固体物理Ch4.5 紧束缚近似
固体物理学_能带理论之紧束缚方法讲解
—— 积分只取决与相对位置
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
i* ξ Rn Rm U ξ V ξi ξdξ J Rn Rm
—— 周期性势场减去原子的势场 —— 仍为负值
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
布洛赫和
i k
1 N
eikRm i
r
Rm r
m
—— 不同的分格子，i ——不同的原子轨道
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 具有金刚石结构的Si，原胞有1个A位和4个B位原子 A位原子格子与B位原子格子的相对位移
—— 坐标原点选取在A 位格子的格点上
—— 重叠越多 形成能带越宽
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
在能带底部
将
在
附近按泰勒级数展开
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
令
2
m* 2J1a2
2
E
k
Emin 2m*
kx2
k
2 y
k
2 z
m*
2 2 J 1a 2
—— 能带底部电子的有效质量
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
在能带顶部 将
在
附近按泰勒级数展开
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
令
E(k )
Emax
2 2m*
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
d U ( x) ( x) E ( x) 2 2me dx
2 2
ˆ H
(0)
2
d
2
2me dx 2
U0
ˆ (1) U ( x) U H 0
ˆ H
( 0)
) ( 0) ( 0) ˆ (1) a (0) b (0 H E a b ' k k k k'
由N个原子组成的一维晶格，基矢为a。 晶格周期势U(x) 作傅里叶级数展开：
U( x) U 0 um e
m 0
U0：等于势场的平均值，即 U 0 U ( x)
mx i 2 a
1 U ( x )e um：展开系数，即 um L0
L
i 2
mx a
dx
近自由电子势场（一维）-2 N N
非简并微扰（波函数）-3
2 2 (1) ˆ k H k um (k 'k m ) & 0 (k 'k m ) a a
'
1 ikx k k k L e E (0) E (0) k(0' ) k' k k'
2 (0) um Ek ' ( 0 ) (0) E E k k' E 2 um E (0) (0) (0) k E E k k'
4.5 紧束缚近似、能态密度和费米面
如果在 k 空间中, 根据
E(k ) 常数
作出等能面, 那么在等能面 E 和 E+ΔE 之间的状态 的数目就是 ΔZ , 由于状态在 k 空间分布是均匀的, 密度为 V/(2π)³
V Z (能量为E和E E的等能面之间的体积) 3 (2 )
s k px k py k
代入波动方程, 解出系数和 能量本征值
虚线表示没有计入相互作用, 只是能带发生了明显的交迭
实线表示计入相互作用后的 结果, 可看出能级间的“排 斥作用”, 最下面能带既有 s 能级也有 p 能级的成分
3. 如果是复式晶格，每个原胞中有 l 个原子，原子 的位置为
Rm r m1 a1 m2 a2 m3 a3 r , 1,2,..., l
按照 LCAO 近似, Si 的价带和导带可以看成八个Bloch 和的线性组合
也可以取另外一种看法, 金刚石结构中的硅原子进 行 sp³ 轨道杂化, 形成四个杂化轨道
1 h1 2 1 h 2 2 1 h3 2 1 h 4 2
*
则 Wannier 函数就是各个格点上孤立原子的波 函数。如果某些能带与紧束缚近似模型相差很 远, 这时 Wannier 函数很少保留孤立原子波函数 的信息, 但是它仍然是比较定域的
在讨论电子空间局域性起重要作用问题时, Wannier 函数会是较好的工具
§4-5 紧束缚近似—原子轨道线性组合法 小 结
简单立方晶格 s 能带, p 能带沿 Δ 轴 E(k) 函数
二、原子能级与能带的对应 1. 上面讨论的是最简单的情形, 一个原子能级 εi 对应一个能带, 原子的不同能级, 在固体中将产 生一系列相应的能带
固体物理：4_5 紧束缚近似——原子轨道线性组合法
P582——4.4
体心立方结构原子s态形成的能带函数
8个最近邻格点的位矢:
a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1),
2
2
2
2
a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1)
2
2
2
2
Es
k
s
J0
8J
cos
kxa 2
cos
z
Emin s J0 6J1 Emax s J0 6J1
X
E Emax Emin 12J1
kx
R ky
M
显然，带宽决定于J1，而J1决 定于近邻原子波函数的相互
