第一章 函数极限与连续答案
第一章函数、极限与连续习题答案
第一章函数、极限与连续习题答案第一章函数、极限与连续1 .若」t =t 31，贝U 「t 3 1 =( D )A. t 3 1B. t 62 C. t 92 D. t 9 3t 6 3t 322.设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是(C )3.下列函数f x 与g x 相等的是（A ）4.下列函数中为奇函数的是（A )2x x八sin xf-c 2—22 ?A . y2B . y - xe x Csin xD . y = x cosx xsin xx25 .若函数 fx l=x , - 2：；x ：：：2，则 f x-1 的值域为（B ）A . 0,2B . 0,3C . 0,21D . 0,316 .函数y =10x4 -2的反函数是（D)xA . y =igB . log x 2 x —2C .1y =Iog 2_D . y =1 lg x 2xa XX 是有理数 7.设函数%是无理数°<a< p="">"，则（B ）1 5 3,2C .-1,1 3D . -1,1A . f x = x 2 , g x - x 4—2B . fx=x , gx= xC . x -1f X gx 「X 1x2=(A )C. 0A .当X r J 时，f x 是无穷大B .当x - 工:时，f x 是无穷小C .当X r -■时，f x 是无穷大D .当x —. -■时，f x 是无穷小f x 在点X 。
连续的（10.若函数f x 在某点X 。
极限存在，则（C ）f x 在X o 的函数值必存在且等于极限值8 .设f x 在R 上有定义,函数f x 在点X 。
左、右极限都存在且相等是函数A .充分条件B .充分且必要条件C .必要条件D .非充分也非必要条件x 2 a,cos x,x —1在R 上连续，则a 的值为（D ） x ::: 1C . -1D . -2B . f x 在X o 函数值必存在，但不一定等于极限值C . f X 在X o 的函数值可以不存在D . 如果f X o 存在的话, 11.数列0，3，2， A .以0为极限4，…是(B )B. 以1为极限C .以口为极限n2 . lim xsin ( CxD .不存在在极限B .不存在C . 1D . 019. lim xln x =0 __________ 。
专升本高数第一章极限与连续
金融领域
连续复利在金融领域中有着广泛 的应用，如债券、股票、基金等 投资产品的价值计算。
100%
保险领域
在保险领域中，连续复利可以用 于计算保险产品的未来价值，帮 助客户了解保险合同未来的收益 情况。
80%
养老金领域
在养老金领域中，连续复利可以 用于计算个人养老金账户的未来 价值，帮助个人了解自己退休后 的养老金收益情况。
极值的计算
对于可导的函数，其一阶导数为0的点可能是极值点。然后通过判断二阶导数的正负来判断是极大值还是极小值。 如果二阶导数大于0，则为极小值；如果二阶导数小于0，则为极大值。
极值的应用
最大最小值问题
在生产、生活中经常遇到求最大最小值的问题，极值的概念可以用来解决这类问题。例如，在经济学中求成本最低、 利润最大的方案等。
02
(1) lim(x->0) (sin x / x)
03
(2) lim(x->0) ((1 + x)^(1/x))
04
(3) lim(x->∞) ((1 + 1/x)^x)
连续复利部分的习题
(2) A = P(1 + r/n)^nt / (1 + r/n)^n
(1) A = P(1 + r/n)^nt
单调性
如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该区间 内导数大于等于0或小于等于0。
极值点
如果函数在某一点的导数为0，且该点两侧的 导数符号相反，则该点为极值点。
04
函数的单调性与极值
单调性的判断方法
01
02
03
定义法
导数法
图像法
通过比较函数在某区间内任意两点x1和 x2的函数值f(x1)和f(x2)，判断单调性。 如果f(x1)<f(x2)，则函数在此区间内单 调递增；反之，则单调递减。
高等数学题库第01章(函数,极限,连续).
