固体物理(第16课)紧束缚近似资料

V为晶体的体积
2. 微扰计算结果
k
(
r
)
1 N
N
e ikRn i
(r
Rn
)
n1
Ek Ei J ss
e J ik( Rn Rs ) sn
J SS
J SN
V V
* i
* i
(r (r
与sR近s邻)的Hˆn Rs )Hˆ
i i
(r (r
Rs )d Rn )d
E
k
Ei
J ss
ห้องสมุดไป่ตู้
e J ik( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
E
k
Gh
Ei
J ss
e J i (k Gh )( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
Ei J ss
e e J ik( Rn Rs )
iGh ( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
Ek (3) Ek随k变化，它们构成了与Ei相联系的能带
能带的宽度取决于J sn
示意图
零级近似：
Hˆ 0
k
0
(r
)
Ek 0
k
0
(r
)
Ekk00(r)Ei
i
(r
Rn )
孤立原子
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
其中
Ni 2
li
Ni 2
N为晶体中的原 子数或布喇菲晶 格的原胞数
在第一布里渊区有N个值不同的 值,对应这些准连续函数取值的 波矢k, E(k)构成一个准连续的能 带.
积分值才不为0,当Rs 0时,波函数重叠最大,
对此用 J0
2
i ( ) [U ( ) V ( )]d
其次Rs意味着6个近邻原子
(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a), (-a,0,0),(0,-a,0),(0,0,-a),
对于S态，波函数是球对称的，因而J(Rs)仅取决于原子 间距Rs，而与Rs的方向无关。因此， J(Rs)对六个Rs有相 同的值，以Jl表示。 这样，能量函数可写成：
上式为晶体中作共有化运动的电子的能量本征值，与其
对应的波函数为：
k
(r )
1 N
N
eik Rn
i
(r
Rn
)
n1
Ek Ei J (Rs )eikRs
s
Ei J 0 J (Rs )eikRs
s0
3. 说明
(1)
k
(r)是布洛赫波函数
k
(
r
)
1 N
N
e ikRn i
(r
n=3
Si
+14
n=2
n=1
孤立原子能级和能带示意图
返回
对应原子的各不同量子态，固体中产生一系列的能带， 越低的能带越窄，越高的能带越宽。
Rn
)
n1
e ikr
1 N
N
e ik(r Rn
) i
(r
Rn
)
e ikr
uk
(r )
n1
uk (r Rm )
1 N
N
e ik(r Rm Rn ) i
(r
Rm
Rn
)
n1
1 N
N
e
ik ( r Rl
)
i
(r
Rl
)
uk
(r )
l 1
(2)
E
k
E k Gh
6.3 紧束缚近似
若电子所处原子势场的作用比其它原子势场作用大得 多，或晶体中原子间距较大时，就不能用近自由电子近 似。 这时电子的共有化运动状态和原子的束缚态之间有直 接关系，这就是紧束缚近似。
6.3.1 原子波函数线性组合
第m个孤立原子位矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3
附近运动电子的束缚态为 i(r-Rm)，该波函数满
足方程:
[
2 2m
2
V
(r
Rm
)]i
(r
Rm
)
Eii
(r
Rm
)
第m个原子的原子势场
与i对应的能级
忽略了晶体中其他诸原 子的影响.
晶体为N个原子组成的布喇菲晶格，电子构成N
度简并的系统。能量为Ei的N度简并态i(r-Rm).
由于其他诸原子的微扰，不完全真正孤立，简并态消除， 而形成N个不同能级构成的能带。(示意图) 取上述N个简并态的线性组合
因为J1大于0， 点和R点分别对应于带底和带顶。
J0
12J1
近邻原子重叠越多，能带就越宽
Ek
Ei-J0+6J1
Ei-J0-2J1
X
Ei -J0-6J1 R
例 半导体的能带模型
能带和能级 原子能级：电子分层绕核运动，各层轨道上运动 的电子具有一定能量，这些能量不连续，只能取 某些固定数值，称为能级。
6.3.4一个简单的例子
简立方中，孤立原子S态s所形成的能带。考查积分项
J (Rs ) i*( (Rn Rm ))[U( ) V ( )]i ( )d
i*(r Rm )i (r Rn )dr 0
ζ ：捷塔
被积函数中i*( Rs )和i ( )表示相距为Rs的
两个原子的s态波函数,当它们有一定重叠时,
2 2m
2
N
V
n1
(r
Rn )
2 2m
2
V
(r
Rn
)
V
mn
(r
Rm
)
令
Hˆ Hˆ
0
2
2m V(
2 r
V( Rm )
r
Rn
)
mn
微扰计算
在紧束缚近似条件下，原子间距比i态的轨道大 得多，不同格点的I重叠很小。可以近似认为：
i*(r Rm )i (r Rn )dr mn
将上述方程合并得到下列方程：
am[( Ei E) U (r) V (r Rm )]i (r Rm ) 0
m
对上式乘以*i(r-Rm)并积分，经过变换后得到
(Ei E)an J (Rn Rm )am 0
解出 am Cei2kRm 令C
1 N
6.3.2 能带结构
将am代入方程得到：
E Ei J (Rn Rm )eik(Rn Rm ) Ei J (Rn Rm )eikRs Ei J 0 J (Rs )eikRs
s0
令 r Rm
J (Rs ) i*( (Rn Rm ))[U ( ) V ( )]i ( )d
式中 Rs=Rn-Rm，为原子的相对位置。
E(k) Ei J0 J (Rs )eikRs
Rs
将上述六个近邻Rs代入就可得到：
E(k) Ei J0 2J I (cos kxa coskya coskza)
kz
立方晶格 布里渊区 2/a
X R
ky
kx
点：k=(0,0,0) E()=Ei-J0-6J1 X点： k=(0,0,/a) E(X)=Ei -J0-2J1 R点： k=(/a, /a, /a) E(R)=Ei -J0+6J1
ami (r Rm )
m
作为晶体中电子共有化状态的波函数，把原子间的相互 影响作为周期势场的微扰项. 于是晶体中电子的薛定鄂方程为：
[ 2 2 U (r)] E
2m
U (r) V (r Rn ) U (r Rl )
Hˆ
k
(r )
Ek
k
(r )
Hˆ
2 2m
2
U (r )