概率论与数理统计第五章统计检验

第五章统计检验

1.学习要求、重点难点

本章要求深刻理解统计检验的基本思想，统计检验的基本概念和基本步骤。

重点理解统计检验中常犯的两类错误，小概率原理在统计检验中的应用。在做参数统计检验的时候合理选择原假设与备择假设。特别是总体方差已知或者未知的情况下，选择恰当的统计量是统计检验正确与否的关键。

2.内容提要

在前一章中，我们介绍了参数估计的方法. 在生产实践和科学研究中，还有另一类重要的统计推断问题——统计检验，又称为假设检验。其思想有点类似于数学中“反证法”，它是对总体的分布或者参数作出某种假设，然后根据所得样本检验这个假设是否成立。

假设检验根据假设对象不同，分为非参数和参数的假设检验。非参假设检验针对总体分布假设所做的检验，而参数假设检验是在总体分布已知的情况下，对未知参数假设进行的检验。本章主要介绍的后者。后文提到的统计检验（假设检验）如不加说明均指参数的假设检验。

本章要求掌握以下几个基本概念。

（一）统计检验的涵义

统计检验是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程，是利用样本的实际资料检验事先对总体某些数量特征所做的假设是否可信的一种统计分析方法。该推理方法有两个重要的特点：

（1）用了反证法的思想。

（2）利用小概率事件在一次实验中基本不发生的原理。

（二）原假设与备择假设

统计检验是从总体参数所做的一个假设开始的，假设一般包括两个部分：原假设

H和备择假设1H。

（1）原假设

H

研究者想要收集证据予以反对的假设，原假设又称虚无假设或零假设，它常是根据已有的资料，或经过周密考虑后确定的。

一般来说，原假设建立的依据都是已有的、具有稳定性的，从经验看，不会被轻易否定的。统计检验的目的，就在于作出决策：接受原假设还是拒绝原假设。

（2）备择假设

H

1

研究者想要收集证据予以支持的假设，也称研究假设或者择一假设，即原假设被否定之后应选择的、与原假设逻辑对立的假设。

（三）统计检验中的两类错误

如果原假设是正确的，由于样本的随机性，这时我们做出了拒绝原假设的决策，从而犯了错误。这类错误称为第一类错误，也称弃真的错误。犯第一类错误的概率就是显著性水平 。

如果原假设不正确时，同样由于样本随机性，使我们作出接受原假设的错误决策。这类

错误为第二类错误。犯第二类错误的概率为β。

通常在检验一个假设

H时，希望犯两类错误的概率都尽可能小，但当样本

容量n固定时，这两者的要求往往是矛盾的. 因此需要建立适当的准则以权衡与协调二者的利害得失. 一般的做法是：先固定犯“第一类错误”的概率，再考虑如何减小犯“第二类错误”的概率.

（四）显著性水平

统计检验中运用的概率反证法原理，其理论依据是“小概率原理”，即小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的推断原理。在进行统计检验时事先确定一个可允许的作为判断界限的小概率标准非常重要。这个小概率标准就是统计检验中的显著性水平α（五）双尾检验与单尾检验

（1）双尾检验

备择假设没有特定的方向性，并含有符号“≠”的统计检验，称为双侧检验或双尾检验(double-tailed test) 。样本统计量(检验统计量)的值过大或过小，都将导致拒绝原假设。双尾检验中原假设的特点是，总体参数的假设值只取某一个数值。

（2）单尾检验

备择假设具有特定的方向性，并含有符号“>”或“<”的统计检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailed test)。备择假设的方向为“<”，称为左侧检验。备择假设的方向为“>”，称为右侧检验。

双尾检验与单尾检验

（六）统计检验的基本步骤

（1）提出统计假设：原假设

H和备择假设1H

（2）选取检验统计量

（3）规定显著性水平α

（4）在显著性水平α下，构造拒绝域

（5）根据样本观测值x1,x2,…,x n,计算检验统计量的观测值

（6）做出判断：若检验统计的观测值落在拒绝域，则拒绝原假设

H，反之，

则接受原假设

H。

了解以上关于统计检验的基本概念及统计检验步骤之后，本章分别从单总体和双总体的角度介绍了关于总体参数即均值和方差的假设检验以及总体比率p 的假设检验

（一）单总体均值和方差的假设检验

表5-1 单个正态总体均值的统计检验

表5-2 单个正态总体方差的统计检验

（1）22212σσσ==未知，统计检验H 0：2

1

μμ

=

构造统计量为： )22(~n S

n S

y

x T 2

22

121

-+-=

n t 如果两个总体的抽样数目不一致时，用上述类似方法可进行检验，只不过此时的统计量应为：

)2(~)

11(

2

)1()1(y

x T 212

2

2122

211

1-++

-+-+--=

n n t n n n n S

n S n

（二）未知期望21

,μμ

，统计检验H 0：22

21

σ

σ

=

构造统计量为：

)

1,1(~//2122

222

12

1--=

n n F S S Y σ

σ

表5-4 两个总体方差比的检验

（1）单个总体比率p 的检验

假定条件：

总体服从二项分布

可用正态分布来近似(大样本)

检验的z 统计量：

其中：π 0为假设的总体比率 检验方法总结如下：

)

10(~)1(0

00

N n

p z πππ--=

)1,0(~)1(000

N n p z πππ--=