经济学专业数学二重积分的应用配套课件
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《二重积分计算》课件
探索二重积分在几何问题中的应用，如面积和体积计算。
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
《计算二重积分》课件
2 应用举例的涵盖面广泛
总结应用举例的广泛领域，展示二重积分在不同领域的实际价值。
3 推荐进一步学习的内容
提供有关二重积分的进一步学习资源，帮助学习者在此领域深入探索。
应用举例
计算图形面积
通过具体的例子，演示如何利用二重积分计算图形的面积，加深对二重积分应用的理解。
计算质心
探讨如何利用二重积分计算物体的质心，为实际应用提供有价值的解决方案。
计算物体的质量
展示如何通过二重积分计算物体的质量，为工程和科学领域提供实用的应用示例。
小结
1 二重积分的常用计算方法回顾
简要回顾所学习的二重积分计算方法，强化知识点，巩固理解。
《计算二重积分》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将详细介绍如何计算二重积分。通过讲解前置知识、 计算方法和应用举例，帮助大家更好地理解和应用二重积分的概念。
前置知识
矩形和二重积分的定义
详细解释二重积分的定义和矩形的概念，为后续的计算方法打下基础。
二重积分的性质
介绍二重积分的性质，包括线性性、保号性和介值性，帮助我们更好地理解和应用二重积分。
计算方法
1
交错累次积分法
通过交错累次积分的步骤和计算示例，
极坐标变换法
2
讲解如何利用累次积分法计算二重积分。
介绍极坐标极坐标变换简化二重积分
的计算。
3
用对称性简化计算
探讨利用对称性简化二重积分计算的方
法，包括奇偶性对称、轴对称和中心对
变量代换法
4
称。
介绍变量代换法的步骤和计算示例，展 示如何通过变量代换来求解二重积分。
总结应用举例的广泛领域，展示二重积分在不同领域的实际价值。
3 推荐进一步学习的内容
提供有关二重积分的进一步学习资源，帮助学习者在此领域深入探索。
应用举例
计算图形面积
通过具体的例子，演示如何利用二重积分计算图形的面积，加深对二重积分应用的理解。
计算质心
探讨如何利用二重积分计算物体的质心，为实际应用提供有价值的解决方案。
计算物体的质量
展示如何通过二重积分计算物体的质量，为工程和科学领域提供实用的应用示例。
小结
1 二重积分的常用计算方法回顾
简要回顾所学习的二重积分计算方法，强化知识点，巩固理解。
《计算二重积分》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将详细介绍如何计算二重积分。通过讲解前置知识、 计算方法和应用举例，帮助大家更好地理解和应用二重积分的概念。
前置知识
矩形和二重积分的定义
详细解释二重积分的定义和矩形的概念，为后续的计算方法打下基础。
二重积分的性质
介绍二重积分的性质，包括线性性、保号性和介值性，帮助我们更好地理解和应用二重积分。
计算方法
1
交错累次积分法
通过交错累次积分的步骤和计算示例，
极坐标变换法
2
讲解如何利用累次积分法计算二重积分。
介绍极坐标极坐标变换简化二重积分
的计算。
3
用对称性简化计算
探讨利用对称性简化二重积分计算的方
法，包括奇偶性对称、轴对称和中心对
变量代换法
4
称。
介绍变量代换法的步骤和计算示例，展 示如何通过变量代换来求解二重积分。
第讲 二重积分的应用PPT课件
一、立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体 体积。
第1页/共16页
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体
体积。
z
z
1
解 设立体在
第一卦限上 的体积为 V1。
x
(x, y) y d
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds.
第6页/共16页
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1
,
1
1000 150 3
12100000 4033 (元). 3000
第15页/共16页
感谢您的观看！
第16页/共16页
第14页/共16页
1 a
D
f
(x,
y)d
1
200
dx
100[5000 (x 200)2
( y 100)2 ]dy
50 20 150 80
1
1000
200 150
([5000
y
(
x
200)2
y
(
y
100)3 3
]100 80
)dx
1 200[ 292000 20(x 200)2 ]dx
一周内商品甲的销售量在150～200之间，商品乙的 销售量在80～ 100之间.试求销售这两种产品一周的 平均利润.
