第1章极限与连续

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微积分知识点总结(期末考研笔记)

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

第一章函数的极限与连续小结

(2) 单调的函数必有反函数。 4. 分段函数函数关系由不同的式子分段表示的函数称为分段函数。 5. 基本初等函数 (1) 常数函数： y = C ( C 是常数) (2) 幂函数： y = x u ( u 是常数) (3) 指数函数： y = a x ( a > 0, a ≠ 1 ) (4) 对数函数： y = log a x ( a > 0, a ≠ 1 ) (5) 三角函数： = y sin = x, y cos = x, y tan = x, y cot x (6) 反三角函数： = y arcsin = x, y arccos = x, y arctan = x, y arc cot x 6. 复合函数设函数 y = f (u ) 的定义域 D f ，而函数 u = ϕ ( x) 的值域为 Zϕ ，若 D f Zϕ ≠ Φ ，则称函数 y = f [ϕ ( x)] 为 x 的复合函数。 x 为自变量， u 为中间变量， y 为因变量。 7. 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
∆x →0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 ,
∆x → 0
则称函数 f ( x) 在点 x 0 连续， x 0 称为 f ( x) 的连续点。或设函数 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义，若
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) ，
六个常见的有界函数：
sin x ≤ 1, arcsin x ≤ arctan x <
cos x ≤ 1, (−∞, +∞); 0 ≤ arccos x ≤ π ,

专升本高数第一轮--第一章--极限与连续.

解： lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0
x 0
lim f ( x) 存在。
x 0
极限运算法则
n n n
推论1. 若 lim xn A，c 为常数，则 lim cxn cA
n n
推论2. 若 lim xn A，则 lim a n An
n
xn A 法则3. 若 lim xn A，lim yn B，且 B 0，则 lim n n n y B n
第一章极限和连续
§1.1 极限
（一）数列的极限 1. 数列
数列常表示为 xn : x1 , x2 , , xn , 其中 xn 称为数列的通项。例如： 1 2 3 n 2， 4， 6，， 2n，；，，，，， 2 3 4 n 1
若 n , xn xn1 则称 xn 为单调增数列，单调数列：
x x0 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 )
定理2. lim f ( x)存在 lim f ( x) ， lim f ( x)
x x0 x x0 x x0
均存在且相等。
x 1，x 0 例4. 讨论函数 f ( x) 0 ，x 0 在 x 0 处是否有极限。 x 1，x 0
x
如果 lim f ( x) 0 ，则称函数 f ( x) 为 x x0 时的无穷小。
xx0
为了讨论方便，记无穷小为 lim 0 。
定理1 (极限与无穷小的关系) lim u A 的充要条件是 u A ，其中lim 0。

经济数学第一章极限与连续

3x 1,
例
2 设函数
f
(x)
1,
2 x ,
x0 x 0 ，求定义域和函数值 f (1) 、 f (0) 、 f (4) ， x0
并作出此函数的图像．
解函数的定义域 D ,， f (1) 3 1 1 2 ， f (0) 1，
f (4) 24 16 ．图像如图 1.2 所示．
关系相同，那么它们就是相同的函数，与自变量和因变量用什么字母表示无关．
2.分段函数
有些函数对于定义域内的自变量 x 的不同的值，不能用一个统一的解析式表示出来，而
要用两个或两个以上的解析式来表示，这种在自变量的不同取值范围内用不同的解析式表示
的函数，称为分段函数．
例 1 我国寄到国内（外埠）信函的邮资标准是：首重 100 克内，每重 20 克（不足 20
y 按照某种对应关系，都有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作
y f (x), x D,
其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量． x 的取值范围 D 称为函数的定义域，而数集
f (D) y | y f (x), x D
称为函数 y f (x) 的值域．当 x x0 时，与 x0 相对应的 y 值称为函数值，记作 y xx0 或 f (x0 ) ．
第一章极限与连续
函数是现代数学最基本的概念之一．它不仅是初等数学的主要内容，也是高等数学研究的主要对象．微积分学是研究函数关系的一门数学学科．极限方法是微积分学的基本方法，微积分学中的许多概念都是在极限概念的基础上建立的．连续性是函数的重要性态，微积分学是以连续函数作为主要研究对象的．
本章在中学的基础上，进一步学习函数的有关内容和经济问题中的常见函数，学习函数极限的概念及其运算，讨论函数的连续性，为学习微积分打下基础.

