固体物理学6自由电子论

第六章 自由电子论和电子的输运性质

6-1电子气的费米能和热容量

自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。 一 费米能量

1.模型(索末菲)

(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；

(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。

2.费米分布函数

在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是

1

e 1)(B F )(+=

-T k E E E f

E F ---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T 和晶体自由电子总数N

的函数。

随着T 的增加，f (E )发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在E F

附近±k B T 范围内。

3.费米面

0.a =T ⎪⎩

⎪

⎨⎧>=<<=F F

F 01

)(E E E E E E E f 陡变0

.b ≠T ⎪

⎩⎪⎨⎧>>=<<=F

F

F

0211)(E E E E E E E f

E=EF 的等能面称为费米面。

在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。

T ≠0时，费米球面的半径k F 比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF 约k B T 范围的能级上的电子被激发到EF 之上约k B T 范围的能级。

4.求EF 的表达式

E~E+dE 间的电子状态数：E E N )d ( E~E+dE 间的电子数：E E N E f )d ()( 系统总的电子数：⎰

∞

=０

E E N E f N )d ()(

分两种情况讨论：

(1)在T=0K 时，上式变成：⎰

=

0)d (F

E E E N N ０

将自由电子密度N(E)=CE 1/2代入得：

()

2

30

2

103

2d ⎰

==F

E F

E C E CE N ０

其中2

3222π2⎪⎭

⎫

⎝⎛= m V C c

()

2

30

2

3222π232F

E m V N ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

令n=N/V ，代表系统的价电子浓度

()

3

22

2

0π32n m

E F

=

金属中一般 n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg ， 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算

N

N E E ⎰d ＝

０

⎰

=00

23d F

E E E N

C

05

3F E =

由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。

(1)在T ≠0K 时，

)(E

f

∂∂-

函数的特点具有类似于δ(E -E F )函数的性质，仅在E F 附近k B T 的范围内才有显著的值，且是E -E F 的偶函数。

因此一方面，()E E

f

E g N d )(⎰

∞

∞

-∂∂-

=

另一方面，将g(E)在E F 附近展开为泰勒级数：

⋅⋅⋅+-''+

-'+=2F F F F F )(2

1)()()(）（）（E E E g E E E g E g E g 只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到

(分步积分得来)

E

E

f

E C E E Cf d 32)(32023023⎰∞∞∂∂-=

E

E

f

E C d 32023⎰∞∂∂-==0

⎰∞

=０

E

E f CE N )d (21,

3

2

)(23CE E g =若令则上式化简为

()E E

f E

g N d )(0⎰∞

∂∂-

=

)()()()d ()()(21)d )(()()d ()(F 2F 1F 02F F F F F E g I E g I E g I E

E

f

E E E g E

E f E E E g E

E f E g N ''+'+=∂∂--''+∂∂--'+∂∂-

≈⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞

∞-

T k E f B 1

)1(e e 2+=∂∂-η

η

2B 2

)(6

πT k I =２计算得

定义电子气的费米温度，B 0

F 0F

k E T =

很显然，I 0等于１，由于

为(E -E F )的偶函数，因此I 1=0。 )

(E f ∂∂-

1=I 令(E -E F )/k B T =η，则

1

e 1+=

ηf E E

f E E I )d ()(212F 2⎰∞∞-∂∂--=

⎰∞

∞-+=

η

ηηηd )1(e e 2

)(2

22

B 2T k I 为偶函数，因此由于2

2)1(e e )1(e e +=+--ηη

ηη⎰

∞

+=０

ηηηηd )

1(e e )

(2

2

2

B 2T k I )

()()(F 2F 1F 0E g I E g I E g I N ''+'+≈:

=1

2B 2

)(6

πT k =0

2B F 2F ))((6π)(T k E g E g ''+=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2

F B

223F 8π132E T k CE