数值分析中的误差(精)
数值计算中的误差分析与修正方法
数值计算中的误差分析与修正方法引言：在现代科学和工程领域中，数值计算扮演着至关重要的角色，因为它能够为研究人员和工程师们提供精确、高效的解决复杂问题的手段。
然而，由于计算机的本质限制，数值计算常常会引入各种误差，从而影响计算结果的准确性和可靠性。
本文将探讨数值计算中常见的误差类型以及相应的分析和修正方法，旨在提高计算结果的精确性。
一、误差类型和来源1. 舍入误差：舍入误差是由于现代计算机内部对数字表示进行近似导致的。
由于计算机使用有限的二进制位数来表示实数，因此无法精确表示一些无理数或十进制小数。
这导致在执行算术运算时，结果会舍入到最接近的有效数字，从而引入舍入误差。
2. 截断误差：截断误差是由于截断或近似无限序列或函数而导致的。
例如，在数值积分中，将无限积分区间截断为有限部分，即使使用复杂的数值积分方法，仍然会产生截断误差。
3. 模型误差：模型误差是由于对实际问题建立的数学模型的简化或近似而引入的。
实际问题往往非常复杂，而为了进行数值计算，必须对问题进行适当建模。
然而，简化和近似会导致模型与真实情况之间存在差异，从而引入模型误差。
4. 数值不稳定性：数值计算中有些问题可能非常敏感，稍许输入变动可能会导致输出结果的巨大变化。
这种情况称为数值不稳定性。
例如，当计算具有较大条件数的线性系统或求根问题时，数值不稳定性可能会使结果产生较大的误差。
二、误差分析方法1. 误差界估计：误差界估计是一种常用的误差分析方法，它通过推导数值计算结果与真实结果之间的差距来提供一个误差界。
误差界估计方法利用数学技巧和数值分析原理，将误差的上界或下界与计算结果相关的因素联系起来，从而得到计算结果的误差范围。
2. 扩展精度计算：扩展精度计算是通过在计算过程中使用更高的精度，以减小舍入误差对最终结果的影响。
一种常见的方法是使用任意精度算法，例如多重精度算法。
这种方法的缺点是执行速度较慢，但可以显著减小舍入误差。
3. 自适应步长算法：自适应步长算法是为了减小截断误差而设计的一种方法。
数值分析中的名词解释
数值分析中的名词解释数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算和模拟的学科，它在科学计算、工程领域以及许多其他领域中都有广泛的应用。
本文将通过解释数值分析中的一些重要名词，来介绍这个领域的基本概念和方法。
一、误差与精度在数值分析中，误差是指数值计算和实际结果之间的差异。
由于计算过程中存在舍入误差、截断误差等，数值计算很难得到完全准确的结果。
为了度量误差的大小，我们需要引入精度的概念。
精度表示了计算结果的准确程度，通常使用绝对误差或相对误差来衡量。
绝对误差是计算结果与实际结果的差值，而相对误差则是绝对误差与实际结果的比值。
二、插值与外推插值是指根据已知数据点的数值，通过某种方法去估算出未知点的数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
而外推则是利用已知数据点的数值，通过推算来估计未知点的数值。
插值和外推在数值分析中常常用于构建函数的近似表达式或预测未来数据的趋势。
三、数值积分与数值微分数值积分是指通过数值方法来近似求解定积分。
由于很多函数的原函数无法用解析算式表示，或者求解困难，因此数值积分成为了一种常用的求解方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
而数值微分则是通过数值方法来近似求解微分。
数值微分的目的是通过逼近导数的定义来估算导数值，通常使用数值差商或有限差分来实现。
四、线性方程组的解法在科学计算中，线性方程组的求解是一个核心问题。
数值分析中有各种不同的算法和方法可以用来解决线性方程组，如高斯消元法、追赶法、迭代法等。
这些方法的基本思想是通过对系数矩阵进行操作或迭代运算来求解未知数的值。
线性方程组的求解在很多科学和工程问题中都非常重要，比如力学模拟、电路分析等。
五、常微分方程的数值解法常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型。
然而，绝大部分的常微分方程都无法用解析算式求解，因此需要使用数值方法来近似求解。
数值分析中有许多不同的方法可以用于求解常微分方程，如欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等。
数值分析1-3误差定性分析和与避免误差危害
定性等。误差处理对于确保结构分析的准确性和安全性至关重要。
02 03
流体动力学分析
在流体动力学分析中，数值分析用于求解流体流动和传热问题，如飞机、 汽车的气动性能等。误差处理对于确保流体动力学分析的准确性和可靠 性至关重要。
控制系统设计
在控制系统设计中，数值分析用于求解控制系统的数学模型，如飞机的 自动驾驶系统、工厂的自动化控制系统等。误差处理对于确保控制系统 设计的准确性和稳定性至关重要。
01
02
03
适应性选择
根据问题的性质和精度要 求，选择适合的数值方法 和算法。
对比分析
对不同的算法和数值方法 进行对比分析，选择误差 较小、精度较高的方法。
验证与测试
对所选择的算法和数值方 法进行验证和测试，确保 其在实际应用中的准确性。
增加计算精度和减少舍入误差
高精度计算
采用高精度计算方法，如使用高精度数学库或软件， 以提高计算精度。
数值分析1-3误差定性分析和与避 免误差危害
contents
目录
• 引言 • 误差定性分析 • 避免误差危害的方法 • 实际应用中的误差处理 • 结论
