第6章 储能元件C资料教程
邱关源《电路》第五版 第六章 储能元件
§6-3 电容、电感元件的串联与并联
2) 并联
i i1 u
i2 C1 (a) C2
in Cn
i u
Ceq (b)
等效电容
Ceq C1 C2 ...... Cn
初始条件
u1 (t0 ) u2 (t0 ) ...... un (t0 ) u(t0 )
WL
t2
t1
di 1 2 1 2 Li dt Li (t 2 ) Li (t1 ) dt 2 2
* 在t1到t2期间供给电感的能量只与时间端点的电感电 流值有关。
* 电感在某一时刻的储能只与该时刻的电流有关。
1 2 WL Li (t ) 2
§6-2 电感元件
5. 电感元件的应用
uic61电容元件uic0011ddtttiicc?令t00则?00d1d1ticictuti0cud1061电容元件1dtutic?ti0cutud10当选定一个研究问题的起点后如t0就没有必要去了解t0以前电流的情况它对t0的电容电压的影响可用电容的初始电压u0来反映
第六章 储能元件
电容元件 电感元件 电容、电感元件的串联与并联
§6-2 电感元件
1 t i (t ) i (0) u ( )d L 0
* 当选定一个研究问题的起点后（如 t = 0），就没
有必要去了解 t = 0以前电压的情况，它对 t >0 的
电感电流的影响可用电感的初始电流i (0)来反映。
即：知道了初始电流i (0)及t 0的u (t)，就能确定
i
u
+
u
V
《电路》第六章储能元件
规定Φ L(Ψ L )与i的参考方向满足右螺旋关系。
当电感元件上电流的参考方向与磁通成右螺旋关系时,则任何 时刻线性电感元件的自感磁通链Ψ与流过的电流i 之间有以下 关系：
2. 线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
i
L
Oi
单位
+
u (t)
-
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨) (Henry，亨利)，常用H，m H表示。
R2 R1 R2
US
例电路如图所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分 别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容 电压uC1(0＋),uC2(0＋) 。
解： 开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个 电容电压必须相等，得到以下方程
uC1(0 ) uC2 (0 )
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围
变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的 情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏 电不能忽略，则需要用一个电阻与电容的并联作为它 的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感 来构成电容器的电路模型.
线性电容的电压、电流关系 电容元件VCR
1.定义
电容元件
储存电能的元件。其
特性可用u～q 平面
上的一条曲线来描述
q
+
电路教案第6章 储能元件.
重点：电容元件的特性电感元件的特性电容、电感的串并联等效6.1 电容元件电容器：在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去的电路元件，是一种储存电能的部件。
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。
1. 定义电容元件：储存电能的两端元件。
任何时刻其储存的电荷 q 与其两端的电压 u 能用q ～u 平面上的一条曲线来描述（右图）。
0),(=q u f2. 线性时不变电容元件任何时刻，电容元件极板上的电荷q 与电压u 成正比。
q ~u 特性曲线是过原点的直线。
q=Cu（右图的红线为直线）电路符号：（右图）单位：F (法拉), 常用μF ，pF 等表示。
3. 电容的电压−电流关系u 、i 取关联参考方向tu C t Cu t q i d d d d d d === （电容元件VCR 的微分形式）表明：● 某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。
电容是动态元件；● 当 u 为常数(直流)时，i =0。
