微积分李建平第五章+不定积分

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第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义基本积分表不定积分的性质小结思考题经济数学——积分二—原函数与不定积分的概念定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间/内原函数・(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是cos 兀的原函数.(inx) =— (X >0)XIn X 是1在区间((),+oo)内的原函数.X第一节五、定理原函数存在定理：如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =f(x).简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？1 f例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx(C为任意常数)经济数学一微积分关于原函数的说明:(1)(2)证说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或经济数学一微积分经济数学——微积分不定积分（indefinite integral ）的定义：在区间/内，函数/（兀）的带有任意常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的不定积分，记为f/（xMr ・经济数学——微积分6=X% /. fx^dx =——十 C. J」6例2求f --------- dr.J 1 + X-/ J解•/ (arctanx)=,,I‘1 + 疋心& =皿2被积函数『积分号积分变量寒积表达式F(x)例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成本函数C(jc).解C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀2 + c IK™其中c为任意常数经济数学一微积分二、不定积分的几何意义函数八兀）的原函数的图形称为y（x）的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族，在同一经济数学一微积分经济数学——微积分经济数学微积分基本积分表p*l=x“ zz> k"dx= — + C ・J “+1(“H -l)既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.经济数学一微积分(1) f kdx = kx + C 仏是常数)； (2) (\“dx = J + C (〃H —1); J “+1(3)[竺"=In X +C;J jrr dx说明；X >0, => 一 = lnx + C,J Xx<0, [ln(-x )r= 1 (—*)' =丄，—X X n f — =ln(-x) + C,.订咚=In I X I +C, X J X实例“+1启示能否根据求导公式得出积分公式?结论基本积分表(4)(6)(7) f ------ -dx =arctanx4-C;J 1 + x"f t -------- dx = arcsin jc + C;JJ cos xdx =sinx + C;Jsin xdx =-cosx +C;r dr r r---- 2— = sec~ xdx =tanx +C; J cos X Jf = fcsc^ xdx =—cotx + C; J sin" X J经济数学一微积分(10)(11)(12)(13) J sec X tan xdx =secx + C;J CSC X cot xdx =—cscx +C; J/dx =gx +C;X= a +C;J Ina经济数学一議积分经济数学一微积分例4求积分5解 ^x^yfxAx — J x^dr飞+12经济数学一議积分四、不定积分的性质(1) Jl/(x)±g(x)jdx = J/(x)dx ± Jg(x)dx; r 证•・・J/(x)dx ± Jg(x)dxtt=J/(x)dx ± Jg(x)dx =/(x)±g(x).・・・等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）+ C=-x^+C.7经济数学一議积分J kf{x}Ax =町/（x ）dx.（A:是常数，A: H0）求积分=3arctanx —2arcsinx + C经济数学一微积分r 1 + X + 工2•」X （1 + X*）「1+…L =厂（1+% J 兀（1 +工2） J 兀（1 +云）= arctanx + lnA +C.例6求积分WF—^dx +经济数学一微积分解KrS 訂甯斗」Ar(l + jr) J 兀・(1 +兀・)J 刖 JE"----- arctanx + C< X经济数学一微积分例8求积分1 ------------- —dx.J 1 + cos 2x 解J 1 + ；心4 = j 1 + 2丄—严£土吨g + G说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.I 化积分为代做和的积分\ 例9 已知一曲线y = f(x)在点(x,/(x))处的切线斜率为sec^x+sinx,且此曲线与轴的交点为(0,5),求此曲线的方程.例7求积分r 1+2兀2J 兀2（］ + 尤2）1 + 2*2解•/— = sec2 X十sin x,dr二y = J^sec' X + sinx)dx=tanx —cosx H-C,j(0) = 5, /. C = 6、所求曲线方程为y = tan x — cosx + 6.经济数学一微积分五、小结原函数的概念：F\x) = f(x)不定积分的概念:J/U)dx = F(x) + C 基本积分表(1)〜(13) 求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质经济数学一微积分经济数学——积分思考题1, X > 0 符号函数 /(x) = sgnx = 0, X =0—1, X < 0在（-co,+ 00）内是否存在原函数？为什么？经济数学——积分X + C, X >0X =0[―x+C,x <0 但F （兀）在工=0处不可微，故假设错误所以/（X ）在（-00, + 8）内不存在原函数.思考题解答不存在.假设有原函数F （x ） F （x ） = -ic,经济数学一微积分练习题、填空题；1. 一个已知的连续函数，有个原函数，其中任意两个的差是一个 2. 3・ /(•V )的______ 称为/(X)的不定积分！把/(“)的一个原函数F(x)的图形叫做函数/(X )的 ______ ,它的方程是y = F(x),这样不定积 ,它的方程是 4.5. J f(x)dx 在几何上就表示 j = F(x) + C ；由F (x) = /(x)可知，在积分曲线族j=F(x) + C (C 是任意常数)上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此的；若/(X )在某区间上 ____ ,则在该区间上/(X )的原函数一定存在：经济数学一微积分 6. J xsfxdx = ___________ 7 f - .J 皿- -------------- 8. J (宀 3工 + 2)dx= _ 9. J(>/7 + l)(7P'-l)dv = 10. J-—dx =求下列不定积分:3x经济数学一微积分3. f cos* —drJ 25. J （1-占）厶石血a fF+SlirX.6.----- ； ---- sec* xQxJ x" + l, f cos 2x ■ 』J cos-X sin-s 一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程•经济数学一微积分练习题答案一、1.无穷多，常数：2.全体原函数；积分曲线,积分曲线族；4.平行；5.连续 2 色 2 ---x'+C ； 7, -------- x '+C ；53 3 -- +2x + C ； 3 22 - 2 -- + -x2--x2-x + C ； 3 5 3 —4 - 2 - 2\・x —一—3 53. 6. 9.10.3.5.X—arctanx + C；X + sin X _2 24(*+7)717 +6三s , = lnx+C・经济数学一微积分2. 2’” + C；In 2-In 34e-(cotx +tanx) + C ；6. tan* —arccatx + C.o。