01 引言
误差的来源
测量误差
由于测量工具或方法的限制，导致测量结果与真 实值之间的差异。
近似误差
在数值计算过程中，为了简化计算而采取的近似 方法引入的误差。
可靠性下降
02
误差的存在降低了结果的可靠性，可能导致错误的决策或结论。
稳定性破坏
03
对于某些数值方法，误差的累积可能导致数值不稳定，影响计
算的可靠性。
02 误差定性分析
绝对误差和相对误差
绝对误差
表示测量值与真实值之间的差值，不 依赖于参考点。
数值分析中的误差分析与收敛性
数值分析中的误差分析与收敛性数值分析是一门研究利用计算机进行数学计算和问题求解的学科，它在科学计算、工程设计、金融分析等领域中具有广泛的应用。
然而，在数值计算过程中，由于计算机的有限精度和数值算法的近似性质，误差问题成为了一个不可避免的挑战。
因此，了解误差的来源和性质，以及数值计算方法的收敛性，对于保证计算结果的准确性和可靠性非常重要。
本文将探讨数值分析中的误差分析与收敛性问题。
1. 误差的来源及分类在数值计算中，误差可以分为四类：舍入误差、截断误差、模型误差和舍入误差。
舍入误差是由于计算机内部使用有限位数表示实数导致的误差，它来源于将实数近似为计算机可表示的数值。
截断误差是在计算过程中采取舍入法或截断法将无限级数或无限小量等进行有限近似所引入的误差。
模型误差是将实际问题用数学模型进行近似所引入的误差，它包括了模型的简化和不完全描述等因素。
舍入误差是由于使用有限位数存储和运算导致的误差。
2. 误差的度量方法误差的度量方法包括绝对误差和相对误差。
绝对误差是指数值近似解与真实解之间的差值，它可以用来度量数值计算的准确度。
相对误差是绝对误差除以真实解的绝对值后得到的比值，它可以用来度量数值计算的相对准确度。
通过对误差进行度量和分析，可以评估数值计算方法的准确性，并选择合适的数值方法来解决实际问题。
3. 收敛性在数值计算中，所谓的收敛性是指数值方法的逼近解序列以某种方式趋近于真实解。
一个数值方法是收敛的，意味着当步长趋于0时，逼近解趋近于真实解。
收敛性的评估是数值分析中一个重要的问题，它关系到数值方法的稳定性和可靠性。
常见的收敛性分析方法包括局部截断误差、阶、收敛速度等。
局部截断误差是用来评估数值方法在每个步长上的近似误差，阶是用来度量数值方法逼近真实解的速度。
4. 提高数值计算的准确性与可靠性为了提高数值计算的准确性与可靠性，我们可以采取多种方法。
首先，选择合适的数值方法和算法，确保其满足问题的数学性质和准确性要求。
数值分析误差
I k −1
11 ( k = n, n − 1,…,2,1) = − Ik 5k
(1 − 3)
依式（ 依式（1-3）计算
* 0
的近似值。 I n −1 , I n − 2 ,…, I 1 , I o 的近似值。
* 14
1 1 1 分别取 I = 0.18232155， I = + ≈ 0.01222222 2 6 × 15 5 × 15 按算法1、算法 2的计算结果见下屏表 1 − 1：
逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的 逆向递推公式在数学上完全等价， 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，
种方向的递推会使误差扩大， 种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误 差逐步减小。在设计（选用） 差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增 长的算法。 长的算法。
1 3 1 5 作近似计算， 取 S = x − x + x ，作近似计算，则 3! 5! 为其截断误差。 为其截断误差。
R = sin x − S
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 公式） 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 观测误差都属初始数据的摄动。 件问题的计算方法是十分重要的课题， 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏， 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当， 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 误差在计算过程中不断被放大， 致计算结果的精度大大降低， 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。
数值分析中的误差估计理论
数值分析中的误差估计理论数值分析是研究通过数值计算方法来解决数学问题的学科。
在数值计算过程中，由于计算机本身的限制以及数值计算方法的局限性，必然会引入一定的误差。
误差估计理论是数值分析中的重要内容，它的主要任务是评估数值计算结果的准确性，并为我们提供合理的结果判断依据。
一、误差类型在进行误差估计之前，我们首先需要了解误差的分类。
在数值计算中，误差可以分为截断误差和舍入误差两种类型。
1. 截断误差：截断误差是由于数值计算方法的有限步骤导致的近似解与准确解之间的差距。
通常情况下，我们使用有限级数或多项式来近似某个函数，但是由于级数或多项式只能截取有限的项数，从而无法精确地表示原函数，所以会引入截断误差。
