第1章 函、极限与连续

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高等数学第一章第一课-2022年学习资料

高等数学第一章第一课-2022年学习资料

空集为任意集合A的子集,即Φ cA-若A与B互为子集,即AcB,且BCA,则称集合-A与B相等,记作A=B或 =A.-五、集合的运算-交集:A∩B={xxeA且xeB}:-→∩
并集:AUB={xx∈A或x∈B;-例5设A={1,2,4,6,B={2,4,7}-则AUB={1,2,3 4,6,7-A∩B={2,4-6设A={x-1≤x≤2,B={xx>0,-则AUB={xx≥-1,AnB= x0<x≤2-例7设A={xx≤1,B={x2≤x≤5}-则AUB={xx≤1,或2x≤5},AnB=D. →∩
例4设fx=x2+x-1,求f1,fa,fx+1-〔》奶-解f1=1+1-1=1-fa=a2+a-1-fx =x++x+-1-=x2+3x+1-→
f[fx]=[fx]+[fx]-1-=x2+x-1+x2+x--1-=x4+2x3-1-→∩
如果自变量在定义域内任取一个数值时-对应的函数值总是只有一个,叫做单值函数,-否则叫做多值函数.-例如:y ±V2-x2-定义:点集C={x,yy=∫x,x∈D}称为-函数y=fx的图形-→∩
第一章-函数-极限与连续-§1.1-集合-一、概念-具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的-总体,称为集 -集合里的每一个事物称为集合的元素。-例1方程x2-3x+2=0的根.-有限集合-→∩
例2-全体实数.常记为R.-例3-全体正实数.常记为R-例4-全体自然数.常记为N.-无限集合-若某个元素 属于集合A,则记作x∈A;-若某个元素x不属于集合A,则记作xEA.-例如:-2R,4∈N.-二、集合的表 法-1.列举法:按任意顺序列出集合的所有元素-并用花括号括起来,

上财高数第1章函数、极限与连续第1节函数

上财高数第1章函数、极限与连续第1节函数

有理数集合Q, 实数集合R, 复数集合C. 在这个次序中, 前一个集合是后一个
集合的子集.
第一章 函数、连续与极限
7
一、集合 2.集合的运算
集合有三种基本运算,即交,并,差. 设 A, B 是已知的集合,则{x | x A且x B}称为 A 与 B 的交集, 记作A B ; {x | x A或x B}称为 A 与 B 的并集,记作 A B ; {x | x A但x B}称为A与B的 差集, 记作 A\B . 图1.1中所示阴影部分分别表示 A B, A B , A\B .
A
A
A
B
B
B
AB
AB
A\B
图1.1
第一章 函数、连续与极限
8
一、集合
含有我们所要研究的全部元素的集合称为全集, 并用I 表示, 则差集I \A
也称为 A 的余集或补集, 记作 A , 例如 H {x | 2x 3 0}, I R , 则
H {x | 2x 3 0} .
在两个集合之间还可以定义直积或笛卡尔(Descartes)乘积, 设A, B是
方程 x2 3x 2 0的解;由无限个元素组成的集合,称为无限集, 如不等式 2x 3 0的解, 平面上所有直角三角形. 不含任何元素的集合称为空集, 记
作 , 例如由方程 x2 3 0 的实根组成的集合, 就是一个空集. 空集是任
何集合的子集. 元素为数的集合称为 数集, 常见的数集有 : 自然数集合N, 整数集合Z,
就说 a 属于 A, 记作 a A;如果 a 不是集合 A 的元素, 就说 a 不属于A , 记
作 a A. 如果集合 A 中的每一个元素同时也是集合 B 中的元素, 则称 A 是 B 的
子集或称 A 包含于 B 或 B 包含 A, 记作 A B 或B A.如果 A B且 B A,

经典-高数第1章:函数、极限与连续

经典-高数第1章:函数、极限与连续

重要结论:
基本初等函数在 其定义域上 都是连续的
函数的复合
复合函数的定义 y f x
y f u
是由u x
和 x
注意: 域内
复合而成的函数
的值域应落在f(x)的定义
理解:可以理解为换元法的过程
反三角函数 f(x)=arcsinx
初等函数
注意:高中阶段对反三角函数介绍较少,
等价无穷小(注意:不是等阶)
等价无穷小的转移定理
注意:表达 方法
无穷小量
等价无穷小转移定理的应用
经典题型
比较无穷小量的高低阶 证明无穷小(大) 求特殊的极限 计算极限中的系数值
应用
函数的连续
函数连续的定义
函数在x0连续的三个条件
函数在x0及其左右有定义 函数在x0的极限存在 函数在x0的极限值等于该点的函数值,即
经典题型:怎么判断一个表达式是不是函 数?
最主要的判断方法:一个x是对应了几个y值
定义域
自变量x的取值范围 经典题型:求定义域关注哪些要点?
①分母不能为零; ②偶次根号下非负; ③对数的真数大于零; ④正切符号下的式子不等于kπ +π /2;
值域
因变量y的值的集合
经典题型
与定义域或∞有关的极限计算
0/0型
解法:通常分子分母可以化简、消项
∞/ ∞型 解法:分子、分母同时除以最高项
极限
带有开方型 解法:有理化分子(注意:是有理化 分子)
换元法
无穷小量
无穷小量定义
注意:一定要讲函数 是在趋于某个值x0时 的无穷小,否则,趋 于另外一个值时,有 可能就不是无穷小了

微积分第一章

微积分第一章

高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。

具体的要求如下:1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。

2. 掌握极限四则运算法则。

3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。

4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。

5。

理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。

6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。

7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。

第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。

4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。

4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价:恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里.华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。

张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。

……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。

高数函数,极限和连续总结

高数函数,极限和连续总结

第一章 函数.极限和连续第一节 函数1. 决定函数的要素:对应法则和定义域2. 基本初等函数:(六类)(1) 常数函数(y=c );(2)幂函数(y=x a );(3)指数函数(y=a x ,a>0,a ≠1);(4)对数函数(y=log a x ,a>0,a ≠1)(5)三角函数;(6)反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。

特例:y =√x 2是初等函数3.构成复合函数的条件:内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧:对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质:有界性,单调性,奇偶性,周期性。

第二节 极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x |>ð(或0<|x −x 0|<ð )时总有 |f (x )−A |<&称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)2.极限存在的充要条件lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则(1)夹逼定理f 1(x )≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A(2)单调有界准则单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量,则称 时,f (x )为无穷小量 , 则称 时,f (x )为无穷大量 注:零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

注:无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小, 则若 则称 α 是β比高阶的无穷小,记作若 则称α是比β 低阶的无穷小∞=→)(lim 0x f x x )(或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x )(或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα);(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα若 则称 α 是β的同阶无穷小;特别地,当c=1 时,则称α 是β的等价无穷小,记作若 则称α是关于β 的 k 阶无穷小。

第一章 函数极限与连续

第一章 函数极限与连续


解 填1. 设xn =
4 x3 + x2 + 1 x3 + x2 + 1 = 0 , 所以 lim (sin x + cos x) = 0. x 3 x→∞ x→∞ 2 +x 2x + x3 lim
不定式的极限 arctan x − sin x (14) lim = . x→0 x3 x ln(1 + x) = (15) lim . x→0 1 − cos x 1 解 填2. 因为当x → 0时, ln(1 + x) ∼ x, 1 − cos x ∼ x2 . 于是 2

n→∞

lim
n − 2na + 1 n(1 − 2a)
n
n

= lim
n→∞
1 1+ n(1 − 2a)
n(1−2a)· 1 1−2a
= e 1−2a .
1
于是 lim ln
n→∞
n − 2na + 1 n(1 − 2a)
x→∞
=
1 . 1 − 2a .
(11) 极限 lim x sin
2x = x2 + 1
x→0
=
1 1 x2 · lim = · lim 4 x→0 ln(1 + x) − x 4 x→0 3 sin x + x2 cos
1 1+x
1 2x 1 = · lim (1 + x) = . 2 x→0 2 −1
1 x (18) lim = x→0 (1 + cos x) m zn = a, 则必有 lim yn = a.
n→∞ n→∞ n→∞
上述准则对于函数的情形也成立。

第一章 函数,极限与连续

第一章 函数,极限与连续

五、初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
第一章 函数,极限与连续
1.1 初等函数 1.2 数列的极限 1.3 函数的极限 1.4 无穷小与无穷大
1.5 极限的计算法则 1.6 无穷小的比较 1.7 函数的连续性 1.8 连续函数的性质
1.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
x y xb
loga x loga b loga x
y
我们在以后的计算中经常会用到
a elna
xa eln xa ealn x
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y
y sin x
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
-π π O π π 3π 2π

2
2
2
-1
4π x
余弦函数 y cos x
y
y cos x R
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
记作: U(a, ) {x a x a }.
a

一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档

一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档

第一章 函数、极限、连续重点:1、求函数的极限(最重要的方法是L ’P 法则)2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法 ① 显函数: ()y f x =② 隐函数:由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例:1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==.③ 参数方程表示的函数:由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例:2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩确定了()y f x =.④ 积分上限函数: ()()xax f t dt Φ=⎰.例:2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数:()()F x P X x =≤, 其中X 为随机变量,x 为实数.⑥ 分段函数:自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数.【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ; 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ . 如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ;B. 极限表示的函数 2211()lim 0111n nn xx x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩; C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ .10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数.2、函数的性质 【了解函数的有界性,单调性,周期性,奇偶性】①.有界性:()f x 在某区间I 内有定义,若存在0M >,对任意x I ∈,总有()f x M ≤, 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例:2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx eπ≤≠≤∈≤<∈++. ②.单调性:()f x 在某区间I 内有定义,若12,x x I ∀∈,当12x x <时12()()f x f x ≤,就称()f x 单调上升;当12x x <时,12()()f x f x ≥,就称()f x 单调下降. 不含等号时称严格单增(或单减).③.奇偶性:若()()f x f x -=, 则称()f x 为偶函数,偶函数的图形关于y 轴对称; 若()()f x f x -=-,则称()f x 为奇函数,奇函数的图形关于原点对称.④.周期性:()()(0)f x T f x T +=≠. (主要是三角函数)【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性. 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是( ).A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数. 【解】 因为 2x k ππ→+时, ()f x →∞,所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 (反、对、幂、三、指)① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= (μ为常数)例:21,y x y y x===③ 指数函数---x y a = (0,1a a >≠) ,xy e =④ 对数函数---log a y x = (0,1a a >≠) , ln y x =, lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念,理解复合函数及分段函数的概 念,了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=;f 为外层函数,ϕ称为内层函数.② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数:由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意:分段函数一般不是初等函数。