电容相当于开路，电容有隔断直流作用；● 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
（∞→∞→i dtdu ） ⎰+=⎰⎰∞-+=⎰∞-=t t ξi C t u t t ξi t C ξi C t ξi C t u 0d 1)0( 0d )(01d )(1d )(1)( ξξξ⎰+=t t ξi Ct u t u 0d 1)0()( （1） （电容元件VCR 的积分形式） 公式表明：⏹ 某一时刻的电容电压值与-∞到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
⏹ 研究某一初始时刻t 0 以后的电容电压，需要知道t 0时刻开始作用的电流 i 和t 0时刻的电压 u （t 0）。
注意：● 当电容的 u ，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;⎰+-=-=t t ξi C t u t u t u C i 0)d 1)0(()( ,d d● 上式中u (t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
电路教案第6章 储能元件
重点：电容元件的特性电感元件的特性电容、电感的串并联等效6.1 电容元件电容器：在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去的电路元件，是一种储存电能的部件。
电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。
1. 定义电容元件：储存电能的两端元件。
任何时刻其储存的电荷 q 与其两端的电压 u 能用q ～u 平面上的一条曲线来描述（右图）。
0),(=q u f2. 线性时不变电容元件任何时刻，电容元件极板上的电荷q 与电压u 成正比。
q ~u 特性曲线是过原点的直线。
q=Cu（右图的红线为直线）电路符号：（右图）单位：F (法拉), 常用μF ，pF 等表示。
3. 电容的电压−电流关系u 、i 取关联参考方向tu C t Cu t q i d d d d d d === （电容元件VCR 的微分形式）表明：● 某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。
电容是动态元件；● 当 u 为常数(直流)时，i =0。
电容相当于开路，电容有隔断直流作用；● 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
（∞→∞→i dtdu ） ⎰+=⎰⎰∞-+=⎰∞-=t t ξi t u t t ξi t ξi t ξi t u 0d 1)0( 0d )(01d )(1d )(1)( ξξξ⎰+=t t ξi Ct u t u 0d 1)0()( （1） （电容元件VCR 的积分形式） 公式表明：⏹ 某一时刻的电容电压值与-∞到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。
⏹ 研究某一初始时刻t 0 以后的电容电压，需要知道t 0时刻开始作用的电流 i 和t 0时刻的电压 u （t 0）。
注意：● 当电容的 u ，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;⎰+-=-=t t ξi C t u t u t u C i 0)d 1)0(()( ,d d● 上式中u (t0)称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
第六讲 储能元件
N (t ) L i (t )
*、电感器： 为使用电感属性而设计的器
二、电感器与电感
*、电感器中的电流i与两端电压u之间的关系（关联方向）：
+ u i L
di u (t ) L dt d N ( u (t ) N ,L ) dt i
一、电容器和电容
电容：
是电容器的电属性，用来度量电容器两块导体间存储电 荷的能力； 具体地说，如果两块导体间的电位差为V伏特，一块导 体上带有Q库仑的正电荷，而另一块导体上带等量的负 电荷，则电容器的电容为：
Q C V
式中，C为电容的计量符号； 电容的国际制单位，为法拉，符号为F。实际应 用中，法拉这个单位太大了，微法（µ F）和皮 法（pF）。1F=106µ F=109pF
一、电容器和电容
电容器的串联:
C1 C2 Cn C
C
1 1 1 ... 1 C1 C2 Cn
一、电容器和电容
电容器的并联:
C1 C２ C３ Cｎ C
C Ci
1
n
一、电容器和电容
电容器中存储的能量为：
1 2 WC CV 2
一、电容器和电容