2. 舍入误差：舍入误差是由于计算机在存储和表示数值时的有限精度所引起的误差。
计算机只能存储有限位数的数字，而且在计算过程中会进行舍入操作，从而导致精确数字的丢失和近似数字的产生。
二、误差估计的方法误差估计的方法主要包括局部误差估计和全局误差估计两种。
1. 局部误差估计：局部误差估计方法是通过分析数值计算方法的近似性质，对每一步计算过程的误差进行估计。
通常情况下，我们会使用泰勒级数展开来近似求解函数值，然后通过对级数剩余项的估计来获得局部误差的上界。
2. 全局误差估计：全局误差估计方法是通过分析数值计算方法的整体性质，对整个计算过程的误差进行估计。
该方法通常使用数值稳定性定理或者收敛速度分析来评估数值计算的精度，从而给出全局误差的上界。
三、误差控制策略在数值计算中，确保误差控制是非常重要的。
误差控制策略通过采用合适的数值计算方法和调整计算过程的步骤，减小误差并控制误差的传播，从而提高结果的准确性。
1. 精确算法选择：在进行数值计算之前，我们需要评估不同数值计算方法的精确性和稳定性，并选择适合的方法。
合适的数值计算方法可以最大程度地减小误差的产生。
2. 步长控制：对于迭代算法或差分方法，我们可以通过控制步长的大小来控制误差。
数值分析 误差知识与算法知识
一、误差的来源与分类 二、 绝对误差、相对误差与有效数字
三、误差估计的基本方法
四、算法的计算复杂性 五、数值运算中的一些原则
1.2误差知识与算法知识
一、误差的来源与分类 模型误差 (描述误差 ) ( 测量误差) (方法误差 ) ( 计算误差 )
观测误差
截断误差 舍入误差
建模过程中 产生的误差
三、误差估计的基本方法 （一）误差估计的一般运算 一元函数：
e( f (a)) f (a) e(a)
二元函数：
( f (a)) f (a) (a)
f (a, b) f (a, b) e( f (a, b)) e(a) e(b) x y
f (a, b) f (a, b) ( f (a, b)) ( a) (b) x y
Tn an 秦九韶算法 Tk xTk 1 ak , k n 1, n 2,,1,0 p ( x) T 0 n
加法次数： n
n(n 1) 乘法次数： 2
pn ( x) a0 x(a1 x(a2 x(an1 xan ) )
有效数字=可靠数字+存疑数字
（3）有效数字 有效数字的定义： 设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即
则称近似值a准确到小数点后第k位。 从这个小数点后第k位数字直到最左边非零数 字之间的所有数字都叫有效数字。
1 k x a 10 2
1 1 2 (2.18) 10 (2.1200) 10 4 2 2
例8 设有三个近似数
a=2.31, b=1.93, c=2.24 它们都有三位有效数字,试计算 p a bc, ( p), r ( p), 并问:p的计算结果能有几位有效数字? 教材例4
数值分析中的误差
第9章 数值分析中的误差 典型问题解析考试知识点：误差、有效数字。
（6%）学习要点：误差、有效数字。
典型问题解析：一、误差绝对误差e ：e =x －x *（设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。
绝对误差限ε：ε≤-=*x x e（绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。
）相对误差e r ：***-==x x x x e e r （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e e r =计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界），r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*xr εε=，常用x ε计算. 绝对误差限的估计式：（四则运算中）)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε 二、有效数字有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.(1)设精确值x *的近似值x ，若m n a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数.解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）31105.06592001.0-*⨯≤=- x x （l =3）故x =3.14有3位有效数字。
若x =3.1415＝0.31415×101，（m =1）41105.00000926.0-*⨯≤=- x x （l =4）故x =3.1415有4位有效数字。
数值分析实验 误差分析
数值分析实验误差分析一、引言数值分析是研究用数值方法处理数学问题的学科。
在数值计算中，由于测量误差、近似误差、截断误差和舍入误差等因素的影响，计算的结果与实际值可能存在一定程度的误差。
因此，在进行数值分析实验时，正确评估误差是非常重要的。
本文将从误差类型、误差分析方法等方面进行详细介绍。
二、误差类型1.测量误差。
由于测量仪器的制造、使用环境等因素的影响，测量结果与实际值之间存在偏差，这就是测量误差。
常见的测量误差有系统误差和随机误差。
其中，系统误差是由测量仪器本身的固有误差造成的偏差，随机误差则是由于测量仪器使用条件的不同而产生的偏差。