第1章 医学高等数学

第1章 医学高等数学
x2
单调函数图像的特点是:
单调增加函数对应的曲线随自变量x 的逐渐增大而上升;单调减少函数对 应的曲线随自变量x逐渐增加而下降。
y f(x)
(D[a,b])
f (x1) f (x2)
x x 1
2
y
y f(x)
(D[a,b])
f (x1)
f (x2)
x1 x2
y
x2
二、奇偶性 设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任 意一点x(-x∈D),都满足f(x)=f(-x),则称 函数f(x)在D内是偶函数;若函数f(x)对定 义域D内任意一点x,都满足f(x)=-f(x), 则称函数在D内是奇函数。
设函数y=f(u)和u=φ(x),且u=φ(x)的值域全 部在y=f(x)的定义域内,则称y=f[φ(x)]是由 这两个函数经过中间变量u而构成x的复合函数, 其中x为自变量,简称函数y=f[φ(x)]是x的复 合函数。
例如,函数 u2 1x2, yarc2s1inx2, 可定义复
x D 合函数
[ [1,23] 23,1]yarcu,usi2nx2
x2
(4){ xn}{ (1 )n 1}
注意:1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取
2.数列是整数函数
x2
f ( x)
1 x
趋势不定
收 敛
发散
【定义5】 对于数列 ,如果当n无限增大时,数列 无
限接近某一个确定常数A,则称A为数列 的
极限,或称数列 收敛于A,记

,否则称数列发散。
limf(x)limf(x)A
xx0 xx0
再如,
g(x)12x ,(x)
yx 01,,((xx))

第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质

第1章  函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质

提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1

2e
2

.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o

x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.

经济数学第1章 函数极限与连续

经济数学第1章 函数极限与连续
显然,若T是周期函数f(x)的周期,则kT也是f (x)
的周期(k=1,2,3 ),通常我们说的周期函数的周期就
是指最小正周期. 例如,函数y=sin x及y=cos x都是以2π 为周期的
周期函数;
函数y=tan x及y=cot x都是以 π为周期的周期函数.
例13 求函数 f (t) Asin( t ) 的周期,其中A,,为常数 解 设所求的周期为T,由于
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
结束
1.1 函 数
1.1.1 函数的概念
定义1 设x与y是两个变量,若当变量x在非空数集D内任取
一个数值时,变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的
数值y 与之对应,则称变量y为变量x 的函数,记作
x D y f (x)
义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数,cos x是
偶函数.
此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其
中 secx 1 ,cs.c它x 们 都1是以
cos x
sin x
为周期的2函π
数,并且在开区间 (0,内π)都是无界函数. 2
(5)反三角函数 三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函
1 x

f[
f
( x)]
1
1 f (x)

1
1 1
1 基本初等函数
(1)幂函数 y x ( 是常数)
幂函数 x 的定义域随 的不同而不同.
当为正整数时,x 的定义域为( , ).
当为负整数时,x 的定义域为( ,0)和(0, ).

