二次函数图像与系数之间的判断

己知二次3lSSy=ax^+bx+c 的囹金如囹所示・2a+b=0 •② b^-4ac>0 • €>4a-2b+c>0 • @abc>0 • €>3a+c>0 .贝（以上结论正隔的有（

）个・

I • RD2a+b=0i抛物线与xii有两个交点，则厶=b2-4ac>0 i x=-2时的函埶值为正，则4a-2b+c>

0；魅柳线开口向上・a>0.而b=-2a>得到b<0.由于槌物线与y紬的交点在x紬下方，得到cVO,贝Jabc>0；由于x=3时对应的函数图象在x柚

上方•得到9a+3b+c>0.然后把b“2a代入即可得到3a+c>0.

解普二W：・・•拠物I线的对称紡为宜线x“，・•・■ g=l，RD2a+b=0 >所以①正确；2a

・・•牠物线与x柚有两个交点・

A A=b2-4ac>0.所以2）佶溪；

・・・当炉-2时对应的因数囹猱在x釉上方•

A4a-2b+c>0.所以◎正确；

・・・抽物线开口向上•

A a>0 •而b=-2a»

Ab<0»

・・・牠物线与y柚的交点S/toT方・

•--c<0.

•'• ab c > 0 •所以◎正；

当片3时对应的函数图象左x柚上方•即y>0,

•*• 9a+3b+c >0 >

而b=-2a»

A3a4.c>0>所以⑤正X・

故送B・

（2011-宝i氐区二模）已知：二;欠函数y=ax2*bx*c的團象如图所示，那么下列结论中:①abc>0;②b"2a; ®5a-2b<0; @a-b+c>

0.正确的个数是（〉

考焦二次函数團象与系数的关系.

专題］推理填空?5・

分析;|①根擔挞物线开口向下判断出a<0,再根擔挞物线的对称轴确定出b的情况，抿抿抛物线与y轴的交点确定出c>0,最后根18有理数的泰

法运算的符号

运算法则解答J

②根1居对称轴为沪・1解答：

③根1居②得出的“ b的关系，用a表示b,然后代入解关于a的不等式，再根抿a的取值范围进行判肝；

④根1 居沪-1时的函数值是正数判断.

解爹二解：①•・•二次函数图象开口冋下，

:.a<0,

・・•与y轴的正半轴相交，

/.c>0,

又・・•对称轴x=-^=-1,

la

/.b=2a<0,

/.abc>0,故本小题正确；

②由①可iD, b-2a,故本小題错误，

®Vb=2a,

/.5a-2b=5a-2X2a=a,

A5a-2b<0,故本小题正确；

④由團形可知'当泸寸'y>0, 即a-b*c>0,故本小题正确・综上所述，正确的有①①⑥共3个.

筠点:

二次函数图象与系数的关系.

:

压釉题；埶形结合.

根堀抛拥线的对称轴为百线可得至卜寻

A. 4个

B. 3个C・2个

（2011-宝i氐区二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的團象如图所示，那么下列结论中:①abc>0;②b=-2a; ®5a-2b<0; @a-b+c>

0.正确的个数是（〉

考加二次因数團象与系数的关系.

专題］推理填空?5・

B. 3个C・2个

分析;|①根擔挞物线开口向下判断出a<0,再根擔挖物线的对称轴确定出b的情况，抿抿抛物线与y轴的交点确定出c>0,最后根18有理数的泰法运算的符号运算法则解答J

②根1居对称轴为沪・1解答：

③根1居②得出的“ b的关系，用a表示b,然后代入解关于a的不等式，再根抿a的取值范围进行判肝；

④根1 居沪-1时的函数值是正数判断.

解爹二解：①•・•二次函数图象开口冋下，

:.a<0,

・・•与y轴的正半轴相交，

/.c>0,

又・・•对称轴x=-^=-1,

La

/.b=2a<0,

/.abc>0,故本小题正确；

②由①可知b 22“故本小範错误，

®Vb=2a,

/.5a-2b=5a-2X2a=a,

A5a-2b<0,故本小题正确；

④由團形可知'当泸寸'y>0, 即a-b*c>0,故本小题正确・综上所述，正确的有①①⑥共3个.

(2013•假宁榄拟〉已知二次因数y=ax2+bx+c (a^O)的圏彖如图所示，有下列5个结论：

0abc>O； 0b4a+2b+c >0 ； <3>2c<3b；Oa+b>n ( an+b ) • (m^ 1 的实数)・其中正确的结论有③、⑥、⑤(填序号〉

考黒二次函数图象与系数的关系・

专题：庄轴题.

分析［由抛物线的开口方向判断3与0的关系，由拠物线与y铀的交点判断c与0的关系，然后根福对称轴及拠物线与x紬交点情;兄谡行推理，进而对所得结论邊行判断. 祸菩］解：①图負开口向下・与y轴交于正半轴，对称紬为能律到：a<0.

Ab=-2a>0>

abc<0 9

所以惜误；

②当x=-lfll.由圏蛊知yV0・

I6x=-1 代入15析式御：a-b+c

b > a+c，

・••②怡误；

③图彖开口向下，与y紬交于正半釉•对称釉为龙“，

能得對：a<0> c>0. -^-=1 ・

2a

所以b=-2a.

所以4a+2b+c=4a-4a*c>0 ・

◎正诵；

<§>・・•由①②知b=-2a£b>a+c，

・・・2cV3b，©正确$

⑤m时,y= a+b+c (最大值〉，

x=m时，y= asi^+bm+o

・・・"1的实数，

・•・ a+b+c > am^+bm+c»

・•・a+b >n ( an+b〉成立・

・・・<5>正诵・

扯正确结论的序号是> ・

已知二次函数y=ax2+bx+c (00〉的图象如图所示，下列结论：①cVO,②abc>0,③a-b+c>0, @2a-3b=0,⑤c-4b>0. 其中正确结论的个数是丄个.

考点：二次函数图象与系数的关系.

渝［由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与％由的交点得出c的值，然后根据團象经过的点旳情况进行推理，进而对所得结论逬行判断. 解答：|解：抛物线的开口向上，则a>0;

对称轴为X"』-二二BP3b=-2a?故bVO;

2a 3

拠物线交y轴于负半轴，则c<0;

①由咲上cVO,正确；

②由a>0, b<0, cVO,得3bc>0,正确；

③由團知:当沪7时，7>0,则a-b+c>0,正确；

⑥由对称轴知:3b=-2a, BP3b+2a=O,错误；

⑤由对称轴知：3b=-2a,"号b,函数解析式可写作y=-|bx2+bx*cj 由團知：当泸2时，y>0, gp-|-bX4+2b+c>0,即c-4b>0,故⑤正确；

・•・正确的结论有四个：①②③⑤.