微积分李建平第五章+不定积分

第五章不定积分

第一节不定积分的概念与性质

一、原函数

在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的，例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)，它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说，已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念．

定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有

F′(x)=f(x),或d F(x)=f(x)d x，（5－1－1）则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数．

例如在(1，+∞)内

,

［ln(x）］′

(1，+∞)内的一个原函数．显然，ln(x）+2，

故ln(x

ln(x）

的原函数．一般地，对任意常数C，ln(x）+C

由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数不止一个．

关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论．

定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I，都有

F′（x)=f(x)．

这个结论告诉我们连续函数一定有原函数．

我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个，这些原函数之间的关系有如下定理：

定理2 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式．

定理需要证明两个结论：

(1) F(x)+C是f(x)的原函数；

(2) f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)+C的形式．

证 (1) 已知F (x )是f (x )的一个原函数，故F ′(x )=f (x )． 又［F (x )+C ］′=F ′(x )=f (x ),所以F (x )+C 是f (x )的一个原函数．

(2) 设G (x )是f (x )的任意一个原函数，即G ′（x ）=f (x ),则有

［G （x )-F (x )］′=G ′(x )-F ′(x )=f (x )-f (x )=0．

由拉格朗日中值定理的推论1知，导数恒等于零的函数是常数，故

G （x )-F (x )=C ,

即 G （x )=F (x )+C ．

由定理2知，只要找到f (x )的一个原函数F (x )，就能写出f (x )的原函数的一般表达形式F (x )+C (C 为任意常数)，即f (x )的全体原函数．

二、 不定积分

定义2 设F (x )是f (x )的一个原函数，则f (x )的全体原函数F (x )+C (C 为任意常数)称为f (x )的不定积分，记作

()f x ⎰d x ，即

()f x ⎰d x =F (x )+C ， （5－1－2）

其中，∫称为积分号，f (x )称为被积函数，f (x )d x 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数．

例1 求x ⎰

d x ．

解 由于(

212x ）′=x ，故21

2

x 是x 在(-∞,+∞)内的一个原函数， 因此 x ⎰d x =2

12

x ＋C ．

例2 求1

x

⎰d x ．

解 由于(ln x )′=1x ,故ln x 是1

x

在(-∞，0)∪(0,+∞)内的一个原函数，因此

1

x ⎰d x =ln x ＋C ．

例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．

解 设所求的曲线方程为y =f (x )，按题设，曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为

d d y

x

＝２x ， 即f (x )是2x 的一个原函数．因为

2x ⎰

d x =2x ＋C ， 从而y =2

x ＋C ．因所求曲线通过点(1，2)，故 2=1+C , C =1． 于是所求曲线方程为 y =2

x ＋１．

函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线．本例即是求函数2x 的通过点(1，2)的

那条积分曲线．显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如y =2

x ）经y 轴方向平移而得(见图5-1)．

图5-1

三、 不定积分的性质

从不定积分的定义，即可知其下述性质： 由于

()f x ⎰d x 是f (x )的原函数，所以有

(1)

d

d x

［()f x ⎰d x ］=f (x ), 或 d ［

()f x ⎰d x ］=f (x )d x ； 又由于F (x )是F ′(x )的原函数，所以有 (2) '()F x ⎰

d x =F (x )＋C ,

或记作 d ⎰

F (x )＝F (x )＋C ．

由此可见，微分运算(以记号d 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算，以记号⎰表 示)是互逆的．当记号∫与d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数． (3)

[]()()f x g x αβ+⎰d x =α()f x ⎰d x ＋β()g x ⎰d x ，其中α，β为任意常数．

此性质可以简单地说成：和的积分等于积分的和；常数因子可以从积分符号中提出来，这是一个积分常用的性质。

性质（3）可以推广到任意有限个函数的情形．

四、 基本积分表

既然积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相应的积分公式．

例如，因为α≠-1时，1()'1x αα++=x α，所以11

x αα++是x α

的一个原函数，于是x α

⎰d x =

1

11

x αα++ +C (α≠-1)． 类似地可以得到其他积分公式．下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通