第一章 函数、极限与连续

第一章  函数、极限与连续

第一章 函数 极限 连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D 是一个非空数集,若存在一个对应法则f ,使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应,则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数,记作:)(x f y =,其中x 叫自变量,y 叫因变量或函数,数集D 称为函数的定义域,而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.如果D x ∈0,称函数)(x f 在0x 处有定义,函数)(x f 在0x 处的函数值记为0x x y =或)(0x f .注释:①函数定义的两个要素:定义域和对应法则;②两个函数相等条件:定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数,如:22)(2---=x x x x f 与1)(+=x x g 不同,因定义域不同;x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同,因对应法则不同;x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同,也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时,即使其自变量所用的字母不同,但两个函数相同.③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ,则称该函数为单值函数,若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ,这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性:设函数在区间D 上有定义,如果对2121,x x D x x <∈∀且,恒有)()(21x f x f <(或)()(21x f x f >),则称)(x f 在区间D 上严格单调增加(或严格单调减少)的.如果对于D x x ∈∀21,21x x <且,有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加(或单调减少)的.注释:(1)函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的,区间不同函数的有界性与单调性也不同.(2)增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减,增的倒数为减,减的倒数为增. (3)增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. (4)增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性:设D 是对称于原点的区间,若对D x ∈∀,)()(x f x f -=-有,则称)(x f 是奇函数;若有)()(x f x f =-,称)(x f 是偶函数.注释:①奇(偶)函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数)(x f 的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称. ③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数;偶函数的代数和仍为偶函数;奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数;2°偶数个奇(或偶)函数的积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数; 3°一奇一偶函数的积是奇函数;4°奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数;5°奇函数的原函数是偶函数;偶函数)(x f 的原函数⎰=xa dt t f x F )()(是奇函数的充要条件是0=a ,即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式,即=)(x f 2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.3、函数的有界性:设)(x f 在区间D 上有定义,如果存在0>M ,使得对一切D x ∈都有M x f ≤)(,则称)(x f 在D 上有界,否则称为无界,即对0>∀M ,若存在D x ∈0,使得M x f >)(,称)(x f 在D 上是无界的.注释:函数的有界性与x 的取值区间有关. 若函数xy 1=在区间),1(+∞上有界,但在)1,0(内是无界的,因为在这个区间上函数满足定义的M 不存在,即函数的有界性与x 的取值区间有关.4、函数的周期性:设)(x f 的定义域为D ,若存在常数0>T ,伎得对D x ∈∀,必有D T x ∈±,并且有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 是以T 为周期的周期函数,T 称为函数)(x f 的周期,所有周期中的最小正周期叫函数)(x f 的周期.注释:①周期函数的定义域必须是无限点集,但不能是有限区间. 如:x y tan =的定义域是(+∞∞-,)且....,2,1,0,2=+≠k k x ππ②若)(x f 的周期为T ,则)(φω+x f 的周期为ωT(0≠ω);③周期函数的和、差、积仍为周期函数,且周期为各个函数周期的最小公倍数,如:x x y 3cos 4sin +=周期是32,42ππ的最小公倍数π2,但也有例外,如:x sin ,x cos 的周期为2π,但x x y cos sin +=的周期为π;④周期函数的导数仍为周期函数,且周期不变; ⑤设)(x f 是周期为T 的函数,则它的原函数⎰=xadt t f x F )()(为周期函数的充要条件是0)(0=⎰Tdx x f ,或者说,周期函数的原函数不一定是周期函数,如:x x f cos 1)(+=是以2π为周期的函数,但其任一个原函数C x x x F ++=sin )(不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数⎩⎨⎧=无理数有理数x x y ,0,1任何有理数r 都是它的周期,即若x 为有理数, r x +也是有理数,故有)(1)(r x f x f +==;若x 为无理数, r x +也是无理数,故)(0)(r x f x f +==,可见r 为)(x f 的周期,但它没有最小的正周期. 又如:C y =,C 为常数,它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数)(x f y =,其定义域为D ,值域为M ,如果对于M 中的某一个y 值(M y ∈),都可以从关系式)(x f y =确定唯一的x (D x ∈)与之对应,这样就确定了一个以y 为自变量的新函数,记为:)(1y fx -=,称函数)(1y f x -=为函数)(x f y =的反函数,它的定义域为M ,值域为D .注释:①习惯上自变量用x 表示,函数用y 表示,因此函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常表示为)(1x fy -=.②反函数的定义域就是其原来函数的值域;反函数的值域就是原来函数的定义域,且有)]([)]([11x f f x x f f --==.③原来函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像关于x y =对称(前提是在同一坐标系中),)(x f y =的图像与其反函数)(y x φ=的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若)(x f 在区间I 内单调⇒)(x f 在区间I 内一定存在单值反函数,反之不一定成立,即若)(x f 在区间I 内存在单值反函数但)(x f 在区间I 内不一定单调,如: ⎩⎨⎧≤≤+≤--=10,101,)(x x x <x x f 在区间]1,1[-内存在单值反函数,但它在]1,1[-上不单调.四、复合函数若函数)(x u φ=在0x 处有定义,而)(u f y =在)(00x u φ=处有定义,则)]([x f y φ=称为由)(u f y =和)(x u φ=复合而成的复合函数,u 称为中间变量.注释:①只有当函数)(x u φ=的值域与)(u f y =的定义域的交集不是空集时才构成复合数. ②函数的复合:先利用外层函数关系,再利用内层函数关系而构成,如:设x x f sin )(=,x e x =)(φ,则x e x x f sin )](sin[)]([==φφ.③复合函数的分解:先找到外层函数关系,设其内部整体为中间变量u ,再依次分解,如:21)]sin [arctan(x x y +=,可设)sin arctan(x x u +=,x x v sin +=,则原来函数是由21u y = , v u arctan =,x x v sin +=复合而成.五、初等函数1、基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数:由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释:初等函数必须用一个式子表示,不能用一个式表示的函数不能称为初等函数,故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数:若函数在其定义域内的不同部分上,分别用不同的表达式表示,这类函数称为分段函数.如:符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 是分段函数且是有界函数和奇函数.又如: x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==是分段函数.注释:分段函数一般不是初等函数,但若)(x f 是初等函数,则⎩⎨⎧<-≥==.0)(),(,0)(),()()(2x f x f x f x f x f x f 是初等函数. 又如:取整函数[]x y =,即“不超过x 的最大整数”是分段函数. 又如:定义在R 上的狄利克雷(Dirichlet )函数⎩⎨⎧=.,0,1)(无理数有理数x ,x x D 是分段函数,且是有界的,)(x D 是周期函数,但没有最小的正周期,任何有理数都是它的周期,并且)(x D 还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数,则(1))(x f 是初等函数,因为=)(x f []2)(x f ;(2)最大值函数max )(=x ϕ{})(),(x g x f 和最小值函数{})(),(min )(x g x f x =ψ都是初等函数,这是因为{}[])()()()(21)(),(max )(x g x f x g x f x g x f x -++==ϕ {}[])()()()(21)(),(min )(x g x f x g x f x g x f x --+==ψ (3)幂指函数)()]([x g x f y = (0)(>x f )是初等函数,因为)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e e x f x g ==.1.2 极限一、数列极限的定义 1、数列极限的概念设}{n x 为数列,a 为定数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当N n >时,有ε<-a x n ,则称数列}{n x 收敛于a ,而a 称为数列}{n x 的极限,记作:a x n n =∞→lim ,或a x n →(∞→n ).若数列}{n x 没有极限,则称数列}{n x 不收敛,或称}{n x 为发散数列. 若0lim =∞→n n x ,则称}{n x 为无穷小数列.定理 数列}{n x 收敛于a 的充要条件是:}{a x n -为无穷小数列. 2、有界数列的概念对于数列}{n x ,如果存在正数M ,使得对于一切的n x 都有不等式M x n ≤||成立,则称数列}{n x 是有界的;如果这样的正数M 不存在,则称数列}{n x 是无界的.注释:(1)若数列}{n x 收敛,则数列有界;(2)有界数列}{n x 不一定收敛,如:n n a )1(-=有界,但不收敛,所以数列有界是数列收敛的必要条件;(3)C C n =∞→lim (常数);01lim=∞→p n n (0>p );0lim =∞→nn q (1<q ); (4)等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=. (5)等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1.3、单调数列的概念对于数列}{n x ,如果满足条件 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ,则称数列}{n x 为单调增加数列;如果满足条件 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ,则称数列}{n x 为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理(单调有界准则) 单调有界数列必有极限.二、函数极限1、∞→x 时,函数)(x f 的极限 (1)概念定义 如果当∞→x 时,函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ,则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限,记作:A x f x =∞→)(lim 或A x f →)((∞→x ).注释:(1)∞→x 是指x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况:x 取正值并无限增大,记作:+∞→x ;x 取负值且其绝对值无限增大,记作:-∞→x .(2)如果+∞→x 和-∞→x 两种情况都存在且函数的极限值相等时,则可合并写成∞→x . 定义 如果当+∞→x 时,函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ,则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限,记作:A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)((+∞→x ).如果当-∞→x 时,函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ,则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限,记作:A x f x =-∞→)(lim 或A x f →)((-∞→x ).(2)函数)(x f 在∞→x 时极限存在的充要条件定理 极限A x f x =∞→)(lim 存在的充要条件是A x f x =+∞→)(lim 且A x f x =-∞→)(lim .如:由于2arctan lim π=+∞→x x ,2arctan lim π-=-∞→x x ,所以x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠,故极限x x arctan lim ∞→不存在;又如:由于0lim =-∞→x x e ,+∞=+∞→x x e lim 即不存在,故极限xx e ∞→lim 不存在.2、0x x →时,函数)(x f 的极限 (1)函数)(x f 在0x x →时的极限概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义,如果当0x x →时,函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ,则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限,记作:A x f x x =→)(lim 0或Ax f →)((0x x →).注释:0x x →表示x 趋近于0x ,含以下两种情况:(1)x 从大于0x 的一侧(即右侧)趋近于0x ,记作:+→0x x ; (2)x 从大于0x 的一侧(即右侧)趋近于0x ,记作:-→0x x .(2)函数左极限与右极限的概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个左侧邻域),(00x x δ-(0>δ)内有定义,如果当x 从0x 的左侧趋近于0x (记作:-→0x x )时,函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ,则称A 为函数)(x f 当-→0x x 时的极限,记作:A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0或A x f =-)0(0.设函数)(x f 在0x 的某个右侧邻域),(00δ+x x (0>δ)内有定义,如果当x 从0x 的右侧趋近于0x (记作:+→0x x )时,函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ,则称A 为函数)(x f 当+→0x x 时的极限,记作:A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0或A x f =+)0(0.(3)函数)(x f 在0x x →时极限存在的充要条件定理 极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.注释:该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. (4)几个常用极限01lim=∞→x x ,C C x x =→0lim (常数),0sin lim 0=→x x ,1cos lim 0=→x x ,00lim x x x x =→. (5)初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点0x 的极限等于该点的函数值;初等函数在定义区间内任一点0x 的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质(1)唯一性:若极限)(lim 0x f x x →存在,则它的极限必唯一;(2)局部有界性:若)(li m 0x f x x →存在,则0>∃δ和0>M ,当δ<-<00x x 时,有M x f ≤)(;(3)保序性:设A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,(Ⅰ)若B A >,则0>∃δ,当δ<-<00x x 时,有)()(x g x f >; (Ⅱ)若当δ<-<00x x 时,有)()(x g x f >,则B A ≥.(4)保号性:若0)(lim 0>=→A x f x x (或<0),则必0>∃δ,当δ<-<00x x 时,有0)(>x f (或0)(<x f )若0)(>x f (或0)(<x f ),且A x f x x =→)(lim 0,则0≥A (或0≤A ).注释:①上述的变化趋势0x x →,可以换成-→0x x ,+→0x x ,∞→x ,-∞→x ,+∞→x②若)0(0)(<>或x f ,且A x f x x =→)(lim 0,则0>A )0(<或是错误的,如)0(0)(2≠>=x x x f ,但0)(lim 0=→x f x1.3 极限的运算法则若)(lim x f ,)(lim x g 都存在,则(1)[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±;(2)[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=,特别地)(lim )(lim x f C x Cf =; (3))(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =,其中0)(lim ≠x g ; (4))]([lim )]([lim x g f x g f =; (5)[],)(lim )(lim )(lim )(x g x g x f x f =其中0)(lim >x f 且不等于1,特别地[]αα)(lim )](lim[x f x f =(α为实数). 注释:①法则(1)(2)可以推广到有限个函数.②0x x →时有理分式极限的求法设)(x R 是有理分式,01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R n n n n n n n n m n ++++++++==---- ,其中0≠n a ,0≠n b .(1)若0)(0≠x Q m ,则)()()()(lim 0000x R x Q x P x R m n x x ==→;(2)若0)(0=x Q m ,而0)(0≠x P n ,则∞=→)(lim 0x R x x ;(3)若0)(0=x Q m 且0)(0=x P n ,则)(x P n 与)(x Q m 一定有公因子)(0x x -,将)(x P n 与)(x Q m 因式分解,约去公因式后再计算极限.③∞→x 时有理分式极限的求法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=∞→.,.,.,0)(lim 时当时当时当n m n m b an m x R n n x 其中0≠n a ,0≠n b . ④无理分式极限的求法:先分子或分母有理化,在计算极限 ⑤“∞-∞”型有理分式的求法:先通分,再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理:如果对于0x 的去心邻域内的一切x 都有)()()(x h x f x g ≤≤,且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0,则有A x f x x =→)(lim 0.二、两个重要极限 1、1sin lim0=→xx x ,1sin lim 0=→x x x ,一般的1sin lim0=∆∆→∆,∆表示任一函数)(x u ,即1)()(sin lim 0)(=→x u x u x u ;2、e xxx =+∞→)11(lim ,e x x x =+→10)1(lim ,一般的e =∆+∆∞→∆)11(lim ,e =∆+∆→∆10)1(lim ,∆表示任一函数)(x u ,即e x u x u x u =+∞→)()())(11(li m ,e x u x u x u =+→)(1)())(1(lim .1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若0)(lim 0=→x f x x (或0)(lim =∞→x f x ),则称)(x f 是0x x →(或∞→x )时的无穷小量,简称无穷小;2、极限与无穷小量的关系α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0,其中α是0x x →时的无穷小量.|)(|)(lim )(0A x f A x f x x x -⇔=∞→→是0x x →(或∞→x )时的无穷小量.3、无穷小量的性质(1)有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量,(2)有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。