重叠程度，重叠愈多，形成
的能带愈宽。
简立方结构布里渊区及对称点
能带极小值点： k 0 即布里渊区中心( 点)；
能带极大值点：
cos
kya 2
cos
kxa 2
cos
kza 2
cos
kya 2
cos
kza 2
Es
k
s
J0
4J
cos
2
a
a cos
2
2
a
a 2
1
E s J0 4J (1 2 cos )
东北师范大学物理学院
4 – 5 紧束缚近似
第四章 能带理论
(2)
ky
kz
kx
2
a
Es k s J0
4J
基本方程
第四章 能带理论
孤立原子波动方程：
2 2m
2
V
(r
Rm
) i
(r
固体物理(第16课)紧束缚近似资料
V为晶体的体积
2. 微扰计算结果
k
(
r
)
1 N
N
e ikRn i
(r
Rn
)
n1
Ek Ei J ss
e J ik( Rn Rs ) sn
J SS
J SN
V V
* i
* i
(r (r
与sR近s邻)的Hˆn Rs )Hˆ
i i
(r (r
Rs )d Rn )d
E
k
Ei
J ss
ห้องสมุดไป่ตู้
e J ik( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
E
k
Gh
Ei
J ss
e J i (k Gh )( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
Ei J ss
e e J ik( Rn Rs )
iGh ( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
Ek (3) Ek随k变化，它们构成了与Ei相联系的能带
能带的宽度取决于J sn
示意图
零级近似：
Hˆ 0
k
0
(r
)
Ek 0
k
0
(r
)
Ekk00(r)Ei
i
(r
Rn )
孤立原子
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
其中
Ni 2
li
Ni 2
N为晶体中的原 子数或布喇菲晶 格的原胞数
在第一布里渊区有N个值不同的 值,对应这些准连续函数取值的 波矢k, E(k)构成一个准连续的能 带.
积分值才不为0,当Rs 0时,波函数重叠最大,
《固体物理学》部分习题解答
《固体物理学》部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
解由倒格子定义体心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为，其中为正格子原胞体积证倒格子基矢倒格子体积1.5证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。
证：容易证明与晶面系正交。
1.6如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证简单正交系倒格子基矢倒格子矢量晶面族的面间距面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向解(111)面与(100)面的交线的AB－AB平移，A与O重合。
B点位矢（111）与（100）面的交线的晶向——晶向指数(111)面与(110)面的交线的AB——将AB平移，A与原点O重合，B点位矢(111)面与(110)面的交线的晶向――晶向指数2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为.证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为当X=1时，有2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为求1）平衡间距2）结合能W（单个原子的）3）体弹性模量4）若取，计算值。
解1）晶体内能平衡条件2) 单个原子的结合能3) 体弹性模量晶体的体积——A为常数，N为原胞数目晶体内能体弹性模量由平衡条件体弹性模量（）4）2.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中的结合能之比值．解2.7．对于，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解以为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：因此，计算得到的晶体的结合能为2.55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．3.1．已知一维单原子链，其中第个格波，在第个格点引起的位移为，，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
紧束缚近似
定义：
i ( r Rm ) 表示位于格点 Rm 上的孤立原子波函数； i (k , r ) 紧束缚下晶体中电子波函数，可表示 为 i ( r Rm )的线性组合，即： (k , r ) am (k ) i (r Rm )
这里：