第五章_不定积分

微积分
（三）不定积分的几何意义的原函数的图形称为的积分曲线 . 的所有积分曲线组成的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
O
x0
x
微积分
例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
sin x 2、设 f x ，则 x
f x dx

sin x x
x2
3、 f x dx e
x2
C，
则 f x 2 xe
微积分
5.3、基本积分表
x x 1 x x dx 实例 C. 1 1 ( 1)
(也称配元法 , 凑微分法)
微积分
例1. 求解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注意换回原变量
注: 当
时
微积分
例2. 求解:
sin x dcos x cos xdx cos x
e xd x e x C
ax x C (7 ) a d x ln a
微积分
dx (8) sec 2 xd x tan x C cos 2 x dx (9) 2 csc 2 xd x cot x C sin x (10) sec x tan xdx sec x C
（二）不定积分的运算性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x )dx g ( x ) d x

《高等数学B》第五章不定积分第4节有理函数的积分

xdx 1 5. 2 C ( n 2) ; 2 n 2 2 n 1 ( 2 ( n 2) 可用递推法求出. 2 n (x a )
二、待定系数法举例 x3 dx . 例1 求 2 x 5x 6 解
因此有
4 2 1 x dx 5 dx 5 2 5dx (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2 x 1 x
2 1 2x 1 1 ln | 1 2 x | dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2 ln | 1 2 x | ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
一、六个基本积分
理论上任何一个有理函数 (真分式) 的积分都可以分为以下 6 个类型的基本积分的代数和 . dx 1. ln | x a | C ; xa dx 1 2. C ( n 2) ; n n 1 ( x a) (1 n)( x a )
dx 1 x 3. 2 arctan C ; 2 a a x a xdx 1 4. 2 ln( x 2 a 2 ) C ; x a2 2
例2 求解

dx . 2 x ( x 1)

A B C 1 , 2 2 x ( x 1) x 1 x ( x 1 )
2
1 A( x 1) Bx Cx ( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A , B , C
取 x 0, A1,
取 x 1, B 1
1 ln | x | ln | x 1 | C . x 1
dx . 例3 求 2 (1 2 x )(1 x ) 1 A Bx C 解 , 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x

微积分(第五章)

1 sin x dx 2、 sin x(1 cos x) dx 4、 (2 cos x) sin x
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一、降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章不定积分
§3 分部积分法
二、转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章不定积分
§3 分部积分法
三、循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章不定积分
§3 分部积分法
四、递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质

第五章不定积分 (《微积分》PPT课件)

(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C; (11) csc x cot xdx csc x C; (12) e xdx e x C; (13) a xdx a x C;
6. x xdx ______________________；
7.
dx
x2 x
_______________________；
8. ( x2 3x 2)dx _________________；
9. ( x 1)( x3 1)dx _____________；
10.
(1
x)2 x
dx
或 f ( x)dx在区间 I 内原函数(.primitive function )
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续，那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ，使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.