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(完整版)⼤⼀⾼数第⼀章函数、极限与连续第⼀章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要,到了17世纪,对物体运动的研究成为⾃然科学的中⼼问题.与之相适应,数学在经历了两千多年的发展之后进⼊了⼀个被称为“⾼等数学时期”的新时代,这⼀时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点,认识到“数”的研究⽐“形”更重要,以积极的态度开展对“⽆限”的研究,由常量数学发展为变量数学,微积分的创⽴更是这⼀时期最突出的成就之⼀.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.极限是研究函数的⼀种基本⽅法,⽽连续性则是函数的⼀种重要属性.因此,本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍⾼等数学的⼀些基本概念,其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质,以及与极限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作⽤的⽆穷⼩量的概念和性质.此外,还给出了两个极其重要的极限.随后,运⽤极限的概念引⼊函数的连续性概念,它是客观世界中⼴泛存在的连续变化这⼀现象的数学描述.第⼀节变量与函数⼀、变量及其变化范围的常⽤表⽰法在⾃然现象或⼯程技术中,常常会遇到各种各样的量.有⼀种量,在考察过程中是不断变化的,可以取得各种不同的数值,我们把这⼀类量叫做变量;另⼀类量在考察过程中保持不变,它取同样的数值,我们把这⼀类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的,如⾃然数由⼩到⼤变化、数列的变化等,⽽更多的则是在某个范围内变化,即该变量的取值可以是某个范围内的任何⼀个数.变量取值范围常⽤区间来表⽰.满⾜不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间,记为,a b ,即 ,{|}a b x a x b =≤≤;满⾜不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间,记为(,)a b ,即(,){|}a b x a x b =<<;满⾜不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间,记为 (,a b ?? (或),a b ??),即(,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间,实数a ,b 称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有⽆限区间:(){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ,,(,{|}b x x b -∞=-∞<≤??,(,){|}b x x b -∞=-∞<<, ){|}a x a x +∞=≤<+∞??,, (){|}a x a x +∞=<<+∞,,等等. 这⾥记号“-∞”与“+∞”分别表⽰“负⽆穷⼤”与“正⽆穷⼤”.邻域也是常⽤的⼀类区间.设0x 是⼀个给定的实数,δ是某⼀正数,称数集:{}00|x x δxx δ-<<+为点0x 的δ邻域,记作0(,)U x δ.即(){}000,|U x δx x δx x δ=-<<+称点0x 为该邻域的中⼼,δ为该邻域的半径(见图1-1).称{}00(,)U x δx -为0x 的去⼼δ邻域,记作0(,)x δoU ,即{}00(,)|0U x δx x x δ?=<-<图1-1下⾯两个数集(){}000,|U x δx x δx x ?-=-<<,(){}000,|U x δx xx x δ?+=<<+,分别称为0x 的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时,我们⽤0()U x ,0()x oU 分别表⽰0x 的某邻域和0x 的某去⼼邻域,(),x δ-oU ,(),U x δ?+分别表⽰0x 的某左邻域和0x 的某右邻域.⼆、函数的概念在⾼等数学中除了考察变量的取值范围之外,我们还要研究在同⼀个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量,例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标,弹簧的恢复⼒与它的形变,等等.我们关⼼的是变量与变量之间的相互依赖关系,最常见的⼀类依赖关系,称为函数关系.定义 1 设A ,B 是两个实数集,如果有某⼀法则f ,使得对于每个数x A ∈,均有⼀个确定的数y B ∈与之对应,则称f 是从A 到B 内的函数.习惯上,就说y 是x 的函数,记作()y f x = ()x A ∈其中,x 称为⾃变量,y 称为因变量,()f x 表⽰函数f 在x 处的函数值.数集A 称为函数f 的定义域,记为()D f ;数集{}()|(),f A y y f x x A B ==∈?称为函数f 的值域,记作()R f .从上述概念可知,通常函数是指对应法则f ,但习惯上⽤“() ,y f x x A =∈”表⽰函数,此时应理解为“由对应关系()y f x =所确定的函数f ”.确定⼀个函数有两个基本要素,即定义域和对应法则.如果没有特别规定,我们约定:定义域表⽰使函数有意义的范围,即⾃变量的取值范围.在实际问题中,定义域可根据函数的实际意义来确定.例如,在时间t 的函数()f t 中,t 通常取⾮负实数.在理论研究中,若函数关系由数学公式给出,函数的定义域就是使数学表达式有意义的⾃变量x 的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现,它表⽰两个变量之间的⼀种对应关系.例如,⽓温曲线给出了⽓温与时间的对应关系,三⾓函数表列出了⾓度与三⾓函数值的对应关系.因此,⽓温曲线和三⾓函数表表⽰的都是函数关系.这种⽤曲线和列表给出函数的⽅法,分别称为图⽰法和列表法.但在理论研究中,所遇到的函数多数由数学公式给出,称为公式法.例如,初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数与反三⾓函数都是⽤公式法表⽰的函数.从⼏何上看,在平⾯直⾓坐标系中,点集()(){(,)|,}x y y f x x D f =∈称为函数()y f x =的图像(如图1-2所⽰).函数()y f x =的图像通常是⼀条曲线,()y f x =也称为这条曲线的⽅程.这样,函数的⼀些特性常常可借助于⼏何直观来发现;相反,⼀些⼏何问题,有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举⼀个具体函数的例⼦.图1-2例1求函数y . 解要使数学式⼦有意义,x 必须满⾜> ,240,10x x ?-≥??-??即 >2,1.x x ?≤由此有 12x <≤,因此函数的定义域为(12??,.有时⼀个函数在其定义域的不同⼦集上要⽤不同的表达式来表⽰对应法则,称这种函数为分段函数.下⾯给出⼀些今后常⽤的分段函数.例2 绝对值函数<,0,,0.x x y x x x ≥?==?-? 的定义域()()D f =-∞+∞,,值域()[0,)R f =+∞,如图1-3所⽰. 例3 符号函数<>1,0,sgn 0,0,1,0x y x x x -??===的定义域()()D f =-∞+∞,,值域()11{0}R f =-,,,如图1-4所⽰.图1-3 图1-4例4 最⼤取整函数y x =,其中x 表⽰不超过x 的最⼤整数.例如,113??-=-,00=,12??=??,π3=等等.函数y x =的定义域()()D f =-∞+∞,,值域(){}R f =整数.⼀般地,y x n ==,1n x n ≤<+,120,,n =±±L ,,如图1-5所⽰.图1-5在函数的定义中,对每个()x D f ∈,对应的函数值y 总是唯⼀的,这样定义的函数称为单值函数.若给定⼀个对应法则g ,对每个()x D g ∈,总有确定的y 值与之对应,但这个y 不总是唯⼀的,我们称这种法则g 确定了⼀个多值函数.例如,设变量x 与y之间的对应法则由⽅程2225x y +=给出,显然,对每个55[,]x ∈-,由⽅程2225x y +=可确定出对应的y 值,当5x =或5-时,对应0y =⼀个值;当55(,)x ∈-时,对应的y 有两个值.所以这个⽅程确定了⼀个多值函数.对于多值函数,往往只要附加⼀些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分⽀.例如,由⽅程2225x y +=给出的对应法则中,附加“0y ≥”的条件,即以“2225x y +=且0y ≥”作为对应法则,就可以得到⼀个单值分⽀()2125y g x x ==-;附加“0y ≤”的条件,即以“2225x y +=且0y ≤” 作为对应法则,就可以得到⼀个单值分⽀22()25y g x x ==--.关系的,如⾼度为⼀定值的圆柱体的体积与其底⾯圆半径r 的关系,就是通过另外⼀个变量其底⾯圆⾯积S 建⽴起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.定义2 设函数()y f u =的定义域为()D f ,函数()u g x =在D 上有定义,且()()g D D f ?.则由下式确定的函数()()y f g x =,x D ∈称为由函数()y f u =与函数()u g x =构成的复合函数,记作()()()()y f g x f g x =?=,x D ∈,它的定义域为D ,变量u 称为中间变量.这⾥值得注意的是,D 不⼀定是函数()u g x =的定义域()D g ,但()D D g ?.D 是()D g 中所有使得()()g x D f ∈的实数x 的全体的集合.例如,()y f u u ==, ()21u g x x ==-.显然,u 的定义域为(),-∞+∞,⽽()(0,)D f =+∞.因此,11,D -=,⽽此时1()0,R f g =.两个函数的复合也可推⼴到多个函数复合的情形.例如, log a µxu y x a ==()10a a >≠且可看成由指数函数u y a =与log a u µx =复合⽽成.⼜形如()log ()()()a v x u x v x y u x a ==()0u x >()10a a >≠且的函数称为幂指函数,它可看成由wy a =与()log ()a w v x u x =复合⽽成. ⽽y =可看成由y =sin u v =,2v x =复合⽽成.例5 设()1xf x x =+()1x ≠-,求()()()f f f x解令()y f w =,()w f u =,()u f x =,则()()()f f f x 是通过两个中间变量w 和u 复合⽽成的复合函数,因为()111121x x x x uxw f u u x ++====+++,12x ≠-;()2121,1131x x x x wxy f w w x ++====+++13x ≠-,所以 ()()()31x f f f x x =+,111,,23x ≠---.定义3 设给定函数()y f x =,其值域为()R f .如果对于()R f 中的每⼀个y 值,都有只从关系式()y f x =中唯⼀确定的x 值与之对应,则得到⼀个定义在()R f 上的以y 为⾃变量,x 为因变量的函数,称为函数()y f x =的反函数,记为()1x fy -=.从⼏何上看,函数()y f x =与其反函数()1x f y -=有同⼀图像.但⼈们习惯上⽤x 表⽰⾃变量,y 表⽰因变量,因此反函数()1xf y -=常改写成()1y f x -=.今后,我们称()1y f x -=为()y f x =的反函数. 此时,由于对应关系1f-未变,只是⾃变量与因变量交换了记号,因此反函数()1y fx -=与直接函数()y f x =的图像关于直线y x =对称,如图 1 - 6所⽰.图1-6值得注意的是,并不是所有函数都存在反函数,例如函数2y x =的定义域为()-∞+∞,,值域为,但)0+∞??,对每⼀个()0y ∈+∞,,有两个x 值即1x =和2x =因此x 不是y 的函数,从⽽2y x =不存在反函数.事实上,由逆映射存在定理知,若f 是从()D f 到()R f 的⼀⼀映射,则f 才存在反函数1f -.例6 设函数(1)1xf x x +=+ ()1x ≠-,求()11f x -+.解函数()1y f x =+可看成由()y f u =,1u x =+复合⽽成.