解: x,y的变换范围 D={(x,y)|150≤ x≤200,80≤y ≤100}
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体 体积。
第1页/共16页
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体
体积。
z
z
1
解 设立体在
第一卦限上 的体积为 V1。
x
(x, y) y d
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds.
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d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1
,
1
1000 150 3
12100000 4033 (元). 3000
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感谢您的观看！
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1 a
D
f
(x,
y)d
1
200
dx
100[5000 (x 200)2
( y 100)2 ]dy
50 20 150 80
1
1000
200 150
([5000
y
(
x
200)2
y
(
y
100)3 3
]100 80
)dx
1 200[ 292000 20(x 200)2 ]dx
一周内商品甲的销售量在150～200之间，商品乙的 销售量在80～ 100之间.试求销售这两种产品一周的 平均利润.
解: x,y的变换范围 D={(x,y)|150≤ x≤200,80≤y ≤100}
二重积分PPT第二章
( 先积一条线, 后扫积分域 )
充分利用对称性 应用换元公式
19
思考与练习
1. 设 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 且
20
2. 交换积分顺序 提示: 积分域如图
21
备用题 1. 给定
改变积分的次序. 解：
原式
22
2. 计算 及直线 平面闭区域. 解：
其中D 为由圆 所围成的
23
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
则 若D为Y - 型区域 则
2
当被积函数
在D上变号时, 由于
均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
3
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 则有
视为Y - 型区域 , 则
8
例5. 计算 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然,
其中D 由
9
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
对应有
10
即
11
设
则
特别, 对
12
此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 的变化范围是什么? (1) (2)
答:
13
例6. 计算 解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 坐标计算.
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
充分利用对称性 应用换元公式
19
思考与练习
1. 设 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 且
20
2. 交换积分顺序 提示: 积分域如图
21
备用题 1. 给定
改变积分的次序. 解：
原式
22
2. 计算 及直线 平面闭区域. 解：
其中D 为由圆 所围成的
23
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
则 若D为Y - 型区域 则
2
当被积函数
在D上变号时, 由于
均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
3
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 则有
视为Y - 型区域 , 则
8
例5. 计算 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然,
其中D 由
9
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
对应有
10
即
11
设
则
特别, 对
12
此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 的变化范围是什么? (1) (2)
答:
13
例6. 计算 解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 坐标计算.
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
《二重积分的计算》课件
《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
《二重积分的计算》PPT课件
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
0
x
0 1 xe x2 dx 1 (1 e1 )
0
2
注：当积分区域D是一矩形且: a x b , c y d
f ( x, y) g( x) h( y) 时，则二重积分
b
d
f ( x, y)dxdy (a g( x)dx) (c h( y)dy)
rk
rk
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)“常代变”
（ k , k）
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k rk cosk , k rk sink
k
rk
rk
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
(3)“近似和”
n