2.近似误差。
由于迫于计算机存储空间和运算精度的限制，数值计算中通常采用有限的、近似的算法来求解问题。
因此，近似误差是计算方法本身的误差所引起的。
3.截断误差。
因为在有限步数之内求解无限级数或积分等问题是不可能的，所以在实际计算中只能取一定的计算级数或增量来作为代替。
这样，在运算的过程中，我们总是保留最后一位是四舍五入到一定的位数。
这样，由于省略了无限级数的其余项，计算结果与实际值之间产生的误差就是截断误差。
4.舍入误差。
计算机表示数字的位数是有限的，当我们将一个实数舍入到有限的位数时，就会导致计算结果与实际值之间的差距，这就是舍入误差。
三、误差分析方法误差分析是数值分析实验中最基本的计算过程之一，而误差分析所依据的便是数学中的数值分析的基本原理。
对于数值分析实验中所产生的误差而言，目前主要有以下几种误差分析方法：维恩积分估计法、泰勒展开法、拉格朗日插值法等。
1.维恩积分估计法。
利用维恩积分估计法，可以粗略地估计出误差大小的上下限。
该方法的基本思想是：先根据计算结果求出解析解，然后在得到的解析解处求出其导数或高阶导数，再根据误差项的表达式，得到误差估计表达式，从而计算误差的上下界。
2.泰勒展开法。
利用泰勒展开法，可以把计算值的误差展开成某一阶导数之差的形式。
通过泰勒展开公式对计算结果做二阶近似展开，然后把相应的二阶导数用实际值代替即可。
数值分析中的误差传播理论
数值分析中的误差传播理论
误差传播理论是数值分析领域中的重要理论之一，它用于研究数值
计算中的误差如何随着计算过程的进行而逐步累积或减小。
在实际的
数值计算中，由于浮点数表示精度有限、截断误差、舍入误差等原因，误差是无法完全避免的。
因此，了解误差传播理论对于提高数值计算
的准确性和稳定性至关重要。
误差传播理论主要包括截断误差和舍入误差两个方面。
截断误差是
由于数值计算中采用截断近似导致的误差，舍入误差是由于计算机在
表示实数时采用有限精度浮点数表示法引入的误差。
在数值计算过程中，这两种误差会相互影响，相互传播，从而影响最终计算结果的准
确性。
当进行多步数值计算时，每一步的计算结果都会带有误差。
这些误
差在后续计算中会被传播，并随着计算的进行而累积。
因此，为了减
小误差的传播，需要采取一些措施，比如适当选择计算方法、合理设
计算法、增加计算精度等。
误差传播理论对于数值计算中的算法设计、收敛性分析和稳定性评
价起着重要作用。
通过对误差传播过程的深入研究，可以帮助我们更
好地理解数值计算中的误差来源和传播规律，有助于提高数值计算方
法的精度和效率。
总之，误差传播理论是数值计算中不可或缺的理论基础，只有充分
理解和掌握误差传播规律，才能有效地提高数值计算的准确性和稳定
性，确保计算结果的可靠性。
希望通过对误差传播理论的深入研究和应用，能够为数值计算领域的发展和应用带来更多的启发和帮助。
讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
原题目：讨论数值分析第五版中的误差分析方法
数值分析是解决实际问题中的数学方法，但由于测量仪器的不确定性、四舍五入误差、截断误差等因素造成了误差。
本文将讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
误差主要分为绝对误差和相对误差。
- 绝对误差表示为 $E_a = |x - x_0|$
- 相对误差表示为 $E_r = |x - x_0|/|x_0|$
而数值分析中的误差主要分为舍入误差和截断误差：
- 舍入误差：计算时需要将无限小数缩小，所得的有限小数即为舍入误差。
- 截断误差：数值分析方法需要将所选的计算公式在某些地方进行近似，所得结果与精确解之差即为截断误差。
在实际数值分析中，误差的控制非常重要，因为误差可能会对
最终的计算结果产生很大影响。
数值分析中有很多减小误差的方法，比如增加小数位数、选择合适的计算公式和算法等等。
在实际应用中，要注意以下事项：
- 尽量避免使用不同原理的仪器测量或者使用测量范围不同的
仪器测量。
- 合理判断和控制误差对计算结果的影响。
- 遵循科学测量的要求，确保测量结果真实可靠，如果实验数
据存在异常，应根据科学理论和实验规律分析异常产生的原因，选
择合适的方法处理。
因此，在数值分析中，通过合理分析误差因素的影响，在实验
设计、计算方法选择等方面坚持精益求精，不断提高数值分析水平，是获取精确结果的重要途径。
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
数值分析中的误差分析与收敛性
数值分析中的误差分析与收敛性数值分析是一门研究使用计算机进行数值计算的学科，它广泛应用于工程、科学和金融等领域。
在数值计算中，误差分析和收敛性是两个重要的概念。
本文将深入探讨数值分析中的误差分析和收敛性，并介绍它们的应用和意义。
一、误差分析在数值计算中，由于使用的是有限的计算机资源和近似的计算方法，无法得到完全准确的结果。
因此，误差分析成为一项必不可少的工作。
误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指数值计算的结果与真实值之间的差别，常用符号表示为Δx。
相对误差是指绝对误差与真实值之比，常用符号表示为εx。
绝对误差和相对误差可以通过以下公式计算：绝对误差：Δx = |x - x*|相对误差：εx = |(x - x*)/x*|其中，x表示近似值，x*表示真实值。
误差分析的目的是评估数值计算的精度和稳定性。
