控制工程作业答案

（3） ① ②
（4）两边拉氏变换： ①
②
（5）消去中间变量 整理得：
（6）传递函数：
（a）和（b）两系统具有相同的数学模型，故两系统为相似系统。
3-5已知一系统由如下方程组组成，试绘制系统结构图并求闭环传递函数C(s)/R(s)。
解：根据系统方程组可绘制系统结构图，如题图3-5所示。
由
可得：
代入
得
又因为
（1）
解：系统的频率特性为
①当 时， ， ，
②当 时， ， ，
系统的奈奎斯特图在第Ⅲ和第Ⅳ象限间变化，且不包围点(-1，j0），MATLAB验证如题图6-6(a)所示，该系统稳定。
（3）
解：系统的频率特性为
①当 时， ， ，
②当 时， ， ，
③与实轴的交点
令 ，解得
则
系统的奈奎斯特图在第Ⅱ和第Ⅲ象限间变化，且包围点(-1，j0）一圈，MATLAB验证如题图6-6(c)所示，该系统不稳定。
解：如图RC电网络的传递函数为：
（1）单位阶跃响应：
单位阶跃响应曲线如题图4-4(a)所示。
（2）单位脉冲响应：
单位脉冲响应曲线如题图4-4(b)所示。
（3）单位斜坡响应：
单位斜坡响应曲线如题图4-4(c)所示。
4-7设单位反馈控制系统的开环传递函数为
试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(b)所示。
在题图6-8(b)中，因为 ，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作 的垂线。在 的频段内，其对数相频特性曲线穿越 线一次，且为负穿越，则
而 ，于是闭环极点位于s右半平面的个数为
（4）
解：系统的频率特性为
则系统的对数幅频和相频特性为
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(d)所示。
解：根据系统的开环传递函数可得系统的特征方程为
列出劳斯表如下：
1 2
3 K
K
若系统稳定，则：
（1） >0,即K<6；
（2）K>0;
所以系统稳定时K值的范围为：0<K<6。
4-15系统的开环传递函数为：
求斜坡函数输入时，系统的稳态误差 的 值。
解：
所以，开环增益为
型次
输入
则
4-16如题图4-16所示系统，已知 ，试求输入 和扰动 作用下的
4-12要使题图4-12所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间 为2秒，
试确定 的值。
解：系统的闭环传递函数为
因为
解得
又因为
解得
和二阶系统的标准式比较，有
解得
系统的单位阶跃响应曲线如题图4-12(a)所示。
4-14设单位负反馈系统的开环传递函数为
试确定系统稳定时开环放大系数（开环增益） 值的范围。
若使 ，
则 ，即
3-8求题图3-8所示系统的传递函数 。
解：
3-9求题图3-9所示系统的传递函数 。
解：
3-10求题图3-10所示系统的传递函数 。
解：
3-11求题图3-11所示系统的传递函数
解：（b）
4-4如题图4-4所示的电网络，试求其单位阶跃响应、单位脉冲响应和单位斜坡响应，并画出相应的响应曲线。
解：（1）绘出校正前系统的对数幅频渐近特性曲线，如题图7-3(a)中曲线 所示。由图7-3(a)得出待校正系统的剪切频率为 ，算出待校正系统的相位裕度为
（2）给系统串联传递函数为 的超前校正装置后，系统的传递函数为
在题图7-3(a)中，曲线 为校正装置的对数幅频渐近线，曲线 为校正后系统的对数幅频渐近线，由题图7-3(a)可知，校正后系统的剪切频率仍为 ，但是由于串入了一个超前装置，使得系统相频特性曲线发生变化，在剪切频率处的相位相对未校正前的相位有所增加，从而相位裕度增大，即
解得
MATLAB验证结果图如题图6-14所示。
7-3某单位负反馈控制系统的开环传递函数为
（1）计算校正前系统的剪切频率和相位裕度。
（2）串联传递函数为 的超前校正装置，求校正后系统的剪切频率和相位裕度。
（3）串联传递函数为 的滞后校正装置，求校正后系统的剪切频率和相位裕度。
（4）讨论串联超前、串联滞后校正的不同作用。
1-6 试说明如题图1-6(a)所示液面自动控制系统的工作原理。若将系统的结构改为如题图1-6(b)所示，将对系统工作有何影响？
答：（a）图所示系统，当出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门开启，水流进水槽，浮子上升。
