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上海第二工业大学高数第一学期期末试卷

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高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

09-10(一)高等数学(工)1期末考试试卷A

09-10(一)高等数学(工)1期末考试试卷A

09-10（一）高等数学（工）1期末考试试卷A上海应用技术学院2022—2022学年第一学期《高等数学（工）1》期（末）试卷A课程代码:B122022学分:5.5考试时间:120分钟课程序号:5284—5308，6945，7530班级：学号：姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

题号应得分实得分一20二15三50四15五六总分100试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1某in1、设f(某)某a某2某0某0，要使f(某)在实轴R上连续，则a（）。

（A）0（B）1（C）2（D）32、下列极限中，正确的是（）。

（A）limin某某1某1（B）lim(1某)某e某（C）limintan某tan某某01（D）lim某某4某21223、当某0时，与某是同阶无穷小的是（）。

（A）某in某2（B）1co某（C）1某1（D）某in某1某214、设函数f(某)1某211某0某0，则某0是f(某)的（）。

（A）连续点（B）第二类间断点（C）跳跃间断点第1页（D）可去间断点5、极限lim某0某02e某2t2dt的值等于（）。

（C）-1（D）e1（A）1（B）06、若yln[ln(ln某)]，则y（）。

1某ln某（A）（B）1某ln(ln某)（C）1ln(ln某)ln某（D）1某ln某ln(ln某)7、设f(某)在某某0的某个邻域内三阶连续可导，且f(某0)f(某0)0，f(某0)0，则（）。

（A）f(某)在某某0有极大值（B）f(某)在某某0有极小值（D）f(某)在某某0无极值也无拐点（C）(某0,f(某0))是yf(某)的拐点8、积分某1d某的值为（）。