(k , r ) am (k ) i (r Rm ).......... .......... ......( 3)
m V U ( r ) V ( r Rm )......... .......... .......... .......... ......( 4)
例二、面心立方晶格中由原子s态形成的能带，并分 析其能带宽度；
例三、简立方晶格中由原子p态形成的能带。
13
紧束缚近似微扰计算——例一
例一、简立方晶格中由原子s态形成的能带，并分析其能 带宽度。 求解方法：利用公式计算 E s(k )
E k i J 0
公式中需要解决的是：
*
对应本征值为：
ik E (k ) i J ( Rs )e Rs s
特点：是准连续能级
11
化简J ( Rs ) :
紧束缚近似微扰计算
表示式：
* J ( Rs ) i －Rs U V i d
化简： am i i r Rm am V i r Rm E am i r Rm
m m m
i i r Rm
m
m
7
紧束缚近似微扰计算
继续化简得： am i V i r Rm E am i r Rm
紧束缚近似解析
波函数代入，晶体波函数为
1
N
2
n eikRn [ 2m 2 V (r Rm ) U (r ) V (r Rm ) E (k)]
at (k, r Rn ) 0
周期性势场减去原子的势场，仍为负值
例子：对于非简并的s态电子，利用关系式
2
[
2m
2
V
(r
Rm
)
Es
(k )]at
(k,
r
Rn
)
[E at s
0,0, a
Es (k) Esat (k) Cs 2Js (cos kxa cos kya cos kza)
Es (k) Esat (k) Cs 6Js 0,0,0
Es (k ) Esat (k ) Cs 6J s
a
,
a
,
a
不同能带计算方法的特征区别在两个方面：
• 采用不同的函数集来展开晶体的波函数 • 根据研究对象的物理性质对晶体势作合理
(k)
Es
(k )]sat
(k,
r
Rn
)
乘以波函数并对晶体积分，将晶体波函数改为
[
E
at
s
(k
)
Es
(k
)]
eikRn
at s
(r )sat
(k
,
r
Rn
)dr
n
N
eikRn
at
N s
(r)[U
(r
)
V
(r
Rm
)]at
(k,
r
Rn
)
0
n
当Rn不等于0时，两个波函数交叠很少
N
at s
(r
固体电子理论 2 紧束缚近似
晶体中的束缚电子
考虑N个原子之间相互作用的情况下，任意位置r处的势场应为 各原子势场之和：
N
∑ U (r) = V (r − Rm ) m=1、2、…、N． m=1
描写晶体中单电子的定态薛定谔方程就是：
[− h2 ∇2 +U (r)]ψ (r) = E ⋅ψ (r)
2m
求解困难。假设我们要讨论的电子主要受到某一Rm格点原子作用，上式改写：
m=1
m=1
以ϕi*(r−Rn)左乘等式两端，并对r积分，利用ϕi(r−Rm)的正交归一性：
N
∑ ∫ eik⋅Rm ϕi*(r − Rn )[U (r) −V (r − Rm )]ϕi (r − Rm )dr = (E − εi )eik⋅Rn
m=1
12
令： ξ = r − Rm , r = ξ + Rm 同时考虑晶体场势能U(r)为Rm的周期函数
且近似认为：
N
∑ ψ (r) = Cmϕi (r − Rm ) m=1
∫ϕ
* i
(r
−
Rn
)ϕi
(r
−
Rm
)dr
=
δ n,m
V
即同一格点的ϕi归一化，不同格点的ϕi，因交叠较小而正交。
这种晶体中电子共有化运动的轨道由原子轨道ϕi(r−Rm)的线
性组合而成的方法，也称原子轨道线性组合法。
10
N
原子轨道线性组合: ∑ ψ (r) = Cmϕi (r − Rm ) m=1
⎨⎧[− ⎩
h2 2m
∇2
+
V
(r
−
Rm
)]
+
[U
(r)
−V
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
U( x) U 0 um e
m 0
U0：等于势场的平均值，即 U 0 U ( x)
mx i 2 a
1 U ( x )e um：展开系数，即 um L0
L
i 2
mx a
dx
近自由电子势场（一维）-2
(0) (1)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
1 ikx ( 0) k e (0) ( 0) k' L k ' E k Ek '
只考虑k(0)和满足Ek(0)=Ek’(0)的k’(0)两项，其它波函数因影响较小，忽 略不计。波函数可写成：
ˆ (1) k k' H
( x) a k(0) b k(0)
'
2 2 d ˆ H U ( x) 2 2 me dx
有解条件
Ek( 0) E um
2
* um 0 ( 0) Ek ' E
E
( 0) k
E E
( 0) k'
E um 0
1 ( 0) 2 ( 0) ( 0) ( 0) 2 E ( Ek Ek ' ) ( Ek Ek ' ) 4 um 2
ˆ H ˆ H ˆ' H 0
固体物理基础第三章能带论课件33紧束缚近似
Rn
为此取
an
1 eikRn N
则晶体中的单电子波函数变为：k(r)
1 eikRn
NRn
i(rRn)
下面验证 k (r )为布洛赫函数
令 ： R nR mR l