第五章不定积分与定积分习题解答

Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1

第五章不定积分《经济数学》PPT课件

【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法

微积分教学课件第5章不定积分第2节基本积分表

x dx 2
1
cos 2
x
dx
1 ( x sin x) C 2
(6)
1
dx sin
x
1 sin x dx
(1 sin x)(1 sin x)
1 sin x
cos2 x dx
(sec2 x secx tan x)dx tan x secx C
10
训练：求下列不定积分
(1) ( x2 1)2 dx ( x4 2x 2 1)dx 1 x5 2 x3 x C 53
11
1
( x2 1 x2 )dx x arctan x C
7
例3 求下列不定积分
(5)
x4 1 x2 dx
x4 11 1 x2 dx
( x2 1)( x2 1) 1
1 x2
dx
(x2
1
1 1 x2 )dx
x3 3
x arctan
xC
8
例4 求下列不定积分
三角恒等变形
ln
|
x
|
C
6
例3 求下列不定积分
(3)
( x2 1)
1 x2 2x dx
x2 1
(
2
) dx
x 1 x2
x
1 x2
( x 1 2 )dx 1 x2 ln | x | 2arcsinx C
x 1 x2
2
(4)
1 x2 (1
x2 ) dx
x2 1 x2 x 2 (1 x 2 ) dx
1 sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x dx
(sec2 x csc2 x)dx tan x cot x C

清华大学数学(社科类)Lecture12不定积分

大学数学(1)清华大学数学科学系 Office: 理科楼A302 Tel: 62798531 张立平Email: lzhang@第五章不定积分§1.不定积分的概念和性质原函数和不定积分不定积分的性质基本积分公式微分的逆运算不定积分的研究目的已知物体的运动规律(路程与时间的函数) s=s(t) 则物体的瞬时速度 v=ds/dt 已知物体的瞬时速度v=v(t),怎么求物体的运动规律(路程与时间的函数)s=s(t)呢? 不定积分运算的目的: 已知一个函数的导数和微分,求该函数.原函数和不定积分Def. 函数 F ( x )与 f ( x ) 在区间 I 有定义且处处都有 F '( x ) = f ( x ) 或 dF ( x ) = f ( x ) dx , 则称 F ( x )为 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数 .【例】 sin x是 co s x的原函数， − c os x是 s i n x的原函数 .Question : 原函数存在吗？唯一吗？Thm.(原函数存在定理)若函数f ( x)在区间I 连续，则在区间I 上存在可导函数F ( x)，满足 F '( x) = f ( x) 即连续函数一定有原函数。

∀x ∈ I .Thm.若函数 F ( x )是 f ( x )在区间 I 上的一个原函数，则 F ( x ) + C (C 是任意常数 )也是 f ( x )的原函数。

证.因F ( x)是f ( x)在区间I 上的一个原函数，故F '( x) = f ( x).从而 ( F ( x) + C ) ' = f ( x)，所以F ( x) + C是f ( x)的原函数。