03（A）0（B）1（C）52（D）29、下列反常积分收敛的是（）。

上海市高三数学上学期期末考试试题(含解析)沪教版

上海市高三数学上学期期末考试试题(含解析)沪教版

上海市高三数学上学期期末测试试题〔含解析〕沪教版高三数学试卷〔一模〕〔总分值：150分,完卷时间：120分钟〕〔做题请写在做题纸上〕一、填空题〔本大题共有14小题,总分值56分〕考生应在做题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否那么一律得零分.f(x)=3x - 2 的反函数f T(x)=由f(x)=3x-2 得x --2 ,即3 一/、x 2f (x) ------------ .3B={x| 0< x<1},那么A H R-【答案】{x| - 2W xw 0或1 w xw 2}2.假设全集UR,集合A={x| - 2<x<2},【解析】由于B={x| 0V x<1} B {x x 1或x 0},所以Apl^B {x 2 x 1 或-2 x 0}.3-函数y sin(2x -〕的最小正周期是【解析】由于2, 所以周期T4 .计算极限: lim(n2n2 -2 n n5.lim(n2n22n2lim(——n12n1n)2.a (1,x),b (4,2),假设由于a b,所以4 2x 0,解得x 2.6.假设复数〔1+2i〕〔1+ a i〕是纯虚数,〔i为虚数单位〕,那么实数a的值是.【解析】由(l+2i)(1+ a i)得1 2a (2 a)i ,由于1 2a (2 a)i 是纯虚数,所以 1 2a 0,2 a 0,解得 a 1.2_ _2、6 . .................. 7.在(X ―)6的二项展开式中,常数项等于.X【答案】-160・3——,由k tan 3B 、C 三所学校共有高三学生 1500人,且 A B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为 行成绩分析,那么应从 B 校学生中抽取 人. 【答案】40xd,x,xd,那么xd x x d 3x 1500,所以x 500.那么在B 校学生中抽取的,一 ,120人数为——500 40人.150011.双曲线C ： x 2 - y 2= a 2的中央在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于 AB 两点,|AB| 4d3,那么双曲线C 的方程为 .(用数值表示)【解析】展开式的通项公式为T k 1 C ：x 6k ( 2)k( 2)k C k x 6 2k ,由 6 2k 0 得 kx3,所以常数项为T 4( 2)3C 3160.8.矩阵A = 矩阵4B =,计算: AB=.「 10 【答案】24 10【解析】：AB=10 4 24 109.假设直线l : y=kx 经过点P(sin —,cos — 3 3),那么直线l 的倾斜角为a由于直线过点P(sin 22 、 一——,cos ——),所以 2 2 口 3, ksin — cos —,即—k3 3 210. A 120的样本,进【解析】由于A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列,所以设三校人数为2 2【答案】x_ 匕 14 4【解析】 抛物线的准线方程为 x 4,当x 4时,y 2 16 a 2.由|AB| 4v 3得,22V A 2J3,所以y 2 16 a 2 12,解得a 2 4 ,所以双曲线C 的方程为二 y- 1.4 412 .把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为m,第二次出现的点数记为 n ,方程组mx ny 3只有-组解的概率是 ______________ .(用最简分数表示) 2x 3y 2-17【答案】171813 .假设函数 y=f (x ) ( xC R)满足：f (x +2)=f (x ),且 xC[-1, 1]时,f (x ) = | x | ,函数 y=g (x )是定义在R 上的奇函数,且 xC (0, + °°)时,g (x ) = log 3 x,那么函数y=f (x )的图像 与函数y=g (x )的图像的交点个数为 . 【答案】4【解析】f(x+2)=f(x) f(x)的周期为2,由条件在同一坐标系中画出 f (x)与g(x)的图像如右,由图可知有 4个交点.14 .假设实数a 、b 、c 成等差数列,点 P( - 1,0)在动直线l ： ax+by+c =0上的射影为 M 点 M0, 3),那么线段M 冰度的最小值是. 【答案】4 、. 2【解析】a 、b 、c 成等差数列a -2b +c =0 a 1+b (-2)+ c =0,,直线l ： ax+by+c =0过定点Q1,-2),又 R - 1,0)在动直线 l : ax+by+c =0 上的射影为 M PMQ 90,.二 M&以 PQ 为直径白^圆上,圆心为C (0, -1),半径r=\|PQ| -22 22 <2 ,线段MN|£度的 最小值即是 N ., 3)与圆上动点 MB 巨离的最小值=|NGr =4-J 2.【解析】方程组只有一组解D 3m 2n 0,即除了m=2 且 n =3 或 m=4 且 n =6这两种情况之外都可以,故所求概率17 18 •二、选择题(本大题有4题,？t 分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在做题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5分,否那么一律的零分.15.假设1 1 0,那么以下结论不正确的选项是 a b (A) b 2 (B) ab b 2 (C) a D 由1 由一aa cb ,2(D) 1 b a 1 0可知,b a 0,所以Bba 1,选 D.16.右图是某程序的流程图,那么其输出结果为 ( (A) 17. 