储能元件

第六章 一阶电路

◆ 重点：

1． 电路微分方程的建立 2． 三要素法 3．

阶跃响应

◆ 难点：

1． 冲激函数与冲激响应的求取 2．

有跃变时的动态电路分析 含有动态元件（电容或电感等储能元件）的电路称为动态电路。回忆储能元件的伏安关系为导数（积分）关系，因此根据克希霍夫定律列写出的电路方程为微积分方程。所谓“一阶”、“二阶”电路是指电路方程为一阶或二阶微分方程的电路。

本章只讨论一阶电路，其中涉及一些基本概念，为进一步学习第十五章打下基础。

6.1 求解动态电路的方法

6.1.1 求解动态电路的基本步骤

在介绍本章其他具体内容之前，我们首先给出求解动态电路的基本步骤。 1．分析电路情况，得出待求电量的初始值； 2．根据克希霍夫定律列写电路方程； 3．解微分方程，得出待求量。

由上述步骤可见，无论电路的阶数如何，初始值的求取、电路方程的列写和微分方程的求解是解决动态电路的关键。

6.2.1 一阶微分方程的求解

一、一阶微分方程的解的分析

初始条件为)()0()()(t f t t f δ=δ的非齐次线性微分方程

Bw Ax dt

dx

=- 的解)(t x 由两部分组成：)()()(t x t x t x p h +=。其中)(t x h 为原方程对应的齐次方程的通解，

)(t x p 为非齐次方程的一个特解。

二、)(t x h 的求解

由齐次方程的特征方程，求出特征根p ，直接写出齐次方程的解pt h Ke t x =)(，根据初始值解得其中的待定系数K ，即可得出其通解。

三、)(t x p 的求解

根据输入函数的形式假定特解的形式，不同的输入函数特解形式如下表。 由这些形式的特解代入原微分方程使用待定系数法，确定出方程中的常数Q 等。 四、一阶微分方程的解的求取

)

()

()()(t x Ke t x t x t x p pt

p h +=+=

将初始条件00)(X t x =代入该式：

000)()(0X t x Ke t x p pt =+=

由此可以确定常数K ，从而得出非齐次方程的解。

6.2 电路的初始条件

从以上有关的高等数学知识的复习我们知道，求解微分方程时，n 阶常系数线性微分方程的通解中含有n 个待定的积分常数，它们需要由微分方程的初始条件来确定。而描述动态电路的初始条件，是指方程中输出变量的初始值及其1~n 阶导数的初始值（对于一阶电路，仅指输出变量的初始值）。

6.2.1 几个概念

1．换路（Switching ）——在电路分析中，我们把电路与电源的接通、切断，电路参数的突然改变，电路联接方式的突然改变等等，统称为换路。

2．过渡过程——电路在换路时将可能改变原来的工作状态，而这种转变需要一个过程，工程上称为过渡过程（暂态过程）。

如果电路在0t t =时换路，则将换路前趋近于换路时的瞬间记为-=0t t ，而将换路后的初始瞬间记为+=0t t 。一般来说，为方便计算与分析，往往将电路换路的瞬间定为计时起点0=t ，那么+=0t 和-=0t 表示换路前和换路后的瞬间。

6.2.2 换路计算的规律

根据电容电感元件的伏安关系可知，在有限电容电流（有限电感电压）的条件下，电容的电压（电感的电流）不能跃变，也就是说在有限电容电流（有限电感电压）的条件下，电容的电压与电感的电流这两个电量在电路换路瞬间保持不变，这是我们计算分析电路的

初始值的重要前提。实际上，从能量的观点来看，电容电压与电感电流不能跃变，是受电

场能量（25.0C e Cu W =）和电磁能量（2

5.0L m Li W =）不能跃变的约束，如果能量由跃变的

情况，则跃变瞬间，电源对电路供给无穷大的功率，在实际系统中，这是不可能的。（理论的讨论请同学们自己研究）

在实际计算电路的过渡过程时，我们首先分析计算电路换路前的情况，得出电容的电压（电感的电流），由前述规律可得换路后的电容电压（电感电流）——即其后所需的初始条件，它与换路前的值相等——然后根据换路后的电路及已知的电容电压（电感电流）计算换路后的其他待求量。

总之，在动态电路中在-=0t 到+=0t 瞬间，不能跳变的变量如下

⎩⎨

⎧==-+-+)0()0()

0()0(C C u u q q ⎩⎨

⎧=ψ=ψ-+

-+)0()0()

0()0(L L i i 6.2.3 例题

1．例题1

已知：电路如图7-1，开关闭合之前，电路已经工作了很长时间。其中V U S 12=，

Ω=k R 41，Ω=k R 22。

U 图7-1(a) 例题1

电路

求：开关闭合后的电容电压初始值即各个支路的电流初始值。 解：首先应该求出-=0t 时电容的电压)0(-C u 。 R 1 U 图7-1(b) 0-

时的电路

i 1(0+) R 1 i 2(0+ ) U 图7-1(c) 0+ 时的电路

开关闭合前电路已经处于稳态，因而换路前（-0时）的电路为直流电路，如图7-1(b)，直流电路中电容相当于开路，这样电阻R 2上的电压为零。可以计算出V u C 12)0(=-。

而电容电压在有限电流情况下不会跃变，因此

V u u C C 12)0()0(==-+

画出电路换路后一瞬间（+0时）的电路如图7-1(c)所示。其中根据替代定理，已知电压的电容已经用大小相等，极性相同的电压源来代替，由此可以计算出：

0412

12)0()0(11=-=-=

++R u U i C S

)(62

12)0()0(22mA R u i C ===

++ )(6)0()0()0(21mA i i i C -=-=+++

2．例题2

已知：电路如图7-2，开关闭合之前，电路已经工作了很长时间。其中V U S 10=，

Ω=61R ，Ω=42R 。

i 1( t ) R 1 R 2 i L ( t )

U 图7-2(a) 例题2

电路

求：开关闭合后的电容电压初始值即各个支路的电流初始值。 解：方法和步骤与例题1相同。 R 1 R 2 U 图7-2(b) 0- 时的电路

i 1(0+) R 1 R 2 i L (0+ )

U

图7-2(c) 0+ 时的电路

A i i L L 1)0()0(==-+

V R U i S 67.16

10

)0(11===

+