有理数的意义

第二章 才 有理数

一、有理数的意义

2．1 正数和负数

一、知识点

1、像5； 8； 2.4；； π；等大于0的数叫正数。

像―1； ―5.2；―3

1；―7；―π等在正数前面加上“－”号的数叫负数。 2、0既不是正数，也不是负数。

3、

正整数 整数 0

负整数

有理数 零

正分数 分数 负分数

正整数

正有理数

有理数 零 负整数

负有理数

负分数

负整数和零也叫非正整数；正数中含有正有理数；但正数不一定都是有理数；如π是正数，但不是有理数，当然也就不是分数。

区分正数和整数的概念。

二、例题：

例1、 把下列各数填在相应的集合中：

5；―2；―0.3；41；0；―722；5.57；―16

1；π；102；―78；―104。 属于正数集合的有：___________________

属于整数集合的有：____________________

属于分数集合的有：_____________________

属于负数集合的有：________________

属于正整数集合的有：_________________

属于非正整数集合的有：________________

属于有理数集合的有：__________________

既不是正数，又不是负数的有：______________

例2、 填空：

1、如果温度上升6℃记作6℃，那么下降3℃记作________。

2、如果向南走8米，记作―8米，那么向北走15米应记作_____；那么向北走―6米表示向____走____米。

3、最小的正整数是______；最大的负整数是_____；最小的非负整数是______；最大的非正整数是_______。

自然数（也叫非负整数） 非负有理数 有限小数和无限循环小数是分数，如：3.14是分数 非正整数

2、2数轴

一、知识点：

1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2、画数轴时，要注意数轴的三要素缺一不可。

3、数轴的作用：（1）是能形象地表示数，所有的有理数都可在数轴上用点来表示，但数轴上的点所表示的不一定是有理数；如：π。（2）通过数轴从图形上直观的解释相反数；帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小。

4、有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。得到：正数大于0；0大于负数；正数大于负数。

二、例题：

例1、填空：

1、比―4大的负整数有__________________；

2、大于―3.5而不大于3的整数有______个；

3、比较下列数的大小（用“＜”“＞”“＝”填空）

―5_____0 ； 54______6

5 ； ―1111______0.001 －21______－31 ；―0.67_____―3

2 ；―π_____―3.14 例2、如果a ＜0，―1＜b ＜0。试比较a 、ab 、ab 2的大小。

例3、 在数轴上把数4.5、―2.5、0、|―3|、―（―1）、―|―2|表示出来，并用“＜”号

把它们连接起来。

2、3相反数

一、知识点

1、像2和―2，1.5和―1.5这样只有符号不同的两个数，那么其中一个就是另一个的相反数。一般地，数a 的相反数是―a 。

2、规定：0的相反数是0。

3、在数轴上，互为相反数的两个数位于原点的两边，并到原点的距离相等

4、多重符号的化简：

二、例题：

例1、填空：

1、简化（1）；+（―5.2）=______;(2) ―[―(+5)] =______

(3)―{―[―(+2.7)]}=_______;(4)|―[―(―2.3)]|=______

2、_______的相反数是它本身。________的倒数等于它本身。

3、如果―x=7,那么x=____。

4、如果a 是负数，那么―a_____0;如果―a 是负数，那么a____0

例2、数a 、b 在数轴上表示的点如图，比较a 、b 、―a 、―b 的大小

2、4

一、知识点

1、一个数的绝对值就是在数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作|a|.

2、绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

3、去绝对值符号，要先考虑绝对值中的数的正负性。

二、例题：

例1、 填空：

1、已知|a|=2,则a=______；如果|－x|=5，则x=_______。

2、如果a ＞0，则|2a|=______；如果a ＜0,则|2a|=_____。

3、__________的绝对值等于它本身。

4、绝对值不大于3的整数有____________________

5、|x|=－x ；则x 是________数。

例2、 分类讨论a

a -||的值的情况；

例3、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简

|c-b|+|a-c|-|b-c|

例4、 已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式2

||m b a +－cd+|m|的值。

二、有理数的运算

一、知识点

2、5有理数的加法

1、有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加得0；（4）一个数和0相加，仍得这个数。

2、加法交换律：a+b=b+a

3、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

4、运算时要注意：（1）结果的符号；（2）区分结果的绝对值是把两数的绝对值相加还是相减。

2、6有理数的减法

1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。

2、在有理数的减法运算未转化为有理数的加法运算时，被减数与减数的位置不能交换。对减法来讲，没有交换律。

3、在有理数的减法中，当被减数和减数都是正数，而且被减数大于减数时，即为小学学过的算术减法。

4、一个数减去0时等于这个数，但0减去一个数时，要按减法法则，写成加上这个数的相反数。

2、7有理数的加减混合运算

1、一个式子中，有加法也有减法，根据有理数的减法法则，把减法都转化为加法，