1 k(A) (C) 2021(B)2021 C—(C)型(D)2021 20211 20212 k 22f (x )= x — 2x +3, 充分但不必要条件 充要条件1 1)(k 2)II Ig ( x )= kx - 1,贝U(D)(B)200,“I k |型,选C.2021W2〞是“ f (x ) >g(x )在R 上恒成立〞的必要但不充分条件 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：f (x ) >g (x )x 2 - 2x +3> kx - 1 x 2 - (2+ k ) x +4> 0,此式对任意实数 x 者B 成立△=(2+k )2-16 W0-4 < k +2 < 4 -6 wkW2,而“ |k | W2〞是“-6 wkw 2〞的充分不必要条件,应选A.1x18 .给TE 万程：(一)sinx 1 0,以下命题中：(1)该万程没有小于 0的实数解；(2)该(3)该方程在(-8, 0)内有且只有一个实数解；(4)假设x 0是该方程 的实数解,那么X O > - 1 .那么正确命题的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】C【解析】解：(；)x sin x 1 0 sin x 1 (；)x ,而由于g(x) 1 K)x 递增,小于1,且以直线y 1为渐近线,f(x) sin x 在—1到1之间振荡,故在区间(0,+ )上,两 者图像有无穷个交点,,(2)对,应选C.三、解做题(本大题共有 5个小题,总分值74分)解答以下各题必须在做题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤.19 .(此题总分值12分,第1小题6分,第2小题6分)2x 1集合 A ={x | | x- a | < 2 , x R },&{x | ------------------------------- <1, x R }.x 2(1)求 A 、B;(2)假设A B,求实数a 的取值范围.20 .(此题总分值14分,第1小题6分,第2小题8分)方程有无数个实数解; 令 f (x)sinx, g(x) 1 (1)x ,如函数f(x) sin(2x —) sin(2x —) J3cos2x m, XCR,且f(x)的最大值为1.(1)求m的值,并求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC\ 角A R C的对边a、b、c,假设f(B) J3 1 ,且J3 a b c ,试判断△ ABCW形状.21 .(此题总分值14分,第1小题6分,第2小题8分)2函数f(x) x ------------------ x-a,x (0,2],其中常数a > 0 .x⑴ 当a = 4时,证实函数f(x)在(0,2]上是减函数；(2)求函数f (x)的最小值.22.(此题总分值16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)设椭圆的中央为原点Q长轴在x轴上,上顶点为A左、右焦点分别为F I、F2,线段OF、OF的中点分别为B、B2,且△ ABB是面积为4的直角三角形.过B I作直线l交椭圆于P、Q 两点.(1)求该椭圆的标准方程；(2)假设PB2 QB2,求直线l的方程；⑶ 设直线l与圆O x2+y2=8相交于M N两点,令|MN的长度为t ,假设t C [4, 2 J7],求4RPQ的面积S的取值范围.6…数列｛a n ｝满足a 1- , 1 a 1 a 2a na n 1 0(其中入w0且,丰-1, neN*), S n 为数列｛d ｝的前n 项和. ⑴假设a 2 a 1 a 3,求的值； (2)求数列｛a n ｝的通项公式a n ；(3)当 1时,数列｛a n ｝中是否存在三项构成等差数列,假设存在,请求出此三项；假设不存 在,请说明理由.金山区2021学年第一学期高三期末测试试题评分标准 、填空题二、选择题三、简做题一 x 3 一 一一得工^<0,即-2V x <3,所以x 2x 2 ... …1 . x--(定义域不写不扣分)2・{x | -2WxW0 或1<x<2}3 .4 .2 5.-2 67. - 16010 —10. 40 1124 1012.卫1813 1415. D 1617 1819.解：(1)< 2,得 a - 2<x <a +2, 所以 A ={x | a - 2<x <a +2},2x 1由 ----- <1, x 2 B ={x | - 2<x <3}.4 - a 2 2 八(2)假设A B,所以,.............................................................................. 10分a 2 3所以0waw 1. .............................................................................................................. 12分20.解：⑴ f (x) sin2x 73cos2x m 2sin(2x —) m .................................................. 3 分由于f(x)max 2 m,所以m 1, ...................................................................................... 4分5令--+2kn W2x+ — W 一+2kn得到：单倜增区间为[k —— k 一] ( k€ Z) (6)2 3 2 12' 12分(无(k e Z)扣1分)(2)由于f(B) 率1,那么2sin(2B -) 1 点1 ,所以B - .............................................. 8 分1 5又V3a b c,那么V^sinA sin B sinC, V3sinA — sin(— A)2 61 一一化同付sin(A —) 一,所以A 一 , ........................................... 12分6 2 3所以C 故△ ABC为直角三角形. ..................................... 14分24 -21.解：⑴当a 4时,f(x) x — 2, ....................................................................... 