数学广角优化(四年级)

数学广角——优化

一、优化问题（烙饼问题、沏茶问题）

1、烙饼问题：

这类问题没有先后顺序，烙饼的最优方案是每一次尽可能地别让锅有空余，这样既节约时间，又节省资源。

烙饼总时间＝每次烙的时间×[（烙饼总数×2）÷每次烙的饼数]（烙一张饼除外）

例1（烙饼问题）：红太狼的平底锅每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面需2分钟，那么，烙一张饼至少需多少分钟？烙2张饼至少需要几分钟？烙3张饼至少需要几分钟？烙10张呢？

练习:1、煮一个鸡蛋需要8分钟，一口锅一次可以煮15个鸡蛋，那么，煮5个鸡蛋至少需要几分钟？煮10个、20个、30个呢？

2、一口锅一次只能煎两条鱼，两面都要煎，一面要煎3分钟，要煎18条鱼，最少需要（）分钟。

3、锅里每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面烙4分钟，要烙14张饼，最快（）分钟可以烙完，要烙26张饼，最快（）分钟可以烙完。

4、玩一种电脑小游戏，玩一局要6分钟，可以单人玩也可以双人玩。现有5个人要玩，且每人玩两局，至少需要（）分钟。

5、用一只平底锅烙饼，每次能同时烙两张饼。如果烙一张饼需要2分钟（假定正、反面各需要1分钟），那么要烙7张饼至少需要（）分钟。

6、可可在家里烙饼，锅里每次可烙两张饼，两面都要烙，如果烙一张饼需要4分钟，烙16张饼要用（）分钟。

7、烤面包时，第一面要烤2分钟，烤第二面时，面包已经比较干，只要烤1分钟就可以了。烤面包的架子一次只能放两片面包，如果烤三片面包，最少要烤（）分钟，烤4片面包至少要（）分钟。

8、平底锅每次只能烙三张饼，两面都要烙，每面需2分钟，烙一张饼需要（）分钟；烙3张饼需要（）分钟；烙10张饼需要（）分钟。

例2（沏茶问题）：小明家来了客人，他准备泡茶给客人喝，已知：（1）洗水杯2分钟；

（2）洗烧水壶1分钟；（3）接水1分钟；（4）烧水6分钟；（5）找茶叶1分钟；（6）泡茶1分钟。如果你是小明，怎么合理安排事情的先后顺序，能使客人在最短的时间内喝到茶？

练习：小明早晨起来是这样安排的：（1）刷牙、洗脸4分钟

（2）淘米2分钟（3）用电饭锅煮饭16分钟（4）背英语单词10分钟（5）吃早饭8分钟，结果用了40分钟才去上学。如果你是小明，你起床后最少用多少分钟就能上学？

二、排队问题

依次从等候时间最短的事情开始做，就能保证等候的总时间最少。

例3（排队问题）：三个人同时到超市收银台付款结算，张阿姨买得东西比较多，结算需要4分钟；王叔叔买的东西比较少，结算需要2分钟；小明买的东西最少，结算需要1分钟。怎样安排排队结算的顺序，才能使等候的时间最少？最少是多少分钟？

练习：三辆车同时一个加油站加油，大卡车需要8分钟，面包车需要4分钟，小轿车需要3分钟，怎样安排加油的顺序最合理？等候的时间最少是多少分钟？

三、策略问题（取棋子问题、报数问题）

找到所有可能的对策，从中找出可以取胜的对策。

小故事：田忌赛马

齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛。他们商量好，把各自的马分成上，中，下三等。比赛的时候，要上马对上马，中马对中马，下马对下马。由于齐威王每个等级的马都比田忌的马强一些，所以比赛了几次，田忌都失败了。

有一次，田忌又失败了，觉得很扫兴，比赛还没有结束，就垂头丧气地准备离开赛马场。这时，人群中有人叫田忌，他抬头一看，原来是他的谋士孙膑。孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀说：“我刚才看了赛马，威王的马比你的马快不了多少呀。” 孙膑还没有说完，田忌瞪了他一眼：“想不到你也来挖苦我！” 孙膑说：“我不是挖苦你，我是说你再同他赛一次，我有办法准能让你赢了他。” 田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换一匹马来？” 孙膑摇摇头说：“连一匹马也不需要更换。” 田忌毫无信心地说：“那还不是照样得输！”孙膑胸有成竹地说：“你就按照我的安排办事吧。”

齐威王屡战屡胜，正在得意洋洋地夸耀自己马匹的时候，看见田忌陪着孙膑迎面走来，便站起来讥讽地说：“怎么，莫非你还不服气？” 田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”说着，“哗啦”一声，把一大堆银钱倒在桌子上，作为他下的赌钱。齐威王一看，心里暗暗好笑，于是吩咐手下，把前几次赢得的银钱全部抬来，另外又加了一千两黄金，也放在桌子上。齐威王轻蔑地说：“那就开始吧！” 一声锣响，比赛开始了。孙膑先以下等马对齐威王的上等马，第一局田忌输了。齐威王站起来说：“想不到赫赫有名的孙膑先生，竟然想出这样拙劣的对策。” 孙膑不去理他。接着进行第二场比赛。孙膑拿上等马对齐威王的中等马，获胜了一局。齐威王有点慌乱了。第三局比赛，孙膑拿中等马对齐威王的下等马，又战胜了一局。这下，齐威王目瞪口呆了。比赛的结果是三局两胜，田忌赢了齐威王。

还是同样的马匹，由于调换一下比赛的出场顺序，就得到转败为胜的结果

这个故事在历史上很有名，不仅因为它很有趣，而且里面也包含了深刻的军事思想，还运用了数学方面的知识。这种专门研究竞争的方法，后来被称为“对策论”，或者叫做“博弈论”。在第二次世界大战的时候，这些知识在军事上发挥了很大的作用。

例4（取棋子问题）：在一堆棋子（20粒）中，两个人轮流取，一次可以取1粒或2粒棋子，不能不取或多取，取到最后一粒棋子的为胜利者。如果给你先取，你要采取什么样的策略，保证自己获胜？

（解析：因为一次只能取1粒或者2粒，你要取到第20粒，就要先取到第17粒棋子；你要取到第17粒，就要先取到第14粒，依此类推，就要取到第11粒、8粒、5粒、2粒，所以，第一次取的时候直接取2粒，以后对方1粒我方就2粒、对方2粒我方就1粒，保证取到第5粒，

这样就一定能取得最后的胜利。）

练习1、在一堆棋子（50粒）中，两个人轮流取，一次可以取1到5粒棋子，不能不取或多取，取到最后一粒棋子的为胜利者。如果给你先取，你要采取什么样的策略，保证自己获胜？

例5（报数问题）：两人轮流报数，从1开始报，每次只能报1个或2个数，谁报到20谁就获胜。如果让你先报，为了确保获胜，应该怎么报？

练1、两人轮流报数，从1开始报，每次只能报2个或4个数，谁报到20谁就获胜。如果让你先报，为了确保获胜，应该怎么报？

练2、两人轮流报数，必须报1到5这五个数其中一个，把两人报的数依次加起来，谁报数后和是50，谁就获胜。如果让你先报数，为了获胜，你第一次报几？以后怎么报？

方法总结：在N个棋子中，每次可以取A~B个，要取得最后一个的方法是：要取得第N个，就要取到第N－（A＋B）个，以此类推，也就是第一次要取到N÷（A＋B）的余数的那个棋子。依照上面的方法，有余数的先取的获胜；没有余数的后取的获胜。

报数问题和取棋子问题的方法一样。