第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。
3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。
4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。
6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。
)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。
4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。
x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。
10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。
三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。
2015函数、极限与连续习题加答案
2015函数、极限与连续习题加答案制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续2 第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与xy =相同；2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（ ）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ）4. )0(2>=x x y 是偶函数；（ ）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续3 （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。
（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ； 3.122+=xxy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(x x +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ； 5.)2(sin log2+=x y 是由简单函数 和复合而成； 6.1)(2+=xx f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。
制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续4 三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sin B 、13+x C 、xx +3D 、xx -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－23.)sin()(2x xx f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续5 (1)342+-=x x y(2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续6 (1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xx x f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程 (1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y(3)212x y -= (4))3lg(x y -=制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续76.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。
第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。
（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1 -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2x f []1,1-∈x（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=11 xxy y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
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第一章函数、极限与连续1 . 若」 t =t31，贝 U 「t 31 =( D )A. t 31 B. t62 C. t92 D. t 9 3t 6 3t322. 设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是 ( C )1 5C.-1,1 D. -1,13 ,233. 下列函数 f x 与 g x 相等的是 （A ）— 2A. f x = x 2 , g x - x4B . fx=x ,gx= xC.fX gx「X 1x -14. 下列函数中为奇函数的是 （A )2x x八sin xf- c 2— 22 ?A. y2B .y - xe xCsin xD . y = x cosx xsin xx25 . 若函数 fxl=x , - 2：； x ：：： 2，则 f x-1 的值域为 （B ）A. 0,2B. 0,3C. 0,21D. 0,316 . 函数y =10x4 -2 的反函数是（D )xC .A . y =igB .log x 2x—2a X X 是有理数7.设函数 %是无理数°<a"，则（B ）1y =Iog 2_ D . y =1 lg x 2 x1A . 当 Xr J 时， f x 是无穷大B . 当 x- 工: 时， f x 是无穷小C. 当 Xr - ■时， f x 是无穷大 D . 当 x—. - ■时， f x 是无穷小8 . 设 f x 在R上有定义 ,f x 在点X。
连续的（A . 充分条件C.必要条件x2 a,cos x, 函数 f x 在点X。
左、右极限都存在且相等是函数B. 充分且必要条件D. 非充分也非必要条件x—1在 R 上连续，则 a 的值为（D）x::: 1C. -1D.-210.若函数 f x 在某点X。
极限存在，则（C ）f x 在X o的函数值必存在且等于极限值B. f x 在X o函数值必存在，但不一定等于极限值C. f X 在X o的函数值可以不存在D. 如果f X o存在的话 ,11 . 数列0，3 ，2，4，是 (B )A.以0为极限B.以1为极限C . 以口为极限D . 不存在在极限n112 . lim xsin( CxB. 不存在C. 1D. 013.li=(A )C.0x2214?无穷小量是（C）A.比零稍大一点的一个数B. —个很小很小的数C. 以零为极限的一个变量 D . 数零[2X，-1 _ x ：： 015. 设f(x)= 2, x :：: 1 则f x的定义域为[-1,3] , f 0 =x—1, 1 _x _32 __ , f 1 =0。
高等数学第1章课后习题答案(科学出版社)
第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。
第一章 函数、极限与连续(答案)
第一章 函数、极限与连续(一)1．区间[)+∞,a 表示不等式( B )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( D )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( C )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( A )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( A )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( B ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( B )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( C ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( C )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( D ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( B )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( C )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( D )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( C ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( B )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( C )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( A )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( C )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为[]3,1-，()0f = 2 ，()1f = 0 。
1-3函数极限的定义
a
3
.
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微积分
第一章 极限与连续
练 习 题 一、填空题:
1、当 x 2 时， y x
2
4，问当 取 ___ 时， y 4 0 . 001 .
1，问当 z 取 ______
只要 0 x 2 ，必有
2、当 x 时， y 时，只要 x x
2 2
定理：
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