1 分x4 4 (x1 x2)(x1x2 4)任取0<X I<X2W 2,贝U f (X I) - f (x2)= X I— x2 —......................................................... (3)x1 x2x1x2由于0<X1<X2< 2,所以f (X I) - f(X2)>0 ,即f (X1)>f (X2)所以函数f(x)在(0,2］上是减函数；.......................................... 6分(2) f (x) x a 2 2n 2, ................................................................................. 7 分x当且仅当x ja时等号成立, ............................................... 8分当0 ja 2,即0 a 4时,f(x)的最小值为2,a 2, .................................................................... 10分当4 2,即a 4时,f(x)在(0,2］上单调递减, .................................... 11分所以当x 2时,f(x)取得最小值为a, ............................................................................... 13分24k …K,y1y2里T ,所以1 5k 2|一। 4引黑普,,(1 5k )2 a 20 a 4,综上所述：f (x) min a— a 4.222^ 1(a b 0),右焦点为 F 2(c,0).a b因△ABB 是直角三角形,又| AB |=| AB | ,故/ BAB =90o,得c =2b ......................... 1分 在 Rt^ABB 中,S ABB b 2 4,从而 a 2 b 2 c 2 20. ............................................... 3 分22因此所求椭圆的标准方程为： — 工 1 .................................................................. 4分20 4(2)由(1)知B 1( 2,0), B(2,0),由题意知直线l 的倾斜角不为22x my 2,代入椭圆方程得 m 5 y 4my 16 0 , ................................................................ 6分所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x - 2y +2=0................................ . _____________________ 16、5(3)当斜率不存在时,直线l : x 2 ,此时| MN | 4 , S 1612 ................................................ 11分5当斜率存在时,设直线l :y k(x 2),那么圆心O 到直线的距离d /1k 2 114分22.解：(1)设所求椭圆的标准方程为0,故可设直线l 的方程为:设 Rx 1, y 〔 y 2y .、Qx 2, y 2),那么y 1、y 2是上面方程的两根,因此y 1 y 2-16—,又 R x 1 2,y 1 ,B 2Qm 5x 2 2,y 2 ,所以4m -2 Zm 5B 2 P B 2Q (x 1 2)(x 2 2) yy 2_ 2 _ 16m 64 ~2—丁 m 5 由PB 2QB 1 ,得 B 2P B 2Q =0,即 16m 264 0 ,解得 m2;10分因此 t 二|MN | 2 84k 2 k 21— 21 2^7 ,得 k 2......... ...............................................313分联立方程组:y k(x 2),x 2 y 2 得(1 5k 2)y 22041,4ky 16k 2 0,由韦达定理知,即 22"2P+1=22m -2P +1,假设此式成立,必有： 2m- 2P =0 且 2k -2p +1=1,故有：m=p=k 和题设矛盾②假设存在成等差数列的三项中包含 a 时,不妨设 m=1, k >p>2 且 a k >a p,所以 2a p = a 〔+a k , 一一 1因此S 5 4 1y l y 2l 8 5 4k 4 k 2(1 5k 2)2设 u 1 5k 2, u S 855(1 3)2 25,所以 S [ .35,16-^ u 2 4 5),•,15 分 综上所述：△ RPQ 的面积S16分 23.解：⑴ a 2 由a 2 a 3,计算得 1 7 761 ,令n2 ,得到a3 一7 (2)由题意 a 1 a 2 a n a n 1 0 ,可得:1 a 1 a2 a n 1 a n 0(n 2),所以有又由于 a 2 (1 )a n a n 1 0(n 2),又 0, 1,1—— a n (n 2),故数列｛a n ｝从第二项起是等比数列.1 〜 所以 7n> 2 时, a n (―)n 21,所以数列｛a n ｝的通项a n10分 )n 2.… 1 ⑶由于 一所以a n3 73/ n 2 -4 n 71,2.11假设数列｛a n ｝中存在三项a m a k 、a p 成等差数列,①不防设m>k >p>2,由于当 n>2时,数列｛a n ｝单调递增,所以 2a=a+a p即：2(3) 4』3 4"2 + 7 7 34「化简得：2 4k-p = 4"p+17 14分2(3) 4-= —6+( 3) ,2,所以2 4P.2= — 2+4-；即2叱4= 22k 5 - 17 7 7由于k > p > 2 ,所以当且仅当k=3且p=2时成立................................... 16分因此,数列｛a n｝中存在a i、a2、a3或a3、a2、a i成等差数列....................... 18分。