当误差较小且符合预期范围时，可以认为数值计算结果是可靠的。
二、收敛性在数值分析中，收敛性是指使用逼近方法得到的数值序列逐渐接近于准确值的性质。
收敛性分析是评估逼近方法有效性的重要手段。
常见的收敛性准则包括绝对收敛和相对收敛。
绝对收敛是指逼近序列的差值趋近于零，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，对于所有n>N，有|xn+1 - xn| < ε。
相对收敛是指逼近序列的比值趋近于一，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，对于所有n>N，有|(xn+1 -xn)/xn| < ε。
收敛性分析可以帮助我们评估数值计算方法的有效性和稳定性。
当逼近序列满足收敛准则时，可以认为该方法是可靠且收敛的。
否则，需要重新评估和改进计算方法。
三、误差分析与收敛性的应用误差分析和收敛性是数值分析中不可或缺的工具，其应用广泛且重要。
1. 误差分析在数值模拟中的应用数值模拟是利用数值方法来模拟和求解物理问题的过程。
在数值模拟中，误差分析可以帮助我们判断计算结果的可靠性，评估模拟的精度和稳定性。
通过分析误差来源和大小，可以优化计算方法，提高模拟结果的准确性。
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
数值分析中的误差分析方法
数值分析中的误差分析方法数值分析是一门研究离散数据逼近和连续函数求解的学科，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值计算过程中，误差是不可避免的，因此准确评估和分析误差是至关重要的。
本文将介绍数值分析中常用的误差分析方法，以帮助读者更好地理解误差来源和影响，从而提高数值计算的准确性和可靠性。
一、绝对误差和相对误差绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。
在数值分析中，我们往往无法得知真实值，因此无法直接计算绝对误差。
相对误差则是相对于近似值的误差，它可以更好地反映计算结果的准确性。
二、截断误差截断误差是由于采用有限的计算步骤或取舍了一些无限级数的项而引入的误差。
在数值计算中，我们通常使用近似方法，如级数展开和数值积分等。
由于截断误差的存在，我们得到的结果与真实值之间会有一定的差距。
截断误差的大小取决于所采用的数值方法和步长，可以通过逐步减小步长来减小截断误差。
三、舍入误差舍入误差是由于对无限精度数进行有限舍入导致的误差。
计算机中的数值表示是有限的，而真实数值通常是无限的。
因此，在计算机中进行数值计算时，会存在一定程度的舍入误差。
舍入误差可以通过采用更高精度的数据类型或者使用舍入误差分析技术来减小。
四、传播误差传播误差是由于输入数据的不确定性或测量误差在数值计算过程中扩散而引入的误差。
在实际问题中，输入数据通常带有不确定性，例如测量误差或近似值。
这些不确定性会随着计算的进行而传播，影响到计算结果的准确性。
传播误差需要通过敏感性分析等方法来进行评估和控制。
五、误差估计误差估计是通过数值分析方法来评估近似解与真实解之间的误差。
常用的误差估计方法包括残差估计、收敛性分析和算例分析等。
残差估计法通过计算数值解与原方程的残差来估计误差的大小。
收敛性分析则通过逐步减小步长和比较不同精度下的数值解来判断数值方法是否收敛。
算例分析是通过计算实际问题的已知解或近似解来评估数值方法的误差。
六、误差限制和误差控制误差限制和误差控制是保证数值计算结果准确性和可靠性的重要手段。
数值分析中的误差传播理论
数值分析中的误差传播理论数值分析是研究如何通过数值方法解决实际问题的学科。
在数值计算过程中，误差是无法避免的，而误差传播理论则是用来分析误差如何随着计算过程的进行逐渐累积和传播的。
一、误差的来源在数值计算中，误差主要来自以下几个方面：1. 输入数据的误差：由于测量误差或者实验误差，导致输入数据的不准确性。
2. 近似误差：由于进行数值计算时，所使用的近似方法无法完全准确地表示原始问题。
3. 舍入误差：由于计算机进行运算时，只能表示有限位数的数字，因此在计算过程中会产生舍入误差。
4. 算法误差：由于所采用的数值方法本身的局限性，导致计算结果与真实值之间存在误差。
二、误差的传播误差传播是指在一个数值计算中，初始误差如何通过各种计算过程逐渐传递，并最终影响到计算结果。
误差传播的过程可以用以下公式表示：Δf = |df/dx₁ * Δx₁| + |df/dx₂ * Δx₂| + ... + |df/dxₙ * Δxₙ|其中，Δf表示结果的误差，df/dx₁表示函数f对于变量x₁的偏导数，Δx₁表示变量x₁的误差，以此类推。
误差传播可以分为两种主要类型：1. 绝对误差传播：在绝对误差传播中，初始误差的大小会随着计算过程的进行而不断增加。
这是因为误差在各个计算步骤中会相互累积，并最终导致结果的误差变大。
2. 相对误差传播：在相对误差传播中，初始误差的大小会随着计算过程的进行而缩小。
相对误差传播通常发生在一些迭代计算方法中，例如牛顿迭代法。
三、控制误差传播的方法为了控制误差传播，保证计算结果的准确性，我们可以采取以下方法：1. 提高数值计算的精度：使用更高精度的计算方法和数据类型，以减小舍入误差的影响。
2. 选择合适的数值方法：根据问题的特点选择适当的数值方法，尽可能减小近似误差。
3. 将问题转化为良条件问题：通过改变问题的形式，使得计算过程中的误差更容易被控制和减小。