(r)1 eikRn
k
NRn
i(rRn)
(1)孤立原子情形下电子的运动方程
电子绕格点 R n 处原子运 动时的运动方程:
H ˆ 0 i( r R n ) i a ti( r R n )
k
NRn
i (rRn)
即用孤立原子的电子波函数 ia t的线性组合来构
成晶体中电子共有化运动的波函数，因此紧束缚 近似也称为原子轨道线性组合法,简称 LCAO。
2.周期势场 晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原
子势场 V(rR n)的作用，其它原子的作用视为微 扰来处理，所以，周期势为
其中
2
H ˆ02m2Vat(rRn)
为孤立原子中电子的哈密顿
H ˆ /Vat(rRm) Rm
为其它原子的周期微扰势。
r
r Rn
O Rn
3.哈密顿方程
如果不考虑原子间的相互影响，在格点R n 附
近的电子将以原子束缚态
at i
绕R
n 点运动。iat(rRn)
表示孤立原子的电子波函数 。
紧束缚方法-1
ψ k1 ψ k 2 M ψ k N
s
—— 两者存在么正变换
—— 对 于原子的一个束缚态能级， k有 N个取值 —— 原子结合成固体后，电子具有的能 量形成一系列能带
原子束缚态波函数 ϕ i ( r − Rm )
能量本征值 * 简化处理
v v v v E (k ) = ε i − ∑ J ( Rs )e −ik ⋅Rs s
化简后得到
∑ a ∫ϕ
m m
* i
v v v v v v v v ( r − Rn )[U ( r ) − V ( r − Rm )]ϕ i ( r − Rm )dr = ( E − ε i ) an
v v ϕ i* ( r − Rn )
—— N种可能选取，方程是 N个联立方程中的一个方程
∫ ϕ [ξ − ( R
v E ( k ) = ε i − J 0 − J1
Rs = Nearest
∑
e− ik ⋅ Rs
v v
—— 第一布里渊区几个点的能量
Γ 点和 R 点分别对应能带底和能带顶
Γ : E Γ = ε i − J 0 − 6 J1
R : E R = ε i − J 0 + 6 J1
v E ( k ) = ε i − J 0 − 2 J1 (cos k x a + cos k y a + cos k z a ) v Γ : k = (0, 0, 0) E Γ = εi − J 0 − 6 J1 v π Χ : k = (0, 0, ) a E Χ = ε i − J 0 − 2 J1
m m
v v v ψ (r ) = ∑ amϕ i (r − Rm )
m
—— 当 原子间距比原子 半径大时，不同 格点的 ϕ i ( r − Rm ) 重叠很小 近似有
固体物理学：4-5 紧束缚近似
同一量子数 —— N个3s和N个3p轨道相互杂化 第m个B位原子
N个B位原子 形成4个布洛赫和
A位和B位原子3s和3p轨道杂化形成8个布洛赫和 —— Si的价带和导带是8个布洛赫和的线性组合
1个3s和3个3p轨道相互杂化 —— 4个杂化轨道 单个Si原子轨道杂化
同一量子数 —— N个3s和N个3p轨道相互杂化 A位原子和B位原子的杂化形成成键态和反键态
—— 表示方程中的积分项
—— 积分只取决与相对位置
—— 周期性势场减去原子的势场 —— 仍为负值
方程的解
—— 关于am为未知数的N个齐次线性方程组
—— am只由
来决定
—— 任意常数矢量
能量本征值
（4-58）
—— 最完全的重叠
其次考虑近邻格点的格矢 能量本征值
（4-60）
能带的形成
应用周期性边界条件 K的取值
复式格子 原胞中有l个原子，原子的位置
布洛赫和
—— 原胞中不同原子的相对位移
—— 不同的分格子，i ——不同的原子轨道
具有金刚石结构的Si，原胞有1个A位和4个B位原子 A位原子格子与B位原子格子的相对位移
坐标原点选取在A 位格子 的格点上
同一量子数 —— N个3s和N个3p轨道相互杂化 第m个A位原子
的取值有N个，每一个 值对应波函数和一 个能量本征值，对于准连续的N个k值， E(k)将形成一准连续的能带，因此，形成固 体时原子态将形成一相应的能带。
晶体中电子的波函数具有布洛赫函数形式？？ 对于确定的 ， 晶体中电子的波函数
改写为 —— 晶格周期性函数
— 简约波矢，取值限制在简约布里渊区 晶体中电子的波函数具有布洛赫函数形式
固体物理 04-05紧束缚方法
能量本征值
ikR E (k ) i J ( Rs )e s s
—— 对于原子的一个束缚态能级 ___ k有N个取值 —— 原子结合成固体后 ___电子具有的能量形成一系列能带
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
* J ( Rs ) i ( Rs )[U ( ) V ( )]i ( )}d
[ e
西 南 科 技 大 学
m
ik ( r Rm )
i (r Rm )] —— 晶格周期性函数
k — 简约波矢，取值限制在简约布里渊区
固 体 物 理
Solid State Physics
—— 应用周期性边界条件
l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 k 的取值有N个，每一个 k 值对应波函数 1 ik Rm k (r ) e i (r Rm ) N m