上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案

上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案

上海市高一年级第一学期数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟 满分：150分 ）一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________． 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________． 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则=)(x f ____________． 4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________． 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________． 6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是 ． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________． 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．10．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围 ． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =题的是__________．13．如图所示，已知函数()2log 4y x =图像上的两点 ,A B 和函数2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时点B 的坐标为(),p q ，则22qp +的值为14．若点A 、B 同时满足以下两个条件：（1）点A 、B 都在函数()y f x =上；（2）点A 、B 关于原点对称； 则称点对(),A B 是函数()f x 的一个“姐妹点对”．已知函数()()()24020x x f x x xx -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是 ． 二、选择题（每题5分，共20分）15．“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的……………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若2{|21},{|}M x y x N y y x ==+==-，则集合N M ,两的关系是（ ） A ．{(1,1)}MN =-B ．M N ＝∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆17．已知()f x 是R 上的偶函数， 当0x >时()f x 为增函数， 若120,0x x <> 且12||||x x <， 则下列不等式成立的是…………………………………( ) A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -<- C ．12()()f x f x ->- D ．12()()f x f x -<-18．函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称．据此可以推测，对 任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是………………………………………………………………（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,4,16,64三、解答题（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域 内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（1）若3a =，求出集合P ； （2）若Q P ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ）某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为230400010x y x =-+． （1）当该产品的年产量为多少时，每吨的平均成本P 最低，并求每吨最低成本；（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时可获得最大利润，并求出最大年利润Q ．21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-，其中a 是实数． （1）当2a =时，解上述方程；（2）根据a 的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的t 的取值范围； （3）若()312f =，且()x mf aa x g xx 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg 2，求a 的取值范围；（3）设函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，证明：函数()M x x f x∈+=22．高一年级数学试卷答案一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_．7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(-9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围__11[,)62__． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m ≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④13．．()()()1,3,1,3-- 二、选择题（每题5分，共20分）15．A 16．D 17．B 18．D三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 解（1）若3a =，由不等式301x x -≤+，即(3)(1)0x x -+≤且1x ≠-，……… 4分 解得集合{|13,}.P x x x R =-<≤∈ ……………………………… 6分 （2）由不等式|1|1x -≤，解得{|02,}.Q x x x R =≤≤∈ …………………8分由不等式01x ax -≤+，得()(1)0x a x -+≤且1x ≠-，…………………9分 当1a >-时，{|1,}P x x a x R =-<≤∈， 又因为Q P ⊆，所以2a ≥；当1a <-时，{|1,}P x a x x R =≤<-∈，Q P 不成立；当1a =-时，P =∅，QP 也不成立．因此，求实数a 的取值范围是[)2,.+∞（可以不讨论直接判断得出）… 12分20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ） 解（1）()400030,150,25010x P x x=+-∈………………………………3分3010≥=……………………………………………5分()4000200150,25010x x x=⇒=∈ ……………………………6分 当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．………7分（2）()216304000,150,25010x Q x x x =-+-∈………………………10分 ()212301290129010x =--+≤ ……………………………12分 ()230150,250x =∈……………………………………………13分 生产230吨时，最大年利润1290Q =万元．…………………14分 21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）解（1）1030(1)(3)2x x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩…………………………………………3分x ⇒=2分 （2）原方程可化为1030(1)(3)x x x x a x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩，……………………………6分即21353x x x a<<⎧⎨-+-=⎩，………………………………………………8分 作出253(13)y x x x =-+-<<及y a =的图像． 当1x =时1y =，当3x =时3y =，当52x =时134y =．由图像知： ① 413>a 或1≤a 时，两曲线无公共点，故原方程无解；………………10分 ② 当131≤<a 或413=a 时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实数解；…12分③ 当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解．…………14分22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 解(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()001102f k k =⇒--=⇒= ……………………………… 4分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f xx且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且……………………………5分x y a =在R 上递减，x y a -=在R 上递增，故()f x 在R 上单调递减． …6分不等式化为)4()(2-<+x f tx x f 04)1(,422>+-+->+∴x t x x tx x即恒成立，………………………… 8分016)1(2<--=∆∴t ，解得53<<-t ．………………………………… 9分(3)∵()312f =，231=-∴a a ，即,02322=--a a122a a ∴==-或（舍去）………………………………………………………10分 ∴()()22222)(2222+--+=-+=---x x x x x xm a a x mf a ax g ．令xxaa x f t --==)(由(1)可知xxaa x f --=)(为增函数∵1x ≥，∴()312t f ≥=……………12分 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (32t ≥)……………………………13分 若32m ≥，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2……………… 14分 若32m <，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去…15分 综上可知m ＝2． ……………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ， 使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……………………… 4分 ()()()()2222(2)lglg lg lg 2221011211a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++………………………………………………………………………………6分 当2=a 时，21-=x ；……………………………………………………7分 当2≠a 时，由0≥∆，得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a ，……9分∴[]53,53+-∈a ． ………………………………………………10分()()()()()00002112000000311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦（），……………………………………………………………………………………13分又∵函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a，其中10+=a x ，…………………16分∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x∈+=22 ．…………………18分。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)DK