4. 进行误差估计和控制：在计算过程中，通过估计误差的大小，并及时进行误差控制，可以最大限度地减小误差的传播和累积。
数值分析误差及分析
数值分析误差及分析数值分析是一种通过数学方法和计算机模拟来处理和解决实际问题的方法。
然而，由于计算机的运算能力和存储能力有限，以及问题本身的复杂性，数值分析往往会引入一定的误差。
误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，它分为截断误差和舍入误差两种类型。
截断误差是由于在数值分析过程中对无限小量和无限级数的截取而产生的误差。
无限小量是指小到可以忽略不计的量，无限级数是指由无限多个项相加的数列。
在实际计算过程中，为了获得可计算的结果，人们往往只考虑有限项的计算，这就导致了截断误差的出现。
截断误差的大小与问题本身的性质以及截止条件的选择有关。
舍入误差是由于计算机内部的浮点数表示方式而引入的误差。
计算机内部使用有限的位数来表示实数，这就不可避免地导致了浮点数的精度问题。
当计算结果需要表示的位数超过了计算机所能表示的范围时，就会发生舍入误差。
舍入误差的大小与计算机的表示精度以及计算过程中的计算次数有关。
为了减小误差，提高数值分析的精度，可以采取以下方法：1.增加计算机的位数：增加计算机的位数可以扩大浮点数的表示范围，从而减小舍入误差的发生概率。
2.使用更高精度的数据类型：在一些特殊情况下，为了提高计算结果的精度，可以使用更高精度的数据类型，如使用双精度浮点数代替单精度浮点数。
3.改进算法：优化算法可以减小截断误差的影响，例如使用数值积分的自适应算法、迭代法等。
4.选择合适的截止条件：在数值分析过程中，需要选择适当的截止条件。
截止条件的选择既不应过于严格，以免造成大的截断误差，也不应过于宽松，以免在计算机内部引入较大的舍入误差。
5.进行误差分析：在数值分析过程中，应该对误差进行分析和估计。
可以通过理论方法、数值试验和统计方法等途径来估计误差的上界或下界，从而评估计算结果的可靠性。
总而言之，数值分析误差是不可避免的，但可以通过增加计算机位数、改进算法、选择合适的截止条件、使用高精度数据类型和进行误差分析等方法来减小误差，提高数值分析的精度和可靠性。
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第9章 数值分析中的误差练习9.1 (B) 1.B 2. A 3.量纲 4. 半个 5.D 6. 3位 7.C 8. B 9. ≤ 10. 0.5mm 练习9.2(B) 1. )()(21x x εε+ )()(21x x εε+2. )()(1221x x x x εε+,221221)()(x x x x x εε-3. 舍入误差不增加4. )()(x e x f '5. 使用数值稳定的算法；防止两个相近数相减；简化计算步骤，减少运算次数；避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；防止大数“吃掉”小数 习题9 1. 0.00005 0.017% 四位有效数字 0.005 0.017％ 四位有效数字 0.0005 0.0017％ 五位有效数字 0.5 0.0017% 五位有效数字 0.00005×105 0.017% 四位有效数字 2. 5.5(Ω) 0.2375(Ω) 4.32% 3. (1) B (2)A (3)A4.)()()(2121+=±x x x x εεε )()()(2212121121±±±=±x x x x x x x x x x r r r εεε)()()(122121+≈x x x x x x εεε )()()(1221+≈x x x x r r r εεε22122121+=x x x x x x x )()()(εεε )()()(2121+=x x x x r r r εεε 5. 0.0056. 0.00333…7. 取四位. 利用定理2.第10章 线性方程组的数值解法练习10.1(A)1. (2,1,-1)T ,2. (1,2,3)T ,3. (1,-1,2)T, 4. T)3678.0,05113.0,4900.0(--≈*X(B)1. C2. 系数矩阵的各阶主子式均不为0.3. B4. 矩阵A 是严格对角占优矩阵5. 见教材第10章公式(1.6)6. 见教材第10章公式(1.8) 练习10.2 (A)1.(1,2,-1,3)T,2. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200140111112010001U L3. Y =(14,-10,-72)T,X =(1,2,3)T. 4. Y =(2.4493,11.247,85.254)T,X =(1,0,23)T.5. X =(5,4,3,2)T .6. X =(2,2,1)T.7. Y =(3,0.5,-1)T ,X =(2,1,-1)T. (B)1. 初等矩阵 上(下)2.单位下三角形 上三角形3. A *4.D5. 三对角线矩阵6. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000001000010000132nl l l L ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n n u r u u r u r u 000000000000001132211U 7.C 8. 