第5章相量法基础

解 i(t) 100cos(103 t )
100 i
t 0 50 100cos
π 3
π
50
t
3
由于最大值发生在计时起点右侧
o t1
i(t) 100 cos(103t π) 3
当 103t1 π 3 有最大值
t1＝1π033 ＝1.047ms
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
T0
设 i Im cos(t i )
有效值必须 大写
I
1 T
T 0
Im
cos(
t
i
)2
dt
I
2 m
T 1 cos 2(t i ) dt Im
T0
2
2
同理：U Um 2
正弦量的三角函数式也可以表示成：
u
Um
cos(
t
u
)
2U cos( t u )
i Im cos( t i ) 2I cos( t i )
in (t) 2In cos(t n )
i(t ) i1(t ) i2(t ) in (t )
Re[ 2I1e jt ] Re[ 2I2e jt ] Re[ 2Ine jt ]
Re[ 2( I1 I2 In )e jt ]
Re[ 2Ie jt ]
I 是正弦量i对应的相量 I I1 I2 In
•
U 220 60o V
【例5.6】若
•
I源自文库
5015
A,
f
50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解: i 50 2cos(314t 15 ) A
5.2.2 正弦量的计算
1．同频率正弦量的加减运算
设: i1(t) 2I1 cos(t 1) i2 (t) 2I2 cos(t 2 )……
则:
I1
I2
10
3
22
5
6
10(cos60 j sin 60) 22cos(150) j(sin150)
( 5 j8.66 ) (19.05 j11) 14.05 j2.34 14.052 2.342 (180 arctan 2.34 )
14.05 14.24(170.54)
Im F2
F1+F2
F2
Im F2
F1-F2
F1
-FF21
o
Re o
Re
-F2
F1-F2
(2) 乘除运算——常采用极坐标形式
设 F1 F1 e j1 F1 1 ， F2 F2 e j2 F2 2 则
F1F2 F1 e j1 F2 e j2 F1 F2 e j(1 2 ) F1 F2 1 2
i
O
ωt
电压超前电流
电压落后电流
特殊相位关系
= (180o ) ，反相
＝ 0， 同相
u、i
u、i
u
u
i O
O
ωt
i
ωt
u、i
u
i
= /2：u 领先 i /2
O
ωt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
相量，写为 Im Ime ji Imi I m和 i 分别是正弦量 i 的振幅和初相角
也可以以正弦量的有效值为模，初相角为辐角构建 出正弦量的有效值相量，即
I Ie ji Ii
可见： Im 2I
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
U Ue ju Uu
注意 用相量表示正弦量，并不是说相量就等于正弦量。
F1 F2
F1 e j1 F2 e j2
F1 F2
e j(1 2 )
F1 F2
1 2
模相乘 角相加
(3) 旋转因子
复数 e j cos j sin =1
F • e j F •1 F ( )
模相除 角相减
F• ejθ 相当于F逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。 故把 ejθ 称为旋转因子。
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
3 4 ( 2) 5 4 0
5 4 2 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
300 (1050 ) 1350
1 2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
注意：
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额
定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。
因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
② 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
例 已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
5.2 相量法的基本思想
在分析求解正弦电路时，将遇到正弦量的加减、 积分和微分等运算，在时域形式下进行这些运 算十分繁复。相量法是利用欧拉公式，通过借 用复数表示正弦信号，可以使正弦电路分析得 到简化。
5.2.1 正弦电量的相量表示
设正弦电流 i(t) Im cos(t i )
第5章 相量法基础
第5章 相量法基础
5.1 数学基础 5.2 相量法的基本思想 5.3 电路定律的相量形式
本章要求
1.了解相量法的数学基础； 2.正确理解正弦量、相量、相量模型及相量图等概念； 3.熟练掌握正弦量与相量之间的联系和区别、元件伏安 特性和电路定律的相量形式； 4.初步掌握相量法分析正弦稳态电路。
dni ( j)n I
dt n
dt Re
2
I
j
e
j
t
idt I I
j
i 90
i的n重积分的相量
( 1 )n I
j
说明，可用相量的代数运算来替代同频率
的正弦量的加减、微积分运算。
5.3 电路定律的相量形式
1. 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) i2(t) 10cos(100 t 2)
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10sin(100 t 150 )
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
(1)周期与频率
i
周期T：变化一周所需的时间 （s）
T
频率f：
f1 T
（Hz） O
2
t
角频率：
ω 2π 2πf T
（rad/s）
例:已知 f=50Hz,求T 和ω。
