第一章-第二讲(真空中的静电场)

K 1 9 10 9 N.m2 C 2
4 0
0
1
4K
8.851012
F m
• 根据库仑作用力可用迭加原理求得：
多个点电荷q1,q2……qk作用在点电荷q上库仑作用力为：
F
1
4
0
K n1
qn rn2
rn
静电场
• 什么是静电场？
1. 对观察者来说是静止的；
2. 电量不随时间变化的电荷引起的电场。
电位
比较后：
E(
x
y
z)
(
dx
dy
dz)
grad
(x
y
z)
(r)
x y z
E(x
y
z)
grad (
x
y
z)
(r )
任一点电场强度等于该点电位梯度的负值，
即电场强度在数值上等于电位随距离变化的 最大减少率，其方向沿电位最大减少率的方向。
电位
➢ 真空中的高斯定理（Gauss定理）及微分形式：
P
Q
参考点电位为： Q E dl 0
Q
对于有限大小的电荷体系，常取无限远处作为参考点，则P点电位为：
P E dl
Q
电位
在实际工程中，选大地作为参考点，故电场中某点电位等于单位 正电荷自该点移至无限远处或接地导体上时电场力所作的功。
✓位于原点的点电荷q在场点 r处的电位
r q
电位
➢ 电势差——电场强度的线积分：
1. P点到Q点的电位差为：将试验电荷qt沿某一路线从P 点移到Q点电场力所作的功Wpq与qt比值
WPQ
Q E dl
qt
P
Q
U PQ E dl
P
2. 静电场中两点间的电位差等于从一点到另一点移动单位
正电荷电场力所作的功
电位
3. 在点电荷q形成的电场中，P 、Q两点电位差
U PQ
q
4 0
(1 RP
1 RQ
)
P点与点电荷的距离
Q点与点电荷的距离
Upq只与始末位置有关，与积分路径无关
E dl 0
4. 将一个单位正电荷沿任一闭合路径移动一周，电场力作功等于零， 静电场是保守场。
电位
➢ 电位：
如果选定某一点Q为参考点，则电场中任一点P的电位可表示为：
Q
P E dl
I. 体分布 II. 面分布 III. 线分布
dq dv' dq ds' dq dl '
E
1
4 0
R0 dv '
R2
E
1
R0 ds '
4 0 R2
E
1
4 0
R0dl '
R2
E 线来描述电场强度的分布，曲线上每一点切线方向就是该点电场方向，
E 线分布的疏密表示电场的强弱。
电场分布（例）
若某处 0
2 1 0
2 0
拉普拉斯 方程
电位
以上是两个标量方程，在边界条件确定后，可以求解，容易求解。
在直角坐标系中
2 2 2 2 x2 y 2 z 2
在球坐标系中
2 1 (r 2 ) 1 (sin ) 1 2
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin 2
静电场中的电介质
真空中的静电场
库仑力
• 库仑定律：两个点电荷之间力为：
f 1
1
4 0
q1q2 r2
n21
n21是由 q2指向q1沿 r方向的单位矢量
f 2
1
4 0
q1q2 r2
n12
n12是由 q1指向q2沿 r方向的单位矢量
• 上式中有：
n21 n12
库仑力
f 1 f 2
• 对国际制SI：
其单位矢量
R0
R R
静电场
其场强为：
q E(r )
4 0
(r r' ) q
r
r'
3
பைடு நூலகம்
4 0
R0
r
r'
2
q
4 0
R0 R2
几个点电荷的场源在场点 r 处引起的场强为：
E(r)
1
4 0
n
qk
k 1
(r
r'
)
r r' 3
1
4 0
n
qk
k 1
R0k Rk2
静电场
➢ 对于连续分布的电荷，其电荷元dq：
2
d 2 1 (1 2 ) E dl E dl
1
设 E(r ) Ex (r )i Ey (r ) j Ez (r )k
dl dxi dyj dzk
d (Ex dx E y dy Ez dz)
另一方面： d dx dy dz
x y z
E
1
0
在直角坐标系中
E
Ex
Ey
EZ
x y z 0
静电场是一个有源场
电位
➢ 真空中静电场的基本方程
旋度方程
E dl 0
E 0
保守性
散度方程
E
ds
1
0
dv
E
0
有源场
静电场是保守有源场或无旋有散场
电位
➢ 泊松方程和拉普拉斯方程
E
E
1
0
E 2
1
0
得泊松方程：
Gauss定理： 点电荷
e
E
ds
1q
0
积分形式： 点电荷系 连续分布体电荷
e
E
ds
1
0
qk
e
E
ds
1
0
dv
高斯定理给出了电场与场源的关系，电场线从正电荷出发，终止于负电荷。
电位
微分形式： 散度公式
F dS F dV
S
V
V为闭合曲面包围的体积，这就是散度定理。
应用于静电场
4 0r
✓位于
r' 处的点电荷q在场点
r 处的电位
r
4
q 0r
r'
q
4 0 R
✓位于 rk' 处的几个点电荷q（k k =1… n）
在场点
r
处的电位
r
1
4 0
n qk k1 r rk'
1
4 0
n qk R k 1 k
电位
✓体电荷密度 (r' )
，在场点 r 处的电位
r
1
4 0
r'
（r' )dr '
r r'
1
4 0
r'
（r' )dr '
R
✓体电荷密度 (r' ) ，在场点 r 处的电位
r 1
（r' )
ds
4 0 s' R
✓体电荷密度 (r' ) ，在场点 r 处的电位
r 1 （r' )dl '
4 0 l' R
电位
电位差叠加原理：
Q Q
U PQ E dl E dl E dl E dl E dl P Q
P
p
p
Q
等位面：由电位相同的点构成的曲面
r C
等位面与电场线处处正交，等位面密集处，场强就强。
电位
➢ 场强的环路积分及微分形式：
将Stocks定理 应用于静电场
（
F） ds
F
dl
s
（
E） ds
E
dl
0
s
E 0
i
j
k
x y z
静电场是无旋场
电位
➢ 电位梯度与电场强度的关系：
d E dl
• 电场强度定义为：
F(r)
lim E(r )
q qt 0
t
试验电荷，电量很小
• 物理意义：电场中某点单位正电荷所受的力
静电场
• 点电荷在真空中距它处的场强，取q位于坐标原点
E(r )
qr
4 0r 2
q
4 0
1 r2
r0
r 为 方向的单位矢量
其中 R R (x x' )2 ( y y ' )2 (z z ' )2