（b）图所示系统，假设当前出水阀门关闭时，浮子处于平衡状态，当出水阀门开启，有水流出时，水槽中的水位下降，浮子也会下降，通过杠杆作用，进水阀门会随着水的流出而逐渐关闭，直至水槽中的水全部流出。
又解：由于Ⅰ型系统在阶跃输入信号作用下的稳态误差为0，在斜坡输入信号作用下的稳态误差为 ，在加速度输入信号作用下的稳态误差为∞，该系统为Ⅰ型系统，所以其在给定输入信号作用下的稳态误差为∞。
6-2 已知系统的单位阶跃响应为 ， ；试求系统幅频特性和相频特性。
解：
6-6画出下列各开环传递函数的奈奎斯特图，并判别系统是否稳定。
通过上述分析，可以看到，校正后系统的相位裕度由原来的 减小到 。
（4）相位超前校正既能提高系统的响应速度，保证系统的其他特性不变。
相位滞后校正减小了稳态误差而又不影响稳定性和响应的快速性。
7-4如题图7-4所示，最小相位系统开环对数幅频渐近特性为 ，串联校正装置对数幅频渐近特性为 。
（1）求未校正系统开环传递函数 及串联校正装置 ；
又因为
所以，有
（3）当 同时作用于系统时
4-17设单位反馈系统的开环传递函数为
试求当输入信号 时，系统的稳态误差。
解：(1)系统的闭环传递函数为
该系统为二阶系统，且特征方程的各项系数都大于0，所以系统就稳定。
（2）系统在输入信号作用下的误差传递函数为
（3）输入信号 的拉氏变换为
（4）利用终值定理可求得系统的稳态误差为
（8）
解：系统的频率特性为
①当 时， ， ，
②当 时， ， ，
系统的奈奎斯特图在第Ⅱ象限间变化，顺时针包围点(-1，j0）半圈，MATLAB验证如题图6-6(h)所示，该系统不稳定。
6-8 试绘制具有下列传递函数的系统的对数坐标图并判断系统的稳定性。
（2）
解：系统的频率特性为
则系统的对数幅频和相频特性为
由题图7-4(a)中可测得校正后系统的剪切频率为 ，从而求得校正后的相位裕度为
（3）此为滞后校正，采用原系统 的 做校正后系统的中频段，使相位裕度增加，动态性能之平稳性变好；截止频率降低，快速性变差；抗干扰性能增强。
7-5单位负反馈系统开环传递函数为
采用超前校正，使校正后系统速度误差系数 ，相位裕度 。
当仅考虑 作用时，系统结构如题图3-6（b）所示。系统经过比较点后移和
串、并联等效，可得简化结构图，如题图3-6（c）所示。则系统传递函数为
又解：可用信号流图方法对结果进行验证。
题图3-6系统的信号流图如题图3-6（d）所示。
当仅考虑 作用时，由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，无互不接触回路，即
③由给定条件确定传递函数参数。由于低频渐近线通过点 ，故
解得 ，于是，系统的传递函数为
绘制出待校正系统的对数幅频渐近特性线，如题图7-4(a)中曲线 所示。
同样可求得串联校正装置的传递函数为
其对应的对数幅频渐近特性线，如题图7-4(a)中曲线 所示。
（2）校正后系统的开环传递函数为
题图7-4(a)中曲线 为对应的对数幅频渐近特性曲线（点划线）。
试绘制系统的伯德图，并确定当相位裕度等于 时系统的开环放大系数的应增大或减小多少？
解：系统的频率特性为
系统的对数幅频特性和相频特性分别为
绘出系统的伯德图如题图6-13(a)所示。
根据相位裕度的定义，当相位裕度等于 时，对应系统的相频特性为 ，由题图6-13(a)可知，当 时对应的幅频特性 ，要使 且 ，应减小系统的开环放大系数 ，使原系统的幅频特性向下平移 ,即 ，求得
解：
（1）将系统的开环传递函数化为时间常数的标准式
由题意，有
取 ，则待校正系统的开环传递函数为
解：系统的闭环传递函数为
因为
所以
又因为
所以
或者
系统的单位阶跃响应曲线如题图
4-7所示。
4-10题图4-10为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求：
（1）阻尼比 及无阻尼比固有频率 。
（2）求该系统的 ， 和 。
解：（1）系统的闭环传递函数为
由系统的闭环传递函数得
（2）
时
时
系统的单位阶跃响应曲线如题图4-10(a)所示。
（b）解：（1）输入 输出
（2）引入中间变量x为 与c之间连接点的位移
（3） ①
②
（4）消去中间变量x,整理得：
（5）两边拉氏变换：
（6）传递函数：
3-3证明题图3-3(a)和(b)所示系统是相似系统。
解：（a）(1)输入 ，输出