f ( x, y)dx
0
1 y
1
1 y2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
1
二重积分几何的应用课件
二重积分几何的应用 课件
目录
• 二重积分的概念与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分在几何中的应用 • 二重积分在物理中的应用 • 二重积分在经济学中的应用 • 二重积分的应用案例分析
01 二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
二重积分定义为：∫∫D f(x,y) dA，其中f(x,y)是定义在D上的函数，D是二维平面 上的一个区域，dA是D上面积微元。
总结词
二重积分在人口分布统计分析中发挥着重要 作用，可以分析人口在不同地区和不同时间 的分布情况。
详细描述
人口分布是一个复杂的系统，受到自然环境 、经济发展、政策等多种因素的影响。利用 二重积分可以对人口数据进行多维度、多层 次的分析，为政府制定人口政策、城市规划 等提供科学依据。同时，二重积分还可以用 于分析人口流动趋势，预测未来人口分布情 况。
详细描述
二重积分在计算立体体积时，可以将立体分 成很多小的长方体或四面体，然后对每个小 体积进行积分，最后将这些积分结果相加， 得到整个立体的体积。这种方法可以用于计 算各种立体的体积，如圆柱体、圆锥体和球 体的体积。
计算平面曲线的长度
总结词
二重积分可以用于计算平面曲线的长度，通 过将曲线分成许多小的线段，然后对每个小 线段进行积分，最后求和得到总长度。
计算效用函数的期望效用
总结词
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，通过二重积分可以计算不同投资组合的期望效用。
详细描述
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，它反映了投资者对风险的态度和承受能力。二重积分 可以用来计算不同投资组合的期望效用，即投资者在选择不同的投资组合时，预期能够获得的效用水平。通过二 重积分，可以将不同投资组合的概率分布和效用函数结合起来，得到期望效用的数值。
目录
• 二重积分的概念与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分在几何中的应用 • 二重积分在物理中的应用 • 二重积分在经济学中的应用 • 二重积分的应用案例分析
01 二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
二重积分定义为：∫∫D f(x,y) dA，其中f(x,y)是定义在D上的函数，D是二维平面 上的一个区域，dA是D上面积微元。
总结词
二重积分在人口分布统计分析中发挥着重要 作用，可以分析人口在不同地区和不同时间 的分布情况。
详细描述
人口分布是一个复杂的系统，受到自然环境 、经济发展、政策等多种因素的影响。利用 二重积分可以对人口数据进行多维度、多层 次的分析，为政府制定人口政策、城市规划 等提供科学依据。同时，二重积分还可以用 于分析人口流动趋势，预测未来人口分布情 况。
详细描述
二重积分在计算立体体积时，可以将立体分 成很多小的长方体或四面体，然后对每个小 体积进行积分，最后将这些积分结果相加， 得到整个立体的体积。这种方法可以用于计 算各种立体的体积，如圆柱体、圆锥体和球 体的体积。
计算平面曲线的长度
总结词
二重积分可以用于计算平面曲线的长度，通 过将曲线分成许多小的线段，然后对每个小 线段进行积分，最后求和得到总长度。
计算效用函数的期望效用
总结词
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，通过二重积分可以计算不同投资组合的期望效用。
详细描述
效用函数是用来衡量投资者对不同收益和风险的偏好程度，它反映了投资者对风险的态度和承受能力。二重积分 可以用来计算不同投资组合的期望效用，即投资者在选择不同的投资组合时，预期能够获得的效用水平。通过二 重积分，可以将不同投资组合的概率分布和效用函数结合起来，得到期望效用的数值。
经济数学二重积分PPT课件
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
［X－型］
a
b
a
b
X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的
直线与区域边界的交点不多于两个；
b、1( x) 2( x).
第20页/共59页
2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则
f (x, y)dxdy V
D
z
z f (x, y)
kf x, yd k f x, yd
D
D
性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积 分的和（或差）。
f x, y gx, yd f x, yd gx, yd
D
D
D
第10页/共59页
性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分为有 限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区 域上的二重积分的和.
其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域
的边长为 和
则
k
xi
y j ,
k xiy j
第6页/共59页
直角坐标系下面积元素 d
d dxdy,
y
y j
k
f x, yd
D
D f ( x, y)dxdy D
0 x
xi
第7页/共59页
2 存在性：当
f ( x, y) 在闭区域 D上连续时，函数
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
第22页/共59页
所以：
b
f(x,y)dxdy a A(x)dx
D
b
[
2 (x) f(x.y)dy]dx
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
［X－型］
a
b
a
b
X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的
直线与区域边界的交点不多于两个；
b、1( x) 2( x).
