高中数学：第三章概率 小结 (69)

阶段质量检测(三) 概 率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a ，b ，记m ＝a ＋b ，则( ) A ．事件“m ＝2”的概率为118B ．事件“m >11”的概率为118C ．事件“m ＝2”与“m ≠3”互为对立事件D ．事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件 解析：选D 事件“m ＝2”的概率为136，故A 错误；事件“m >11”的概率为136，故B 错误；事件“m ＝2”与“m ≠2”互为对立事件，故C 错误；a ＝b 时，m 为偶数，故事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件，故D 正确． 3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A.15B.1346解析：选B ∵甲和乙都不可能是第一名， ∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响， ∴这三个人获得第一名的概率是等可能的， ∴丙得第一名的概率为13.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16C.12D.14解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V6，所求概率为V 6V ＝16.5．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A.12 B.13 C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ， 试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ， 故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆 x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.2939解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种， 其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件． 因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )48C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法， 符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112B.736C.1336D.1936解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1. 当B ＝2时，C ＝1(1种)； 当B ＝3时，C ＝1,2(2种)； 当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)； 当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)； 当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)． 故方程有实数根共有19种情况， 所以方程有实数根的概率是1936. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等， 由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000， 即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.★★答案★★：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本， 则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. ★★答案★★：11015.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°， P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13.★★答案★★：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧»AB 的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使¼AM 的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧¼12M AM 长为2，点B 落在优弧¼12M AM 上就能使劣弧»AB 的长度小于1，所以劣弧»AB 的长度小于1的概率为23.★★答案★★：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率mn 在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05. (3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品， 则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题， 基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个， 所以P (A )＝615＝25. (2)用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个， 所以P (B )＝815. 19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为4 9.(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为2 5π.21.(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.22．(本小题满分12分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率． 解：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,21)，(22,1)共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)共4个．所以P(A)＝412＝13.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，则P(B)＝S BSΩ＝2×2－14×4π2×2＝1－π4.。