设G( x)也是f ( x)的原函数，则G '( x) = f ( x), 从而有G '( x) = F '( x). 由拉格朗日中值定理推论2，G( x) = F ( x) + C.注: 原函数存在且有无穷多个Def.函数F ( x)是f ( x)的一个原函数，C是任意常数，称F ( x) + C 为f ( x)的不定积分，记作∫ f ( x)dx, 即∫ f ( x)dx = F ( x) + C.Remark.(1)∫ f ( x)dx = F ( x) + C∫: 积分号，f ( x)：被积函数，x：积分变量，C : 积分常数 (2)f ( x)的不定积分∫ f ( x)dx就是f ( x)的全体原函数. (3) ∫ f ( x)dx = ∫ dF ( x) = F ( x) + C (必须加积分常数C )(4)求不定积分与求导求微分互为逆运算： ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) 或反过来， d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx. 或∫ F '( x)dx = F ( x) + C∫ dF ( x) = F ( x) + C.一组曲线在同一点切线平行【例】求不定积分 ∫ 3 x dx . 1 【例】求不定积分 ∫ dx . x 1 1 解： ∵ (ln | x |) ' = , ∴ ∫ dx = ln | x | + C ( x ≠ 0). x x 【例】某商品的边际成本为 100 − 2 x，求总成本 C ( x ).22 3 3 x dx = x +C ∫解： ∵C( x)' = 100 − 2x, ∴C( x) = ∫ (100 − 2x)dx = 100x − x2 + C. 【例】设曲线过点(1,2)，且其上任一点切线的斜率都等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.dy 解：设曲线为y = f (x),在任一点(x, y)处切线的斜率 = 2x, 则必有常 dx 数C使得f (x) = ∫ 2xdx = x2 + C.∵ f (1) = 2,∴C = 1.曲线为f (x) = x2 +1.不定积分的性质性质1.求不定积分与微分运算互为逆运算：( ∫ f ( x ) dx ) ' = f ( x ) 或 d ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx.∫ F '( x)dx = F ( x) + C或∫ dF ( x) = F ( x) + C.性质2.求两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分的代数和∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx.性质3.被积函数中不为零的因子可以提到积分号的前面∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx(k是常数，k ≠ 0).【例】已知 ∫ f ( x ) dx = ( x 2 − 1) e − x + C ，求 f ( x ).解： f ( x) =( ∫ f ( x)dx ) ' = [( x12− 1)e + C ]' = (2 x − x + 1)e2−x−x【例】已知 ∫ xf ( x ) dx = arcsin x + C ，求 f ( x ).解： xf ( x) =( ∫ xf ( x)dx ) ' = (arcsin x + C ) ' =x 1 − x21 1− x2⇒ f ( x) =【例】设 ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ，求 ∫ F ( x ) f ( x ) dx . 解： ∵ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ， ∴ dF ( x ) = f ( x ) dx ⇒∫ F ( x) f ( x)dx = ∫1 F ( x ) dF ( x ) = F ( x ) 2 + C . 2不定积分的基本公式基本初等函数的不定积分表：(1) ∫ kdx = kx + C (3) ( k 常数 ); (2)α x ∫ dx =1 α +1 (α ≠ −1); x α +11 ∫ x dx = ln | x | +C ; 1 x a +C (5) ∫ a x dx = ln a (6) ∫ sin xdx = − cos x + C ; (8) ∫ sec 2 xdx = tan x + C ;(4) ∫ e x dx = e x + C ; ( a > 0, a ≠ 1); (7) ∫ cos xdx = sin x + C ; (9) ∫ csc 2 xdx = − cot x + C ; (11) ∫ csc x cot xdx = − csc x + C ; 1 (13) ∫ dx = arctan x + C . 2 1+ x(10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ; (12)∫1 1− x2dx = arcsin x + C ;【例】求不定积分 ∫ (3 e x + 4 x − 2 sin x ) dx . 解：x x x x e + − x dx = e dx + (3 4 2 sin ) 3 4 ∫ ∫ ∫ dx − 2 ∫ sin xdxx 4 = 3e x + + 2 cos x + C ln 41 ) dx 【例】求∫ ( x + x2 1 1 )dx = ∫ xdx + ∫ dx = x + 2 x + C 解： ∫ ( x + 3 x x【例】求 ∫ tan 2 xdx2 = sec xdx − ∫ dx = tan x − x + C 解： ∫ tan xdx = ∫ (sec x −1)dx ∫2 23 21 dx. 【例】求不定积分∫ 1 + cos 2 x 1 1 1 1 2 dx = ∫ dx = ∫ sec xdx = tan x + C 解： ∫ 2 1 + cos 2 x 2 cos x 2 2 x 【例】求 ∫ sin dx 22x 1 − cos x 1 解： ∫ sin dx = ∫ dx = ( x − sin x) + C 2 2 22【例】求∫(1 + x ) 2 dx 2 x (1 + x )(1+ x)2 2 ⎞ ⎛1 解： ∫ dx = ∫ ⎜ + dx = ln | x | +2arctan x + C 2 2⎟ x(1+ x ) ⎝ x 1+ x ⎠作业：I. Page 186: 1(3)(4)(7)(9)(13)； 2； 32 2x 若 f ( x ) dx = x e + C ，求 f ( x ). II. ∫III. 