m
以 (r Rn ) 左乘上面方程
* i
* i
m
积分得到
am{inm (r Rn )[U (r ) V (r Rm )]i (r Rm )dr} Ean
m
—— 化简后得到
西 南 科 技 大 学
am (r Rn )[U (r ) V (r Rm )]i (r Rm )dr ( E i )an
—— 积分只取决与相对位置 ( Rn Rm )
固 体 物 理
Solid State Physics
[ ( Rn Rm )][U ( ) V ( )] i ( )d J ( Rn Rm )
紧束缚近似实验报告
1. 理解紧束缚近似的基本原理和方法；2. 掌握紧束缚近似在计算电子能带结构中的应用；3. 通过实验验证紧束缚近似在石墨烯材料中的适用性。
二、实验原理紧束缚近似是一种用于研究固体材料电子能带结构的方法。
该方法的基本思想是将晶体中的电子波函数近似为各个原子波函数的线性叠加，即紧束缚近似波函数。
通过求解紧束缚近似下的薛定谔方程，可以得到晶体中电子的能带结构。
三、实验仪器与材料1. 仪器：计算机、计算软件（如MATLAB、Python等）、实验数据；2. 材料：石墨烯样品、石墨烯样品制备设备、测量设备等。
四、实验步骤1. 石墨烯样品制备：制备高质量的石墨烯样品，确保样品表面干净、无杂质；2. 数据测量：使用测量设备对石墨烯样品进行电子能带结构测量；3. 数据处理：将测量得到的电子能带数据输入计算机，利用紧束缚近似方法进行计算；4. 结果分析：比较计算得到的能带结构与实验数据进行对比，验证紧束缚近似的适用性。
五、实验结果与分析1. 石墨烯样品制备：采用机械剥离法，成功制备出高质量的石墨烯样品；2. 数据测量：使用扫描隧道显微镜（STM）对石墨烯样品进行测量，得到其电子能带结构；3. 数据处理：将测量得到的电子能带数据输入计算机，利用紧束缚近似方法进行计算；4. 结果分析：通过比较计算得到的能带结构与实验数据进行对比，发现两者具有较高的吻合度，验证了紧束缚近似在石墨烯材料中的适用性。
1. 紧束缚近似是一种有效的计算电子能带结构的方法，尤其在石墨烯等二维材料中具有较高的适用性；2. 通过实验验证了紧束缚近似在石墨烯材料中的适用性，为后续石墨烯材料的理论研究提供了基础；3. 紧束缚近似在固体物理学、材料科学等领域具有广泛的应用前景。
七、实验讨论1. 紧束缚近似是一种简化的近似方法，其适用性受限于材料类型和晶体结构。
对于某些材料，紧束缚近似可能存在较大的误差；2. 在实际应用中，紧束缚近似可以与其他理论方法相结合，如第一性原理计算、分子动力学模拟等，以提高计算精度；3. 本实验中，紧束缚近似与实验数据具有较高的吻合度，表明该方法在石墨烯材料中具有较高的适用性。
4.5紧束缚近似
积分值只有当它们有一定相互重叠时，才不为零。当 Rs ＝0 时，两波函数完全重叠。
J0 i 2 U V d
其次，考虑 Rs ＝近邻格矢，一般只需保留到近邻项，而略 去其他影响小的项，即可得
E k i J0 J Rs expik Rs Rs 近邻
1 N
eik•RnW ( Rn ,r )
n
万尼尔函数
能带万尼尔函数由 其布洛赫函数定义
W ( Rn ,r )
1 N
eik•Rn ( k ,r )
k
21
性质 （1）万尼尔数之间是完全正交的
W * ( Rn , r )W ( Rn , r )dr nn
布洛赫函数的集合和万尼尔数的集合是两组完备的 正交函数集，它们之间由幺正矩阵相联系。
px带
S带
kx
X
20
三、万尼尔（Wannier）函数 研究电子空间
定义
局域性的工具
紧束缚近似中，能带中电子波函数为原子波函数
的布洛赫和
an at ( r Rn )
n
( k ,r )
1 N
eik •Rn
at (
r
Rn
)
n
对于任何能带布洛赫函数都可以写成类似的形式
( k ,r )
1
N
eik•Rn px (r Rn )
n
1
N
eik•Rn py (r Rn )
n
pz (k, r )
1 N
eik•Rn pz (r Rn )
n
18
p态紧束缚电子能带 E pi (k ) E pi at C p J ( Rs )eik•Rs s
第三节 紧束缚近似
4、半导体的导电电子及空穴主要占据导带底与价带顶附近的状态 对于锗和硅 价带顶有三支能带发生简并 价带顶处等能面不是椭球面 导带底未发生简并，等能面是椭球面 5、半导体的导带底与价带顶的能量差为禁带宽度Eg
二、金属的能带结构 1、简单金属（如Na、Mg、Al等）的能带结构具有明显的近自由 电子的特征：除了在布里渊区边界附近以外，能带结构与自由电 子能带很接近。 2、过渡金属的能带由 很窄的d带和较宽的s 带交叠在一起形成。
孤立原子波函数是归一化的，因而
r r R d
a s a s n
o,n
1 0
当Rn 0 当Rn 0
于是，方程的左侧成为ES(k)-Esa
方程的右侧分为Rn=0和Rn≠0两项 令
A sa r Vcsa r d Vc r
n
系数
Ck ,n
1 N
1/ 2
e
ik Rn
s,k r
1 N
1/ 2
e
n
ik Rn
r Rn
a s
二、紧束缚近似下晶体中电子能量Es（k）的计算 将上述波函数带入薛定谔方程：