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微积分
第一章 极限与连续
求下列函数极限： 例3、
(1 ) f ( x ) x
(2) f ( x ) [ x ]
lim f ( x )
x 0
x1
1 3
x z ，必有
y 1 0 . 01 .
二、用函数极限的定义
证明：
1、 lim 1
x
2
1 4x
2
2x 1 sin x x
2
2、 lim
x
0
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微积分
第一章 极限与连续
练习题答案：
一、1、0.0002； 2、 .
397
作业：
41页：2(2)(4)，4
lim C C ,
lim sin x 0
x 0
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微积分
f ( x )无 限 接 近 于 A ,
第一章 极限与连续
即 0 ( 无 论 多 么 小 ), 有 f ( x ) A ,
即 0, 能 找 到 0, 当 0 x x0 时 , 有 f (x) A
高等数学第1章课后习题答案(科学出版社).
第一章函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：x3+ (1)y=21-xx-1arccos (3) y=解：(1)解不等式组⎨(2) y=arctan1x⎧3x≠1⎪(4) y=⎨. ⎪3 , x=1⎩⎧x+3≥0得函数定义域为[-3,-1) (-1,1) (1,+∞); 2⎩1-x≠0⎧3-x2≥0(2)解不等式组⎨得函数定义域为[ ; ⎩x≠0x-1⎧-1≤≤1⎪(3)解不等式组⎨得函数定义域为[-4,-2) (3,6]; 52⎪⎩x-x-6>0(4)函数定义域为(-∞,1].2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求ff(cosx),f(x+c)+f(x-c) (c>0)义域．解：函数f要有意义，必须0≤1，因此f的定义域为[0,1]；同理得函数f(cosx)定义域为[2kπ-,2kπ+]； 22⎧0≤x+c≤11函数f(x+c)+f(x-c)要有意义，必须⎨，因此，（1）若c<，定义域为：2⎩0≤x-c≤1（2）若c=[c,1-c]；的定ππ111，定义域为：{；（3）若c>，定义域为：∅． 222 1⎛x-a⎫3．设f(x)=2 1-⎪,a>0,求函数值f(2a),f(1)． x⎝|x-a|⎭解：因为f(x)=f(2a)=1⎛x-a⎫1- ⎪，所以 2x⎝|x-a|⎭1⎛a⎫1⎛1-a1-=0，f(1)=1- ⎪2 4a⎝a⎭12 ⎝-a⎫⎧2 ,a>1,． =⎪⎪⎨0 ,0<a<1⎭⎩4. 证明下列不等式:(1) 对任何x∈R有 |x-1|+|x-2|≥1;(2) 对任何n∈Z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n(3) 对任何n∈Z+及实数a>1有 a-1≤a-1. n1n证明：（1）由三角不等式得|x-1|+|x-2|≥|x-1-(x-2)|=1（2）要证(1+1)n+1>(1+1)n，即要证1+1>n+1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+1n+1得证。
高数第一章 函数与极限答案(2013)
第一章 函数与极限答案第一节 映射与函数1.填空题: （1）2,1-≥±≠x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=10011x x x xy ； （3）{0}； （4）a ；（5）x x 1-， x ；（6）⎩⎨⎧≤<≤-=32231-x ()1-(2x x xx f ）2. 选择题:（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B ； （5） B ； （6）C ； （7）C ； 3． 352)1(0,1,22++=+===x x x g c b a ；；4． )1(22x -；5. 22()0()()()0x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-+-->⎩，即：220()0x x f x x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 6. 解：22()(1)f x f x x +-= （1）令1x t =- 得22(1)()(1)f t f t t -+=-22(1)()(1)f x f x x -+=- （2）由（1）和（2）得；221()3x x f x +-=7． （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）2sin 2x y =.8．设[()]f g x 由(),()y f u u g x ==复合而成的，证明：（1） 若()g x 是偶函数，则[()]f g x 是偶函数。
（2） 若()f x 单调增加，()g x 单调减少，则[()]f g x 单调减少。
（略）第二节 数列的极限1.填空题:（1）0； （2）0； （3）6,0==b a ；（4）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的必要条件. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的充分条件. 2．选择题:（1）B ； （2） D ； （3） D ； 3. 根据数列极限的定义证明: （略）4. 若a u n n =∞→lim ，证明a u n n =∞→lim .并举例说明反之不成立.提示：利用不等式：a u a u a u n n n -≤-≤-5. 设数列{}n x 有界，又0lim =∞→n n y ，证明:0lim =∞→n n n y x . （略）第三节 函数的极限1．填空题:（1）=+)0(f b ，=-)0(f 1 . 当=b 1 时，1)(lim 0=→x f x .（2） 充分必要（3） 必要；充分；必要；充分；充分必要. 2．选择题:（1） A ； （2） C ； （3） D ； （4） C 3. 根据函数极限的定义证明: 8)13(lim 3=-→x x ； （略）4．证明xx 1sinlim 0→不存在. 提示：取2个子序列趋于0，但极限不等。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
高数函数的极限连续习题精选及答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
第一章函数、极限与连续答案
习题1.1 〔A 〕一 选择1—11 BDCAA BBCCD B 二 填空 1. 12+x ；2.2111xx ++ ；3. (]0,∞- ；4. []3,1- ,()0f = 2,()1f = 0 ； 5. []1,1- ；6. ()[]=x f f 1(1)x x x-≠,()[]{}=x f f f (0,1)x x ≠ ；7. 1ln -=x y ；8. 2 三 解答1．<1> 偶函数；<2> 非奇函数又非偶函数；<3> 偶函数；<4> 奇函数；<5> 非奇函数又非偶函数；<6> 偶函数2．证：t t t t t f 155212122+++=⎪⎭⎫⎝⎛()t f =3．求下列函数的反函数<1> 解：反函数为2log 1x y x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭<2> 解：反函数为21arcsin121arcsin1---+=x x y 4. 解：<1>⎩⎨⎧≠==0,10,2x x y <2>⎩⎨⎧<->+=0,10,1x x x x y〔B 〕一 选择1—4 DDAA 二 填空1．()+∞,0；2．=x 0或±1,∈x ()(),10,1-∞-,∈x ()()+∞-,10,1 ；3．()[]=x g f 10,00,06,0x x x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩；4．(]e ,1；5．z =y x xy +；6．()[]=x f ϕ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-0,0,00,x x x x x 。
三 解答与证明1．解：由于()()()()00201202012f f f f =⨯=,且由假设()00≠f ,故()20121f =。
2．证：R x ∈∀,有()()()x x f x ψϕ≤≤,由于()x f 的单增性,可知()()()()f x f f x ϕ≤,又()()()()x f x ϕϕϕ<,故()()x f f x ϕϕ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,同理可得()()()f f x x ψψ≤⎡⎤⎣⎦,于是得()[]()[]()[]x x f f x ψψ≤≤ϕϕ3．解：()[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,11,11,01,1x x x x g x g x g x g f ,()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==-1,1,11,1x e x x e e x f g x f 4．解：()()yzz y yz z y z z y y z y ++++--=+-++-=+11lg 11lg 11lgϕϕ yz z y yz z y yzz y yzzy yz z y ++++--=+++++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11lg 1111lg 1ϕ故结论成立。
1-3函数极限的定义
从此时刻以后 n N f (x)
x x x N
x N x N x N
f (x) A
过程 时刻
x x0
x x0
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x
有 f (x) A
定义6：
lim f ( x) A 0,X 0,当x X时,
x
有 f (x) A
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微积分
第一章 极限与连续
lim f ( x) A的几何意义 :
x
0,X 0,当 x X时, f ( x) A ,
(3)几何意义: lim f ( x) A 表示 0, 0 x x0
当x U ( x0 , )时, f ( x) U( A, ), 即y f ( x) 的图形落在y A 之间(如图).