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2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解： 324d π,π,.3d rV r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r tA A r r v t r t =⋅=⋅=⋅=⋅2．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期． 解：投资20年中总收入的现值为205%5%2001200800e d (1e )5%400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==-=-=⎰万元 纯收入现值为R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元) 收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1e )8005%12005ln =20ln =4.46 ().5%2008005%4T T -⋅-==-⨯年3．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1e xx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1e x xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x ⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证：ln(ln(x xx x c'⎡⎤=++⎣⎦ln(x=所以，结论成立.2(3)ln(1)dx x+⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan1xx x x x x x x cx+-=+-+++⎰.验证：22 22222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan11xx x x x x x x cx x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++所以，结论正确.(4)x;解：原式=9212)arcsin(.232xx x c++=++验证：921arcsin(232xx'+⎡++⎢⎣211(2)32x=++==所以，结论正确.(5)sin(ln)dx x⎰;解：1sin(ln)d sin(ln)cos(ln)dx x x x x x xx=-⋅⋅⎰⎰sin(ln)cos(ln)sin(ln)dx x x x x x=--⎰所以，原式=().sin(ln)cos(ln)2xcx x+-验证：()sin(ln)cos(ln)2xcx x'⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln)cos(ln)cos(ln)sin(ln)22sin(ln).xx x x xx xx⎛⎫=+-⋅+⋅⎪⎝⎭=故结论成立.2e(6)d(e1)xxxx+⎰;解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1xxx c --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x x xx xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰;解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=-++⎰ 验证：ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2xx xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.4．（略）.5．利用基本积分公式及性质求下列积分：2(1)5)d x x -;解：原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰. (2)3e d x x x ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛ +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰ 22(4)d ;1x x x +⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x+-=-=-+++⎰⎰⎰2(5)sin d 2x x ⎰; 解：原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解：原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .x x c ++(13)e d ;1x xx-⎛ ⎝⎰解：原式=e d e .xx x x c-=-⎰ 2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解：原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x⎰. 解：原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c x x -=--+⎰⎰ 6．a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x bx t c x ax →=-⎰ 成立.解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===-或 1,0,0a b c ≠==.7．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =. 当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧； 当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧. 因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) e xy x -=；解：(1)e , e (2)x xy x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0xxy x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点. (4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) e x y =；解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的， 故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7).8．某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x -==-12题图 截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点x =.即当x =.9．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.3h =时，其体积为最大.10．设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba为端点的闭区间上, 而 22(0)0,bb y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故当a >0时，函数的最大值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.11．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.⑴ 201sinlimsin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x→+∞+； ⑶ sin lim sin x x xx x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x xx x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin coslimlim sin cos x x x x x x x x x→→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数） 又2001sin1limlim sin 0sin x x x x x x x→→==, 故不能使用洛必达法则. ⑶ ∵sin 1cos limlimsin 1cos x x x x xx x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x x x x x xx x x→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xxx x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xxx xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.12．函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.13．求曲线y =ln(sec x )在点(x ，y )处的曲率及曲率半径. 解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ''==='++ 1sec R x k==.14．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： (1)21n n nx∞+=∑；(2) 22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx ∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)． 记 ()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S nxx ∞-==∑则()1011xn n xS x x x∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()21211nn S x x x ∞='==-∑， 故()1011d ln21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021xS S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x x S xS x x x x+==<-15．计算曲线y =cosh x 上点(0，1)处的曲率. 解：sinh ,cosh .y x y x '''== 当x =0时，0,1y y '''== ， 故 23/21.(1)y k y ''=='+16．求函数1sin ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].17．求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d yx：⑴ 222222b x a y a b +=； ⑵ 1e yy x =+； ⑶ tan()y x y =+； ⑷ 242ln y y x +=. 解：⑴ 两边对x 求导，得22220b x a yy '+=22422223b x b y xy b y y a y a y a y'-'''⇒=-⇒=-⋅=-. ⑵ 两边对x 求导，得e e y y y x y ''=+223e e (2)e ()e (3)2(2)(2)y y y y y y y y y y y y y ''----'''⇒=⇒==---.⑶ 两边对x 求导，得2sec ()(1)y x y y ''=++2321cot ()2cot()cot()csc()(1)2cot ()csc ().y x y y x y x y x y y y x y x y '⇒=--+'''⇒=+⋅+⋅+⋅+''⇒=-+⋅+ ⑷ 两边对x 求导，得3224yy y x y''+⋅= 32322322222422321(223)(1)22(1)2[3(1)2(1)].(1)yx y y y x y x y yx yy y y x y y x y y '⇒=+''+⋅+-⋅''⇒=+++-=+18．求自由落体运动21()2s t gt =的加速度. 解：()s t gt '=()[()]s t s t g ''''==即为加速度.19．设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ︒加热到C T ︒所吸收的热量，当金属从C T ︒升温到()C T T +∆︒时，所需热量为()(),Q Q T T Q T ∆=+∆-Q ∆与T ∆之比称为T 到T T +∆的平均比热，试解答如下问题：⑴ 如何定义在C T ︒时，金属的比热； 解：0()()lim()T Q T T Q T Q T Tν∆→+∆-'==∆⑵ 当2()Q T aT bT =+(其中a , b 均为常数)时，求比热. 解：()2Q T a bT ν'==+.20．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导. (1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩证明：00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===- 300()(0)(0)lim lim 0,0x x f x f x f x x ---→→-'===-因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(2) 10,0,0;1e 0,0,xx x y x x ⎧≠⎪==+⎨⎪=⎩证明：100()(0)1(0)lim lim 0,01e x x x f x f f x +++→→-'===-+ 100()(0)1(0)lim lim 1,01e x x x f x f f x ---→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(3) 021,1.,1,x y x x x ≥==<⎪⎩证明：11()(1)1(1)lim lim ,12x x f x f f x +++→→-'===- 211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===--因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导.21．当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:1tan 2(1)()(2)();1(3)()sin sin ;(4)()(1).x xf x f x x f x x f x x x ====+解：0003(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()limlim 2.x x x x xf x x x→→→===∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续. 01(3)limsin sin 0x x x→=∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续. 10(4)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续.22．研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩221(3)()lim ;(4)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续，又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续， 综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-3(3)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+ 当x >0时，2222111()limlim lim 1111x xxx x xx n n n xn n n n f x n n n n--→∞→∞→∞---====+++1,0,()lim0,0,1,0.xxx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续， 又由 0lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=- 知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(4)当|x |=1时，221()lim0,1nn n x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn n n n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-523．求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？,0,(1)()10,xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处; 2,2(2)()102x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩ 在2x =处. 解：00(1)lim ()lim lim 1,x x x x x f x x x +++→→→=== 000lim ()lim lim 1x x x x x f x x x---→→→-===- 因为 0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠ 所以0lim ()x f x →不存在.(2)22221lim ()lim ,lim ()lim(2)42x x x x f x f x x x ++--→→→→==+∞=+=-因为2lim ()x f x +→不存在，所以2lim ()x f x →不存在.24．利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 0113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11xxxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim e lim elim ee e x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116eee .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦25．解:因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知211lim 21x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为12，于是 10a -= 且()112a b -+= 解得 31,2a b ==-.26．写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →.1(2)cosπ2n n x n -=, 当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21nn n xn +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.27．证明:3()21f x x =-和()g x =. 证:由321yx =-解得x =故函数3()21f x x =-的反函数是)y x =∈R ,这与()g x =,所以3()21f x x =-和()g x =.28．设()2,()ln xf xg x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====29．设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩30．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ， 故 23/21.(1)y k y ''=='+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无 3．无 4．无 5．无 6．无 7．无 8．无 9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