经典-高数第1章：函数、极限与连续

重要结论：
基本初等函数在其定义域上都是连续的
函数的复合
复合函数的定义 y f x
y f u
是由u x
和 x
注意：域内
复合而成的函数
的值域应落在f(x)的定义
理解：可以理解为换元法的过程
反三角函数 f(x)=arcsinx
初等函数
注意：高中阶段对反三角函数介绍较少，
等价无穷小（注意：不是等阶）
等价无穷小的转移定理
注意：表达方法
无穷小量
等价无穷小转移定理的应用
经典题型
比较无穷小量的高低阶证明无穷小(大) 求特殊的极限计算极限中的系数值
应用
函数的连续
函数连续的定义
函数在x0连续的三个条件
函数在x0及其左右有定义函数在x0的极限存在函数在x0的极限值等于该点的函数值，即
经典题型：怎么判断一个表达式是不是函数？
最主要的判断方法：一个x是对应了几个y值
定义域
自变量x的取值范围经典题型：求定义域关注哪些要点？
①分母不能为零； ②偶次根号下非负； ③对数的真数大于零； ④正切符号下的式子不等于kπ +π /2；
值域
因变量y的值的集合
经典题型
与定义域或∞有关的极限计算
0/0型
解法：通常分子分母可以化简、消项
∞/ ∞型解法：分子、分母同时除以最高项
极限
带有开方型解法：有理化分子（注意：是有理化分子）
换元法
无穷小量
无穷小量定义
注意：一定要讲函数是在趋于某个值x0时的无穷小，否则，趋于另外一个值时，有可能就不是无穷小了

高数函数,极限和连续总结

第一章函数.极限和连续第一节函数1. 决定函数的要素：对应法则和定义域2. 基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。

特例：y =√x 2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x |>ð（或0<|x −x 0|<ð ）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)2.极限存在的充要条件lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A（2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量，则称时，f （x ）为无穷小量，则称时，f （x ）为无穷大量注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5. 定义设是同一极限过程中的无穷小，则若则称 α 是β比高阶的无穷小,记作若则称α是比β 低阶的无穷小∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα);(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα若则称 α 是β的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称α 是β的等价无穷小,记作若则称α是关于β 的 k 阶无穷小。

第一章函数极限与连续

解填1. 设xn =
4 x3 + x2 + 1 x3 + x2 + 1 = 0 , 所以 lim (sin x + cos x) = 0. x 3 x→∞ x→∞ 2 +x 2x + x3 lim
不定式的极限 arctan x − sin x (14) lim = . x→0 x3 x ln(1 + x) = (15) lim ． x→0 1 − cos x 1 解填2. 因为当x → 0时， ln(1 + x) ∼ x, 1 − cos x ∼ x2 . 于是 2

n→∞

lim
n − 2na + 1 n(1 − 2a)
n
n

= lim
n→∞
1 1+ n(1 − 2a)
n(1−2a)· 1 1−2a
= e 1−2a .
1
于是 lim ln
n→∞
n − 2na + 1 n(1 − 2a)
x→∞
=
1 . 1 − 2a .
(11) 极限 lim x sin
2x = x2 + 1
x→0
=
1 1 x2 · lim = · lim 4 x→0 ln(1 + x) − x 4 x→0 3 sin x + x2 cos
1 1+x
1 2x 1 = · lim (1 + x) = . 2 x→0 2 −1
1 x (18) lim = x→0 (1 + cos x) m zn = a, 则必有 lim yn = a.
n→∞ n→∞ n→∞
上述准则对于函数的情形也成立。

数学分析专题选讲教案

数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。

性质：保号性、传递性、三角不等式性质。

1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。

极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。

1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。

1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。

连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。

高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。

2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。

微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。

三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。

泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。

第一章函数的极限与函数的连续性

第一章函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求1、了解函数极限的£ —S定义，会用它证明一些简单函数的极限。

2、了解无穷小，无穷大的概念。

掌握无穷小的比较。

3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。

4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。

5、了解在闭区间上连续函数的性质。

二、学习重点函数极限的概念及计算三、内容提要1、数列极限与函数极限（I）概念综述设u,v表示数列变量X n或函数变量，在同一个极限过程中lim u二A,lim v = B,该极限过程可12商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0)v比较性质(1) 若 u > v ，贝U lim u > lim v(2) 若lim u > lim v ,则在某个范围 X 上有u >v有界性质 (1) 若 {X n }收敛，则{X n }有界(2) 若limu(x)=A ，则u(x)在某个范围X 上有界。

存在性质(1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。

(2) 夹逼准则：若uv ,且u 、v 趋于A ，则⑷亦趋于A (三个变量u 、v 、国极限过程相同)。

注的形式与极限过程相关，当 U 、v 是数列时，X ={n|n > N} , 是某个自然数;1lxm oxsin ;=,1lim e x 不存在,x(IV )极限之间的联系(1) lim f(x)=A ：= lim f(x)=A = lim f(x)i x o 十x T x o —(2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A.X -X ) - .X(3) lim f (x) = —对任意趋于 X o 的数列 X n ，有 ”m_f(X n )二 Av 是函数变量，极限过程是X — xj 时,X =(Xo - ：-,Xo),极限过程是x > X o 时,X 二U(X o ,、J ，其余类推。

第1章函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质

提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1

2e
2

.
高等数学第1章函数极限与连续函数极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学第1章函数极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o

x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.