y
A
y f (x)
A
A
x O x0 x0 x0
A
0,
0,
当x ( x0 , x0 )时, 有 f ( x) A
右极限 :
f ( x0 )
lim
x x0
f (x)
A
0,
0,
当x ( x0 , x0 )时, 有 f ( x) A
定理：
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 0
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微积分
第一章 极限与连续
思考与练习
1. 若极限
第一章函数、极限与连续综合练习参考答案
1第一章 函数、极限与连续一、判断题 1 若 lim f x = A ，则 f x o 二 A ;xJ x o2、已知f x 0不存在，但lim f x 有可能存在; ^^03、若f x 0 0与f x 0 -0都存在，则lim f x 必存在;6、若f(x),g(x)在点x 0处均不连续，则f(x) g(x)在x 处亦不连续；( )7、 y =| x |在x = 0处不连续;8、 f (x)与X 。
处连续当且仅当f (x)在x 0处既左连续又右连续；( )9、 设y =f(x)在［a,b ］上连续，且无零点，则f (x)在［a,b ］上恒为正或恒为负；( ) 10、 设y=f(x)在(a,b)上连续，则f (x)在(a,b)内必有界；()1 •设f X 在R 上有定义，函数f x 在点X 0左、右极限都存在且相等是函数f x 在点X 。
连续的(C )A .充分条件 C •必要条件B .充分且必要条件 D .非充分也非必要条件lim 沁 X —•”x选择题4、22 •若函数f x 在某点x o 极限存在，则（C ） A • f x 在x o 的函数值必存在且等于极限值 B. f x 在X 。
函数值必存在，但不一定等于极限值 C. f x 在x o 的函数值可以不存在 D. 如果f X 。
存在的话，必等于极限值 3.数列0， 1，2，3，4，3456…是(B )A .以0为极限B . 以1为极限C .以“ 一2为极限n D . 不存在在极限14 . lim xsin ( C )A . ::B .不存在C . 1D . 02x5 . lim i 1=( A )xixA . e ，B .二C . 0D .-26 .无穷小量是（C ）A .比零稍大一点的一个数B . 一个很小很小的数C .以零为极限的一个变量D .数零X 二 1■在R 上连续，则a 的值为（D ）x 1C . -1D . -2xe8 .设 f (x )=」1a + x 要使f x 在x = 0处连续，则a 二A . 2B . 1C . 0D . -17.若函数f (x )=」x 2+a COS 让X,I . x 037 . lim 3n sin 二=x 。
第一章函数与极限习题参考解答
习题1-1 映射与函数 1、求下列函数的自然定义域： （1）211x x y --=（2）)3arcsin(-=x y （3）xx y 1arctan 3+-= 解（1）由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. （2）由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(3) 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).2、在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）3,6,sin ,212ππ====x x x u u y解y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . （2）2,1,1,212==+==x x x u u y解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y （3）1,1,,212-====x x e u u y x解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.习题1-2 数列极限 函数极限1、下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势， 写出它们的极限：（1）n n x 21=（2）212n x n +=（3）11+-=n n x n （4）n n x nn1]1)1[(++-= 解（1） 当n →∞时, n n x 21=→0, 021lim =∞→n n .（2） 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn .（3）当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .（4）发散，因为当n 为偶数时,数列趋于2，而当n 为奇数时,数列趋于0。
2、求()()xx x x xx f ==ϕ, 当0→x 时的左、右极限，并说明它们在0→x 时的极限是否存在证明 （1）因为 11lim lim )(lim 00===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-, 所以极限)(lim 0x f x →存在.（2）因为1lim ||lim )(lim 00-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(l i m )(l i m 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在 3、用定义证明： 0sin lim=+∞→xx x分析 因为x x x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃21X ε=>, 当x > X 时, 有ε<-0sin x x , 所以0sin lim =+∞→xx x 。
[整理]河南专升本高数教材(云飞)版第一章 函数 极限 连续课后习题答案
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河南专升本（云飞）版高数教材课后习题答案第一章 函数 极限 连续同步练习一一、 选择题 1、 答案：C解：偶次根号下不能取负值，又在分母上，不能为0，可有012>-x ；反三角函数的定义域是[]1,1-，可得1121≤-≤-x.解这个题目只需解不等式组 210011112x x x⎧->⎪⇒≤<⎨-≤-≤⎪⎩，因此选C. 2、 答案：D解：函数相同要求定义域和对应法则都相同. A 中的对应法则不同，x 表示任意实数，而2x 则只是正实数；B 、C 定义域不同. D 只是一个函数的两种不同表达形式. 3、 答案：D解：三角函数都是周期函数，所以A 、C 一定是周期函数，对于B 有22cos 1sin 2xx y -==，显然是周期函数. 4、 答案：D解：求一函数的反函数就是反解出x 即可.对于本题就是由dcx bax y --=解得a cy b dy x --=，再将x ，y 互换即可. 5、 答案：B解：首先反三角函数的定义域是[]1,1-，因此121≤+≤-u ，可得13-≤≤-u ，即123-≤-≤-x ，从而可知x 的取值范围是[]1,1-.二、 填空题 6、 答案：[]πe,1解：)(x f 的定义域是[]π,0，即π≤≤x 0，那么对)(ln x f 来说，有π≤≤x ln 0，由此可解得x 的范围是[]πe,1.7、 答案：x x 22-解：由题目中)1(2)1(34)1(222242+++=++=+x x x x x f ，可知函数t t t f 2)(2+=.再用2-x 来替换t ，即x x x x x f 2)2(2)2()2(22-=-+-=-就可得到结果了. 8、 答案：21x x+ 解：要求)(x f 的表达式，可令x t 1=，即t x 1=.由21)1(xx x f +=可知21)(t t t f +=，所以)(x f =21x x+. 9、 答案：x解：本题已知)(x f 的表达式，求)1(xf 得表达式.