第20页/共59页
2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则
f (x, y)dxdy V
D
z
z f (x, y)
kf x, yd k f x, yd
D
D
性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积 分的和（或差）。
f x, y gx, yd f x, yd gx, yd
D
D
D
第10页/共59页
性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分为有 限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区 域上的二重积分的和.
其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域
的边长为 和
则
k
xi
y j ,
k xiy j
第6页/共59页
直角坐标系下面积元素 d
d dxdy,
y
y j
k
f x, yd
D
D f ( x, y)dxdy D
0 x
xi
第7页/共59页
2 存在性：当
f ( x, y) 在闭区域 D上连续时，函数
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
第22页/共59页
所以：
b
f(x,y)dxdy a A(x)dx
D
b
[
2 (x) f(x.y)dy]dx
应用数学第九章第九章第二节 二重积分的计算和应用-PPT课件
y
y ( x ) 2
S ( x)
a
x
则在 a, b 上任一点 x 处平行于
图9-3
x b y (x ) 1
第九章 二元函数的积分
第二节 二重积分的计算与应用
平面 o y z 的曲顶柱体的截面面积
S ( x )
x ) 2( (x ) 1
f( x ,y ) dy
b
因而
( x ) 2 V S ( x ) dx f ( x , y ) dy dx , a a ( x ) 1
y
y
积
x sin ydxdy ＝
D
2
2
1
2 x sin ydy 0 dx
2
2
＝ 1 x cos y0 dx ＝ 1 x d x
2
3 1 2 x ＝ 2 1 ＝ 2
2
O
1
2
x
图9-6
第九章 二元函数的积分
第二节 二重积分的计算与应用
第九章 二元函数的积分
第二节 二重积分的计算与应用
二重积分的计算，可以归结为求两次定积分（称为累次积 分）。下面介绍在直角坐标系下二重积分的计算． 我们根据区域 D 的情况讨论二重积分的计算. １.设区域 D 为矩形区域，即 Dx ( ,) y a xb , cyd 函数 z f (x, y)在区域 D 上连续，当 ( x , y ) ∈D 时， f (x, y) 0 在区间 [a，b ]上任取一点 x，过点 x 作垂直于 x 轴的平面，设 它与曲顶柱体相交的截面为 S（x）（图９ －３），则曲顶柱 体的体积
第九章 二元函数的积分
【教学课件】第三节 二重积分的应用
的闭区域 d 时，相应地部分量可近似地表示为 f ( x, y)d 的形式，其中( x, y) 在 d 内. 把 f ( x, y)d
称为所求量 U 的元素，记作 dU ，所求量的积分 表达式为
U f ( x, y)dxdy.
D
2021/8/17
2
一、曲面的面积
1. 设曲面方 z程 f(x,为 y)，
D
y(x, y)d
y D
.
(x, y)d
D
当薄片是均匀的，重心/8/17
y 1yd, 其中 Ad.
AD
D
11
例3 设平面薄 yx板 aa((1t由 csion tt))s, (0t2) 与x轴围成，它的 1面 ，密 求度 形心 . 坐
解 先求D 区 的域 面 A,积
点(a的 0引 ). 力
薄片对z轴上单位质点的引F 力 为 { F x ,F y ,F z},
FxfD(x2(x y,2y)x a2)2 3d, Fy fD(x2(x y,2y)ya2)2 3d,
Fz aD f(x2 (yx2, y)a2)2 3d, 其中f 为引力常.数
2021/8/17
17
例5 求面密度为常 为R 量 的， 均半 匀径 圆
第三节 二重积分的应用 一、曲面的面积 二、平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力
2021/8/17
1
把定积分的元素法推广到二重积分 的应用中：
若要计算某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性 (即当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量U 等于 部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小
ydy
61a202a[y(x)]2dx6a02[1cot]s3dt
称为所求量 U 的元素，记作 dU ，所求量的积分 表达式为
U f ( x, y)dxdy.
D
2021/8/17
2
一、曲面的面积
1. 设曲面方 z程 f(x,为 y)，
D
y(x, y)d
y D
.
