙伴发红包，先是2x²，结果就是6x³，接着是3x，得到了9x²，最后是5，得出的结果是15x。
嘿，这就是3x和多项式相乘的结果了，真是一场盛大的派对！再来看看它们相乘的结果，6x³ + 9x² + 15x，这就像是一场令人振奋的音乐会，每一个项都在奏响自己的旋律。
数学的魅力就在于此，虽然过程看似繁琐，但结果往往让人心旷神怡，像一首美妙的乐曲，真让人忍不住想要拍手称赞。
再说了，这里还有个小秘密，单项式和多项式相乘的结果，都是单项式和多项式的组合，简直就像是“大鱼大肉”与“米饭”搭配在一起，分不开啊。
记得嘛，结果的每一项都是可以合并的，像是“好朋友”聚在一起，一起欢聚，搞得热热闹闹。
我们还得记住一个小细节，乘法的顺序不影响结果，这就像换个顺序给朋友送红包，最后还是你那一份，心意没变。
比如说3x乘以（2x² + 3x + 5），和（2x² + 3x + 5）乘以3x，结果都是一样的，都是6x³ + 9x² + 15x，真是太神奇了！这种特点在数学里可不少见，感觉真是让人感慨万千。
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单项式乘多项式法则——因式分解（一）
教学案例
一、案例背景
现代教育理论认为，教师为主导，学生为主体，教师应当充分调动学生的学习积极性，使之主动地探索、研究，让学生都参与到课堂活动中，通过学生自我感受，培养学生观察、分析、归纳的能力，逐步提高自学能力，独立思考的能力，发现问题和解决问题的能力，逐渐养成良好的个性品质。
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。
它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。
二、案例分析
教学过程设计
（一）『情境引入』
情境一：如何计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 ？你是怎么想的？
问题：为什么375×2.8＋375×4.9＋375×2.3可以写成375×
（2.4+4.9+2.3）？依据是什么？
【评析】：（1）、复习旧知，加深记忆，同时为下面的学习作铺垫。
（2）、学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高。
还为新课内容的学习创设了良好的情绪和氛围。
情境二：分析比较
把单项式乘多项式的乘法法则
a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①
反过来，就得到
ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d）②
思考(1)你是怎样认识①式和②式之间的关系的？
(2)②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？
【评析】：（1）、探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给他们留
下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。
（2）、本题注重培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。
（二）『探究因式分解』
1、认识公因式
（1）、【概念1】：多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式。
（2）、议一议
下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式.
①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，…… 公因式是字母；
②多项式3x2－3y的公因式是3，…… 公因式是数字系数；
③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。
分析并猜想
确定一个多项式的公因式时，要从和两方面，分别进行考虑。
①如何确定公因式的数字系数？
②如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？
练一练：写出下列多项式各项的公因式
（1）8x－16 （2）2a2b－ab2
（3）4x2－2x （4）6m2n－4m3n3－2mn
【评析】：（1）、教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。
（2）、对公因式的理解是因式分解的基础，所以在解决这个问题时要注意配以练习，特别是多次方及系数的公因式，要让学生注意。
（3）、找公因式的一般步骤可归纳为：一看系数二看字母三看指数。
2、认识因式分解
【概念2】：把一个多项式化成几个整式积的形式的叫做把这个多项式因式分解。
（课本）P71练一练第1题
（1）、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
①. ab+ac+d=a(b+c)+d
②. a2-1=(a+1)(a-1)
③.(a+1)(a-1)= a2-1
（2）、你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
【评析】：（1）、本题主要是为了加深学生对因式分解概念的理解，使学生清楚因式分解的结果应是整式乘积的形式。
（2）、教师安排本题意图就是引导学生进行分析讨论，鼓励学生勤于思考，各抒己见，培养学生的逻辑思维能力和表达、交流能力。
让学生在主动学习中掌握了因式分解是整式乘法的互逆的过程，以及理解利用它们之间的关系进行因式分解的这种思想，从而降低了本节课的难点。
（三）『例题研究』
例1：把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m
解：（1）6a3b－9a2b2c
=3a2b·2a－3a2b·3bc（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）
=3a2b（2a－3bc）（提取公因式）
（2）－2m3＋8m2－12m
=－（2m·m2－2m·4m＋2m·6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内，注意放入括号中各项符号的变化。
）
=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）
【评析】：（1）、因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握。
这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解例。
（2）、教师在讲解例题时，应鼓励学生自己动手找公因式，让学生通过动手动脑、实际操作，教师可在下面收集错误，再加以点评，加深对因式分解方法的理解。
（3）、教学中教师不能简单地要求学生记忆运算法则，更要重视学生对算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识地培养学生有条理地思考和语言表达能力。
本题的易错点：
（1）、漏项：提公因式后括号中的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。
（2）、符号：由于添括号法则在上学期没有涉及，所以有必要在此处强调，添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。
（四）『巩固练习』
练一练：辨别下列因式分解的正误
（1）8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）
（2）4x2－12x3=2x2（2－6x）
（3）a3－a2=a2（a－1）= a3－a2
解（1）错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项。
（2）错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式。
（3）错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法。
【评析】：（1）、这些多是学生易错的，本题设置的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。
本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。
（2）、当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。
1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。
（3）、进行多项式分解因式时，必须把每一个因式都分解到不能分解为止。
（4）、教师安排这一过程，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到真正强化，也分散了本节课的难点。
（五）『想一想』：
如何把多项式3a(x+y)-2b(x+y)分解因式？
解：3a(x+y)-2b(x+y)= (x+y)（3a-2b）
评析：公因式（x+y）是多项式，属较高要求，当多项式中有相同的整体（多项式）时，不要把它拆开，提取公因式时把它整体提出来，有时还需要做适当变形，如：（2-a）=-(a-2)，教学时可初步渗透换元思想，将换元思想引入因式分解，可使问题化繁为简。
【概念3】把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
三、教学反思
1、本节课根据学生的知识结构，采用的教学流程是：提出问题—实际操作—归纳方法—课堂练习—课堂小结—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生进一步发展观察、归纳、类比、概括、逆向思考等能力，发展有条理思考及语言表达能力；
2、分解因式是一种变形，变形的结果应是整式的积的形式，分解因式与整式的乘法是互逆关系，即把分解因式看作是一个变形的过程，那么整式乘法又是分解因式的逆过程，这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联系，另一方面又说明了二者之间的根本区别。
探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程；
3、在提公因式方面，学生对公因式的认识不足，对提公因式的要求不清楚，造成了学生在做分解因式时出现了以下错误：（1）公因式找错；（2）公因式找不完整（如：漏掉公因式的系数（或系数不是取各项系数的最大公约数）、公因式中含有多项式时，漏掉系数或字母因数），导致因式分解不彻底；
4、由于在七年级上册教材中没有涉及添括号法则，所以学生在分解第一项系数是负数的多项式时，出现了很多符号错误；
因式分解是一个重点，也是一个难点，以上存在问题在以后的教学中有待进一步加强。