对于电容有： *：电容在直流情况下其两端电压恒定，相当于开路， 或者说电容有隔断直流的作用（简称隔直）；
具体地说如果两块导体间的电位差为v伏特一块导体上带有q库仑的正电荷而另一块导体上带等量的负电荷则电容器的电容为
第六讲 储能元件
电容器和电容 电感器和电感 储能元件的连接
一、电容器和电容
电容器： *、由用绝缘体隔开的两块导体构成； *、主要特征是具备存储电荷的能力，两块 导体之一带负电荷，另一块带正电荷； *、电荷随带能量，可以由电容器释放； *、电容器的电路符号为：
电路第6讲 储能元件
us(t ) C
解
uS (t)的函数表示式为:
t ≤ 0 0 ≤ t ≤ 1s 1 ≤ t ≤ 2s t ≥ 2s
0 2t u S(t ) = − 2t + 4 0
6.1 电容元件——功率和储能
0 2t u S(t ) = − 2t + 4 0 t ≤ 0 0 ≤ t ≤ 1s i/A 1 ≤ t ≤ 2s 1 t ≥ 2s
1 2 W L = Li (t ) ≥ 0 2
①电感的储能只与当时的电流值有关，电感电 流不能跃变，反映了储能不能跃变。 ②电感储存的能量一定大于或等于零。
6.2 电感元件——举例 实际电感线圈的模型 i L u ( t) L u － － ＋ C u － L G
+
G ＋
6.2 电感元件——举例
贴片型功率电感
6.2 电感元件——功率和储能
di 1 2 W L = ∫ Li dξ = Li (ξ) −∞ dξ 2 −∞
t
t
电感的储能
1 2 1 2 1 2 = Li (t ) − Li (−∞) = Li (t ) 2 2 2
从t0到 t 电感储能的变化量：
1 2 1 2 W L = Li (t ) − Li (t0 ) 2 2
1 2 WC(t) = Cu ( t) ≥ 0 2
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电 压不能跃变，反映了储能不能跃变； ② 电容储存的能量一定大于或等于零。
6.1 电容元件——功率和储能
例
求电容电流i、功率P (t)和储能W (t) ＋ － 0 1 2 t /s i 2 0.5F u S/V 电源波形
6.1 电容元件——电压电流关系(VCR)
6储能元件
电容充电时，( t 2 ) u( t1 ) , WC ( t 2 ) WC ( t1 )，元件吸收能量 u
电容放电时， C ( t 2 ) WC ( t1 )，元件释放能量 W
电容元件在任何时刻 t 储存的电场能量将等于它吸收的能量 由此可以看出，电容是无源元件，它本身不消耗能量。
从 t 到 t 时刻，电容元件吸收的 能量为
du( ξ ) WC u( ξ )i ( ξ )dξ Cu( ξ ) dξ dξ
t t
C
u( t )
u ( )
u( ξ )du( ξ )
1 2 1 2 Cu ( t ) Cu ( ) 2 2
从 t1 到 t 2 时刻，电容元件吸收的 能量为 u( t ) 1 2 1 2 WC C udu Cu ( t 2 ) Cu ( t1 ) u( t ) 2 2 WC ( t 2 ) WC ( t1 )
电容元件的电压与电流具有动态关系，电容元件是动态
元件。 电容电压除了与0到 t 的电流值有关外，还与 u (0) 值有 关，因此，电容元件是一种有“记忆”的元件。
3. 电容的功率和储能
功率
u、 i 取关
联参考方向
du p ui Cu dt
(1)当电容充电， u > 0，d u/d t > 0，则i > 0，q ，
例 求电流i、功率P (t)和储能W (t)
解
uS (t)的函数表示式为:
＋ －
u/V 2
i
us (t ) C
0.5F
0 2t us ( t ) 2t 4 0
解得电流
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
第六章-储能元件
），与线圈交链成磁链ψ
把金属导线绕在一骨架上 构成一实际电感线圈，当电 流通过线圈时，将产生磁通 ，是一种抵抗电流变化、储
i
i
+–
ue
–+
存磁能的部件。
电感线圈原理示意图
几种实际电感线圈示例
贴片型空心线圈
可调式电感
环形线圈
立式功率型电感
一、定义
任意时刻，能用Ψ-i平面内一条曲线来描述的二端元件→ 韦-安曲线
d(12 2t) 1 106 dt
1μA
例2 : C=0.5F的电容电流波形如图 (b)所示，求电容电压uC(t)。
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算
1．当t0时，iC(t)=0，得
uC
(t)
1 C
t
iC ( )d
2 106
t
0d 0
2．当0t<1s时，iC(t)=1A，得
i +– ue L –+
对于线性电感,有： =Li =N 为电感线圈的磁链（韦伯）