所求的反函数()11y f x -=+可看成由()1y fu -=,1u x =+复合⽽成.因为()11x u f u x u-==+,0u ≠,即1u y u -=,从⽽,()11u y -=-, 11u y=-,所以 ()111y f u u-==-,因此 ()1111,01(1)f x x x x-+==-≠-+.三、函数的⼏种特性1. 函数的有界性设函数()f x 在数集D 上有定义,若存在某个常数L ,使得对任⼀x D ∈有()f x L ≤(或()f x L ≥),则称函数()f x 在D 上有上界(或有下界),常数L 称为()f x 在D 上的⼀个上界(或下界);否则,称()f x 在D 上⽆上界(或⽆下界).若函数()f x 在D 上既有上界⼜有下界,则称()f x 在D 上有界;否则,称()f x 在D 上⽆界.若()f x 在其定义域D f ()上有界,则称()f x 为有界函数.容易看出,函数()f x 在D 上有界的充要条件是:存在常数M>0,使得对任⼀x D ∈,都有()f x M ≤.例如,函数sin y x =在其定义域()-∞+∞,内是有界的,因为对任⼀()x ∈-∞+∞,都有sin 1x ≤,函数1y x=在()10,内⽆上界,但有下界. 从⼏何上看,有界函数的图像界于直线y M =±之间.2. 函数的单调性设函数()f x 在数集D 上有定义,若对D 中的任意两数12,x x 12()x x <,恒有()()12f x f x ≤ [或()()12f x f x ≥],则称函数()f x 在D 上是单调增加(或单调减少)的.若上述不等式中的不等号为严格不等号,则称为严格单调增加(或严格单调减少)的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数;严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所⽰.图1-7例如,函数()3f x x =在其定义域()-∞+∞,内是严格单调增加的;函数()cos f x x =在π0,()内是严格单调减少的.从⼏何上看,若()y f x =是严格单调函数,则任意⼀条平⾏于x 轴的直线与它的图像最多交于⼀点,因此()y f x =有反函数.3. 函数的奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 关于原点对称(即若()x D f ∈,则必有()x D f -∈.若对任意的()x D f ∈,都有()()f x f x -=-[或()()f x f x -=],则称()f x 是()D f 上的奇函数(或偶函数).奇函数的图像对称于坐标原点,偶函数的图像对称于y 轴,如图1-11所⽰.图1-8例7 讨论函数()(ln f x x =的奇偶性. 解函数()f x 的定义域()-∞+∞,是对称区间,因为()(lnln f x x ??-=-= (()ln x f x =-+=-所以,()f x 是()-∞+∞,上的奇函数. 4. 函数的周期性设函数()f x 的定义域为()D f ,若存在⼀个不为零的常数T ,使得对任意()x D f ∈,有x T D f ±∈()(),且f x T f x +=()(),则称()f x 为周期函数,其中使上式成⽴的常数T 称为()f x 的周期,通常,函数的周期是指它的最⼩正周期,即:使上式成⽴的最⼩正数T T (如果存在的话).例如,函数sin f x x =()的周期为π2;()tan f x x =的周期是π. 并不是所有函数都有最⼩正周期,例如,狄利克雷(Dirichlet )函数为数为⽆数10 ,) (,x D x x ?=??有理,理.任意正有理数都是它的周期,但此函数没有最⼩正周期.四、函数应⽤举例下⾯通过⼏个具体的问题,说明如何建⽴函数关系式.例8 ⽕车站收取⾏李费的规定如下:当⾏李不超过50千克时,按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费,当超过50千克时,超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的⾏李费y (元)与重量x (千克)之间的函数关系式,并画出函数的图像.解当500x <≤时,150.y x =;当50x >时,1552550.00.(0)y x =?+-. 所以函数关系式为:0.15, 050;7.50.25(50),50.x x y x x <≤?=?+->?这是⼀个分段函数,其图像如图1-9所⽰.图1-9例9 某⼈每天上午到培训基地A 学习,下午到超市B ⼯作,晚饭后再到酒店C 服务,早、晚饭在宿舍吃,中午带饭在学习或⼯作的地⽅吃.A B C ,,位于⼀条平直的马路⼀侧,且酒店在基地与超市之间,基地与酒店相距3km ,酒店与超市相距5km ,问该打⼯者在这条马路的A 与B 之间何处找⼀宿舍(设随处可找到),才能使每天往返的路程最短. 解如图1-10所⽰,设所找宿舍D 距基地A 为x (km ),⽤f x ()表⽰每天往返的路程函数.图1-10当D 位于A 与C 之间,即30x ≤≤时,易知()()8823222f x x x x x =++-+-=-(),当D 位于C 与B 之间,即38x ≤≤时,则()882312()()0.f x x x x x =++-+-=+ 所以22,03;()102,38.x x f x x x -≤≤?=?+≤≤?这是⼀个分段函数,如图1-11所⽰,在30,上,()f x 是单调减少,在38,上,()f x 是单调增加.从图像可知,在3x =处,函数值最⼩.这说明,打⼯者在酒店C 处找宿舍,每天⾛的路程最短.图1-11五、基本初等函数初等数学⾥已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数、反三⾓函数,以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的⽅便,下⾯我们再对这⼏类函数作⼀简单介绍.1. 幂函数函数µy x = (µ是常数)称为幂函数.幂函数µy x =的定义域随µ的不同⽽异,但⽆论µ为何值,函数在()0+∞,内总是有定义的. 当0µ>时,µy x =在)0+∞??,上是单调增加的,其图像过点0,0()及点()1,1,图1-12列出了12µ=,1µ=,2µ=时幂函数在第⼀象限的图像. 当0µ<时,µy x =在()0+∞,上是单调减少的,其图像通过点()1,1,图1-13列出了12µ=-,1µ=-,2µ=-时幂函数在第⼀象限的图像.图1-12 图1-132. 指数函数函数x y a =(a 是常数且10a a >≠,)称为指数函数.指数函数x y a =的定义域是()-∞+∞,,图像通过点()10,,且总在x 轴上⽅. 当时1a >,x y a =是单调增加的;当10a <<时,x y a =是单调减少的,如图1-14所⽰.以常数e 271828182.=L 为底的指数函数e x y =是科技中常⽤的指数函数.图1-143. 对数函数指数函数x y a =的反函数,记作log a y x =(a 是常数且10,a a >≠),称为对数函数.对数函数log a y x =的定义域为()0+∞,,图像过点()1,0.当1a >时,log a y x =单调增加;当10a <<时,log a y x =单调减少,如图1-15所⽰.科学技术中常⽤以e 为底的对数函数e log y x =,图1-15它被称为⾃然对数函数,简记作ln y x =.另外以10为底的对数函数1log 0y x =,也是常⽤的对数函数,简记作g l y x =.4. 三⾓函数常⽤的三⾓函数有正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =,余切函数 cot y x =,其中⾃变量x 以弧度作单位来表⽰.它们的图形如图1-16,图1-17,图1-18和图1-19所⽰,分别称为正弦曲线,余弦曲线,正切曲线和余切曲线.图1-16图1-17正弦函数和余弦函数都是以π2为周期的周期函数,它们的定义域都为(),-∞+∞,值域都为1,1-.正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.图1-18 图1-19由于πcos sin 2x x ??=+ ??,所以,把正弦曲线sin y x =沿x 轴向左移动π2个单位,就获得余弦曲线cos y x =.正切函数sin tan cos xy x x==的定义域为()21{|(),}D f x x x n n =∈≠+R ,整为数. 余切函数cos cot sin xy x x==的定义域为 ()π{,}D f x x x n n =∈≠R |,整为数.正切函数和余切函数的值域都是()-∞+∞,,且它们都是以π为周期的函数,且都是奇函数.另外,常⽤的三⾓函数还有正割函数sec y x =;余割函数cscy x =.它们都是以π2为周期的周期函数,且1sec cos x x=; 1csc sin x x =.5. 反三⾓函数常⽤的反三⾓函数有反正弦函数 arcsin y x = (如图1-20);反余弦函数 arccos y x = (如图1-21);反正切函数 arctan y x = (如图1-22);反余切函数arccot y x = (如图1-23).它们分别称为三⾓函数sin y x =,cos y x =,tan y x =和cot y x =的反函数.这四个函数都是多值函数.严格来说,根据反函数的概念,三⾓函数sin y x =,cos y x =,tan y x =和cot y x =在其定义域内不存在反函数,因为对每⼀个值域中的数y ,有多个x 与之对应.但这些函数在其定义域的每⼀个单调增加(或减少)的⼦区间上存在反函数.例如,sin y x=在闭区间,22ππ??-上单调增加,从⽽存在反函数,称此反函数为反正弦函数arcsin x 的主值,记作y =arcsin x .通常我们称arcsin y x =为反正弦函数.其定义域为11,-,值域为,22ππ??-.反正弦函数arcsin y x =在11,-上是单调增加的,它的图像如图1-20中实线部分所⽰. 类似地,可以定义其他三个反三⾓函数的主值arccos arctan ,y x y x ==和arccot y x =,它们分别简称为反余弦函数,反正切函数和反余切函数.反余弦函数arccos y x =的定义域为1,1-,值域为π0,,在1,1-上是单调减少的,其图像如图1-21中实线部分所⽰.反正切函数arctan y x =的定义域为(),-∞+∞,值域为ππ22??-,,在()-∞+∞,上是单调增加的,其图像如图1-22中实线部分所⽰.反余切函数arccot y x =的定义域为()-∞+∞,,值域为π0,(),在()-∞+∞,上是单调减少的,其图像如图1-23中实线部分所⽰.图1-20 图1-21图1-22 图1-23六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能⽤⼀个式⼦表⽰的函数,称为初等函数.例如,23sin4y x x =+,(ln y x =+,3arctan22sin 1xy x x =+等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同⼦集⽤不同表达式来表⽰对应关系的,有些分段函数也可以不分段⽽表⽰出来,分段只是为了更加明确函数关系⽽已.例如,绝对值函数也可以表⽰成y x =1,,()0,x a f x x a ? 也可表⽰成1()12f x ? = ??.这两个函数也是初等函数.七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数双曲函数是⼯程和物理问题中很有⽤的⼀类初等函数.定义如下:双曲正弦 sh e e 2x xx --= ()x -∞<<+∞,双曲余弦 ch e e 2x xx -+= ()x -∞<<+∞,双曲正切 th e e e e sh ch x xx x+ ()x -∞<<+∞,其图像如图1-24和图1-25所⽰图1-24 图1-25.双曲正弦函数的定义域为()x -∞<<+∞,它是奇函数,其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内单调增加.双曲余弦函数的定义域为()x -∞<<+∞,它是偶函数,其图像通过点()10,且关于y 轴对称,在(),0-∞内单调减少;在()0+∞,内单调增加. 双曲正切函数的定义域为()x -∞<<+∞,它是奇函数,其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内是单调增加的.由双曲函数的定义,容易验证下列基本公式成⽴.