若 ∫1 f( ) dx = x 2 + C ，求 ∫ f ( x ) dx . x不定积分的计算⎧第一类换元积分法换元积分法 ⎨ ⎩第二类换元积分法分部积分法⎧简单有理函数的积分有理函数积分 ⎨ ⎩三角函数有理式积分§2.换元积分法第一类换元积分法【例】求 ∫ cos 2 x d x 1 1 解：令u = 2 x, 则dx = du , 于是 ∫ cos 2 xdx = ∫ cos udu 2 2 1 1 = sin u + C = sin 2 x + C 2 2Thm. 设f (u)有原函数，且u = u( x)具有连续的导数，则 f (u( x))u '( x)有原函数，且 ⎤ 换元公式：∫ f (u( x))u '( x)dx = ⎡ f ( u ) du ∫ ⎣ ⎦u =u ( x )证：设F (u)是f (u)的原函数, 则∫ f (u)du = F (u) + C.于是 ⎡ f (u)du⎤ = [F (u) + C]u=u ( x) = F (u( x)) + C ⎣∫ ⎦u=u ( x) dF (u( x)) 根据复合函数求导法则， = F '(u)u '( x) = f (u( x))u '( x) dx . 故有∫ f (u( x))u '( x)dx =F (u( x)) + C = ⎡∫ f (u)du ⎤ ⎣ ⎦u=u ( x) 注：求不定积分 ∫ f (u ( x ))u '( x )dx可以通过作变量代换u = u ( x ) 转化为求 ∫ f (u ) du，求出后再把u换成u ( x ). 凑微分法凑微分法常用到的微分公式： adx = d (ax + b), nx n−1dx = dx n , e x dx = de x , sin xdx = −d (cos x)1 dx = 【例】∫ 1+ x 1 ∫ 1 + x d (1 + x ) = ln | 1 + x | + Cln 2 x 【例】∫ dx = x3 ln x 2 2 ∫ ln x (ln x ) ' dx = ∫ ln xd (ln x ) = 3 + C 1 5 【例】 ∫ (2 x + 3) dx = ∫ (2 x + 3) 5 (2 x + 3) ' dx 21 1 5 = ∫ (2 x + 3) d (2 x + 3) = (2 x + 3) 6 + C 2 121 1 1 x2 x2 2 x2 2 【例】 ∫ xe dx = ∫ e ( x ) ' dx = ∫ e d ( x ) = e + C 2 2 2x2【例】 ∫ tan xdx =∫sin x 1 dx= − ∫ d (cos x ) cos x cos x= − ln | cos x | + C1 【例】求 ∫ 2 dx ( a ≠ 0) 2 a +x1 1 解： ∫ a 2 + x 2 dx = a 2∫ cot x d x = ln | sin x | + C1 1 x ∫ ⎛ x ⎞ 2 dx = a ∫ ⎛ x ⎞ 2 d a 1+ ⎜ ⎟ 1+ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝a⎠ 1 x = arctan + C a a 11 【例】求 ∫ 2 dx 2 a −x 1 1 解： ∫ a 2 − x 2 dx = 2 a 1 = 2a( a ≠ 0)∫1 ⎞ ⎛ 1 + ⎟dx ∫⎜ ⎝a−x a+x⎠ 1 1 1 d (a + x) − d (a − x) ∫ a+x 2a a − x1 1 a+x = (ln | a + x | − ln | a − x | ) + C = ln | | +C 2a 2a a−x 1 1 cos x d ( sin x ) 【例】∫ dx = ∫ dx = ∫ 2 2 1 − sin x cos x cos x 1 1 + sin x = ln +C 2 1 − sin x【例】解： ∫∫1 a2 − x21dx ( a > 0)1 ⎛x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠21 dx = ∫ 2 2 a a −xdx = ∫⎛x⎞ d⎜ ⎟ 2 ⎛x⎞ ⎝a⎠ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠ 11 【例】 ∫ sin 3 x cos 2 x d x = ∫ (sin 5 x + sin x )d x 2 1 1 =− cos 5 x − cos x + C 10 2x = arcsin + C a【例】 ∫ csc x d x =∫1 dx = sin x=∫x ⎛x⎞ sec d⎜ ⎟ = x 2 2 ⎝ ⎠ tan 2 12∫1 dx ∫ x x 2 sin cos 2 2 x⎞ x 1 ⎛ d ⎜ tan ⎟ =ln| tan |+C x ⎝ 2 2 ⎠ tan 2x 1 − cos x ∵ tan = = csc x − cot x,∴ ∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | +C 2 sin x∫ sec xdx = ln | sec x + tan x | +C第二类换元积分法【例】求∫ sin x x 解：令 x = t , 则dx = 2tdt , dxsin x sin t 于是∫ dx = ∫ 2tdt = 2∫ sin tdt t x= −2cos t + C = −2cos x + C选取适当的x = ϕ (t )使其有反函数t = ϕ −1 ( x)，则dx = ϕ '(t )dt , ⎤ 换元公式：⎡ f ( x ) dx ⎣∫ ⎦x =ϕ ( t )= ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt = [ F (t ) + C ]t =ϕ −1 ( x )= F (ϕ −1 ( x)) + CThm. 设f ( x)连续，x = ϕ (t )具有连续的导函数，且ϕ '(t ) ≠ 0，则换元公式：∫⎤ f ( x)dx = ⎡ f ( ϕ ( t ) ) ϕ '( t ) dt ⎣∫ ⎦,t =ϕ −1 ( x )其中t = ϕ −1 ( x)是x = ϕ (t )的反函数。

