中考数学：相似三角形总复习模型总结

三角形相似总复习

第一部分相似三角形知识要点大全

知识点1・・相似图形的含义

把形状相同的图形叫做相似图形。(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)

解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.

(2) 全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.

(3) 判斷两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.

例1・放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？

分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.

解：是相似因形。因为它们的形状相同，大小不一定相同.

例2.下列各组图形：①两个平行四边形：②两个圆；③两个矩形：④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_______________________________ (填序号).

解析：很据相似图形的定艾知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：②⑤⑥.

知识点2.比例线段

对于四条线段a,b, c,d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-(或b d a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

解读：(1)四条线段a,b,c,d成比例，记作-=-(或a:b=c:d),不能写成其他形式，即比例线段b d

有顺序性.

(2) 在比例式—=—(或a:b=c:d)中，比例的项为a, b, c, d,其中a, d为比例外项,b,c为比例内项，d

b d

是第四比例项.

(3) 如果比例内项是相同的线段.即-=-或a:b二b:c,那么线段b叫做线段和的比例中项。

b c

(4) 通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以.因为整体表示两个比相等.

例3・已知线段a=2cm, b二6mm,求—・

b

分析：求巴即求与长皮的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.

b

3

例4.已知a, b, c, d成比例，且a=6cm, b=3dm, d= —dm,求c的长度.

2

分析：由a, b,c, d成比例，写出比例式a:b=c:d,再把所给各线段a, b,, d统一单位后代入求c.

知识点3.相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

解读：(1)正确理解相似多边形的定狡，明确“对应”关系.

(2) 明确相似多边形的“对应”来自于书写.且要明确相似比具有顺序性.

例5.若四边形ABCD的四边长分别是4, 6, 8, 10,与四边形ABCD相似的四边形AbCD的最大边长为

30,则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？

分析：四边形ABCD与四边形ARCD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为丄，再根据相似

3

多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.

知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形・

解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种；

(2) 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

(3) 相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

(4) 相似用“s”表示，读作“相似于”；

(5) 相似三角形的对应边之比叫做相似比.

注意：①相似比是有顺序的，比如△ ABC S AARG,相似比为k,若厶AiBiCi^A ABC,则相似比为丄。②若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等，全等三k

角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，則这两个三角形相似：若两个三角形相

似，則这两个三角形不一定全等.

例6.如图，已知△ADEs^ABC, DE=2, BC=4,則和的相似比是多少？点D, E 分别是AB, AC

的中点吗?

注意：解决此类问题应注意两方面：(1)相似比的顺序性，(2)图形的识别.

, 「…DE AD AE 「DE 2 I

BC AB AC BC 4 2

AD AE i

所以——=——=-,所以D, E分别是AB, AC的中点.

AB AC 2

知识点5・相似三角的判定方法

(1) 定狡：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；

(2) 平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.

(3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

(4) 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

(5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

(6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.

例7.如图，点D在AABC的边AB上，满足怎样的条件时，AACD与AABC相似？试分别加以列举.

分析：此题属于探索性问題，由相似三角形的判别方法可知，AACD与AABC已有公共角ZA,要使此两个三角形相似.可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.

解：当满足以下三个条件之一时，AACD^AABC

条件：Q

AC

= Z1 二ZB：条件二：Z2-ZACB;条件三：.即AC2-AD • AB. AB

知识点6.相似三角形的性质

(1) 对应角相等，对应边的比相等；

(2) 对应鬲的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;

(3) 相似三角形周长之比等于相似比：面积之比等于相似比的平方. 例8.如图.已知△ ADE^AABC, AD=8, BD=4,

BC=15, EC=7

(1) 求DE、AE的长；

(2) 你还能发现哪些线段成比例.