椭圆及其标准方程

2
2
F1 (-c,0) O
F2(c,0) x
2 2 可得 | PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | c, | PO | a c
令b | PO | a 2 c 2
x2 y2 那么①式 2 1 (a>b>0) 2 a b
思考5：你能有其他的建系方法求得椭圆的标准方 程吗？猜想此时的方程是什么？并证明你的结论。
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x2 y2 解析 ∵方程 － 2 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， m m －2 y2 x2 将方程改写为 2＋ ＝1， 2－m m 2－m2>m， ∴有 m>0，
解得 0<m<1.
题型四 椭圆的定义及标准方程的应用 焦点三角形的有关问题 探究点三 x2 y2 例 3 已知椭圆的方程为 ＋ ＝ 1，椭圆上 4 3
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3 从而有(4－|PF1|) ＝|PF1| ＋4.解得|PF1|＝ . 2 1 1 3 3 所以 △PF1F2 的面积 S ＝ 2 · |PF1 |· |F1F2 |＝ 2 ³ 2 ³2 ＝ 2 ，即 3 △PF1F2 的面积是 . 2
；
C
F1 D
F2
∆F2CD的周长为 20
。
题型二
用待定系数法求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P
到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； 6 2 2 (3)经过点( ， 3)和点( ，1)． 3 3
MF1 MF2 2a 2c
M
F1
2c
F2
探究二：椭圆的标准方程 思考4：求轨迹方程的步骤是什么？如何建系并求 得椭圆方程？
（1）建系设点; （2）写出条件； （3）列出方程； （4）化简方程； （5）排除杂点； （6）得出方程。
y
M (x,y)
如图所示:F1、F2为两定点，且
|F1F2|=2c，求平面内到两定点
c 2
求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； ②
解得 a 10，b 6 （3）用待定系数法或者几何关系确定
2 2
（2）设出椭圆的标准方程； a、b、c的值 x2
y2 1. 10 6
题型三
由椭圆方程求参数范围
x2 y2 例 2 已知方程 － ＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， k－ 4 k－ 10
(3)法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的方程为 x2 y2 ＋ ＝1(a>b>0)． a2 b2 6 2 2 ∵点( ， 3)和点( ，1)在椭圆上， 3 3
（ 6）2 2 （ 3 ） 3 a2 ＋ b2 ＝ 1， ∴ 2 2 2 （ 3 ） 12 ＋ 2＝ 1. a2 b
2 2
焦距为 6 。
2 2 x y (3)若椭圆方程为 1 , 16 25
其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)
.
2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 1 , 25 16
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，
则点P到右焦点的距离是 4
(5)若CD为过左焦点F1的弦， 则∆CF1F2的周长为 16 ，
有一点 P 满足∠PF1F2＝90° (如图)．求 △PF1F2 的面积．
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解 由已知得 a＝2，b＝ 3，
所以 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1.从而|F1F2 |＝2c＝2.
在△PF1F2 中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1 |2＋|F1 F2|2， 即|PF2|2＝|PF1 |2＋4. 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2 |＝2³2＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1 |.
2 a ＝ 1， ∴ 2 而 b ＝ 9.
a>b>0.
∴ a2＝ 1， b2＝ 9 不合题意， 即焦点在 x 轴上的椭圆的方程不存在．
②当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0)． a2 b2 6 2 2 ∵点( ， 3)和点( ，1)在椭圆上， 3 3
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 y2 x2 ＋ ＝ 1(a>b>0)． a2 b2 因为 2a＝ 26， 2c＝ 10， 所以 a＝ 13， c＝ 5. 所以 b2＝ a2－ c2＝ 144. y2 x2 所以所求椭圆标准方程为 ＋ ＝ 1. 169 144
变式2：求以椭圆9 x 2 5 y 2 45的焦点为焦点，且经过点 M (2, 6)的椭圆的标准方程
如何化简?
即 ( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a ( x c )2 y 2 2a ( x c )2 y 2
( x c )2 y 2 2a ( x c )2 y 2
你能在图中找出 整理得a cx a ( x c )2 y 2 2 2， 表示a4，c， a c 两边平方得： a 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2 的线段吗？ y 整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
7<k<10 则实数 k 的取值范围为 _______________ ．
x2 y2 解析 化成椭圆标准形式得 ＋ ＝1， 根据其表示 k－4 10－k 焦点在 x 轴上的椭圆，
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k－4>0， 则10－k>0， k－4>10－k，
解得 7<k<10.
x2 y2 跟踪训练 2 若方程 － 2 ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭 m m －2 圆，那么实数 m 的取值范围是 A．m>0 C．－2<m<1 B．0<m<1 D．m>1 且 m≠ 2 ( B )
[思路探索] 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求
解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆 焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨 论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B) 然后代入已知点求出A,B.
解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， x2 x2 ∴设它的标准方程为 2＋ 2＝ 1(a>b>0)． a b ∵ 2a＝ 10，∴ a＝ 5， 又∵ c＝ 4，∴ b2＝ a2－ c2＝ 52－ 42＝ 9. x2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. 25 9
预习问题：
问题一：椭圆的定义和圆的定义有何异同？
问题二：椭圆的标准方程和圆的标准方程有 何异同？
若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端 都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动 笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
引例:
平面内到一定点的距离等于定长的点的 轨迹是圆.
思考1: 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹 又是什么呢？
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
a 2 b2 c 2
椭圆的标准方程 y
M
焦点F1 (c,0), F2 (c,0)
F2
F1
O
x
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
这里c 2 a 2 b2
y
F2 M O F1
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
【变式1】 求适合下列条件的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5， 0)； (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到 两焦点的距离之和为26.
解 x2 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 2 a
y2 ＋ 2＝1(a>b>0)． b 因为 2a＝ （5＋3）2＋02＋ （5－3）2＋02＝10，2c＝6， 所以 a＝5，c＝3， 所以 b2＝a2－c2＝52－32＝16. x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 25 16
F1(-c,0) O
F2(c,0) x F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)
的动点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴
建立直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则椭圆就是集合P={M||MF1|+ |MF2|=2a}
探究一：椭圆的定义
思考2：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一 周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
思考3：如果把细绳的两端的距离拉大，是否还能画出椭 圆？椭圆的形状随两端点的距离如何变化？
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
2
则( x c )2 y 2 4a 2 4a ( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0， 两边同除以a2(a2-c2)得:
P
M (x,y)
x y 2 2 1 ① 2 a a c
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
2 m＝1， y 2 ∴ 1 ∴所求椭圆的标准方程为 x ＋ 9 ＝1. n＝9.
规律方法
求椭圆的标准方程时出适合题意的椭圆的标准
方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置
不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论， 但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标 准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的 形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨 论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．