《新编高等数学》课件5高等数学-第五章不定积分

（11） csc x cot xdx csc x C
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节不定积分的概念和性质三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节不定积分的概念和性质四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节不定积分的概念和性质四、不定积分的性质

微积分(上)复习

n
n−1
同步练习P6 同步练习一、13，33，35 ，，二、6，9，16 ，，
11/58
(6)幂指函数求导法幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以为底的复合函数再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存在的点). 在的点). (3) 间断点
①可去间断点(左可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点例如：例如：振荡
同步练习P5 同步练习二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质无穷小与无穷大的概念与性质（1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（微积分（上）

微积分(I)复习(不定积分与定积分)

7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8）估值定理
若m f ( x) M ,则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
9）中值定理
若f ( x) C[a, b], 则存在 [a, b],
使得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10）广义中值定理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且在[a, b]
上不变号, 则存在 [a, b], 使得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
(四)变上限定积分
x2 a2 dx.
x
解令 x asec t, 则
原式

a tant asec t

asin t cos2 t
dt

a
sin 2 t cos2 t
dt

a
tan 2
tdt
a (sec 2 t 1)dt a sec2 tdt dt
a d tant dt a tant at C
限值为f ( x)在[a, b]上的定积分，记作
b
n
a
f ( x)dx

lim
0 k1
f (k )xk
此时称f ( x)在[a, b]上可积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.