[解] T=1/f =1/50=0.02s,
ω=2πf =2×3.14×50＝314rad/s
正弦量的瞬时值表示式可表示为 f (t) Fm cos(t )
例如： u Um cos( t u ) i Im cos( t i )
2）正弦量的三要素
i
Im
设正弦交流电流：
T
t
O
2
i Im cos( t i )
i
初相角：决定正弦量起始位置
角频率：ω 2π 决定正弦量 T 变化快慢
幅值：决定正弦量的大小
结论：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减
运算
I I1 I2 In
可由 I
i(t) ，U
u(t)
【例5.7】 已知 i1(t) 10
2 cos(314t )A
3
5
i2 (t) 22
2 cos(314t
)A 6
，求：i1 + i2 ；
解：由题意得
I1
10
3
A
I2
22
5
6
A
I
利用复数，也可表示为
2I cos(t i )A
i(t) Re[Im cos(t i ) jIm sin(t i )]
Re[Ime j(ti ) ] Re[Ime ji e jt ] Re[F (t)]
可见正弦量i有唯一与其对应的复数指数函数F(t)。
取F(t)的复常数 Ime ji 来表示正弦量 i，称为i的幅值
特殊旋转因子 设F = Fej
π,
jF
2
+j
F
jπ
e2
cos
π
jsin
π
j
2
2
0
+1
jF | F |
2
jF
F
π,
j( π )
e2
cos(
π)
jsin(
π)
j
2
2
2
π , ej(π) cos(π) jsin(π) 1
注意：+j, –j, –1 都可以看成旋转因子。
【例5.1】 计算复数 547 10 25
F的共轭复数 F* a jb F e j( ) F
2）复数的运算 (1) 加减运算 ——常采用代数式
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 则 F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
2）复数的运算
(1) 加减运算 ——采用图解法
i(t) Im
u(t) Um
i(t) I
u(t) U
正弦量的相量图
+j
U
u
I
i
O
+1
有效值相量图
+j
Um
u
Im
i
O
+1
幅值相量图
【例5.5】已知 i 141.4cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V 试用相量表示i, u .
解：
•
I 10030o A,
19.2427.9 7.21156.3
20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
5.1.2 正弦量
1．正弦量及其三要素 1）正弦量:电路中瞬时值以时间t为变量，按正弦规律 变化的电压或电流。
300 (1500 ) 1200
(3)幅值和有效值
瞬时值和幅值
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如 i、u等。
瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大 写字母表示， 如：Im、Um 有效值
在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。一般所讲的正弦交 流电的大小，如交流电压380V或220V，指的都是有效值。
原式 5 (cos 47 j sin 47) 10[cos(25) j sin(25)]
3.14 j3.657 (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
【例5.2】 计算复数 220 35 (17 j9 ) (4 j6 ) ?
20 j5
原式= 80.2 j126.2
所以 i i1 i2 14.24 2 cos(314t 170.54)A
2正弦量的微分、积分运算
i 2 I cos( t i ) I Ii
微分运算 di(t) d Re[ 2Ie jt ] Re[ 2( jI)e jt ]
dt
dt
di
dt
j
I
I
i
90
积分运算 idt Re 2Iej t
有效值:与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。设一交
流电流和一直流电流I 流过相同的电阻R，如果在交流电的一个周
期内交流电和直流电产生的热量相等，则交流电流的有效值就等
于这个直流电的电流I。
物 交流 i R
理
意
义
W
T
0
Ri2 (t)dt
直流I R
W RI 2T
有效值也称 均方根值
I 1 T i2dt
研究正弦电路的意义
1. 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 积分运算后仍是同频率的正弦函数； ②正弦信号容易产生、传送和使用。
2. 正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kt k ) k 1
O
ωt
(c) i 0
相位差 ： 规定： | | (180°)
两同频率的正弦量之间的相位角或初相位之差。
例如： u Um cos( t u ) i Im cos( t i )
(t u ) (t i ) u i
若 u i 0
u、i
u
i
O
ωt
若 u i 0
u、i u
5.1 数学基础
1 复数基础
+j
b
F
1)复数的表示形式
|F|
a、代数式 F a jb
θ
O
(j 1 为虚数单位)
a +1
a Re[F] F cos
F a2 b2
b Im[F] F sin
arctan b
a
b 、 三角函数式 F F ( cos j sin )
根据欧拉公式 e j cos j sin ，得 c、 指数形式 F F ( cos j sin ) F e j d、极坐标形式 F F e j F
(2) 初相位 (i)
i Im cos( t i )
相位角： t
i Im
反映正弦量变化的进程。
t
随时间t变化。
初相位 ：
O
i
2
表示正弦量在 t =0时的相位角。 t t 0
不同初相时的正弦波形
一般规定：|| 。
Im i
i Im
i Im
O
i
ωt O i
ωt
(a) i 0
(b) i 0