2018届重庆中考复习：二次函数相关的最值问题练习(含答案)

二次函数相关的最值问题

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例1.如图，抛物线y = —x —4x+ 5与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. 求直线AC的解析式及顶点D的坐标；

若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA QC求|QA—QC|的最大值及此时点Q的坐标;

(3)连接CD点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE//x轴交直线AC于点

E,作PF//CD交直线AC于点F,当线段PE+ PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；

⑷在⑶K,连接0L

3问的条件下，将

KH求线段

(5)在⑶+ P' E'+ E 问的条件下，将线段PE沿着直线B取最小值时点E'的坐标.

针对训练

2 1 .如图，直线y= kx + b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( —4, 0)、B(0 , 3)，抛物线y=—x + 2x + 1与y 轴交于点C.

⑴求直线y = kx + b的解析式；

(2) 若点P(x , y)是抛物线y = —x2+ 2x+ 1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

(3) 若点E在抛物线y = —x2+ 2x + 1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+ EF的最小值.

2 .如图①，已知抛物线y =—身x2+ ^3~x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴

交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD过点D作DH Lx轴于点H,过点A作AEL AC 交DH的延长线于点E.

⑴求线段DE的长度；

(2)如图②，试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△ CPF的周长最小时，△ MPF面积的最大值是多少.

① ②

3.如图，对称轴为直线x= 2的抛物线经过A( —1, 0) , C(0, 5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0, 1), E(a，0)，F(a + 1, 0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点.

(1)求此抛物线的解析式；

4. 已知，如图，二次函数y = ax2+ 2ax—3a(a丰0)图象的顶点为H,与x轴交于A B两点(B点在A点右

侧)，点H B关于直线I : y = #x + 3对称.

(1) 求A、B两点坐标，并证明点A在直线I上；

(2) 求二次函数的解析式；

(3) 过点B作直线BK// AH交直线I于点K, M N分别为直线AH和直线I上的两个动点，连接HN NM MK求HW NW MK和的最小值.

1 2 l

5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= —2X + 2x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧),

与y轴交于点C,连接BC,过点A作AD// BC交y轴于点D.

⑴求平行线AD BC之间的距离；

(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△ PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止•当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长.

6. 如图，抛物线y= —fx2—9x + 3 3交x轴于A B两点，交y轴于点C,点

Q为顶点，点D为点C关

于对称轴的对称点.

⑴求点D的坐标和tan / ABC的值；

(2)若点P是抛物线上位于点B D之间的一个动点(不与B D重合)，在直线BC上有一动点E,在x 轴上有一动点

F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿iE^F的

G 路径运动到点F,再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到在运

动过程中所用时间最少？

二次函数相关的最值问题答案

2 2 2

例 1.解：(1) T y = —x —4x + 5 =—(x + 4x) + 5 =—(x+ 2) + 9, •- D( —2, 9).

当x = 0 时，y = 5,二qo , 5).

当y = 0 时，X1= 1, x = —5,「. A—5, 0), B(1 , 0),

• y AC= x + 5;

(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QA= QB

由C(0 , 5)和政1 , 0)可求得y BC=—5x + 5 ,

根据三角形三边关系可知，当点Q, C, B三点共线时，

| QE—QC最大，即| QA- QC最大，

可求直线y BC=—5x+ 5与抛物线对称轴交点Q为(—2 , 15),

此时| QA- QC最大值=BC= 26.

解：(3)过P作PQ// y轴，交AC于Q 再作FML PQ于M如图①,

直线AC y= x + 5，设P(t , —t2—4t + 5) , Qt, t + 5),

• PQ= ( —t2—4t + 5) —(t + 5) = —t2—5t.

•••/ PEF=Z CAO= 45°,「. PE= PQ=—t2—5t ,

1

■/ PF/ CD • k cD=—2 = k pF, • tan / MP= 2，

设FM= n = MQ 贝卩PM= 2n, PQ= 3n, PF= 5n,

即PF=^PQ • PE^ PF= (3 + 5)n= (1 +£)PQ

•••当PQ最大时，P曰PF取最大值，

而PQ=—t2—5t = PE=—t + 2 + 25,

P曰PF取最大值,

此时P - 235

4，

EF= 2PM k

(4)如图②：在⑶ 问的条件下, 5 35 -2盲，

••• H—2，8［，作H关于y轴的对称点H,

作O关于抛物线对称轴对称点O,

所以0( —4, 0)，H 2，8，

连接0H,贝U 0H长即为0』LK+ KH的最小值,

直线0H: y = 16 64 —x亠

13 十13,

•直线0H与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时0L+ LK+ KH的最小值=0H= 討17;

(5)在(3)问的条件下,

P，E= PE= 25,