《微积分（二）》同步练习册（最终使用版）解析

《微积分（⼆）》同步练习册（最终使⽤版）解析第五章不定积分 §5.3 凑微分法和分部积分法（第5.1~5.2节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“⾃测题”前的附加材料）1. 求下列不定积分：(1) ?-dx e x2； (2)dx x x ln 1；(3)?+xx dx 2； (4) ?-dx x x 21； (5) dx x x x ?-+-2211； (6)()?-dx x 21sin 2；(7)?xdx x 32cos sin ； (8)dx x 4sin 1；(9) ?+dx xx 231；(10)；(11)?dx xx x cos sin 1； (12*)?+dx ex11；ln 1； (14*)()+2cos 2sin x x dx．3. 求下列不定积分： (1)[]?++dx x x )1ln(arcsin ； (2)?-dx e x x 22；(3)?xdx e x2sin ； (4)()dx e x x x221?+；(5) ?xdx ln sin ； (6)?+dx x 21．4. 求下列有理函数的不定积分：(1)+dx x x )1(17； (2)?++dx x x x 21.5. 求下列不定积分： (1) 已知)(x f 是2x e -的⼀个原函数，求?'dx x f x )(；(2) 已知2x e -是)(x f 的⼀个原函数，求?'dx x f x )(.§5.4 换元积分法1. 求下列不定积分： (1)?+dx x 1； (2)?+-dx x 3211；dx x x cos ；(6)?-dx e x； (7)()-dx x x 21012981(7) ?++dx xx)11ln(．2*. 求不定积分?-+dx x x xx cos sin cos sin 2.3*. 试求不定积分2ln 1(ln )x dx x -?．4*. 已知ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ?.第六章定积分 §6.1 定积分的概念与性质1. 利⽤定积分的⼏何意义，计算下列定积分： (1）?-201dx x ； (2）?-11sin xdx ；(3）--22121dx x .2. 不计算积分，⽐较下列各积分值的⼤⼩（指出明确的“=<>,,”关系，并给出必要的理由）. (1）?10xdx ； (2）?212dx x 与21xdx ；(3）?20sin πxdx 与20πxdx ； (4）?40tan πxdx 与40πxdx ．3. 利⽤定积分的性质，估计?-=20dx xe I x 的⼤⼩.4. 设()x f 在区间[]1,0上连续，在()1,0内可导，且满⾜()()?=31031dx x f f ，试证：在()1,0内⾄少存在⼀点ξ，使得()0='ξf .5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由. (1）?-111dx x ； (2）()?20dx x f ，其中()?=≠=1,21,2x x x x f ．6*.根据定积分的定义，试将极限+++∞→n n n n n n πππsin 2sin sin 1lim表§6.2 微积分基本定理1．求下列函数关于x 的导数： (1）()1/1 2sin3x tt dt -?； (2）?12xt dt te ；(3）22x xt dt e ； (4*）()?-xtdt t x 0sin ．2．求下列极限： (1）?→x x du x u 02tan lim； (2）()?+→xu x du u x 010211lim ；(3）?-→2040)cos 1(1lim x x du u x．3．求函数()()()?---=xudu e u u x f 0221的极值点．4．计算下列定积分： (1）?3231dx x x x ； (2）?ππ2121sin 1dx x x；(3）?-20cos 21πdx x ； (4）{}-322,1min dx x ；(5）()?-21dx x f ，其中()≥<=1,1,2x xe x xe x f x x ；(6）?-b dx x 1，其中b 为常数．5．设()x f 在[]1,0上连续，且满⾜()()?+-=132dx x f x x f ，试求()x f ．6*．试利⽤定积分的定义及计算原理求解数列极限n n S ∞→lim ，其中nn n n S n ++++++=21221121 ．§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利⽤定积分的换元法计算下列积分： (1）?-2ln 01dx e x； (2）()?+-212(3）?-122221dx xx ； (4）?++202422dx x x x ；(5）-π3sin sin dx x x .2. 利⽤函数的奇偶性计算下列定积分：(1）()-++22221ln sin ππdx x x x ； (2）()-+-+1122513dx x x x x.3. 设()x f 是R 上的连续函数，试证：对于任意常数0>a ，均有()()??=2002321a a dx x xf dx x f x .4*. 设()x f 是R 上的连续函数，并满⾜()20x dt e t x f x t =-?5. 利⽤定积分的分部积分法计算下列积分：(1）?40sin πxdx x ； (2）()+121ln dx x ；(3）?21ln cos πe xdx .6*. 试计算()?20πdx x f ，其中()?=2sin πxdt ttx f .7*. 已知()x f 是R 上的连续函数，试证：()()()?=-x t x dt du u f dt t x t f 000.§6.4 定积分的应⽤1. 计算下列曲线围成的平⾯封闭图形的⾯积： (1）0,43=-=y x x y ； (2）x y x y x y 2,,===.2. 假设曲线()1012≤≤-=x x y 、x 轴和y 轴所围成的区域被曲线()02>=a ax y 分为⾯积相等的两部分，试确定常数a 的值.3. 求由下列曲线围成的平⾯图形绕指定轴旋转⼀周⽽成的⽴体体积： (1）1,41,0,14====x x y xy ；绕x 轴，（ii ）绕y 轴4. 已知某产品的固定成本为50，边际成本和边际收益函数分别为()642+-=q q q MC ，()q q MR 2105-=，其中q 为产品的销售量（产量），试求最⼤利润.5. 已知某产品在定价1=p 时的市场需求量a Q =，在任意价格p 处的需求价格弹性为Qb E p =，其中0,0<>b a 均为常数，Q 为产品在价格p 处的市场需求量。

高等数学第五章不定积分

的积分曲线。于是
f ( x )的不定
积分在几何上表示
f ( x )的某一
积分曲线沿纵轴方向任
意平移
所得一切积分曲线组成
的曲线
簇。
y
yF(x)C
y F(x)
0
x
显然，若在每一曲条线积上分横坐标相处同作切线，则这些相切平线行互。
注: 1) 求导数与求不定积分是互逆运算
[f(x )d]x f(x ); F (x )d x F (x )C 或 d [f(x )d] xf(x )d;xd(F x )F (x )C
x
dx

1 2
t
gx
C.
例9：求
cos2x cos2 xsin2
dx x
解：原式 ccoo2s2sxxssiin2n2xxdxsi12nxdxco12sxdx
ct g tg x c x
注：被积函数有时需要进行恒等变形，再使用基本积分表.
例8 已知一曲线y f(x)在点(x, f(x))处的切线斜率为se2cxsinx，且此曲线与 y 轴的交点为(0,5)，求此曲线的方程. 解 dyse2x csix n,
coxt 1 C. sinx
例13 求 si2nxco5x s d.x
解 si2nxco5x s d xsi2x n c4 o xs (d sx i)n s2 ix n (1 s2 ix ) n 2 d (sx )in (s 2 x i2 s n 4 i x n s6 i x ) d n (s x )in
过程令 t2xdx 1dt,
换元
2
cos2xdx
1 2

costdt

微积分不定积分教案

微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念1.1 引言引入不定积分概念，解释其在微积分中的重要性。