经济数学第1章函数极限与连续

显然，若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f (x)
的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就
是指最小正周期. 例如，函数y=sin x及y=cos x都是以2π 为周期的
周期函数；
函数y=tan x及y=cot x都是以 π为周期的周期函数.
例13 求函数 f (t) Asin( t ) 的周期，其中A,,为常数解设所求的周期为T，由于
第1章函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
结束
1.1 函数
1.1.1 函数的概念
定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取
一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的
数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作
x D y f (x)
义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是
偶函数.
此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其
中 secx 1 ,cs.c它x 们都1是以
cos x
sin x
为周期的2函π
数，并且在开区间 (0,内π)都是无界函数. 2
(5)反三角函数三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函
1 x
解
f[
f
( x)]
1
1 f (x)

1
1 1
1 基本初等函数
(1)幂函数 y x ( 是常数)
幂函数 x 的定义域随的不同而不同.
当为正整数时，x 的定义域为( , ).
当为负整数时，x 的定义域为( ,0)和(0, ).

第一章函数、极限与连续

第一章函数极限连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0x x y =或)(0x f .注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：22)(2---=x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同；x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同；x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于D x x ∈∀21,21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. （3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. （4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设D 是对称于原点的区间，若对D x ∈∀，)()(x f x f -=-有，则称)(x f 是奇函数；若有)()(x f x f =-，称)(x f 是偶函数.注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数)(x f 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. ③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数；4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数)(x f 的原函数⎰=xa dt t f x F )()(是奇函数的充要条件是0=a ，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即=)(x f 2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.3、函数的有界性：设)(x f 在区间D 上有定义，如果存在0>M ,使得对一切D x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在D 上有界，否则称为无界，即对0>∀M ，若存在D x ∈0，使得M x f >)(，称)(x f 在D 上是无界的.注释：函数的有界性与x 的取值区间有关. 若函数xy 1=在区间),1(+∞上有界，但在)1,0(内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M 不存在，即函数的有界性与x 的取值区间有关.4、函数的周期性：设)(x f 的定义域为D ，若存在常数0>T ，伎得对D x ∈∀，必有D T x ∈±，并且有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数，T 称为函数)(x f 的周期，所有周期中的最小正周期叫函数)(x f 的周期.注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：x y tan =的定义域是（+∞∞-,）且....,2,1,0,2=+≠k k x ππ②若)(x f 的周期为T ，则)(φω+x f 的周期为ωT(0≠ω)；③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：x x y 3cos 4sin +=周期是32,42ππ的最小公倍数π2，但也有例外，如：x sin ,x cos 的周期为2π，但x x y cos sin +=的周期为π；④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； ⑤设)(x f 是周期为T 的函数，则它的原函数⎰=xadt t f x F )()(为周期函数的充要条件是0)(0=⎰Tdx x f ，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：x x f cos 1)(+=是以2π为周期的函数，但其任一个原函数C x x x F ++=sin )(不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数⎩⎨⎧=无理数有理数x x y ,0,1任何有理数r 都是它的周期,即若x 为有理数, r x +也是有理数,故有)(1)(r x f x f +==;若x 为无理数, r x +也是无理数,故)(0)(r x f x f +==,可见r 为)(x f 的周期,但它没有最小的正周期. 又如：C y =，C 为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M ，如果对于M 中的某一个y 值（M y ∈），都可以从关系式)(x f y =确定唯一的x （D x ∈）与之对应，这样就确定了一个以y 为自变量的新函数，记为：)(1y fx -=，称函数)(1y f x -=为函数)(x f y =的反函数，它的定义域为M ，值域为D .注释：①习惯上自变量用x 表示，函数用y 表示，因此函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常表示为)(1x fy -=.②反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有)]([)]([11x f f x x f f --==.③原来函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像关于x y =对称（前提是在同一坐标系中），)(x f y =的图像与其反函数)(y x φ=的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若)(x f 在区间I 内单调⇒)(x f 在区间I 内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若)(x f 在区间I 内存在单值反函数但)(x f 在区间I 内不一定单调，如： ⎩⎨⎧≤≤+≤--=10,101,)(x x x ＜x x f 在区间]1,1[-内存在单值反函数，但它在]1,1[-上不单调.四、复合函数若函数)(x u φ=在0x 处有定义，而)(u f y =在)(00x u φ=处有定义，则)]([x f y φ=称为由)(u f y =和)(x u φ=复合而成的复合函数，u 称为中间变量.注释：①只有当函数)(x u φ=的值域与)(u f y =的定义域的交集不是空集时才构成复合数. ②函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设x x f sin )(=，x e x =)(φ，则x e x x f sin )](sin[)]([==φφ.③复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u ，再依次分解，如：21)]sin [arctan(x x y +=，可设)sin arctan(x x u +=,x x v sin +=，则原来函数是由21u y = , v u arctan =，x x v sin +=复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数.如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 是分段函数且是有界函数和奇函数.又如： x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==是分段函数.注释：分段函数一般不是初等函数，但若)(x f 是初等函数，则⎩⎨⎧<-≥==.0)(),(,0)(),()()(2x f x f x f x f x f x f 是初等函数. 又如：取整函数[]x y =，即“不超过x 的最大整数”是分段函数. 又如：定义在R 上的狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=.,0,1)(无理数有理数x ，x x D 是分段函数，且是有界的，)(x D 是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且)(x D 还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数，则（1）)(x f 是初等函数，因为=)(x f []2)(x f ；（2）最大值函数max )(=x ϕ{})(),(x g x f 和最小值函数{})(),(min )(x g x f x =ψ都是初等函数，这是因为{}[])()()()(21)(),(max )(x g x f x g x f x g x f x -++==ϕ {}[])()()()(21)(),(min )(x g x f x g x f x g x f x --+==ψ （3）幂指函数)()]([x g x f y = (0)(>x f )是初等函数，因为)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e e x f x g ==.1.2 极限一、数列极限的定义 1、数列极限的概念设}{n x 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，有ε<-a x n ，则称数列}{n x 收敛于a ，而a 称为数列}{n x 的极限，记作：a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）.