对称正定矩阵练习10.3 (A)1. T T )1,2,3(,)9998813.0,999838.1,00032.3()10(==*X X 2. 精确解(1,2,3)雅可比迭代法：X (9)=(0.9998, 1.9998, 2.9998)T高斯−−赛德尔迭代法：X (5)=(0.9997, 1.9999, 2.9999)T3. 精确解(-3,3,1) (B)1.X =B 0X +f X (k +1)=B 0X (k )+f k =0,1,2,… 2.≠0 3.B 4.B D 5.A 6.D 习题101. 顺序消去法X ＝(1.000015,1.00001,1.000006,0.9999858)T列主元消去法X ＝(1.000000,1.00000,1.00000,1,0000000)T2. X ＝(1.9272,-0.69841,0.90038)T3. Y ＝(3.77,-3.06,4. 66,4.22)TX ＝(-0.329,0.322,2.37,1.04)T4. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=113012001L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=700720412U5.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=137910161015161013100010L ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7419100109-10370031323100-26=011U Y ＝(6,－3,23/5,-191/74)T X ＝(1,－1,1,－1)T6. Y ＝(5，0，3)T X ＝(2，2，1)T7.略 8. 雅可比迭代法T )9999990.2,0000040.1,9999950.1,9999941.0()24(--=X高斯－赛德尔迭代法T )9999990.2,0000040.1,9999970.1,9999966.0()14(--=X9. 雅可比迭代法收敛，高斯－赛德尔迭代法发散. 10.略 11.∣a ∣>2第11章 函数插值与最小二乘拟合练习11.1(A)1. 6671≈35=33331≈34=22+31=111.)(.)()()(P P x x P 2. 6671=2≈27+-61=222.)()()(P x x x P 3. P 2(x)=232371x x -+ 4. 4.7943(0.6－x)+5.6464(x －0.5) sin0.57891≈0.546675. 1+2x(B)1. 节点; 插值多项式; 被插值函数2. C.3. B4.))(())(())(())(())(())((120210210120201021------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5. B练习11.2 (A)1. f(x 0,x 1)=-5, f(x 1,x 2)=-1,f(x 2,x 3)=9;f(x 0,x 1,x 2)=2,f(x 1,x 2,x 3)=5,f(x 0,x 1,x 2,x 3)=12. f(x)=x 3+x 2+x+1 3. 39.0625(用牛顿插值多项式，))(()()(6-5-+5-11+25=3x x x x P )4. ∆y 0=0.02119,∆y 1=0.02020,∆y 2=0.01931,∆y 3=0.01848,∆y 4=0.01773,∆2y 0=-0.00099,∆2y 1=-0.00089,∆2y 2=-0.00083,∆2y 3=-0.00075,∆3y 0=0.00010,∆3y 1=0.00006,∆3y 2=0.00008, ∆4y 0=-0.00004,∆4y 1=0.00002,∆5y 0=0.00006 5. N 4(x)=(x 3-4x 2+3)-)4)(3)(2)(1(247----x x x x (B)1.),()()(344343--x x f x x x f x f 2. B 3.A 4.D5.))(())(())((120222101120100--+--+--x x x x y x x x x y x x x x y 6. C 练习11.3 (A)1. 2.666 67 2. 略3. ⎪⎩⎪⎨⎧3≤≤239+52-666723+333332≤≤166673-12+33338-21≤≤0+66672+66671-=232323x x x x x x x x x x x x x S ......)(4.⎪⎩⎪⎨⎧5≤≤433-6525+6255+37504≤≤27+254-8751+250-2≤≤11-751+3750+1250-232323x x x x x x x x x x x x .........(B)1.C2.见教材第11章公式(3.1) 3.A4. S(x)在[a,b]上具有2阶连续导数 S(x j )=y j (j=0,1,2,…,n) 在每个子区间[x k ,x k+1](k=0,1,2,…,n-1)上，S(x)是3次的多项式 .5.B 练习11.4 1. y=-1.43+6.43p 2. S=5.34+0.30t3. y=5.045－4.043x ＋1.009x 2 4.y=11.6789e (-1.1109/x)(B)1. B2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑1=1=21=1=1=nk k k n k k n k k nk k n k k y x x b x a y x b na 3. (lnx k ,y k )(k=1,2,…,n)习题111. P 3(x)=)924152(3123-+--x x x 2. P 3(x)=0.2(x 3-13x 2+69x-92) 3. P 1(x)= 2x-14. N 3(x)= x 3+x 2+x+17. 