举例说明实际问题中的不定积分应用。

1.2 不定积分的定义介绍不定积分的定义和符号表示。

解释不定积分与定积分的区别。

1.3 基本积分公式推导基本积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分。

强调记忆和掌握基本积分公式的重要性。

第二章：不定积分的计算方法2.1 换元积分法介绍换元积分法的概念和步骤。

举例说明换元积分法的应用。

2.2 分部积分法介绍分部积分法的概念和步骤。

举例说明分部积分法的应用。

2.3 部分分式积分法介绍部分分式积分法的概念和步骤。

举例说明部分分式积分法的应用。

第三章：不定积分的应用3.1 平面区域的面积介绍平面区域面积的计算方法。

举例说明如何利用不定积分计算平面区域面积。

3.2 曲线的长度介绍曲线长度的计算方法。

举例说明如何利用不定积分计算曲线长度。

3.3 曲线的弧长介绍曲线弧长的计算方法。

举例说明如何利用不定积分计算曲线弧长。

第四章：高阶不定积分4.1 高阶不定积分的定义介绍高阶不定积分的定义和符号表示。

解释高阶不定积分与一阶不定积分的区别。

4.2 高阶不定积分的计算方法推导高阶不定积分的计算方法。

举例说明高阶不定积分的计算应用。

4.3 求解高阶不定积分的一般步骤介绍求解高阶不定积分的一般步骤。

强调记忆和掌握求解高阶不定积分的技巧。

第五章：特殊函数的不定积分5.1 三角函数的不定积分推导三角函数的不定积分公式。

举例说明三角函数的不定积分的应用。

5.2 指数函数的不定积分推导指数函数的不定积分公式。

举例说明指数函数的不定积分的应用。

5.3 对数函数的不定积分推导对数函数的不定积分公式。

举例说明对数函数的不定积分的应用。

第六章：常数项的不定积分6.1 常数项的不定积分的定义引入常数项的不定积分的概念。

解释常数项的不定积分与一般函数的不定积分的区别。

6.2 常数项的不定积分的计算推导常数项的不定积分的计算公式。

微积分课后习题答案第五章

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ;(2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos 2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx +=d(arctan );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d dd x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d 12xx -⎰; (4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7)102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x-⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰; (21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2x x x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tansec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)d xx⎰; (32)(33); (34),0x a >;(35)x ; (36) x ; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =). 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Ct t C x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C C x x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln 1(11)()arctan 11()11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x xx xx x Cx x C x x xCx x x -==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)1218)23812d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)d x x x -+--⎰12arcsin 23x C =3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx +-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224C Cx x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω=-+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x=+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)2d x x x ==12(1)ln12d xx Cxx=+=+++⎰由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt=,当x>0时,(此时t>0)221222211222(12)(12)2.d dddx t tt ttt t CC C Cxx--==-=-=-++=-=-=-+=-+⎰当x≤-2时,此时12t-≤<221233311222(12)(12).d ddx t tt ttt t t CC C Cx--==-==++===+=+⎰综上所述:原式= ln1Cx+.(37)2222sec sec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tand d dx xx x x C x x x x==+=-+ ++++⎰⎰⎰.(38)令e x=t,则x=ln t,d x=1td t.11ln1111(ln)(ln)(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln11(ln)(1ln)ln lnln1lnln1lnln ln ln ln ln ln111d d d ded dee e ee xxx x xx x tx t t t t t x x t t t t t t t t t t t tt t t t Ct t t tt t t txC C x Cxx x xx ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin dx x x⎰; (2) e d x x x-⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) ecos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰;(11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2x x x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)22ln(d (1)x x x x +⎰; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x x x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x Cx x x x x x xx x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+ 2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d e e e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C +=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰ 2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x x x xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x x x x x x =-++=+++=-++⎰⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t dt21131sec cos sin sec d d d t t t t t C C t =⋅==+=+⎰⎰ ∴原式=2ln(2(1)x C x +. 211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 322(24)(1)e e d e xx xx x x x x ==+⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 322(1)e 1e e e x x x x xx x =-=+⎰于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =++⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x xx x xx x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注本题亦可用万能代换法(4)令tan2xt =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t--=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。

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