（2）系统的传递函数：
（b）（1）输入 ，输出
（2）引入中间变量x为 与c1之间连接点的位移
这相当于给系统串联了一个放大倍数为 的放大环节。
增加放大环节后系统的开环传递函数为
MATLAB验证结果如题图6-13(b)所示。
6-14已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
求幅值裕度为 时的 值。
解：系统的频率特性为
系统的对数幅频特性和相频特性分别为
根据幅值裕度的定义，当 时，
有
解得 。
将 代入幅值裕度的计算式，有
故
即
又解：（1）运用结构简化的办法，将 的引出点后移，可得系统的前向通道传递函数为
则系统的闭环传递函数为
（2）运用信号流图的办法，本系统有一条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路
，
由梅逊公式可得系统的传递函数为
3-6试简化题图3-6所示系统结构图，并求出相应的传递函数 和 。
解：当仅考虑 作用时，经过反馈连接等效可得简化结构图（题图3-6(a)），则系统的传递函数为ຫໍສະໝຸດ Baidu
通过上述分析，可以看到，校正后系统的相位裕度由原来的 增大到 ，但是剪切频率没变。
（3）给系统串联传递函数为 的滞后校正装置后，系统的传递函数为
在题图7-3(b)中，曲线 为校正装置的对数幅频渐近线，曲线 为校正后系统的对数幅频渐近线，由题图7-3(b)可知，校正后系统的剪切频率为 。由于串入了一个滞后装置，使得系统的相频特性有所下降，从而相位裕度减小，即
而 ，于是闭环极点位于s右半平面的个数为
所以，系统闭环稳定。
6-12设单位负反馈控制系统的开环传递函数为
试绘制系统的伯德图，并确定剪切频率 时的 值。
解：由系统的开环传递函数，可得
解得
当剪切频率为 时，系统的开环传递函数为
对应的伯德图如题图6-12(b)所示。
6-13设单位负反馈控制系统的开环传递函数为
稳态误差。
解：（1）只考虑 作用于系统时， ，系统的结构图如题图4-16（a）所示。
由题图4-16(a)可知，系统的开环传递函数为
因为系统为0型系统，且
所以，系统的稳态偏差为
又因为
所以，有
（2）只考虑 作用于系统时， ，以偏差 为输出时系统的结构图如题图4-16（c）所示。
由题图4-16(c)可知
所以
由梅逊公式可得系统的传递函数为
当仅考虑 作用时，由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，无互不接
触回路，即
，
，
由梅逊公式可得系统的传递函数为
.
3-7已知某系统的传递函数方框如题图3-7所示，其中，R(s)为输入，C(s)为输出，N(s)为干扰，试求，G(s)为何值时，系统可以消除干扰的影响。
解：
（2）在图中画出校正后系统的开环对数幅频渐近特性 ，并求校正后系统的相位裕度 ；
（3）简要说明这种校正装置的特点。
解：(1)求 和
①确定系统积分环节或微分环节的个数。因为对数幅频特性的低频段渐近线的斜率为 ，故有 。
②确定系统传递函数结构形式。在 处，斜率变化 ，对应惯性环节；在 处，斜率变化 ，对应惯性环节，因此系统应具有下述传递函数：
在题图6-8(d)中，因为 ，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作 的垂线。在 的频段内，其对数相频特性曲线穿越 线一次，且为负穿越，则
而 ，于是闭环极点位于s右半平面的个数为
所以，系统闭环不稳定。
（5）
解：系统的频率特性为
则系统的对数幅频和相频特性为
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(e)所示。
在题图6-8(e)中，因为 ，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作 的垂线。在 的频段内，其对数相频特性曲线没有穿越 线，则
2-7 用拉氏变换的方法解下列微分方程
（2）
3-1求题图3-1(a)、(b)所示系统的微分方程。
（b）解：(1)输入f(t),输出y(t)
(2)引入中间变量x(t)为 连接点向右的位移，（y>x）
(3) ①
②
(4)由①、②消去中间变量得：
3-2求题图3-2(a)、(b)、(c)所示三个机械系统的传递函数。图中， 表示输入位移， 表示输出位移。假设输出端的负载效应可以忽略。