所以只需把函数式中的自变量x 换成x1即可.10、答案：π解：正弦函数的周期是π2，x x f sin )(=则是将正弦函数图像中在x 轴以下的部分翻到上面去，具体图形如下由图可知，其周期是π.11、解：()f x 在真数的位置，故有()0f x >，又ln ()f x 在分母上，故ln ()0f x ≠.由此可解得()0f x >且()1f x ≠. 12、答案：11(3)2x y e -=- 解：求反函数就是将原函数中的x 反解出来.由111ln(23)ln(23)1(3)2y y x x y x e -=++⇒+=-⇒=-，再将x 和y 互换位置即可.三、解答题13、求下列函数的定义域.（1）解：由题意可知：cos 0x >；从而解得(2,2)(0,1,2,)22x k k k ππππ∈-+=±±， 所以该函数的定义域就是(2,2)(0,1,2,)22k k k ππππ-+=±±.（2）解：由题意可知：10ln(1)010x x x -≠⎧⎪+≥⎨⎪+>⎩；从而解得)()0,11,x ∈⋃+∞⎡⎣，所以该函数的定义域是)()0,11,⋃+∞⎡⎣.（3）解：由题意可知：2302113x x ⎧-≥⎪⎨--≤≤⎪⎩；从而解得x ⎡∈-⎣，所以该函数的定义域就是⎡-⎣.（4）解：由题意可知：sin 010110x x x x ≥⎧⎪+⎪>⎨-⎪-≠⎪⎩；从而解得)0,1x ∈⎡⎣， 所以该函数的定义域就是)0,1⎡⎣.14、解：因为()f x 的定义域是[]0,1，所以对2()f x 来说就有201x ≤≤，解得有11x -≤≤；对(cos )f x 来说就有0cos 1x ≤≤，解得有[2,2(0,1,2,)22x k k k ππππ⎤∈-+=±±⎥⎦. 所以2()f x 的定义域就是[]1,1-，(cos )f x 的定义域是[2,2(0,1,2,)22k k k ππππ⎤-+=±±⎥⎦. 15、解：(1)xf e +的定义域是[]1,1-，也就是说11x -≤≤，从而有1111x e e e -+≤+≤+，所以()f x 的定义域就是11,1e e -⎡⎤++⎣⎦.16、解：因为2()1f x x x =-+，所以2()12f x x x +=-+，所以[]222)1(2)(2)1f f x x x x x +=-+--++（，整理后也就是 []22)1(2)(1)1f f x x x x x +=-+-++（.17、解：令1t x =，即1x t =，则222221111()()(1)11t f f t x t t t t ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥===⎢⎥+⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以221()(1)f x x x =+. 18、解：当0x ≤时，()xf x e =，所以11(1)f e e--==，0(0)1f e ==； 当0x π<≤时，()f x x π=，所以(2)2f π=，()f e e π=； 当x π>时，()ln f x x =，所以(2)ln(2)f ππ=. 19、证明：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，其定义域都是D ，则对任意的x D ∈，都有()()f x f x -=-，()()g x g x -=.∴()()()()f x g x f x g x --=-，也就是说()()f x g x 在定义域内是奇函数. 20、解：因为()f x 是(),-∞+∞内的奇函数，所以对任意的(),x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-.从而有()(22)()(22)()x xx xF x f x f x F x ---=+-=-+=-，所以可知()F x 在(),-∞+∞内是奇函数.21、解：当1x -∞<<时，()f x x =对应的反函数是x y =，此时1y -∞<<； 当14x ≤≤时，2()f x x =对应的反函数是x =116y ≤≤；当4x <<+∞，()2x f x =对应的反函数是ln ln 2yx =，此时有16y <<+∞. 所以()f x的反函数就是1,1()16ln ,16ln 2x x f x x x x -⎧-∞<<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪<<+∞⎩.22、将下列复合函数分解成几个简单函数或者基本初等函数. （1）解：32arcsin ,,1y u u v v x ===-. （2）解：2lg ,2y u v v w x x ====+. 23、解：设圆锥的底半径是R ，高是h. 由题意可知：313V R h π=，所以有R =，根据实际情况，可知该函数的定义域是()0,+∞.同步练习二一、选择题 1、 答案：D解：当0x →时，21x →，1sin x 不存在（即∞→x 1），s i n 1x x →，()31sin 0x x x+→，无穷小量乘以有界变量极限是0. 2、 答案：C解：当1x →时，101x x -→+，21121x x x -=+→-，11x x +→∞-， e eeexxxx x x x x x x x ====→→--→-→1limln 11limln 11111111lim lim .3、答案：B解：当0x →时，x cos 1-与2x 等价，又因为 ∞==→→21022301lim lim x x x x x ，由定义可知23x 是比2x 低阶的无穷小量，即0x →时，23x 是比x cos 1-低阶的无穷小量. 4、答案：C解：无论x 取何值，函数x sin 、x 1sin 都是有界函数，当0x →时，x x sin 、x x 1sin 都是无穷小量乘以有界变量还是无穷小量，x1显然是无穷大量，A 、B 、D 都正确.5、答案：D解：本题考查两个重要极限中的一个，有e xx x =+∞→)11(lim 和e x x x =+→10)1(lim 这两种形式，通过对照可知答案是D.二、填空题 6、答案：0解：223225252sin lim (2sin )lim lim()2001x x x x x xx x x x x x→∞→∞→∞+++=⋅+=⋅=++. 7、答案：5,2==a m解：由题上已知的极限可知，当∞→x 时，1432++x x 与2++x ax m 是同阶无穷小，故可知2=m ，又53321143lim 2143lim 2222==++++=++++∞→∞→a x xa x x x ax x x x x ，可知5=a . 8、答案：6解：由题意知：13)(lim 3)(lim==∞→∞→x xf xx f x x ，即3)(l i m =∞→x xf x ，所以可知6)(2lim =∞→x xf x . 9、答案：βα 解：βαβαααβα=⋅=→→x x x x x x sin lim sin lim00.10、答案：ab e解：ab xad ab axx xadab a x x d bx x e x a xax a x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=++∞→+⋅∞→+∞→∞→)(lim )()1(lim )1(lim )1(lim .11、答案：x解：利用重要极限中的第一个，x x x xx xnn n n n n n nn =⋅==∞→∞→∞→22sinlim 212sinlim 2sin2lim .12、答案：同阶非等价解：当0→x 时，1-xe 与x 等价，故1lim 1lim 220202-=-=-→-→x x x e x x x ，所以12--x e 与2x 是同阶非等价的无穷小量.三、计算题13、求下列极限.（1）解：2121222lim 12222lim 33233=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n .（2）解：21)32(32lim 3)2(332lim =-⋅+=-⋅+⋅∞→∞→nn n n n n .