二次函数与四边形判定

二次函数与特殊四边形判定

★1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ，

D 是抛物线W 的顶点.

(1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线

W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标；

(2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

★2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(－1，0)、B(0，1)，且与x轴有唯一交点.

(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；

(2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边)，当∠CBD＝90°时，求m的值；

(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

★3.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

(3)是否存在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点在过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由.

★4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE的边AB在x轴上，A(－1，0)，OB＝4OA，OE＝2，抛物线C经过△ABE的三个顶点．

(1)求抛物线C的表达式；

(2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′，使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，试求点M的坐标及m的值；

(3)若点P是抛物线C′上一点，Q是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第4题图

★5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的菱形，且∠AOC＝60°.

(1)求过O、A、C三点的抛物线表达式；

(2)记(1)中所求抛物线为L，若将菱形OABC绕点O旋转60°，得到新的菱形OA′B′C′，请你求出过A′、B′、C′三点抛物线的表达式L′，并写出由抛物线L到抛物线L′的平移方式.

第5题图

★6.如图，抛物线L ：y ＝－x 2

＋bx ＋b 4的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C .

(1)直接写出点C 的坐标；

(2)当AB ＝OB 时，求出抛物线L 的表达式；

(3)若将抛物线L 绕原点O 旋转180°后，得到抛物线L ′，其中点A 对应A ′，点B 对应B ′，点C 对应C ′，若以点A 、C 、A ′、C ′为顶点的四边形是正方形时，请求出抛物线L ′的表达式.

第6题图