若数列}{n x 没有极限，则称数列}{n x 不收敛，或称}{n x 为发散数列. 若0lim =∞→n n x ，则称}{n x 为无穷小数列.定理数列}{n x 收敛于a 的充要条件是：}{a x n -为无穷小数列. 2、有界数列的概念对于数列}{n x ，如果存在正数M ，使得对于一切的n x 都有不等式M x n ≤||成立，则称数列}{n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称数列}{n x 是无界的.注释：（1）若数列}{n x 收敛，则数列有界；（2）有界数列}{n x 不一定收敛，如：n n a )1(-=有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件；（3）C C n =∞→lim （常数）；01lim=∞→p n n （0>p ）；0lim =∞→nn q （1<q ）；（4）等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=. （5）等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1.3、单调数列的概念对于数列}{n x ，如果满足条件 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调增加数列；如果满足条件 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理（单调有界准则）单调有界数列必有极限.二、函数极限1、∞→x 时，函数)(x f 的极限（1）概念定义如果当∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作：A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.注释：（1）∞→x 是指x 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：x 取正值并无限增大，记作：+∞→x ；x 取负值且其绝对值无限增大，记作：-∞→x .（2）如果+∞→x 和-∞→x 两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成∞→x . 定义如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)(（+∞→x ）.如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或A x f →)(（-∞→x ）.（2）函数)(x f 在∞→x 时极限存在的充要条件定理极限A x f x =∞→)(lim 存在的充要条件是A x f x =+∞→)(lim 且A x f x =-∞→)(lim .如：由于2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，故极限x x arctan lim ∞→不存在；又如：由于0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim 即不存在，故极限xx e ∞→lim 不存在.2、0x x →时，函数)(x f 的极限（1）函数)(x f 在0x x →时的极限概念定义设函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义，如果当0x x →时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作：A x f x x =→)(lim 0或Ax f →)(（0x x →）.注释：0x x →表示x 趋近于0x ，含以下两种情况：（1）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：+→0x x ；（2）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：-→0x x .（2）函数左极限与右极限的概念定义设函数)(x f 在0x 的某个左侧邻域),(00x x δ-（0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的左侧趋近于0x （记作：-→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当-→0x x 时的极限，记作：A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0或A x f =-)0(0.设函数)(x f 在0x 的某个右侧邻域),(00δ+x x （0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的右侧趋近于0x （记作：+→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当+→0x x 时的极限，记作：A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0或A x f =+)0(0.（3）函数)(x f 在0x x →时极限存在的充要条件定理极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. （4）几个常用极限01lim=∞→x x ，C C x x =→0lim （常数），0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x ，00lim x x x x =→. （5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点0x 的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点0x 的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质（1）唯一性：若极限)(lim 0x f x x →存在，则它的极限必唯一；（2）局部有界性：若)(li m 0x f x x →存在，则0>∃δ和0>M ，当δ<-<00x x 时，有M x f ≤)(；（3）保序性：设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，（Ⅰ）若B A >，则0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >；（Ⅱ）若当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >，则B A ≥.（4）保号性：若0)(lim 0>=→A x f x x （或<0），则必0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）若0)(>x f （或0)(<x f ），且A x f x x =→)(lim 0，则0≥A （或0≤A ）.注释：①上述的变化趋势0x x →，可以换成-→0x x ，+→0x x ，∞→x ，-∞→x ，+∞→x②若)0(0)(<>或x f ,且A x f x x =→)(lim 0，则0>A )0(<或是错误的，如)0(0)(2≠>=x x x f ，但0)(lim 0=→x f x1.3 极限的运算法则若)(lim x f ，)(lim x g 都存在，则（1）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±；（2）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=，特别地)(lim )(lim x f C x Cf =；（3）)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =，其中0)(lim ≠x g ；（4）)]([lim )]([lim x g f x g f =；（5）[],)(lim )(lim )(lim )(x g x g x f x f =其中0)(lim >x f 且不等于1，特别地[]αα)(lim )](lim[x f x f =（α为实数）. 注释：①法则（1）（2）可以推广到有限个函数.②0x x →时有理分式极限的求法设)(x R 是有理分式，01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R n n n n n n n n m n ++++++++==---- ，其中0≠n a ，0≠n b .（1）若0)(0≠x Q m ，则)()()()(lim 0000x R x Q x P x R m n x x ==→；（2）若0)(0=x Q m ，而0)(0≠x P n ，则∞=→)(lim 0x R x x ；（3）若0)(0=x Q m 且0)(0=x P n ，则)(x P n 与)(x Q m 一定有公因子)(0x x -，将)(x P n 与)(x Q m 因式分解，约去公因式后再计算极限.③∞→x 时有理分式极限的求法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=∞→.,.,.,0)(lim 时当时当时当n m n m b an m x R n n x 其中0≠n a ，0≠n b . ④无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 ⑤“∞-∞”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于0x 的去心邻域内的一切x 都有)()()(x h x f x g ≤≤，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则有A x f x x =→)(lim 0.二、两个重要极限 1、1sin lim0=→xx x ，1sin lim 0=→x x x ，一般的1sin lim0=∆∆→∆，∆表示任一函数)(x u ，即1)()(sin lim 0)(=→x u x u x u ；2、e xxx =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，一般的e =∆+∆∞→∆)11(lim ，e =∆+∆→∆10)1(lim ，∆表示任一函数)(x u ，即e x u x u x u =+∞→)()())(11(li m ，e x u x u x u =+→)(1)())(1(lim .1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若0)(lim 0=→x f x x （或0)(lim =∞→x f x ），则称)(x f 是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小；2、极限与无穷小量的关系α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0，其中α是0x x →时的无穷小量.|)(|)(lim )(0A x f A x f x x x -⇔=∞→→是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量.3、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。