（3）解：212lim 2)1(lim ...21lim 2222=+=+=+++∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （4）解：22lim 2lim 211)211(2121...4121==--∞→+++∞→n n n n .（5）解：)121121...5131311(lim )12)(12(1...531311(lim +--++-+-=++++⋅+⋅∞→∞→n n n n n n 1)1211(lim =--=∞→n n . （6）解：111sin lim1sinlim==∞→∞→nn nn n n .（7）解：34)3234(lim )3234(324)311(lim )311(lim e e nn nn n n n n n ==+=+--⋅∞→-∞→∞→. （8）解：523)1(lim )2)(3()1)(2(lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .（9）解：)1)(1()1)(2(lim 131lim )1311(lim 2132131++--+=--++=---→→→x x x x x x x x x x x x x 112lim21-=++--=→x x x x .（10）解：1)sin(lim sin lim =--=-→→xx x x x x πππππ.（11）解：)13)(1()13)(13(lim 113lim2121x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=----→→ 42)13)(1(2lim)13)(1()1(2lim121-=++-+-=++---=→→x x x x x x x x x . （12）解：e x e x x x x x x x x =++⋅=++=++∞→++∞→+∞→2525)21(3)1221(lim )1221(lim )1232(lim . （13）解：[]33sec 2sec 32)cos 1(lim )cos 1(lim e x x xx xx =+=+→→ππ.（14）解：1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim 10100==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+→→→e x x x x x x x x x ααα.（15）解：111)111(111lim )1(lim ----∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+e x x x x x x x x . （16）解：[]1)11ln(lim )11ln(lim 1ln lim ln )1ln(lim =+=+=+=-+∞→∞→∞→∞→n n n n n nn n n n n n n n .（17）解：)93()93)(93(limsin 93lim 22220220x x x x x x x x -+-+--=--→→61931lim 20=-+=→x x . （18）解：2132421lim 32421)(lim 3242lim222-=+++-=+++-=+++-∞→-∞→-∞→xxx x x x x x x x x x x . （19）解：255sin lim 533sin lim 35sin lim 3sin lim 5sin 3sin lim00000-=-=-=-→→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x .（20）解：111lim1ln limln 11111111lim lim -----→-→====→→e eeexxx xx x xx xx x x .14、解：因为x xx tt t t e t x t x x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=∞→∞→)1(lim )1(lim )()0(≠x ，所以2)2(ln 2ln ==e f .15、解：当0→x 时，2221~11ax ax -+，x x ~sin ，所以12121lim sin 11lim 220220===-+→→a x ax x ax x x ，即得2=a . 16、解：由题中极限32lim22=-+-→x ax x x 可知，a x x +-2和2-x 是同阶无穷小量，即当2→x 时，都是无穷小量，故有0)(lim 22=+-→a x x x ，所以可以解得2-=a .17、解：极限值是b ，可知当1-→x 时，423+--x ax x 与1+x 是同阶无穷小量，即有0)4(lim 231=+---→x ax x x ，故得4=a .又b x x x x x x x x x x x x x ==--=+-+-=++---→-→-→10)4)(1(lim 1)4)(1)(1(lim 144lim 11231，即得10=b .18、解：当-→1x 时，+∞→-x 11，从而有211arctan π→-x ；当+→1x 时，-∞→-x11，从而有211arctanπ-→-x .也就是说，2)(lim 1π=-→x f x ，2)(lim 1π-=+→x f x .19、解：当-→1x 时，11)(2--=x x x f ，所以2)1(lim 11lim )(lim 1211=+=--=---→→→x x x x f x x x ； 当+→1x 时，1)1sin()(--=x x x f ，所以有11)1sin(lim )(lim 11=--=++→→x x x f x x .同步训练三一、选择题1、 答案：A解：)(x f 在0x x =处连续需满足三个条件：在0x x =处有定义；)(x f 在0x x =处极限存在；)(x f 在0x x =处的极限值等于该点处得函数值.显然可知)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在0x x =处连续的必要而非充分条件.2、 答案：A解：显然0=x 不在函数的定义域内，故一定是间断点.又01sinlim )(lim 0==→→xx x f x x ，也即满足左右极限存在且相等，对照定义可知0=x 是)(x f 的可去间断点. 二、填空题3、 答案：充分必要解：)(x f 在0x x =处连续需满足三个条件：在0x x =处有定义；)(x f 在0x x =处极限存在；)(x f 在0x x =处的极限值等于该点处得函数值.)(0x f 存在就表明)(x f 在0x x =处有定义，等式)()(lim 00x f x f x x =→成立又满足后两条，所以是充分必要条件.4、 答案：a ，一，跳跃解：对已知的函数没有定义的点是a x =，1lim )(lim =--=++→→ax ax x f ax ax ，而 1lim )(lim -=--=--→→ax ax x f ax ax ，显然)(lim )(lim x f x f a x a x -+→→≠，所以由定义可知a x =是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.5、 答案：一，可去解：1cos 1lim sin lim tan lim)(lim 0000=⋅==→→→→xx x x x x f x x x x .6、 答案：一解：0)(lim 1sin lim )(lim 00=≠==-++→→→x f xxx f x x x ，由定义可知0=x 是)(x f 的第一类间断点.7、答案：](1,-∞-，)[∞+,3 解：32)(2--=x x x f 的定义域是]()[∞+⋃-∞-,31,，又该函数是初等函数复合成的，所以在定义域内是连续的，因此连续区间就是](1,-∞-，)[∞+,3. 