知识讲解_《计数原理》全章复习与巩固

《计数原理》全章复习与巩固 编稿：李 霞 审稿： 张林娟

【学习目标】

1. 正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质.

2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用. 【知识络】

【要点梳理】 要点一：计数方法 排列与组合

(1)分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理与分步有关，分类计数原理与分类有关．

(2)排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题．区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属排列问题，与顺序无关的属组合问题．

(3)排列与组合的主要公式

①排列数公式：(1)(1)()()m

n n A n n n m m n n m =

=--+≤-…!

!

，

(1)(2)21n n A n n n n ==--…!．

②组合数公式：()m

n n C m n m =

-!!!(1)(1)

()(1)21

n n n m m n m m --+=≤-……．

③组合数性质：(i )()m n m n n C C m n -=≤，1

1m m m n n n C C C -+=+；

(ii )0122n n

n n n n C C C C ++++=…；

(iii )0241351

2n n n n n n n C C C C C C -+++=++++=……．

排列组合应用题的处理方法和策略

(1)正确选择使用分类计数原理还是分步计数原理．“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件．所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法． (2)排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关．

(3)复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验．

(4)按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义．

(5)处理排列组合的综合性问题，一般思路方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能．

(6)在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质．容易产生的错误是重复和遗漏计数． 常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类与准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略； ⑥不相邻问题插空处理的策略； ⑦定序问题除法处理的策略； ⑧分排问题直排处理的策略；

⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略．

要点诠释：

主要的计数思想有分类与分步、模型处理思想、优限法思想、正难则反思想、先选后排思想等；常见问题的类型基本上是组合与排列问题、至多与至少问题、相邻与不相邻问题等.

要点二：二项式定理 关于二项式定理的知识 (1)二项式定理

011()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++……，其中各项系数就是组合数r n C ，展开式共有(n+1)项，第r+1项是1r n r r

r n T C a b -+=．

(2)二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项1r n r r

r n T C a b -+=(r ＝0，1，…，n )叫做二项展开式的通项公式．

(3)二项式系数的性质

①对称性：r n r

n n C C -=(r ＝0，1，2，…，n )．

②递推性：11r r r

n n n C C C -+=+

③增减性与最大值：逐渐增大,随后又逐渐减小

若n 是偶数，则中间项12n ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

第项的二项式系数最大，其值为2

n

n C ．

若n 是奇数，则中间两项1322n n ⎛

++⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

第项和第项的二项式系数相等，并且最大，其值为

1

122n n n

n

C

C

-+=．

④所有二项式系数和等于2n

，即012n n n n n C C C +++=…．

奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即02131

2n n n n n C C C C -++=++=……．

要点诠释：

熟记二项式定理，是解答与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式，有时先化简再展开更便于计算. 注意二项式系数与项的系数是有区别的. 【典型例题】

类型一：两个计数原理

例1. 某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求