高等数学(1)函数极限与连续(1)

源自1,即0
x
x
2, 1,
于是函数 f (x) arcsin(x 1) ln(x 1) 定义域为 (1,2].
x 1 0,
x 1,
（2）函数的定义域应满足 x 2 x 2 0, 即 x 2 x 2 0,
1 2 x 1. 1 x 2 3.
于是函数的定义域为[1,2) (2,3] .
第一章函数极限与连续
一、函数
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的
函数关系.
定义设 D R, f 是一个对应法则.对于D 中任意的x ,按照
对应法则 f ,总存在唯一的一个 yR 与x 对应,则称对应法则
f :D R是定义在D 上函数,记为y f (x),x D .其中x 为自变量,
例 2 若函数y f (x) 的定义域为[0,1] ,试求函数y f [ln(x 1)], y f (sinx)的定义域.
解因为函数 y f (x) 的定义域为[0,1] ,所以 y f [ln(x 1)] 的定义域应满足 0 ln(x 1) 1,即1 x 1 e , 于是x 应满足1 x 1 e . 故函数的定义域为 [1,e ] .
于是所求反函数为x 3 y 或 y 3 x .
例
求函数y
1
1 x
2
,
x 0, 的反函数
x 2 1, x 0.
解
当x 0时,
0y 1,
此时由y
1 1x2
可得x
1 y
1
;当
x 0 时, y 1,由y x 2 1可得x y 1 . 所以,所求反函数为
数 f (x)在 D 上有界.也称函数 f (x)是D 上的有界函数. 例如函数y sinx,y cosx,y x2(0 x 1) 都是有界函数. 若函数 f (x)的定义域 D 是一个关于原点对称的区间,且对于