(x, y)d
D
当薄片是均匀的，重心/8/17
y 1yd, 其中 Ad.
AD
D
11
例3 设平面薄 yx板 aa((1t由 csion tt))s, (0t2) 与x轴围成，它的 1面 ，密 求度 形心 . 坐
解 先求D 区 的域 面 A,积
点(a的 0引 ). 力
薄片对z轴上单位质点的引F 力 为 { F x ,F y ,F z},
FxfD(x2(x y,2y)x a2)2 3d, Fy fD(x2(x y,2y)ya2)2 3d,
Fz aD f(x2 (yx2, y)a2)2 3d, 其中f 为引力常.数
2021/8/17
17
例5 求面密度为常 为R 量 的， 均半 匀径 圆
第三节 二重积分的应用 一、曲面的面积 二、平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力
2021/8/17
1
把定积分的元素法推广到二重积分 的应用中：
若要计算某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性 (即当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量U 等于 部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小
ydy
61a202a[y(x)]2dx6a02[1cot]s3dt
二重积分的计算 PPT资料共24页
D
:
1
x
y
xD 1 Nhomakorabeax 2
x2d
y2
D
12dx1 xxx y2 2dy
2
1
x2 y
x
1
dx
2
(x3 x)dx 1
9. 4
x
小结
［X－型］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
Df(x, ya bA )(x d )dx x a b d [ 1 ( 2 (x y xf))( .) y d x]d yx
练习与巩固
1、求 (x2y)dx ， 其 d 中 D y是 由 抛 物 线 yx2和
D
xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
2、计算 Dx y2 2d.其D 中 由 yx,y1 x,x2
围成．
例 1求 (x2y)dx， d 其 中 y D 是 由 抛 物 线
D
yx2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 .
00
10
积 分 次 序 .
y
解：R1
:
0 0
y x
1 2
y
1 y 3 R2 : 0 x 3 y
3
x3y
积分区域如图
1 x 2y
R
:
0 1 2
x
x
y
2
3
x
o
2
3x
原式 0 dx 1x 2
f (x, y)dy
.
2x
(2)在（a,b）内任取一点x,通过此点作x轴的垂线和
二重积分及其简单应用一PPT课件PPT文档54页
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
二重积分及其简单应用一PPT课件 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
45、何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
二重积分及其简单应用一PPT课件 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
经济学专业数学二重积分的应用配套课件
3 2 2
2017年4月14日星期五 3
R
例 2 求球面 x2 y 2 z 2 R2 与圆柱面 x2 y 2 Rx 所围成的体积.
解
z
x2 y 2 z 2 R2
y
o
R
x 2 y 2 Rx
x
2017年4月14日星期五
4
因所求立体是对称的，所以只画出第一卦限的部分，且
利用极坐标计算可得
A 1 4 x 2 4 y 2 dxdy
Dxy
D*xy
1 4 2 d d
2π
0
π d (1 4 ) d (5 5 1). 0 6
1
7
1 2 2
2017年4月14日星期五
如果曲面方程为 x g ( y, z) 或 y h( x, z ) ， 则可以 把曲面投影到 yoz 或 xoz 平面上， 其投影区域为 Dyz 或
多少小时? (2001考研)
2017年4月14日星期五
10
提示:
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
2 Dz : x 2 y 2 [ 1 h (t ) h(t ) z ] 2
z
V
0
h (t )
h (t ) 1 3 2 h ( t ) [ h ( t ) h ( t ) z ] d z 2 0 4
例1
解
计算球体 x2 y 2 z 2 R2 的体积.
z
z R2 x2 y 2
R
x
2017年4月14日星期五
o
x2 y 2 R2
y
2
由对称性可知， 只要求出第一卦限内部分的体积乘以 8， 即得 球体的体积. 这里曲顶的方程为 z R 2 x 2 y 2 ， 区域 D {( x, y) | x2 y 2 R2 , x 0, y 0} ，所以 1 V R 2 x 2 y 2 d . 8 D 利用极坐标，得
2017年4月14日星期五 3
R
例 2 求球面 x2 y 2 z 2 R2 与圆柱面 x2 y 2 Rx 所围成的体积.