()sh sh ch ch sh x y x y x y ±=±,()ch ch ch sh sh x y x y x y ±=±,sh22sh ch x x x =,2222ch2ch sh 12sh 2ch 1x x x x x =+=+=-,22ch sh 1x x -=.2. 反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数,sh y x =,ch y x =和th y x =的反函数,依次记为反双曲正弦函数 a rsh y x =,反双曲余弦函数 arch y x =,反双曲正切函数 a rth y x =.反双曲正弦函数a rsh y x =的定义域为()-∞+∞,,它是奇函数,在()-∞+∞,内单调增加,由sh y x =的图像,根据反函数作图法,可得a rsh y x =的图像,如图1-26所⽰.利⽤求反函数的⽅法,不难得到(a rsh ln y x x ==+.反双曲余弦函数arch y x =的定义域为)1+∞??,,在)1+∞??,上单调增加,如图1-27所⽰,利⽤求反函数的⽅法,不难得到(arch ln y x x ==.图1-26 图1-27反双曲正切函数a rtanh y x =的定义域为11()-,,它在11()-,内是单调增加的.它是奇函数,其图像关于原点(00),对称,如图1-28所⽰.容易求得a rth 1ln 1xy x x+==-.第⼆节数列的极限⼀、数列极限的定义定义1 如果函数f 的定义域()*{}D f N ==L ,,,123,则函数f 的值域()(){}**|f N f n n N =∈中的元素按⾃变量增⼤的次序依次排列出来,就称之为⼀个⽆穷数列,简称数列,即()()()12,,f f f n L L ,,.通常数列也写成12,n x x x L L ,,,,并简记为{}n x ,其中数列中的每个数称为⼀项,⽽()n x f n =称为⼀般项.对于⼀个数列,我们感兴趣的是当n ⽆限增⼤时,n x 的变化趋势.我们看下列例⼦:数列 12,,,,231nn +L L (1-2-1) 的项随n 增⼤时,其值越来越接近1;数列 2462 n L L ,,,,, (1-2-2)的项随n 增⼤时,其值越来越⼤,且⽆限增⼤;数列 1111(1)0,n n-+-L L ,,,, (1-2-3)的各项值交替地取1与0;数列 ()11111,,,,,23n n---LL (1-2-4) 的各项值在数0的两边跳动,且越来越接近0;数列 2222L L ,,,,, (1-2-5)各项的值均相同.在中学教材中,我们已知道极限的描述性定义,即“如果当项数n ⽆限增⼤时,⽆穷数列{}n x 的⼀般项n x ⽆限地趋近于某⼀个常数a (即n x a -⽆限地接近于0),那么就说a 是数列{}n x 的极限”.于是我们⽤观察法可以判断数列{}1n n -,1(1)n n -??-,{}2都有极限,其极限分别为1,20,.但什么叫做“n x ⽆限地接近a ”呢?在中学教材中没有进⾏理论上的说明.我们知道,两个数a 与b 之间的接近程度可以⽤这两个数之差的绝对值b a -来度量.在数轴上b a -表⽰点a 与点b 之间的距离,b a -越⼩,则a 与b 就越接近,就数列(1-2-1)来说,因为111n x n n-=-=,我们知道,当n 越来越⼤时,1n 越来越⼩,从⽽n x 越来越接近1.因为只要n ⾜够⼤, 11n x n-=就可以⼩于任意给定的正数,如现在给出⼀个很⼩的正数1100,只要n 100>即可得11100n x -<,11120,0,n =L如果给定110000,则从10001项起,都有下⾯不等式1110000n x -<成⽴.这就是数列1n n x n-=12 (,,)n =L ,当n →∞时⽆限接近于1的实质.⼀般地,对数列{}n x 有以下定义.定义2 设{}n x 为⼀数列,若存在常数a 对任意给定的正数ε(⽆论多么⼩),总存在正整数N ,当n N >时,有不等式n x a ε-<即(,)n x U a ε∈,则称数列{}n x 收敛,a 称为数列{}n x 当n →∞时的极限,记为lim n n x a →∞=或n x a →()n →+∞.若数列{}n x 不收敛,则称该数列发散.定义中的正整数N 与ε有关,⼀般说来,N 将随ε减⼩⽽增⼤,这样的N 也不是唯⼀的.显然,如果已经证明了符合要求的N 存在,则⽐这个N ⼤的任何正整数均符合要求,在以后有关数列极限的叙述中,如⽆特殊声明,N 均表⽰正整数.此外,由邻域的定义可知,()n x U a ε∈,等价于n x a ε-<.我们给“数列{}n x 的极限为a ”⼀个⼏何解释:将常数a 及数列123,,,,,n x x x x L L 在数轴上⽤它们的对应点表⽰出来,再在数轴上作点a 的ε邻域,即开区间(,)a εa ε-+,如图1-29所⽰图1-29因两个不等式 ||n x a ε-<, n a εx a ε-<<+等价,所以当n N >时,所有的点n x 都落在开区间(,)a εa ε-+内,⽽只有有限个点(⾄多只有N 个点)在这区间以外.为了以后叙述的⽅便,我们这⾥介绍⼏个符号,符号“?”表⽰“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每⼀个”;符号“?”表⽰“存在”;符号“{}ax m X ”表⽰数集X 中的最⼤数;符号“{}min X ”表⽰数集X 中的最⼩数.数列极限lim n n x a →∞=的定义可表达为:lim n n x a →∞=0ε??>,?正整数N ,当n N >时,有n x a ε-<.例1 证明 1lim 02n n →∞=.证 0ε?>(不防设1ε<),要使11022nn ε-=<,只要21nε>,即ln ln21/n ε>(). 因此,0ε?>,取ln /ln21N ε= ???,则当n N >时,有102n ε-<.由极限定义可知1lim 02n n →∞=. 例2 证明π1lim cos04n n n →∞=. 证由于ππ111cos 0cos 44n n n n n -=≤,故0ε?>,要使π1cos 04n εn -<,只要1εn <,即1n ε>.因此,0ε?>,取1N ε??=,则当n N >时,有π1cos 04n εn -<.由极限定义可知π1lim cos 04n n n →∞=. ⽤极限的定义来求极限是不太⽅便的,在本章的以后篇幅中,将逐步介绍其他求极限的⽅法.⼆、数列极限的性质定理1(惟⼀性)若数列收敛,则其极限惟⼀. 证设数列{}n x 收敛,反设极限不惟⼀:即lim n n x a →∞=,lim n n x b →∞=,且a b ≠,不妨设a b <,由极限定义,取2b a ε-=,则10N ?>,当1n N >时,2n b ax a --<,即 322n a b a bx -+<<,(1-2-6) 20N ?>,当2n N >时,2n b ax b --<,即322n a b b ax +-<<, (1-2-7) 取{}12m ,N ax N N =,则当n N >时,(1-3-6),(1-3-7)两式应同时成⽴,显然⽭盾.该⽭盾证明了收敛数列{}n x 的极限必惟⼀.定义3 设有数列{}n x ,若存在正数M ,使对⼀切12,,n =L ,有n x M ≤,则称数列{}n x 是有界的,否则称它是⽆界的.对于数列{}n x ,若存在常数M ,使对12n =L ,,,有n x M ≤,则称数列{}n x 有上界;若存在常数M ,使对12,,n =L ,有n x M ≥,则称数列{}n x 有下界.显然,数列{}n x 有界的充要条件是{}n x 既有上界⼜有下界. 例3 数列{}211n +有界;数列{}2n 有下界⽽⽆上界;数列{}2n -有上界⽽⽆下界;数列{}11nn --()既⽆上界⼜⽆下界.定理2(有界性)若数列{}n x 收敛,则数列{}n x 有界.证设lim n n x a →∞=,由极限定义,0ε?>,且1ε<,0N ?>,当n N >时,1||n x a ε-<<,从⽽<1n x a +.取{}12m 1,,,,N M ax a x x x =+?,则有n x M ≤,对⼀切123,,,n =L ,成⽴,即{}n x 有界.定理2 的逆命题不成⽴,例如数列{}1()n -有界,但它不收敛.定理3(保号性)若lim n n x a →∞=,0a >(或0a <),则0N ?>,当n N >时,0n x >(或0n x <).证由极限定义,对02aε=>,0N ?>,当n N >时,2n a x a -<,即322n a x a <<,故当n N >时,02n ax >>.类似可证0a <的情形.推论设有数列{}n x ,0N ?> ,当n N >时,0n x > (或0n x <),若lim n n x a →∞=,则必有0a ≥ (或0a ≤).在推论中,我们只能推出0a ≥ (或0a ≤),⽽不能由0n x > (或0n x <)推出其极限(若存在)也⼤于0(或⼩于0).例如10n x n=>,但1lim lim 0n n n x n →∞→∞==.下⾯我们给出数列的⼦列的概念.定义4 在数列{}n x 中保持原有的次序⾃左向右任意选取⽆穷多个项构成⼀个新的数列,称它为{}n x 的⼀个⼦列.在选出的⼦列中,记第1项为1n x ,第2项为2n x ,…,第k 项为k n x ,…,则数列{}n x 的⼦列可记为{}k n x .k 表⽰k n x 在⼦列{}k n x 中是第k 项,k n 表⽰k n x 在原数列{}n x 中是第k n 项.显然,对每⼀个k ,有k n k ≥;对任意正整数h ,k ,如果h k ≥,则h k n n ≥;若h k n n ≥,则h k≥由于在⼦列{}k n x 中的下标是k ⽽不是k n ,因此{}k n x 收敛于a 的定义是:0ε?>,0K ?>,当k K >时,有k n x a ε-<.这时,记为lim k n k x a →+∞= .定理4 lim n k x a →∞=的充要条件是:{}n x 的任何⼦列{k n x }都收敛,且都以a 为极限. 证先证充分性.由于{}n x 本⾝也可看成是它的⼀个⼦列,故由条件得证. 下⾯证明必要性.由lim n k x a →∞=,0ε?>,0N ?>,当n N >时,有n x a ε-<.今取K N =,则当k K >时,有k K N n n n N >=≥,于是k n x a ε-<.故有lim k n k x a →∞=.定理4⽤来判别数列{}n x 发散有时是很⽅便的.如果在数列{}n x 中有⼀个⼦列发散,或者有两个⼦列不收敛于同⼀极限值,则可断⾔{}n x 是发散的.例4 判别数列{}*πsin ,8n n x n N =∈的收敛性.解在{}n x 中选取两个⼦列:{}*8πsin ,8k k N ∈,即{}πππ8168sin ,sin ,sin ,888k ; ()*164πsin ,8k k N +??∈,即()ππ16420sin ,sin ,88k ??+??. 显然,第⼀个⼦列收敛于0,⽽第⼆个⼦列收敛于1,因此原数列{}πsin 8n 发散.三、收敛准则定义5 数列{}n x 的项若满⾜121n n x x x x +≤≤≤≤≤L L ,则称数列{}n x 为单调增加数列;若满⾜121n n x x x x +≥≥≥≥≥L L ,则称数列{}n x 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成⽴时,则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则单调增加有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论,在此略去证明.例5 证明数列11nn ??+?? ??收敛.证根据收敛准则,只需证明11nn ??+?? ??单调增加且有上界(或单调减少且有下界).由⼆项式定理,我们知道1221111(1)1n n n n n n nx C C C n n n n =+=++++L 11112112111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n n n -=++-+--++---L L ,11211111211111(1)111(1)(1)n n n n n n n x C C C n n n n +++++++=+=++++++++L 1111211(1)(1)(1)2!13!11n n n =++-+--++++L1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+--++-+++L 112(1)(1)(1)(1)!111n n n n n +--++-++++L ,逐项⽐较n x 与1n x +的每⼀项,有1n n x x +<,1,2,.n =L这说明数列{}n x 单调增加,⼜111112!3!!n x n <+++++L 211111222n <+++++L。