最新微积分第1章函数、极限与连续3

x 的变化过程
lim
f [φ(x)]
过程代换令u=φ ( x) :
=
lim f (u) = A.
u→a
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后页
结束
例13 求极限
1 (1) lim ln 2 x →∞ x
y= =
1 x2
y→0+0 +
lim lny
= −∞.
y
(2) lim e +
x→0
− x
y=- x =
lim e = 1. y →0−
x→0 x
lim (x - 1) ⋅ lim (x + 2)
0 +1 1 =− = (−1)⋅ 2 2
注
只要极限运算与四则运算交换顺序后的算式有意义 (包括出现∞)，就可交换顺序。
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sin
例2
π
求 lim
n→∞
n 。 1 +1 n
解
π limsin n→∞ n = 0 =0 原式= 。 1 0 +1 lim + 1 n→∞ n
x2 − 1 例4 求 lim 2 . x→1 x + 2x − 3
0 消去零因子法）解 ( 型 ) （消去零因子法） 0
2
因子先约去不为零的无穷小 x − 1后再求极限。
x −1 ( x + 1)( x − 1) x +1 1 = . lim 2 = lim = lim x→1 x + 2x − 3 x→1 ( x + 3)( x − 1) x→1 x + 3 2
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• 思考：你能否根据函数的极限运算法则，写出数思考：你能否根据函数的极限运算法则，列的极限运算法则？列的极限运算法则？

