灰色预测总结

灰色系统建模

灰色系统理论在建模中的应用:灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍. 累加生成:

(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)[(1),(2),,()],,[(1),(2),,()],:

x x x x x n x x x x x n x x ==L L 令为原始序列,记生成数为如果与之间满足如下关系

(1)(0)1

()();1,2,,(21)

k

i x k x i k n

===-∑L

,1AGO -一次累加生成则称为记为

累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的

的,递增的数列.

累减生成:累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆.

()()

(),,:

r r i x r x i ∆令为次生成数列对作次累减生成记为其基本关系式为

(0)()()(1)

()

(0)

()

(0)

()

(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()[()]()

[()][()][(1)][()][()][(1)](25)

[()][()][(1)]

r r r r r r r r i r i r i r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k --∆=∆=∆-∆-∆=∆-∆--∆=∆-∆-L L

(0)(1)(),(0)0,;(0)1(0)11.

i k k i k k i ∆∆-∆--式中为次累减即无累减为1次累减,即与时刻两个零次累减量求差,为次累减,即与时刻两个次累

减量求差

(25):-从式还可得到以下关系

(1)()(0)()(0)()()()1

(1)(1)1

1

(1)[()][()][(1)]

()(1)(26)

()()

()

r r r r r k

k r r i i r x k x k x k x k x k x i x i x k ---==-∆=∆-∆-=---=-=∑∑

(2)

()

(1)

()

(1)

()

(1)(1)1

(2)(2)1

1

(2)[()][()][(1)]

()(1)(27)

()()

()

r r r r r k

k r r i i r x k x k x k x k x k x i x i x k -----==-∆=∆-∆-=---=-=∑∑

:同理可得

()()()[()]()

(28)i r r i x k x k -∆=-

()()(0)[()]()

(29)r r x k x k ∆=-

(29),,.,,.:1,r r r -=从式可以看出对次生成数列作次累减即还原为非生成数列事实上累加中包含着累减累减中包含着累加比如时有

1

(1)

(0)

(0)

(0)

1

1

(1)(0)

()()()()

(1)()

(210)k k i i x k x i x i x k x k x k -====+=---∑∑

(0)

(1)

(1)

()()(1)

x k x k x k =--

进一步有

(1)()()()()(1)

(211)r r r x k x k x k -=---

.均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种

σρ级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法.对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填补空缺,只能采用级比生级比生成.成是级比级比生(k 成在建模中可以获得较好的灰)与光滑比(k)生成指数律.的总称.

(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()],(),(),X x x x n K k σρ=L 设序列为原始序列称为级比为光滑比其表达式为

(0)(0)

(0)(1)()()/(1)()()/(1)

(212)k x k x k k x k x k σρ=-=--

(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,(1),()],(1)(1),()(),(1)()X x x n n x n x n x x n ϕϕϕϕ=-L 设为端点是空穴的序列若用右邻的级比生成用的左邻级比生成则称和为级比生成

GM(1.1)模型建模机理 GM(1.1)原理步骤 原始数列：

{}

(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()X x x x n =L

对(0)

X

进行一次累加，得到新数列：

{}

(1)(1)(1)(1)(1),(2),,()X x x x n =L

(1)

,()()

k

i x

k x i ==

∑其中

于是

(0)()x k 的GM （1.1）白化形式的微分方程为： (1)

(1)(216)

dx ax u dt

+=- 其中，a,u 为待定系数，将（2-16）式离散化，即得：

(1)(1)(1)((1))((1))(217)x k az x k u

∆+++=-

其中，

(1)(1)((1))x k ∆+为(1)x 在（k+1）时刻的背景值 因为：

(1)(1)(1)(1)(0)((1))(1)()(1)(218)x k x k x k x k ∆+=+-=+-

(1)(1)(1)1

(1)((1)())

(219)

2

z k x k x k +=++-

将（2-18），（2-19）式代入（2-17）式，得

(0)

(1)

(1)1(1)[(()(1))](220)

2

x k a x k x k u

+=-+++-

将（2-20）

(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)

1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3)(221)

2()1((1)())12x x x x x x x n x n x n ⎡⎤-+⎢⎥

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦

M M M