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第1章 函数、极限与连续§1.1 函数习题1-11.求下列函数的自然定义域:(1)1y x =(2)y =; (3)1arcsin 2x y -=;(4)1arctan y x =;(5)y =; (6)21log (16)x y x -=- (7)11ln 1x y x x -=+;(8)arcsin lg 10x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.下列各题中,函数是否相同?为什么?(1)2()lg f x x =与()2lg g x x =; (2)()f x x =与2()g x =;(3)21y x =+与21x y =+;(4)y =y x =;(5)y =y = (6)1y =与22sec tan y x x =-.3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧ <⎪⎪=⎨⎪ ≥ ⎪⎩,求6πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭,4πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭,4πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)ϕ-,并作出函数()y x ϕ=的图形.4.试证下列函数在指定区间内的单调性: (1), (,1)1x y x=-∞-; (2)3ln ,(0,) y x x =++∞. 5.设()f x 定义在(,)l l -内的奇函数,若()f x 在(0,)l 内单调增加,证明:()f x 在(,0)l -内也单调增加.6.设下面所考虑函数的定义域关于原点对称,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数?(1)22(1)y x x =-; (2)233y x x =-; (3)2x xe e y -+=; (4)cos sin x y x x e =; (5)tan sec 1y x x =-+; (6)(3)(3)y x x x =-+.8.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期:(1)cos(1)y x =-; (2)tan y x x =; (3)2sin y x =;(4)cos 4y x =; (5)cos y x x =; (6)1sin y x π=+.9.设函数()f x 在数集X 上有定义,试证:函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.10.证明:()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数.11.某公司全年需购某商品1000台,每台购进价为4000元,分若干批进货,每批进货台数相同,一批商品售完后马上进下一批货,每进货一次需消耗费用2000元,如果商品均匀投放市场(即平均年存量为批量的一半),该商品每年每台库存费为进货价格的4﹪.试将该公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数.12.某运输公司规定某种商品的运输收费标准为:不超过200千米,每吨千米收费6元;200千米以上,但不超过500千米,每吨千米收费4元;500千米以上,每吨千米收费3元.试将每吨的运费表示为路程的函数.§1.2 初等函数习题1-21.求下列函数的反函数:(1)y = (2) (0)ax b y ad bc cx d +=-≠+; (3)11x y x-=+; (4)1ln(2)y x =++ ; (5)2sin 3 66y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭; (6)221x x y =+. 2.设1,0()0,00x f x x x <⎧⎪= =⎨⎪1, >⎩,求2(1),(1)f x f x --.3.设函数3()f x x x =-,()sin 2x x ϕ=,求,{[(1)]}12f f f f πϕ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 4.设()1x f x x=-,求[()]f f x ,{[()]}f f f x . 5.在下列各题中,求由给定函数复合而成的复合函数:(1)2,ln ,3x y u u v v ===; (2)1x y u e ==-; (3)2ln ,1,tan y u u v v x ==+=;(4)sin ,21y u u v x ===-; (5)22arctan ,y u u v a x ===+.6.下列函数是由哪些函数复合而成的?(1)sin 2y x =; (2)y = (3)2sin x y a =;(4)ln[ln(ln )]y x =; (5)23(1ln )y x =+; (6)2cos y x =7.设()f x 的定义域是[0,1],求(1)2()f x ; (2)(sin )f x ; (3)(ln )f x ; (4)f 的定义域.8.已知2152f t t t⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求()f t ,2(1)f t +. 9.已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,求()f x . 10.已知[()]1cos f x x ϕ=+,()sin2x x ϕ=,求()f x . 11.()sin f x x =,2[()]1f x x ϕ=-,求()x ϕ及其定义域.12.设()ln G x x =,证明:当0x >,0y >时,下列等式成立(1)()()()G x G y G xy +=; (2)()()x G x G y G y ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 13.分别举出两个初等函数和两个非初等函数的例子. §1.3 常用经济函数习题1-31.火车站行李收缴规定如下:当行李不超过50kg 时,按每千克0.15元收费,当超出50kg 时,超重部分按每千克0.25元收费,试建立行李收费()f x (元)与行李重量x (kg )之间的函数关系.2.某人手中持有一年到期的面额为300元和5年到期的面额为700元两种票据,银行贴现率为7%,若去银行进行一次性票据转让,银行所付的贴息金额是多少?3.市场中某种商品的需求函数为25d Q P =-,而该种商品的供给函数为204033s Q P =-,试求市场均衡价格和市场均衡数量. 4.某商品的成本函数是线性函数,并已知产量为零时成本为100元,产量为100时成本为400元,试求:(1)成本函数和固定成本;(2)产量为200时的总成本和平均成本.5.设某商品的需求函数为10005Q P =-,试求该商品的收入函数()R Q ,并求销售量为200件时的总收入.6.某工厂生产电冰箱,每台售价1200元,生产1000台以内可全部售出,超过1000台时经广告宣传后,又可多售出520台.假定支付广告费2500元,试将电冰箱的销售收入表示为销售量的函数.7.设某商品的需求量Q 是价格P 的线性Q a bP =+,已知该商品的最大需求量为40000件(价格为零时的需求量),最高价格为40元/件(需求量为零时的价格).求该商品的需求函数与收益函数.8.某商品的成本函数(单位:元)为813C Q =+,其中Q 为该商品的数量.试问:(1)如果商品的售价为12元/件,该商品的保本点是多少?(2)售价为12元/件时,售出10件商品时的利润为多少?(3)该商品的售价为什么不应定为2元/件?9.收音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价P 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润L 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少?10.设某商品的成本函数和收入函数分别为2()72C Q Q Q =++,()10R Q Q =, (1)求该商品的利润函数;(2)求销售量为4时的总利润及平均利润;(3)销量为10时是盈利还是亏损?11.求上题中商品的盈亏平衡点,并说明该商品随销售变动的盈亏状况.12.某商品的需求函数为114 1.5Q P =-.供给函数为245Q P =-,其中价格P 的单位为元,求:(1)市场均衡价格;(2)若每销售一单位商品,政府收税1元,此时的均衡价格.§1.4 数列的极限习题1-41.观察一般项n x 如下的数列{}n x 的变化趋势,写出它们的极限: (1)15n n x =;(2)21(1)n n x n =-;(3)616n x n =+;(4)2232n n x n -=+;(5)3(1)n n x n =-. 2.利用数列极限的定义证明: (1)1lim0k n n →∞= (k 为正常数); (2)414lim 515n n n →∞+=-; (3)22lim sin 02n n n n →∞+=-. 3.设数列{}n x 的一般项1cos 2n n x n π=.问lim ?n n x →∞=求出N ,使当n N >时,n x 与其极限之差的绝对值小于正数ε.当0.001ε=时,求出数N .4.设11sin 2n n a n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,证明数列{}n a 没有极限. 5.证明:若lim n n x a →∞=,则lim n n x a →∞=.反之是否成立? 6.设数列{}n x 有界,又lim 0n n y →∞=,证明:lim 0n n n x y →∞=.7.对数列{}n x ,若21lim k k x a -→∞=,2lim k k x a →∞=,证明:lim n n x a →∞=. §1.5 函数的极限习题1-51.在某极限过程中,若()f x 有极限,若()g x 无极限,试判断:()()f x g x ⋅是否必无极限.若是,请说明理由;若不是,请举反例说明之.2.当2x →时,24y x =-.问δ等于多少,使当 |2|x δ-<时,|4|0.001y -<?3.设函数211x y x -=-,问|1|x δ-<中的δ等于多少时,有|2|0.5y -<? 4.利用函数极限的定义证明: (1)232lim33x x x →∞+=; (2)lim 0x =; (3)21lim 11x x →=-; (4)2211lim 2x x x x →-=-. 5.讨论函数||()x f x x=当0x →时的极限. 6.求2()lim 2n nx f x nx →∞=+. 7.证明:如果函数()f x 当0x x →时的极限存在,则函数()f x 在0x 的某个去心邻域内有界.8.证明:当x →+∞,x →-∞时,函数()f x 的极限都存在且等于A ,则lim ()x f x A →∞=. 9.证明:当0x x →时,函数()f x 的极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等.§1.6 无穷小与无穷大习题1-61.判断题:(1)非常小的数是无穷小; ( )(2)零是无穷小; ( )(3)无穷小是一个数;( )(4)两个无穷小的商是无穷小;( ) (5)两个无穷大的和一定是无穷大.( ) 2.指出下列哪些是无穷小,那些是无穷大. (1)1(1) ()n n n +-→∞; (2)sin (0)1cos x x x →+; (3)21 (2)4x x x +→-. 3.根据定义证明:1sin y x x=为0x →时的无穷小. 4.求下列极限并说明理由: (1)32lim x x x →∞+; (2)204lim 2x x x →--; (3)01lim 1cos x x→-. 5.判断1lim xx e →∞是否存在,若将极限过程改为0x →呢? 6.函数cos y x x =在(,)-∞+∞内是否有界?当x →+∞时,函数是否为无穷大?为什么?7.设0x x →时,()g x 是有界量,()f x 是无穷大,证明:()()f x g x ±是无穷大.8.设0x x →时,()g x M ≥(M 是一个常数),()f x 是无穷大.证明:()()f x g x 是无穷大.§1.7 极限运算法则习题1-71.计算下列极限:(1)21lim(32)x x →+; (2)225lim 3x x x →+-; (3)2231x x x -+; (4)22121lim 1x x x x →-+-; (5)211lim 2x x x →∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭; (6)242lim 31x x x x x →∞+-+; (7)22468lim 54x x x x x →-+-+; (8)322042lim 32x x x x x x →-++; (9)220()lim h x h x h→+-; (10)211lim 12x x x →∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ; (11)cos lim x x x x e e -→+∞+; (12)243lim sin 325x x x x x →∞--+;(13)lim x →-; (14)32222lim (2)x x x x →+-;(15)lim )x x x →+∞; (16)arctan lim x x x →∞; (17)3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭; (18)302050(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+;(19)lim x →+∞. 2.计算下列极限: (1)3(1)(2)(3)lim 5n n n n n→∞+++; (2)2(1)lim 1n n n →∞-+; (3)2111lim 1222n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L ; (4)2123(1)lim n n n →∞++++-L . 3.设232, 0()1,012,1x x f x x x x x⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪<⎩,分别讨论0x →及1x →时()f x 的极限是否存在. 4.已知lim ()4x c f x →=及lim ()1x c g x →=,lim ()0x ch x →=,求: (1)()lim ()x c g x f x →; (2)()lim ()()x c h x f x g x →-; (3)lim[()()]x c f x g x →⋅; (4)lim[()()]x c f x h x →⋅; (5)()lim ()x cg x h x →. 5.若232lim 43x x x k x →-+=-,求k 的值. 6.若21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭,求a ,b 的值. §1.8 极限存在准则 两个重要极限习题1-81.计算下列极限: (1)0tan 3lim x x x →; (2)01lim sin x x x→; (3)0lim cot x x x →;(4)30tan sin limx x x x →-; (5)01cos 2lim sin x x x x →-;(6)x (7)sin lim x x x ππ→-; (8)02arcsin lim 3x x x→; (9)0sin lim sin x x x x x →-+. 