L
def
ψ
i
L 称为自感系数,也代表 电感元件本身
线性电感的 ~i 特性（韦-安特性）是过原点的直线
i
L= /i tg + –
Oi
六、线性电感电压、电流关系→伏安关系：
ue L –+
u, i 取关联参考方向:根据电磁感应定律与 楞次定律
i
u, i 取关联参考方向
+ +
i dq C du dt dt
u
C
u, i 取非关联参考方向
–
–
i dq C du
dt
dt
电容充放电形成电流： u, i 取关联参考方向
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i
+
u
Leq
-
1、电感器：能储存磁场能量的实际电路元件。
2、电感元件：是电感器的理想化模型，只具有 产生磁通 (贮存磁场能量)的作用而无其它作用
3、线性电感元件
二端元件，其磁链(t)和电流i(t)间具有线性关系
(t) = Li(t)
L
式中L为正值常数，
ui
称为电感。
单位为亨利(亨，H)
1mH 103H1H106H
贮能公式
在任一时刻，电感元件的磁场能量与电感电 流的平方成正比。
§6-3 电容、电感元件的串联与并联 一、电容元件的串联与并联
1、电容元件的串联
i C1
C2
Cn
+ -+ -
u1
u2
+
u
+-
un
-
1 1 1 1
Ceq C1 C2
Cn
2、电容元件的并联
C eq C 1 C 2 C n
i Ceq
2、电感的贮能及公式 在时间间隔[t0，t]内，电流由i(t0)变到i(t)，电
感元件吸收的能量为
W L [ t0 ,t] tt 0p () d ii ( ( tt 0 ) )L d i1 2 iL [ i2 ( t) i2 ( t0 )]
电感元件在任一时刻 t 的贮能为
WL(t)
1Li2(t) 2
i(t) (t)L
+ u(t)-
(t)和i(t) 的参考方向符合右手螺旋法则。
—i特性曲线（韦安特性）如图所示。
=Li
0
i
韦安特性曲线
二、伏安关系(VCR)
当电压（电流）的参考方向与 磁链的参考方向符合右手螺旋 法则时，可得：
uddLiLdi dt dt dt
i(t) (t)L
+
u(t)
电感电压的大小与电流的变化律成正比。电感对 直流起着短路的作用。电感元件是动态元件。
3、线性电容元件
二端元件，所储电荷量q(t)和端电压u(t)间具有
线性关系。 q(t)=Cu(t) 或 u(t)=q(t)/C
i(t) q(t) C +u(t)
式中C为正值常数，称为电容。
电容单位为法拉(法，F)
q
1F106F1pF1012F
q=Cu
q—u特性曲线（库伏特性） 如图所示。
二、伏安关系(VCR)
+u -
i
+
i1
i2
u C1
C2
in Cn
-iBiblioteka +uCeq
-
二、电感元件的串联与并联
1、电感元件的串联
i L1
L2
+ -+ -
u1
u2
+
u
Ln
+-
un
-
L eq L 1L 2 L n
2、电感元件的并联
1 1 1 1
Leq L1 L2
Ln
i Leq
+u -
i
+
i1
u L1
L2
-
i2
in
Ln
容元件吸收的能量为
W C [ t0 ,t] tt 0p () d u u ( ( tt 0 ) ) C d u 1 2 u C [ u 2 ( t) u 2 ( t0 )
电容元件在任一时刻 t 的贮能为
WC(t)
1Cu2(t) 2
贮能公式
在任一时刻，电容元件的电场能量与电容电 压的平方成正比。
§6-2 电感元件 一、电感元件
第六章 储能元件 主要内容：
电容元件 电感元件 电容元件、电感元件的串联与并联
电路的二类约束：
1、元件的伏安特性（VCR） （Voltage Current Relation）
2、KVL、KCL
§6-1 电容元件 一、电容元件
1、电容器：能储存电场能量的实际电路元件。
2、电容元件：是电容器的理想化模型，只储存 电荷，建立电场，无其它作用。
0
u
库伏特性曲线
电流i(t) 与电压u(t)为关联参考 方向，如图所示，
则电流 idqdCuCdu
dt dt dt
+q -q iC u
四、电容是储能元件 1、电容的功率 u、i为关联参考方向时，电容的瞬时功率为
pu(t)i(t)C(u t)d(ut) 是时间的函数。 dt
2、电容的储能及公式 在时间间隔[t0，t]内，电压由u(t0)变到u(t)，电
三、 记忆元件
1t
1t
i(t)L u ()d i(t0)Lt0u ()d
1
i(t0)L
t0 u()d为电感电流初始值
即电流与电压的全部过去历史有关。
四、电感是贮能元件 1、电感的功率 u、i为关联参考方向时，电感的瞬时功率为
pu(t)i(t)L(it)d(it) 是时间的函数。 dt