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第一章极限与连续一. 选择题(A) (B) (C) (D)定义域与值域1. )lg(lg )1arcsin(x x y +-=的定义域（ D ） (A) 20≤≤x(B) 0>x(C) 1>x(D) 21≤<x2. 函数f x x x()sin=1在点x =0处（ B ）． (A) 有定义且有极限 (B) 无定义但有极限 (C) 有定义但无极限 (D) 无定义且无极限3. lg(lg )y x =的定义域是（ B ）(A) (0,)+∞(B) (1,)+∞(C) (10,)+∞(D) (100,)+∞4. 设()ln f x x =,则(12)f x -的定义域是（ C ） (A) (0,)+∞(B) 1(,)2+∞(C) 1(,)2-∞(D) (,0)-∞5. y = D ） (A) [1,1]- (B) (0,1] (C) (1,0)(0,1)-U(D) [1,0)(0,1]-U6. 下列函数定义域相同的是（ C ） (A) 2lg(4)y x =-与lg(2)lg(2)y x x =-++ (B) 1y x =+与211x y x -=-(C) lgy =与11lg 21xy x+=- (D) 11y x =+与211x y x -=-反函数四大特性7. 下列函数在定义域上是有界函数的是（ C ）(A) 2()ln(1)f x x =+ (B) 21()f x x =(C) ()sin x f x e =(D) =)(x f xx2cos8. 下列函数在[0,3]上是单调增加的是（ A ） (A) sin3x y = (B) xy e -=(C) 12log (1)y x =+(D) 222y x x =-+9. 下列函数在(0,1)上是单调增加的是（ B ） (A) 1y x =-+(B) 22y x =(C) xy e -=(D) 12log y x =10. 下列函数中=)(x f （ C ）是偶函数(A) xe x + (B) x x sin +(C) xx ee -+(D) xx2cos 11. 下列函数是偶函数的是（ D ）(A)sin(2)y x =-+(B) tan 2xy e=(C) 2(1)y x x =-(D)(1)(1)y x x =-+12. 下列函数是偶函数的是（ B ） (A) =)(x f xe x + (B)=)(xf xxee -+(C)=)(x f x x sin +(D)=)(x f xx2cos 13. 设函数f x ()的定义域是全体实数,则函数f x f x ()()--是（ C ）． (A) 单调减函数 (B) 有界函数 (C) 奇函数 (D) 周期函数14. 下列函数不是周期函数的是（ C ）(A) sin(2)y x =-+ (B) tan 2xy e =(C) sin ||y x =(D) sec(32)y x =-15. 周期函数4cos y x =的最小正周期是（ B ） (A)2π (B) π(C) 2π (D) 4π16. 周期函数4sin y x =的最小正周期是（ B ） (A)2π (B) π (C) 2π (D) 4π无穷小量与无穷大量17. 当x →-∞时,下列变量中,（ C ）是无穷小量． (A) 2-x(B) ln()-x(C) sin x x(D) x x 221+18. 下列函数不是无穷小量的是（ D ） (A) 1cos x -,当0x →时 (B)23251n n n ++-,当n →∞时(C)sin xx, 当x →∞时 (D) 221x x x --,当1x →时数列极限19. =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→31223lim n n n （ C ）(A) 23 (B) 81 (C) 827(D)4920. 数列极限221lim(1)n n n n→∞+-=（ A ） (A) 0 (B) 2(C) ∞ (D) 不存在且不是∞21. 数列223212n n x n n+=++的极限是（ C ） (A) 3(B) 32(C) 2 (D) 不存在两个重要极限22. 211lim()1x x x x -→∞+=-（ A ）(A) 4e (B) 2e(C) 2e -(D) ∞23. 1lim sin x x x→∞=（ B ）(A) 0(B) 1(C) ∞(D) 不存在且不是∞利用无穷小量求极限24. xx xx x sin sin lim +-∞→=（ B ）(A) 1- (B) 1(C) 0 (D) ∞25. 01lim sin x x x→=（ A ）(A) 0 (B) 1(C) ∞(D) 不存在且不是∞其他极限26. 11lim x x e-→∞=（ B ）(A) 0(B) 1(C) ∞(D) 不存在且不是∞27.lim )x x x →+∞=（ B ） (A) 0(B)12(C) 12-(D) ∞28. 下列极限不存在的是（ A ）(A) 01limsin x x →(B) 01lim cos x x x →(C) 311lim 1x x x →--(D) 21lim21x x x →∞+-29. 下列极限不存在的是（ A ）(A) 3211lim 21x x x x →--+ (B) 01lim cos x x x→(C) 201sinlimtan x x x x→ (D) 21lim21x x x →∞+-间断点与连续性判断30. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,10,1sin )(x k x xx x f 在点0=x 处连续,则K=（ C ）(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D) 不存在31. 函数21||11||1x x y x x ⎧-<=⎨+≥⎩ （ C ）(A) 在1x =±处都不连续 (B) 在1x =-处不连续,在1x =处连续 (C) 在1x =-处连续,在1x =处不连续 (D) 在1x =±处都连续32. 函数31||11||1x x y x x ⎧-<=⎨-≥⎩ （ D ）(A) 在1x =±处都不连续 (B) 在1x =-处不连续,在1x =处连续 (C) 在1x =-处连续,在1x =处不连续 (D) 在1x =±处都连续33. 下列间断点是可去间断点的是（ C ） (A) 224x y x +=-在2x =处 (B) 22010x x y x x +>⎧=⎨+≤⎩在0x =处 (C) 2200x x x y x x ⎧+>=⎨<⎩在0x =处(D) 2sin xy x =在0x =处 34. 下面的函数中有可去间断点的是（ A ）(A) 2200x x x y xx ⎧+>=⎨<⎩(B) 236x y x +=- (C) 22010x x y x x +>⎧=⎨+≤⎩(D) 2sin xy x =闭区间上连续函数的性质35. 利用介值定理判断下列方程在[0,1]内有解的是（ C ）(A) 2334x x -= (B) ln(1)1x x +=-(C) 20xe x +-= (D) sin 20x +=二. 判断题（对的打“√”,错的打“×”）三. 填空题定义域与值域36. 函数y x x x =+-+2982的定义域是 (,)(,)-∞+∞18Y .37. 函数x x y ln 11--=的定义域是 (1,)(,)e e +∞U .38. 函数ln y x=的定义域是 (1,)+∞ .39. 函数1ln arctan y x=的定义域是 (0,)+∞ .40. 函数1arcsin x y x -=的定义域是 1[,)2+∞ . 41. 若()f x 的定义域是[2,5)-,则(sin )f x 的定义域是 (,)-∞+∞ .42. 函数1arctan y x=的定义域是 (,0)(0,3]-∞U .复合函数43. 已知2()1x f x x =-，则(())f f x = 413xx - 。