解
z
x2 y 2 z 2 R2
y
o
R
x 2 y 2 Rx
x
2017年4月14日星期五
4
因所求立体是对称的，所以只画出第一卦限的部分，且
利用极坐标计算可得
A 1 4 x 2 4 y 2 dxdy
Dxy
D*xy
1 4 2 d d
2π
0
π d (1 4 ) d (5 5 1). 0 6
1
7
1 2 2
2017年4月14日星期五
如果曲面方程为 x g ( y, z) 或 y h( x, z ) ， 则可以 把曲面投影到 yoz 或 xoz 平面上， 其投影区域为 Dyz 或
多少小时? (2001考研)
2017年4月14日星期五
10
提示:
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
2 Dz : x 2 y 2 [ 1 h (t ) h(t ) z ] 2
z
V
0
h (t )
h (t ) 1 3 2 h ( t ) [ h ( t ) h ( t ) z ] d z 2 0 4
例1
解
计算球体 x2 y 2 z 2 R2 的体积.
z
z R2 x2 y 2
R
x
2017年4月14日星期五
o
x2 y 2 R2
y
2
由对称性可知， 只要求出第一卦限内部分的体积乘以 8， 即得 球体的体积. 这里曲顶的方程为 z R 2 x 2 y 2 ， 区域 D {( x, y) | x2 y 2 R2 , x 0, y 0} ，所以 1 V R 2 x 2 y 2 d . 8 D 利用极坐标，得
5.7-5.8 二重积分 经济应用0
称之为D上的一个分划。
o
i
x
3
2021年4月12日星期一
记Di的面积为Δσi，i=1,2,···,n。 以Di为底、z轴为母线、 Di的边界为准线作曲顶柱体，记 其体积为ΔVi，则所求曲顶柱体的体积
n
V Vi V1 V2 Vn i 1
②近似求和 对每个Di，称其中任意两点间的距离的最大值为Di的直 径，记为di，即di =max{|AB|:A、B∈Di}并记
n
f (i ,i ) i
i 1
③取极限
令d→0取极限，得到曲顶柱体的计算公式：
n
V
lim d 0
i 1
f (i ,i ) i
5
2021年4月12日星期一
我们把最后的极限式定义为二重积分。
定义 设f(x,y)在有界闭区域D上有定义。将D分为n个小区
域Δσ1,Δσ2,···,Δσn，第i个小区域的面积为Δσi ，直径为
例 区域D由y=0.5x、x=y2+1和y=0所围成，计算
(x y)d
y
D
解 积分区域如右图：
1
(x y)d
D
1
y2 1
dy (x y)dx 0 2y
o
2x
1
[
1
02
x2
xy]
dy x y21
x2 y
1
[
1
y4
y3
3y2
y
1]dy
02
2
7 20
19
2021年4月12日星期一
例2 计算二重积分(x 2y)dσ，D由y x, y2 4x及y 2围成.
最后可得曲顶柱体的体积即所求积分为
A(x)
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1 V R 2 x 2 y 2 d 4 D
Rx x 2 , y 0 所围区域 . 采用极 π 坐标， D : 0 R cos , 0 .故 π 2 R cos 2 2 V 4 2 d R d
0 0
其中 D 是 y
Dxz ，类似地有
2 2 A 1 [ g ( y , z )] [ g ( y , z )] dydz. y z Dyz
Байду номын сангаас
或
( z, x)]2 [hz ( z, x)]2 dzdx. A 1 [hx
Dxz
2017年4月14日星期五
8
内容小结
利用二重积分计算体积 利用二重积分计算曲面面积
2 2
11
V
4
h (t ) ,
3
13 2 S h (t ) 12
由题意知
dV 0 .9 S dt
令
h(t ) 0 , 得 t 100 (小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
小时.