8、答案：31 解：)(x f 在0=x 处连续，所以有31)(sin lim sin lim)(lim 000=====→→→x f a ax ax a x ax x f x x x ，所以31=a .9、答案：2解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以有22sin lim )(lim )23(lim )(lim 020====+-=--++→→→→xxx f k k x x x f x x x x ，所以2=k . 10、答案：-2解：函数)(x f 在1=x 处连续，因此有a x a x f x x f x x x x -=====--++→→→→πcos lim )(lim 22lim )(lim 1111，所以2-=a .11、答案：2ba =解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以有22sin lim )(lim )(lim )(lim 020b x bx x f a bx a x f x x x x ====+=++--→→→→，因此可得到关系式2ba =. 三、解答题12、解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以0lim )(lim )0(210===-→→x x x ex f f .13、解：由题意可知，需构造一个分段函数)(x F ，使其在0≠x 时的表达式就是222)31ln()(x x x f +=.6ln )31(lim ln )31ln(lim )(lim )(lim )0(66312022022==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+===→→→→e x x x f x F F x x xx x x .因此构造的连续函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,60,)31ln()(222x x x x F x . 14、解：显然已知函数在每个分段区间内是连续的，关键是区间端点.先考虑点0=x 处，11lim )(lim 1)(lim 00=-===++-→→→x x f x f x x x ，)(x f 在该点处有定义且1)0(=f ，所以0=x 是)(x f 的连续点.再看点3=x ，13lim )(lim 21lim )(lim 3333==≠=-=++--→→→→xx f x x f x x x x ，所以3=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.因此，)(x f 在()()+∞⋃∞-,33,内连续，3=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.15、解：显然已知函数在每个分段区间内函数都是连续的，关键是区间端点.先考虑在点1-=x 处，3)3(lim )(lim 2)arcsin (lim )(lim 1111πππ=-=≠=-=--++-→-→-→-→x x f x x f x x x x ，所以1-=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.再看点0=x ，函数在该点处无定义，显然是间断点，并且x x f x x f x x x x ++--→→→→===-=0lim )(lim 0)arcsin (lim )(lim ，所以0=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点.因此可知)(x f 在()()()+∞⋃-⋃-∞-,00,11,上连续；1-=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点；0=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点. 16、解：因为)(x f 在()+∞∞-,内是连续的，所以在1=x 处也是连续的.1)(lim )(lim 2)1(1)(lim )(lim 21111+=+====-=-=++--→→→→a x a x f f b x b x f x x x x ，也就是解等式21=-b 和21=+a ，从而有1=a ，3=b . 17、求下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）解：1-=x 是xxx f +=1)(的无定义点，又因为∞=+=-→-→x x x f x x 1lim )(lim 11，所以1-=x 是)(x f 的第二类间断点，并且是无穷间断点.（2）解： x x x f --=11)(2在1=x 处无定义，又因为2)1(lim 11lim)(lim 1211=+=--=→→→x xx x f x x x ，所以1=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点. （3）解：1=x 是11arctan)(-=x x f 的无定义点，又因为 211arctan lim )(lim 211arctanlim )(lim 1111ππ-=-=≠=-=--++→→→→x x f x x f x x x x ，所以1=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（4）解：21±=x 是142)(22-+=x x x x f 的无定义点，又因为4112lim 142lim )(lim 21222121=-=-+=-→-→-→x x x x x x f x x x ，∞=-+=→→142lim )(lim 222121x x x x f x x ，所以21-=x 是第一类间断点，并且是可去间断点；21=x 是第二类间断点，并且是无穷间断点. 18、下列函数在0=x 处是否连续？ （1）解：)0(0lim )(lim 210f ex f x x x ===-→→，所以0=x 是)(x f 的连续点.（2）解：1sin lim sin lim 1sin lim sin lim )(lim 000-=-=≠===--+++→→→→→xxx x x x xx x f x x x x x ，所以0=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（3）解：xxx f x x x x f x x x x x sin lim )(1)1ln(lim )1ln(lim )(lim 01000+---→→→→===+=+=，所以0=x 是)(x f 的连续点. 19、求下列极限。
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第一章 函数、极限与连续(一)1．区间[)+∞,a 表示不等式( B )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( D )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( C )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( A )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( A )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( B ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( B )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( C ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( C )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( D ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( B )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( C )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( D )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( C ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( B )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( C )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( A )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( C )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为[]3,1-，()0f = 2 ，()1f = 0 。