高等数学上期末考试试题及参考答案

高等数学上期末考试试题及参考答案

高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。

上海第二工业大学高数第一学期期末试卷

上海第二工业大学高数第一学期期末试卷

1一、填空题 （每格3分，共15分）1、884231lim ________322x x x x x →∞-+=+-. 2、若函数sin 0()20kx x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在0x =处连续，则_____k =.3、设ln y x x =，则()1_____________y ''=.4、设是()f x 的一个原函数，则()21xf x dx -=⎰_____________.5、微分方程20y y '''-=的通解为___________.二、选择题（每题3分，共15分）1、函数()f x 在点0x x =连续是函数在该点可导的 （ ）.（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件2、函数211x y x -=-的间断点1x =的类型是 （ ）. （A ）第一类可去间断点 （B ）第一类跳跃间断点（C ）第二类无穷间断点 （D ）第二类震荡间断点3、函数22y x x =-在区间[]0,2上满足罗尔定理条件的点ξ= （ ）.（A ） 3 （B ）2 （C ）1 （D ）04、下列式子中正确的是 （ ）.（A) 2100x d e dx dx =⎰ （B) 22x x d e e c =+⎰ （C ）221x t x d e dt e c dx =+⎰ （D) 22x x d e dx e c dx=+⎰. 5、下列反常积分中收敛的是 （ ）.（A ）0x e dx +∞⎰（B ）1ln x dx x +∞⎰ （C）1-⎰ （D ）121dx x --∞⎰三、计算题（每题6分，共36分）1、 ()02lim ln 12x xx e e x x -→--+2、 21lim(tan )cos x x x π→-3、cos x y x = ()0x >，求1x dy =.4、23t t x e y e -⎧=⎨=⎩，求22d ydx5、()ln 1x x dx +⎰6、32121arctan 1x xdx x -++⎰四、解答题（每题7分，共21分）1、求函数()32531f x x x x =-+-的单调区间与极值，凹凸区间与拐点.2、求微分方程sin y x y x x '+=满足初始条件1x y π==的特解.3、求微分方程23x y y y e '''--=通解.五、应用题（本题8分）设平面图形由曲线21y x =+及其上点()1,2处切线与直线0x =围成，求：（1） 此平面图形的面积；（2）该平面图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积.六、证明题（本题5分） 证明：当02x π<<时， 31tan 3x x x >+...。