2 2 2 m V r Es K S , K r 0 a 1 2 2 ik Rn e V r E K s s r Rn 0 1/ 2 N n 2m
第四节、实际的能带结构
晶体实际的能带结构，通过理论计算与实验相结合而得到 能带的计算 能带的简并 对于某一给定的波矢k，两个或两个以上的子能带的能量相等,于 是这些子能带在k处简并。 一、半导体Ge、Si等的能带结构 1、能带 结构
(理学)固体物理-第四章
解： (r) k
1
eik Rm
at
(r
R
)
Nm
i
m
对于一维晶格而言， R
ma
m
(x) 1
e 1 e ikma
xma
k
Nm
1
e e ikma xma
N m
例 用紧束缚近似求出面心立方晶格S态原子能级相对应
的能带 Es (k) 函数.
s
0
1
y2
x2
z2
E at J 8J cos k a cos k a cos k a
s
0
1
x2
y2
z2
索末菲模型的计算 假设金属是边长为Ｌ的立方体， 单电子薛定谔方程：
共有N个电子，则
2 2 (r) E (r)
2m
解：
(r )
1
eik r
V
V L3，金属的体积
2
L
nx
2
ky L ny
kz
2
L
nz
nx 其中： ny 0,1,2,
nz
能量的取值也是分立的：
E
2 2m
k2
2 2m
( 2
L
)2 (nx2
ny2
nz2 )
电子的能量是量子化的 电子的状态由决定该能量状态的三个量子数表示
特例
根据：
E
2 2m
k2
2 2m
k 2 ，k为电子的波矢
E
2k 2 2m
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HUBEI UNIVERSITY
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
3
孤立原子中电子运动方程
i 个束缚态的能级孤立原子中的电子
表示所处能级0ˆH (2)晶体中电子运动方程
势场
⇀
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
5
()+-+∑ m
m R V r R V 2()∇+- m V r R (r ψ
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法9
周期性势场减去原子的势场，仍为负值
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法11
(k r
ψ
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法13
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法15
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
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()2(cos cos cos )
E k J J k a k a k a =ε--++
⇀⋅ ⇀
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法19
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
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2
222min *()()
2x y z E k E k k k m
=+++
能带底部电子的有效质量
2*2
12m J a
=
在能带顶部 : ⇀
, ,
在 ⇀
,
,
附近按泰勒级数展开
将 ⇀
2 cos cos cos
⇀
有效质量为正
⇀
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
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max ()E k E =+ ⇀ 内层电子外层电子
(2).若考虑p态电子，d态电子，这些
状态是简并的，N个原子组成的晶
体形成能带比较复杂，一个能带
不一定同孤立原子的某个能级对
应，可能出现能带交叠.
——由于p态是三重简并的，对
应的能带发生相互交叠，d态等一
些态也有类似能带交叠
紧束缚讨论中
只考虑不同原子、相同原子态之间的相互作用，不考虑不同原子态之间的作用
——对于内层电子能级和能带有一一对应的关系
——对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法25
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法27
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
29
()m
ik R m s m
e r R ϕτ⋅--∑
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法33
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法35。