20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2x f 的定义域是[]1,1-。
21．若()xx f -=11，则()[]=x f f x x 1-，()[]{}=x f f f x 。
22．函数1+=x e y 的反函数为1ln -=x y 。
23．函数()x y πsin 5=的最小正周期=T 2 。
24．设211x x x f ++=⎪⎭⎫⎝⎛，则()=x f 2111x x ++。
25．()=--+∞→13limn nn x23。
26．=++++++++∞→nn n 31913112141211lim 34。
27．=+→x x x ln lim 00 。
28．()()()=++-∞→503020152332lim x x x x 503020532⋅。
29．函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-<=2,321,11,x x x x x x x f 的不连续点为 1 。
30．=∞→n n n x3sin3lim x 。
31．函数()112-=x x f 的连续区间是()1,-∞-、()1,1-、()+∞-,1。
32．设()()⎩⎨⎧<++≥+=0,0,2x x x b a x b ax x f ()0≠+b a ，()x f 处处连续的充要条件是=b 0 。
33．若()⎩⎨⎧<-≥=0,10,1x x x f ，()x x g sin =，复合函数()[]x g f 的连续区间是()()ππ1,+k k ，2,1,0±=k 。
34．若01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+∞→b ax x x x ，a ，b 均为常数，则=a 1 ，=b 2 。
35．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1)()221x x y -= 偶函数(2)323x x y -= 非奇函数又非偶函数(3)2211xx y +-= 偶函数 (4)()()11+-=x x x y 奇函数(5)1cos sin ++=x x y 非奇函数又非偶函数(6)2xx a a y -+= 偶函数36．若()t t t t t f 552222+++=，证明()⎪⎭⎫⎝⎛=t f t f 1。
证：t t t t t f 155212122+++=⎪⎭⎫⎝⎛()t f = 37．求下列函数的反函数(1)122+=x xy解：⎪⎭⎫⎝⎛-=-x x y 1ln 1(2)11sin21+-+=x x y 21arcsin121arcsin1---+=x x y 38．写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式解：(1)⎩⎨⎧≠==0,10,2x x y (2)⎩⎨⎧<->+=0,10,1x x x x y39．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤-<<∞-=x x x x xx f 0,10,sin 2，求()x f x 0lim →。
解：()1sin lim lim 0==--→→xxx f x x ()()11l i m l i m 2=-=++→→x x f x x 故()1lim 0=→x f x 。
40．设3212222nnn x n -+++= ，求n n x ∞→lim 。
解：()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→36121lim 321lim 22222n n n n n n n n n n ()216112lim 621211lim =++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→n n n n n n41．若()21x x f =，求()()x x f x x f x ∆-∆+→∆0lim 。
解：()xx x x x ∆-∆+→∆2211limxxx x x x x ∆∆-∆⋅--=→∆22202l i m()322022limxx x x x x x -=∆+∆--=→∆ 42．利用极限存在准则证明：11211lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 。
证：∵πππππ+≤⎪⎭⎫⎝⎛++++++≤+2222222111n n n n n n n n n n 且1lim 22=+∞→πn n n n ，1lim 22=+∞→πn n n ，由夹逼定理知 11211lim 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1)()21x xy +=，(2)221xxy -+=，(3)x x y =，(4)[]x y = 解：(1)当1-=x 为第二类间断点；(2)2±=x 均为第二类间断点； (3)0=x ，为第一类断点；(4) ,2,1,0±±=x ，均为第一类间断点。
44．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=21,11,2110,x x x x x f ，问：(1) ()x f x 1lim →存在吗？解：()x f x 1lim →存在，事实上()1lim 1=+→x f x ，()1lim 11=-→x f x ，故()1lim 1=→x f x 。
(2) ()x f 在1=x 处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。
解：不连续，1=x 为可去间断点，定义：()⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<=21,11,110,*x x x x x f ，则()x f*在1=x 处连续。
45．设()⎩⎨⎧>+≤≤-=1,310,12x x x x x f ，(1)求出()x f 的定义域并作出图形。
解：定义域为[)+∞,0(2)当21=x ，1，2时，()x f 连续吗？ 解：21=x ，2=x 时，()x f 连续，而1=x 时，()x f 不连续。
(3)写出()x f 的连续区间。
解：()x f 的连续区间[]1,0、()+∞,1。
46．设()⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2 ,4 20,42,0 ,2 2x x x x x x f ，求出()x f 的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。
解：(1)由()4lim 0=→x f x ，()20=f ，故0=x 为可去间断点，改变()x f 在0=x 的定义为()40=f ，即可使()x f 在0=x 连续。
(2)由()4lim 2=+→x f x ，()0lim 2=-→x f x ，故2=x 为第一类间断点。
(3)类似地易得2-=x 为第一类间断点。