储能元件

一、线圈的磁通和磁通链
L ,
B i + u L
磁感应强度B 磁通Φ

L
磁通链
L
Φ= B S
L N
电感元件的符号
i( t ) + L
u (t ) -
（线性时不变）电感元件的定义式：
电感元件的自感磁通链与元件中电流有以下关系(韦安特性)
(t ) L i(t )
其中：
ΨL O
2 mA ；
C
2 mA ；
3
q u
6

（ 2）在 0 2 ms , q ( t ) Cu ( t ) 2 10 t 在 2 4 ms , q ( t ) 2 10 q 的波形与
6
p ui Cu
du dt
( 4 10 t )
3
u 的波形相同。
-
-
+
u2
-
+ un
+
u -
u -
L eq
i + +
L1 u1
L2
Ln
i
+ L eq
-
+
u2
-
+ un
u -
u -
根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感 的端电压
u k Lk di dt
和KVL，可求得n个电感相
L eq
串联的等效电感

k 1
n
Lk
2、并联
n个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一
C
k 1
n
k
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零， 给定 C 1 1 F , C 2 2 F , C 3 3 F , C 4 4 F 试求ab间的等 值电容C C4 C1 a
解：C
12

C 1C 2 C1 C 2

1 2
1 2 2 3
4 11

2 3 11 3

t
u ( ) d
0
p (t ) i(t ) u (t )
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
方法1：分段积分求表达式 。
0 t 1 ms 1 0 1 ms t 3 ms u ( t ) 1 3 ms t 5 ms 0 5 ms t 7 ms 1 7 ms t 8 ms

t
u ( ) d
t0
4、电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
w L (t ) 1 2 L i (t)
2
5、电感器的两个主要参数：电感，额定电流。
例：已知电感两端电压波形
如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。
i ( t ) + 1mH
u ( t ) -
解：
i(t ) i(0) 1 L
非关联参考方向下，电容释放能量
四、电容元件的特点
i (t )
1、电压有变化，才有电流。
+
C
u ( t) -
i(t) C
du ( t ) dt
2、具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容
可视作开路。
8Ω 2Ω 10V C
1 0 V 8 Ω 2 Ω
3、电容电压具有记忆性和连续性。
u ( t ) u ( t0 ) 1 C
u L 1 -
u
Ln
-
i1 A
例：如图所示电路，给定
L1 1 H , L 2 2 H , L 3 3 H , i 2 0 2 A , i3 0 3 A
它的热效应与磁场效应,视为理想电容元件,简称 电容元件.
1、电容量C:单位电压所储存的电量，简称电容。 C 表明电容元件存储电荷的能力。 i +q -q C + u -
C
q u
电容的容量单位为：法（F）、微法（uf）、皮法（pf)、 nf 等。 各单位之间的换算关系为： 1F=106uf , 1uf=106pf 1F=106uf=1012pf 1uf=1000nf, 1nf=1000pf
i ( t ) i ( 0 ) 10 i ( t ) i (10
3
3

t
1 d 10 t A
3 3
0 t 1 ms 1 ms t 3 ms
3
0
) 10
3

t
3
0d 1 A
10
i ( t ) i ( 3 10
) 10
3

t
3
3 10
w L (t )
1 2
L i (t)
2
四、电感元件的特点
1、电流有变化，才有电压。
u (t ) L d i(t ) dt
i( t ) + L
u (t ) -
2、在直流稳态电路中，电感可视作短路。
8Ω 2Ω 10V L 6Ω
8Ω 2Ω 10V
6Ω
3、电感电流具有记忆性和连续性。
i ( t ) i ( t0 ) 1 L
F
C3
C2
b
F
C 3 C 12 C 3
3
ab间等值电容为
C ab C 4C 3 C4 C3 4 3 1 . 913 F 11 3
二、电感元件的串、并联
1、串联 n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同 一电流 i。
i + + L1 u1 L2 Ln
i
3
10
3
1A
3
, ,
i ( 3 ms ) 1 A i ( 7 ms ) 1 A
3
( 10 0 0
) 1A ,
3
§6.3 电容、电感元件的串联与并联
一、电容元件的串、并联 1、串联 n个电容相串联的电路，各电容的端电流为同 一电流 i。
i + + u1
C1

t

id
式中
1 C eq

1 C1

1 C2
...
1 Cn


k 1
n
1 Ck
Ceq可称为n个电容串联的等效电容。
2、并联 n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
+
i
i1 i2
C2 Cn
in
+
u
-
C1
u
-
C eq
根据电容的伏安关系，有
i1 C 1
du dt
i ( t ) i ( t0 )
1 L

