高职《经济应用数学》系列精品课件6

2 lim ( x 3 x 2). 例1 求
解 lim( x 3 x 2) lim x 2 lim 3 x lim 2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 2
(lim x ) 2 3 lim x 2 1 3 2 0
x 1 x 1
例2 求
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
极限的本质
——找对象在自变量的某一变化过程中的变化趋势
三要素
x x0
lim f ( x )
在 x x0 的过程中
某一变化过程
lim f ( x )
x
在 x 的过程中
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
练习3【房贷分析]】小王工作后为了买婚房，需要从 银行贷款P元，贷款年利率为r，若贷款月数为 n个月， 请帮小王分析按等额本息还款方式，他每个月需要还 款金额。 解 设St表示第t个月后仍欠银行的金额，x表示每个月
r 的还款金额， r0 表示月利率，则 12
一个月后还欠 S1 P(1 r0 ) x
0 0. 4
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
x2 x 1 im . 例8 求 l x x1 1 1 1 2 x2 x 1 x x , lim lim 解 x x 1 1 x1
1 1 1 1 i m( 2 ) 0, l im(1 2 ) 0, 因为 l x x x x x x 1 1 2 x x 1 1 lim 0 , 1 2 所以 x 1 1 x x , 1 2 lim 所以 x x x 1 1 2
p(t ) 20 20e
0.5t
（单位：元），
请你对该产品的长期价格作一预测 。 解 可通过求该产品价格在t 时的极限来预测 长期价格
t
lim p(t ) lim (20 20e0.5t ) lim 20 lim 20e0.5t
t t t
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x)
x x x
x x0
lim f ( x ) lim f ( x) lim f ( x)
x x0 x x0
表示什么意思
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
x 1
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
练习1【循环数】
观察循环数列
0.9， 0.99， 0.999， 0.9999， ，或｛ 9
k 1 n
1 ｝ k 10
的变化趋势
解：可以看出，随着项数n的无限增大， 此数列无限接近于1，即
1 lim 9 k 1 n 10 k 1
2 n 1 n 1 2 , 或 100 3
从数列的变化趋势可以看出，随着次数n的无限
增大，数列无限接近于0，即
2 lim 100 n 3
n 1
lim q n 0, q 1
n
0
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
f(t)
0
4
8
t
图1-12
函数极限和计算(Functional limit and calculate) 定义4:
如果当 x x0 (或x x0 )趋于 x0 , 即
xx
0
（或 x x0 ）时,函数f(x)无限接近于一个确定的
常数A,那么A 称为函数f(x)当 xx0时的左极限(或 右极限),记作lim f ( x) A或 lim f ( x) A
x x2
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
案例2【销售预测】 当推出一种新的电子游戏光盘时， 在短期内销售量会迅速增加，然后下降，其函数关系为
y 200 t t 2 100
请你对该产品的长期销售作出预测。 解 该产品的长期销售量为当t→+∞时的销售量，因为
r mt P r0 (1 ) m x r mt (1 ) 1 m
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
实例【产品价格预测】 设一产品的价格满足 P(t ) 20 20e 0.5t (单位:元)， 请你对该产品的长期价格作一预测．
数学描述:当 x 时,价格的变化趋势
(1) limcf ( x ) c lim f ( x ) cA
(c为常数 ),
(2) lim [ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
3. f ( x ) lim f ( x ) A lim g( x ) limg( x ) B
( B 0)
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
n
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
练习2 【弹球模型】一只球从100米的高空掉下，每
2 次弹回的高度为上次高度的 ,这样下去,用球第1,2, , n, 3
次的高度来表示球的运动规律 解：得数列
2 2 2 100， 100 ,100 , ,100 3 3 3
2 1 -1 1 2
当x 0和x 1时f(x)的极限.
解 : lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
x 0 2 lim f ( x ) lim x 0 x 0
2 解 : lim f ( x ) lim x 1 x 1 x 1
x0
x2 x2 1 1
lim
x 0
解
lim
x 0
x2 x 1 1
2
x 2 ( x 2 1 1) ( x 2 1 1)( x 2 1 1)
lim( x 2 1 1) 2
小结:
A B f ( x) A lim x x0 g ( x ) 0 0 0
x 2
3x lim . 所以 x2 x 2 x2 9 例4 求 lim x3 x 3
解
( x 3)( x 3) x2 9 lim( x 3) lim lim x3 x3 x3 x 3 x3 3 3 6.
函数极限和计算(Functional limit and calculate) 例5 求 lim
x x0 x x0
注 : lim f(x) A lim f(x) lim f(x) A
xx0 xx0 xx0
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
x 1 x 0 2 例3 设函数f(x) x 0 x 1 , 试分别讨论 2 x 1 x
三．函数在点x0的左、右极限
引例【药物总量】
一个病人每隔4小时注射一次150mg药物，图1-12显示 了病人血液中药物的总量f (t )与时间t 之间的关系，讨论 当t → 4 时，函数f (t ) 的极限。 在函数极限的定义中 ，t→t0 的方 式是任意的。该函数为分段函数，在t = 4的左、右两侧，函数f (t )的表达式 不同，此时只能先对t = 4 的左、右两 侧的变化趋势进行讨论。
x 1
lim f ( x) lim (2 x) 1
x 1
x 1
x 0
lim f ( x) lim f ( x)
x 0
lim f ( x) lim f ( x) 1
x 1
lim f ( x )不存在
x 0
lim f ( x ) 1
lim 20 20 lim e 0.5t 20
t t
所以该产品的长期价格为20元
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
例3 求 解 因为
3x lim . x2 x 2
lim( x 2) x2 x 2 lim 0 x2 3 x lim 3x
由于到第n个月时，贷款将全部还清，所以Sn=0， 由此可得月还款额为
x P r0 (1 r0 ) n (1 r0 ) n 1
如果银行的计息方式为连续复利，最终得到的结果为
r mt P r0 (1 ) m ? x lim m r mt (1 ) 1 即 m 时，如何求解呢？ m
两个月后还欠 S2 S1 (1 r0 ) x P(1 r0 )2 x[1 (1 r0 )]
函数极限和计算(Functional limit and calculate)
三个月后还欠 S3 S2 (1 r0 ) x
P(1 r0 )3 x[1 (1 r0 ) (1 r0 )2 ]
函数极限和计算(Functional limit 果 lim f(x) A, lim g(x) B, 则
1.
2.
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B.
lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) AB .
…… …… n个月后还欠
S n P(1 r0 ) n x[1 (1 r0 ) (1 r0 ) 2 (1 r0 ) n1 ]
n x [( 1 r ) 1] n 0 P(1 r0 ) r0