2.计算下列极限: (1)10lim(1)x x x →-; (2)10lim(12)x x x →+; (3)21lim x x x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭; (4)1lim 1 ()kx x k N x →∞⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭; (5)3lim 1x x x x +→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭; (6)lim x x x a x a →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (7)10lim(1)x x x xe →+;(8)1lim x x →∞; (9)2511lim sin 31x x x x→∞+-. 3.设sin , 0(1) 2, 0 1, 0x x x f x x x x ⎧->⎪⎪-==⎨⎪-<⎪⎩, 求1lim ()x f x →-. 4.已知 2lim 3x x x c x c →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求c . 5.利用极限存在准则证明: (1)222111lim 12n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L ;(2)1x →=. 6.的极限存在,并求该极限.7.设{}n x 满足:20110,2 (0,1,2,)n n n x x x x n +-<<=+=L ,证明{}n x 收敛,求lim n n x →∞. 8.有2000元存入银行,按年利率6%进行连续复利计算,问20年后的本利和.9.小孩出生之后,父母拿出P 元作为初始投资,希望到孩子20岁生日时增长到50000元,如果投资按6%连续复利计算,则初始投资应该是多少?§1.9 无穷小的比较习题1-91.当0x →时,2x x -与23x x -相比,哪一个是高阶无穷小?2.当1x →时,无穷小1x -和21(1)2x -是否同阶?是否等价? 3.当0x →0)a >与x 相比是几阶无穷小?4.当0x →时,21sin cos x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与(1cos )ln(1)x x ++是否为同阶无穷小? 5.利用等价无穷小的性质求下列极限: (1)0arctan 2lim 7x x x →; (2)20ln(15sin )lim tan x x x x →+; (3)320(sin )tan lim 1cos x x x x →-; (4)301lim 2x x e x →-;(5)01lim arcsin x x x →; (6)23204sin 2lim tan 3x x x x x x→+-+. 6.当0x →时,1cos x -与n mx 等价,求m 和n 的值.§1.10 函数的连续性与间断点习题1-101.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形.(1)2, 01()2, 12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩; (2), 11()1, 1 1x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或. 2.下列函数()f x 在0x =处是否连续?为什么? (1)31sin , 0()0, 0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩; (2) , 0()sin ,0x e x f x x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩. 3.判断下列函数在指定点所属的间断点类型,如果是可去间断点,则请补充或改变函数的定义使它连续.1()21(2)y x =+,2x =-; (2)22132x y x x -=-+;1x =,2x = (3)1ln(1) , 0y x x x =-=; (4)21cos y x=,0x =; 5()1 , 1,13, 1x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩; 6()21 , 10,1,13, 1x x y x x x x ->⎧⎪= ==⎨⎪-<⎩.4.设 , 0(), 0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩,应当如何选择数a ,使得()f x 成为(,)-∞+∞内的连续函数.5.设22, 0() 1, 0ln(), 0a x x f x x b x x x ⎧+<⎪==⎨⎪++>⎩,已知()f x 在0x =处连续,试确定a 和b 的值.6.研究11, 0()1 0, 0xx f x e x ⎧<⎪=⎨+⎪=⎩在0x =处的左、右连续. 7.设函数()g x 在0x =处连续,且(0)0g =,已知|()||()|f x g x ≤,试证函数()f x 在0x =处也连续.8.设2122()1n n x ax bxf x x +++=+,当a ,b 取何值时,()f x 在(,)-∞+∞上连续. §1.11 连续函数的运算与初等函数的连续性习题1-111.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求极限0lim ()x f x →,3lim ()x f x →-,2lim ()x f x →.2.求下列极限:(1)0x →; (2)34lim(sin 2)παα→; (3)6lim ln(2cos 2)x x π→;(4)0x →; (5)0sin limln x xx→; (6)220ln(1)lim sin(1)x x x →++. 3.证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根.4.证明方程sin 10x x ++=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个实根.5.证明曲线423710y x x x =-+-在1x =与2x =之间至少与x 轴有一个交点.6.设()2x f x e =-,求证在区间(0,2)内至少有一点0x ,使002x e x -=.7.证明:若()f x 在[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<<L ,则在1[,]n x x 上有ξ,使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=L .8.设()f x 在[0,2]a 连续,且(0)(2)f f a =,证明:在[0,]a 上至少存在一点ξ,使()()f f a ξξ=+.9.证明:若()f x 在),(∞+-∞内连续,且lim ()x f x A →∞=,则()f x 在),(∞+-∞内有界.总 习 题 一1.求函数32arcsin5xy -=的定义域. 2.设函数()f x 的定义域是[0,1),求1x f x ⎛⎫⎪+⎝⎭的定义域. 3.设2y x =,要使当(0,)x U δ∈时,(0,2)y U ∈,应如何选择邻域(0,)U δ的半 径δ.4.证明()f x =()x R ∈.5.设函数(), (,)y f x x =∈-∞+∞的图形关于,x a x b ==均对称()a b ≠,试证:()y f x =是周期函数,并求其周期.6.设()f x 在(0,)+∞上有意义,120, 0x x >>.求证:(1)若()f x x 单调减少,则1212()()()f x x f x f x +<+; (2)若()f x x单调增加,则1212()()()f x x f x f x +>+.7.求下列函数的反函数:(1)y =; (2)2,1(),2x x x f x x x x -∞<<⎧⎪= 1≤≤⎨⎪3, 2<<+∞⎩.8.求函数()f x 的表达式:22(sin )cos 2tan ,01f x x x x =+<<.9.设()f x 满足方程:1()sin (||||)af x bf x a b x ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭,求()f x . 10.设10)f x x x ⎛⎫=≠⎪⎝⎭,求()f x . 11.设2, 01(1)2, 12x x x x x ϕ⎧≤≤+=⎨<≤⎩,求()x ϕ.12.设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-,且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.13.设1, ||1()0, ||11, ||1x f x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩,()xg x e =,求[()]f g x ,[()]g f x ,并作出它们的图形.14.设0, 0(), 0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩,20, 0(), 0x g x x x ≤⎧=⎨->⎩,求[()]f f x ,[()]g g x ,[()]f g x ,[()]g f x .15.某水泥厂生产水泥1000t ,定价为80元/t .总销售在800t 以内时按定价出售,超过800t 时,超过部分打9折出售,试将销售收入作为销售量的函数列出函数关系式.16.设某产品每次售出10000件时,每件售价为50元,若每次多售2000件,则每件相应地降价2元.如果生产这种产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,最低产量为10000件,求:(1)成本函数;(2)收益函数;(3)利润函数.17.某企业的一种商品,若以1.75元的单价出售,此时生产的产品可全部卖掉.某企业的生产能力为每天5000单位,每天的总固定费用是2000元,每单位的可变成本是0.50元,试建立利润函数,并求达到盈亏平衡时,该企业每天的生产量.18.某厂按年度计划需消耗某种零件48000件,若每个零件每月库存费0.02元,采购费每次160元,为节省库存费,分批采购.试将全年总的采购费和库存费这两部分的和()f x 表示为批量x 的函数.19.已知211131541n x n =+++-L ,求lim n n x →∞.20.求极限 1202lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 21.证明:函数()||f x x =当0x →时极限为0.22.证明:x →+∞及x →-∞时,函数()f x 的极限都存在且都等于A ,则lim ()x f x →∞A =.23.利用极限定义证明:函数()f x 当0x x →时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.24.根据定义证明:293x y x -=+为当3x →时的无穷小.25.已知222()351px f x qx x -=+++,当x →∞时,p ,q 取何值时()f x 为无穷小?p ,q 取何值时()f x 为无穷大?26.计算下列极限:(1)11lim (1n x x n x →--为正整数);(2)x →(3))lim x x →+∞;(4)231lim (3cos )x x x x x →∞+++;(5)1lim x x ;(6)21lim (1)x x →∞-. 27.设22 1, 0 0, 0()2, 0236, 2x x x f x x x x x x⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪-<≤⎪-<⎪⎩,讨论0x →及2x →时,()f x 的极限是否存在,并且求 lim ()x f x →-∞及lim ()x f x →+∞.28.计算下列极限:(1)lim 2sin (0)2nn n x x →∞≠; (2)2352limsin 53x x x x →∞++;(3)0x →. 29.计算下列极限:(1)1lim(1) x xx xe →+; (2)2sec 2lim(1cos )xx x π→+; (3)3101tan lim 1sin x x x x →+⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 30.设11x =,111nn nx x x +=++ (1,2,)n =L ,求lim n n x →∞.31.证明:当0x →时,有: (1)arctan x x :; (2)2sec 12x x -:.32.利用等价无穷小性质求下列极限:(1)0(sin )lim(,)(sin )n m x x m n N x →∈; (2)220sin 3lim ln (12)x xx →+; (3)10(1)1lim nx x x α→+- ()n N ∈;(4)0x →;(5)02cos lim sin 2x xx→.33.试判断:当0x →6是x 的多少阶无穷小?34.设()p x 是多项式,且32()lim 2x p x x x →∞-=,0()lim 1x p x x →=,求()p x .35.已知21lim31x x ax bx →++=-,试求a 和b 的值. 36.设lim 1992(1)n n n n αββ→∞=--,试求α和β的值. 37.下列函数()f x 在0x =处是否连续?为什么?(1)21 , 0() 0, 0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩; (2)sin , 0||() 1, 0x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 38.判断下列函数的指定点所属的间断点类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.(1)tan x y x =,x k π=, ()2x k k Z ππ=+∈; (2)111xx y e-=-,0x =,1x =.39.试确定a 的值,使函数2, 0()1sin , 0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续. 40.讨论函数221()lim1nnn x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判断其类型. 41.求函数211ln y x=-的连续区间.42.设函数()f x 与()g x 在点0x 处连续,证明函数()max{(),()}x f x g x ϕ=,()min{(),()}x f x g x ψ=在点0x 处也连续.43.设()f x 在[,]a b 上连续,且a c d b <<<,证明:对任意的正数,m n ,在[,]a b 上必存在点ξ使()()()()mf c nf d m n f ξ+=+.44.证明:若()f x 在(,)-∞+∞内连续,且lim ()x f x A →∞=,则()f x 在(,)-∞+∞内有界.。

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