44. 已知2(),()121x x f x g x x x ==--，则(())f g x = 215xx- 。

45. 若()sin f x x =,2()3g x x =+,则(())g f x = 2sin 3x + .反函数46. 函数1ln(23)y x =+-的反函数是 11(3)2x y e -=+ . 47. 函数1sin 1y x =+3()22x ππ≤<的反函数是1arcsin x y x π-=+1()2x ≥ .48. 函数1arcsin x y x -=的反函数是 1sin 1y x =+ .49. 函数221x x y =+的反函数是 2log 1xy x=- .50. 函数2xy a =的反函数是 1log 2a y x = .四大特性无穷小量与无穷大量两重要极限51. 0sin 3lim sin 5x x x →= 35 .52. 0sin 3lim tan 5x x x →= 35. 53. 0sin 2limln()x x x→= ln 2 . 54. 设3)21(lim -∞→=+e n kn n ,则=k 32- . 55.求极限10lim(1)2x x x →-= 12e - .56. 2lim(2)ln(1)x x x→∞--2=-.其他极限57. 若lim (),lim ()0f x a g x b ==≠,则()lim()f x g x = ab. 58. 2211lim 2x x x x →-=+- 23 . 59. 2349lim78n n n n →∞++=- 0 . 60. 2010301(23)(34)lim (2)x x x x →++=- 201057⋅ . 61. 201030(23)(34)lim (2)x x x x →∞++=- 201023⋅ . 62. 322lim 8x x x →-+=+ 2221lim(2)(24)12x x x x x →-+=+-+ . 63.21lim 1x x →=+ 0 . 64.21lim 1x x →=-8 .65. 0cos sin lim x x xx→-= ∞ .间断点与连续性判断66. 设函数f x x x x k x(),,=>+≤⎧⎨⎪⎩⎪e 2122,若f x ()在x ＝2处连续,则k ＝ 5ln 21 .67. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=)0()0(11)(2x x a x x xx f ，要使)(x f 在（-∞，+∞）内连续，则a =___12____。

68. 已知函数21(1)()1(1)x x f x x x a x ⎧->⎪=-⎨⎪+≤⎩在x=1处连续，则实数a 的值为 1 .69. 已知22,(2)()log ,(2)x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若2lim ()x f x →存在，则常数a = -3 .闭区间上连续函数的性质级数70. 级数11npn =+∞∑当 p ≤1 时发散. 四. 求极限计算题无穷小量性质71. 求极限231lim (3cos )1x x x x →∞-++. 解由于231lim 01x x x →∞-=+,而23cos 4x ≤+≤,故原式0=. 无穷小量等价72. 求极限0sin 3limtan 5x x x →033lim 55x x x →==.73.求极限0limx →00lim lim x x →→===-74. 求极限3011cos lim [()1]2x x x x →+-1cos ln233001cos ln12lim [1]lim xx x x x x e x x+→→+=-= 2222000cos 11ln(1)cos 1122lim lim lim224x x x x x x x x x →→→-+--====-. 75. 求极限20(1sin )1lim x x x x →+-ln(1sin )22001ln(1sin )lim lim x x x x e x x x x +→→-+==00ln(1sin )sin lim lim 1x x x x x x→→+=== 罗必达法则76. 求极限sin 3limtan 5x xx π→;解原式2sin 33cos33lim lim tan 55sec 55x x x x x x ππ→→===-. 77. 求极限30tan lim sin x x xx→-解原式222200sec 1tan 1lim lim 3sin cos 3sin cos 3x x x x x x x x →→-===.78. 求极限30sin lim tan x x xx→-解原式32000sin 1cos sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--====. 79. 求极限2ln()2limtan x x x ππ→+-; 解原式222221cos limlimlim (2cos sin )0()sec 22x x x xx x x x x πππππ→+→+→+===-=--.80. 求极限1ln(1)limarccot x x x→+∞+; 解原式2211()11lim 11x x x x →+∞⋅-+=-+(3分)221lim 1x x x x →+∞+==+. (3分) 81. 求极限011lim()ln(1)x x x →-+ 解原式0ln(1)lim ln(1)x x x x x →+-=+(2分)0111lim ln(1)1x x xx x →-+=+++ (2分) 0011lim lim (1)ln(1)ln(1)112x x x x x x x →→--===-++++++.(2分) 82. 求极限011lim[]ln(1)x x x →-+; 解原式0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-+=+(2分)00111lim lim(1)ln(1)ln(1)1x x x x x x x x x x →→-+==++++++ (2分) 011lim ln(1)112x x →==+++.(2分) 两个重要极限183. 求极限30tan sin limsin x x xx→-解原式232002sin sin (1cos )12lim lim sin cos sin cos 2x x xx x x x x x →→-===. 84. 求极限30tan sin lim tan x x xx→- 解原式232002sin tan (1cos )12lim lim tan tan 2x x x x x x x →→-===. 85. 求极限30tan sin lim tan 2x x xx→- 解原式23300tan 2sin tan (1cos )12lim lim tan 2tan 216x x xx x x x x →→⋅-===. 86. 求极限0tan sin lim sin x x xx x →-+解原式0tan sin lim 0sin 1x x xxx xx →-==+. 87. 求极限0sin lim sin x x xx x→-+解原式0sin 1lim0sin 1x x x x x →-==+. 88. 求极限201cos 2lim x xx →-解原式222001cos 22sin lim lim 2x x x xx x→→-===。

第1章 极限与连续