0=2221=222810710),...,,(,),...,,(f f8. 0.603 144 9.0.643 10.S (x )= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧530≤≤450450-10889+530-71257-450-37021-530-66581450≤≤390390-188311+450-418310-390-22112-450-86972390≤≤300300-95446+390-10786-300-91321-390-70942300≤≤250250-96610+300-0110-250-8774-300-7617633333333..).(.).(.).(.).(...).(.).(.).(.).(...).(.).(.).(.).(...).(.).(.).(.).(.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 11.y=0.0213e 0.272x实习作业:1. P(0.5635)=826116 2. N n (0.596)=0.631918; N n (0.895)=1.01937第12章 数值积分与微分练习12.1(A)1. (1)二次代数精度，1563,561±==βα ； (2)二次代数精度，a 0=1/3, a 1=4/3, a 2=1/32. 五次代数精度 (B) 1. A 2.B 练习12.2(A)1.略2.略3.1.71828 用梯形公式分476个子区间，用抛物线公式分6个子区间 （B ）1.C k n kn()=∑=01 (归一公式)，)(n k C 与a ，b 无关，且)()(n k n n k C C -=(称为对称性)2. B练习12.3(A)1. 1.15472. 2.0013889 (B)1. 2n+12. B3. 1==3110A A ,练习12.4 (A)1. 取平均为)..(.47216+4861321=97914 2. －0.4 －0.2(B)1. B2.)()()()()()(210220121003+4-21≈'+-21≈'-4+3-21≈'y y y hx f y y hx f y y y hx f 习题121. 0.311 680 24; 0.310 248 53; 0.310 268 842. 1.148 714 467; 1.147 792 8573.4. 略5. 用复化梯形公式，4等分区间，近似值为T 4＝5.058 337 用复化抛物线公式，2等区间，近似值为S 2＝5.033 002 用科茨公式 近似值为C ＝5.03292 6．3 7. A 0=2 A 1=－3 A 2=3第13章 方程求根练习13.1（A ）1. 0.9212.3.1455（B ） 1.B 2.C 3.ln()ln ln b a --ε24.[1.5,2]练习13.2 （A ）1.(1) 0.7391 (2) 0.20391 (3)2.09455 2.0.090525（B ）1.A2.x x =ϕ()的形式3.B4.Cϕϕ()(~)(~)~x x x x x x x x n n n n n n n+++++---+1112112 练习13.3 （A ）1.x 02= x 1=1.5829 x 2=1.5009 x 3=x 4=1.49732. x 1=1.5970149 x 2=1.5945637 x 3=x 4=1.59456213. 3.317(B)1.线性化2.x f x f x n n n n ----'=11112()()(,,) ，0≠'1-)(n x f 3.C 4.B5.,...),,()(210=5+231=21-1-n x x x n n n6.D练习13.4（A ）1. 2.09455 2. 3.14619 （B ） 1. ,...),()()()()(32=---=2-1-2-1-1-1-n x x x f x f x f x x n n n n n n n2.A3.D4.C练习13.5(A)1.x ***..=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x 120254098360497267762.x x 1121125225()()..⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥,x x 1222120277778()().⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥(B)1. 线性化2.B3.C 习题131.(1) -0.56714 (2)1.267172.(1)1.9405 (2) 0.4502 (3)-1.154173.(1) 3.63197 (2) 0.011754.(1)0.33767 1.30749 (2)1.386165. (1) (0.8260,0.5636)T(2) (0.9991,-0.0888)T第14章 常微分方程的数值解法 练习14.1(A) 1. 略2.将解列入表14－1中。