2017年4月14日星期五 12
利用极坐标计算可得
A 1 4 x 2 4 y 2 dxdy
Dxy
D*xy
1 4 2 d d
2π
0
π d (1 4 ) d (5 5 1). 0 6
1
7
1 2 2
2017年4月14日星期五
如果曲面方程为 x g ( y, z) 或 y h( x, z ) ， 则可以 把曲面投影到 yoz 或 xoz 平面上， 其投影区域为 Dyz 或
2 d
π 2 0
R cos
0
R2 2 d 2 R2
3 2 2 R cos
2 2 2 ( R ) 3 0
π 2 0
d
2017年4月14日星期五
4 3 π 4 3 π 2 3 2 R (1 sin )d R ( ). 0 3 3 2 3
2017年4月14日星期五
6
例3
求抛物面 z x 2 y 2 在平面 z 1 下方的面积.
z 1 下方的抛物面在 xoy 面的投影区域
Dxy {( x, y) | x2 y2 1}
解
2 2 2 2 2 x , z 2 y , 1 ( z ) ( z ) 1 4 x 4 y 又 z ， x y x y
3 2 2
2017年4月14日星期五 3
R
例 2 求球面 x2 y 2 z 2 R2 与圆柱面 x2 y 2 Rx 所围成的体积.
解
z
x2 y 2 z 2 R2
y
o
R
x 2 y 2 Rx
x
2017年4月14日星期五
4
因所求立体是对称的，所以只画出第一卦限的部分，且
V 8 R d d 8 d
2 2 D
π 2 0
R
0
R2 2 d
π 1 R 2 2 2 2 8 R d( R ) 0 2 2 2 2 4 3 2 π ( R ) πR . 3 0 3
课外练习
习题6－6
2017年4月14日星期五
9
思考练习
设有一高度为
侧面满足方程 时间单位为小时, (比例系数 0.9 ),
h(t ) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其
2( x 2 y 2 ) 设长度单位为厘米, z h(t ) , h(t )
已知体积减少的速率与侧面积成正比 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
多少小时? (2001考研)
2017年4月14日星期五
10
提示:
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
2 Dz : x 2 y 2 [ 1 h (t ) h(t ) z ] 2
z
V
0
h (t )
h (t ) 1 3 2 h ( t ) [ h ( t ) h ( t ) z ] d z 2 0 4
5
二、利用二重积分计算曲面面积
设曲面 S 的方程 z f ( x, y) ，它在 xoy 平面上的 投影区域为 Dxy ， 若函数 z f ( x, y) 在区域 Dxy 上有一 阶连续偏导数，可以证明，曲面 S 的面积为
A
Dxy
2 2 1 [ f x ( x, y)] [ f y ( x, y)] dxdy.
d z
Dz
d xd y
o x
y
S
D0
2 D0 : x 2 y 2 1 h (t ) 2
16( x 2 y 2 ) 1 2 d xd h (t )
h (t ) 2
y
(用极坐标)
2 h(t ) 0
2017年4月14日星期五
13 2 h (t ) h (t ) 16 r rd r 12
例1
解
计算球体 x2 y 2 z 2 R2 的体积.
z
z R2 x2 y 2
R
x
2017年4月14日星期五
o
x2 y 2 R2
y
2
由对称性可知， 只要求出第一卦限内部分的体积乘以 8， 即得 球体的体积. 这里曲顶的方程为 z R 2 x 2 y 2 ， 区域 D {( x, y) | x2 y 2 R2 , x 0, y 0} ，所以 1 V R 2 x 2 y 2 d . 8 D 利用极坐标，得
第六章
第六节 二重积分的应用
(Application of Multiple Integrals)
一、利用二重积分计算体积 二、利用二重积分计算曲面面积
五、小结与思考练习
2017年4月14日星期五
1
一、利用二重积分计算体积
二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积. 因此， 利用二重积分可以计算曲面所围成的体积 .