t
u ( ) d
t0
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
2、若
u 与 i 取非关联参考方向，则
d (t ) dt L d i(t ) dt
u (t )
i( t )
L
三、电感元件的储能
p (t ) i(t ) u (t ) i(t ) L d i(t ) dt
i
－磁通链，单位：韦伯（Wb）
i－电流，单位：安培（A）
韦安特性
L－电感（正常数），单位：亨利（H）
二、电感元件的伏安特性
1、若 u 与 i 取关联参考方向， 根据电磁感应定律，有
u (t ) d (t ) dt d (L i) dt L
i( t ) +
d i(t ) dt
L
u (t ) -
（ 3）在 0 ~ 2 ms 时， P 2 tmW 在 2 ~ 4 ms 时， P 8 10 （
3
2 t ） mW
例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容 的电流、功率及储能 。
i (t )
+
1F
u (t) -
解：
i(t ) C d u (t ) dt
p (t ) i(t ) u (t )
当电感中通过直流电流时，其周围只呈现固定的磁力线，不随时间而变化； 当线圈中通交流电流时，其周围将呈现出随时间而变化的磁力线。
根据法拉弟电磁感应定律（磁生电）来分析，变化的磁力线在线圈两 端会产生感应电势，此感应电势相当于一个“新电源”。当形成闭合回 路时，此感应电势就要产生感应电流。
由楞次定律知道感应电流所产生的磁力线总量要力图阻止原来磁力线 的变化的。由于原来磁力线变化来源于外加交变电源的变化，故从客观 效果看，电感线圈有阻止交流电路中电流变化的特性。
第六章 储能元件
§1.1 电容元件
§1.2电感元件 §1.3电容电感元件的串联与并联
§6.1 电容元件
• 是一种容纳电荷的器件,储能元件。
•电容是电子设备中大量使用的电子元件之一，广泛 应用于隔直、耦合、旁路、滤波、调谐回路、能量 转换和控制电路等方面。
一、理想的电容元件:只考虑它的电场效应,不考虑
wC (t )

t
0
p ( ) d w C ( 0 )
或
wC (t )
1 2
C u (t )
2
wC (Байду номын сангаас J )
0 .5
t
1 3 5 7 9
(m s)
§6.2 电感元件
电感的定义：电感是导线内通过交流电流时，在导线的内部及其周围 产生交变磁通，导线的磁通量与生产此磁通的电流之比。
, i2 C 2
du dt
,..., i n C n
du dt
C eq du dt
由KVL，端口电流
i i1 i 2 ... i n ( C 1 C 2 ... C n ) du dt
式中 C eq C 1 C 2 ... C n Ceq为n个电容并联的等效电容。
+
C2
u2
Cn
+ un
i
+
-
u -
u
-
C eq
根据电容的伏安关系，有
u1 1 C1

t

id , u 2
1 C2

t

id ,......, u n
1 Cn

t

id
由KVL，端口电压 u u1 u 2 u n
1 1 1 t 1 id C Cn C eq 1 C2
p ui Cu du dt
解:
u(t) 4 - 10 t , t (2,4)
3 3
10 t, t (0,2)
（1）由
i c
du dt
知：
6
i(t) C
2 2 10 2 2 10
3 3
du ( t ) dt
在 0 ~ 2 ms 时 i 2 10 在 2 ~ 4 ms 时 i 2 10
1 d 4 10 t A 0d 1 A 1 d 8 10 t A
3
3 ms t 5 ms
i ( t ) i ( 5 10
3
) 10
3
t
3
5 10
5 ms t 7 ms
i ( t ) i ( 7 10
3
) 10
3

t
i ( ) d
t0
4、电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
wC (t ) 1 2 C u (t )
2
5、电容器的两个主要参数：电容C，额定电压
例： 2uF的电容上所加u的波形如图所示。 求： 解题分析： du ( t ) （1）电容电流i； i(t) C dt （2）电容电荷q； q C u （3）电容吸收的功率P。
i(t ) dq ( t ) dt C du ( t ) dt
•电容元件特性方程的积分式
由特性方程i C du dt 得 : u (t ) u (0)
i ( )d C
0
1
t
u(t)
O t2 t3 t t O O
i(t)
t1 t1 t2 t3 u(t) t
i(t)
O
电压u。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,
3,…,n)电感的电流 i k
1 Lk

t

ud
和KCL，可求
得n个电感相并联时的等效电感Leq
i
+ i1 L2 i2
i
+ L eq
u
Ln
u L 1 -
-
Leq的倒数表示式为
1 L eq
i
+ i1 L2 i2


k 1
n
1 Lk
i
+ L eq
t
三、电容元件储存的电场能量 电容元件在任何时刻t 所储存的电场能量为
Wc (t ) 1 Cu (t )
2
（从t=0时起吸收的能量）
2 思考：在t0-t1时间内，电容吸收(释放)的电场能量？
释放的能量和储存的能量关系?(W放≤ W吸)
五、线性电容元件吸收的功率 在关联参考方向下：
p ui Cu du dt
+
u (t ) -
1、电功率：关联参考方向下，电感吸收的电功率为：
2、电能：从 t0 时刻到目前时刻 t，电感吸收的电能（即磁场能量的增量）：
w L [ t0 , t ]


t
p ( ) d
L
t0

i(t)
L i di
( t0 )
i ( t0 )
1 2
i
2
(t ) i
2

若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得 t 时刻电感的储能为：

t
3
7 10
7 ms t 8 ms
方法2：求面积法 。 求出特殊时间点上的电流值，再绘制其波形图。
由于
i(t ) i(0) 1 L

t
u ( ) d
1 L
0

t
u ( ) d
0
用求面积法，易于求得：
i (1 ms ) 10 i ( 5 ms ) 10 i ( 8 ms ) 10
2、库伏特性：
q
q Cu
O
u
库伏特性 注意：线性电容元件C为常数，其库伏特性为通过原 点的直线。否则为非线性电容元件。
二、电容的伏安特性方程
i dq dt
•du/dt很大时，电流很大； •当电压不随时间变化时， 电流为零；相当于开路；
iC
du dt
伏安特性方程
应用：通交流隔直流！
*若 u 与 i 取非关联参考方向，则