第1讲极限与连续(2014考研)

第一讲极限与连续

一．内容提要

1．函数

（1）定义；（2）性质（有界性，单调性，奇偶性，周期性）；（3）复合函数；（4）反函数；（5）隐函数；（6）初等函数等。注意函数（分段函数）的复合运算、反函数的计算、函数符号的计算。

2．极限（怎么求极限，见后面归纳的常用方法）

（1）数列极限的定义；

（2）函数极限的定义；左、右极限；

；

；

（3）极限的性质（注意极限的保号性，数列与子列的收敛情况）；

（4）无穷小量与无穷大量：定义；关系；无穷小量比较；

定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小量，

（I）若，就说是比高阶的无穷小量，记为；

（II），，就说是比低阶的无穷小量；

（III）若，，就说是比同阶的无穷小量；

（IV）若，就说与是等价无穷小量，记为。

注意两个无穷小量的阶的比较是通过计算极限来进行的。

无穷小量与极限存在的关系；

（5）两个极限存在准则与两个重要极限；

（6）极限的四则运算与复合运算（注意有理分式在自变量趋于无穷大时的极限）；

（7）洛必达法则在极限运算中的应用；（各种未定式是怎么用的）

3．连续与间断

（1）连续的定义：设在的某邻域内有定义，若，就称函数

在点处连续。在点连续在点既左连续，又右连续。

（2）开（闭）区间上连续；

（3）连续函数的运算、初等函数的连续性；

（4）闭区间上连续函数的性质；（应用零点定理来找方程的根）

（5）函数的间断点及分类：，为无穷间断点；振荡不存在，为

振荡间断点；，为可去间断点；，

但两者存在，为跳跃间断点。(应该从左、右极限存在否，相等否去判别间断点类型) 二．常考的知识点及题型

常考的知识点：函数及其表示方法；极限、左极限与右极限；连续、左连

续与右连续的概念与性质；函数间断点类型的判断；求极限的方法；运用闭区间上连续函数的性质证明命题（如证明方程根的存在性）等。

题型：函数记号的运算；分段函数的运算；简单反函数的定义域及表示；考查函数在一点处连续或极限存在的充要条件；判别函数的间断点及类型；无穷小量的比较；判断函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；利用闭区间上连续函数的性质证明命题，主要是方程根的存在性；求极限（利用定义、等价无穷小、极限的运算法则、极限存在准则、两个重要极限、函数连续性、罗比达法则、导数定义、定积分定义等）。

三．求极限的方法总结

1．约公因子法（约去趋于0或的公因子）

例1．。（约去趋于0的公因子）

解

例2．。（约去趋于无穷大的公因子）

解原式=

2．分子、分母有理化

例3．。

解：原式=

例4．。

解：原式=

3．等价无穷小量替换（注意：要等价的无穷小量；一般替换的是因子项）

；等。

例5．。

解：

=

例6．。（注意写法）

解：原式=

4．利用（注意，只要在取极限过程中）

例7．。

解：原式=

5．利用（幂指函数的未定式，注意变形，如，只要在取极限过程中；，只要在取极限过程中。）例8．。例9．。

解：原式=

原式=

例10[08数三]：例11[12数三]：= 解原式=

=

原式=

例12[10数三]：

解原式=

其中

原式=

例13[12数三]：计算

解：原式=

6．利用两边夹法则

例14．设常数，，求。

解原式=

所以

7．利用单调有界有极限

例15．设满足，证明（1）存在，并求极限；

（2）计算。

解：（1）

从而

即：单调下降，而且有界，从而存在

设对两边求极限

（2）

8．利用洛必达法则（注意有失效情况，注意结合等价无穷小量简化求导数）例16．。例17．。

解原式=

原式=

例18．。

解原式=

=

9．利用左、右极限

例19．。

解：

原式极限不存在

10．利用定积分的定义（在定积分一章复习）

11．利用函数极限求数列极限（函数极限的性质4）

例20．。

解原式=

=

12．利用有界量乘无穷小量为无穷小量

例21．。

解原式=

四、其它极限相关知识的考查

例22．时，与为等价无穷小量，求。

解

所以

例23：若求。例24：，则

解由得到

例25．。

解原式=

=

例：若则

解

例26：充分大时，的大小关系为

例27：设，则

（A）若发散，则发散（B）若无界，则有界

（C）若有界，则必为无穷小（D）若无穷大，则为无穷小

例：对任意总有，且，则不一定存在

五．连续与间断

1．函数的连续性

例28．在处连续，求。

解：在处连续的充分必要条件

即：。

2．间断点及分类

例29．的可去间断点个数。

解

所以是可去间断点

所以是可去间断点

所以是可去间断点

所以是无穷间断点

的可去间断点个数有3个

例30：的可去间断点个数

解

所以是无穷间断点

所以是可去间断点