大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印

大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印

第一学期期末考试机电一体化专业《 高等数学 》 试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。

2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。

3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。

5． 设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。

1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )； Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )； Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点 Ｂ. 驻点肯定是极值点 Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。

14-15(一)《高数(工)1》期末考试(A)卷解答

14-15(一)《高数(工)1》期末考试(A)卷解答

上海应用技术学院2014—2015学年第一学期《高等数学（工）1》期（末）试卷（A ）评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．C ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．D ；6．A ； 7．D ； 8．B ； 9．C ； 10．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．2e ； 12．x y =； 13．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22sin 21sin 2)1ln(cos )1(x x x x x x x ； 14．2π； 15．41-x ； 16．21C xC y +-=． 三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）．17．求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→)1ln(121lim 2x x x ． 解： 原式)1ln()2(2)1ln(lim2--+--=→x x x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 2)1ln()1(2lim 12)1ln(111lim 22-+---=--+---=→→x x x x x x x x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）211)1ln(11lim 2-=+-+-=→x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 18．设函数)(x y y =由方程0)sin(sin =+-y x x y 所确定， 求y '．解： []01)c o s (c o s s i n ='++-+'y y x x y x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2+2分） )cos(sin cos )cos(y x x x y y x y +--+='．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）19．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=-=-t t e t y e t x 2所确定，求022=t dx y d ． 解：t tee dx dy -++=1212．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分) 222224(1)(12)1(1)1t t t t t td ye e e e dx e e ----+++=⋅++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(3分) 45022==t dx yd ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (1分) 20．求函数3224+-=x x y 在[]2,1-上的最大值与最小值．解： 0)1(44423=-=-='x x x x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 令0='y ，得到01=x , 12=x , 13-=x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 2)1(=±y ，3)0(=y ，11)2(=y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 故最小值2)1(=±y ， 最大值11)2(=y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）21．计算不定积分dx e e x x⎰-12． 解：原式⎰-=1)(2x x e e d ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=)(111121x x x e d e e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） C e e x x ++-=11ln 21．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）22．计算定积分⎰+1332211dx x x ．解： tan x t =令，2sec dx tdt =，14x t π=→=，6x t π=→=．．．．．．．．．．．（1分） ⎰+1332211dx x x ⎰⋅=4622sec tan sec ππt t tdt ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰=462sin cos ππdt t t ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 46sin 1ππt -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）22-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 23．计算定积分⎰102cos xdx e x ． 解：⎰102cos xdx e x ⎰=102)(sin x d e x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ⎰-=102102)(sin sin x x e xd x e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰+=102102)(cos 2sin x d e x e x x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ⎰-+=102102102cos 4cos 2sin xdx e x e x e x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） []21cos 21sin 5cos 2102-+=⎰e xdx e x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）24求微分方程yx y y dy dx 1ln 1=+满足e y =)1(的特解． 解：由于y x y y dy dx 1ln 1=+， 令y y y P ln 1)(=，yy Q 1)(=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dy e y Q e x dy y P dy y P )()()(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dy e y e dyydy dy y y 1ln 11．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） yC y ln ln 21+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 由 e y =)1( 21=C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x ln 1ln 21．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．25．过坐标原点作曲线ln y x =的切线, 该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形为D ．(1) 求D 的面积。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)SH

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)SH

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求数列的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域： (1)x +2x 2+3x 3+…+nx n+…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑；(4)()2112nn x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11lim lim 1n n n na n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11n n n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n n n n n∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n na n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．（1）解：112xn n =∞相当于P 级数中P x = 当1P >时112p n n =∞收敛，1P ≤时，112pn n =∞发散. 从而当1x >时，112x n n =∞收敛，1x ≤时，112xn n =∞发散. 从而112xn n=∞的收敛域为(1,)+∞ 从而111(1)2n x n n+=∞-的收敛域为(0,1)(1,)+∞. （2）解：当1x >时，112x n n =∞收敛，则111(1)2n xn n+=∞-收敛. 当0x ≤时，111(1)2n x n n+=∞-发散，(0)n U当01x <<时，111(1)2n x n n+=∞-收敛.（莱布尼兹型级数）4．判定下列级数的敛散性：(1) 1n ∞=∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+；(3) ()23133222213333nn n--+-++-；(4)155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵nU =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．5．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++；2242468x x ++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-； (2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；6．已知电压u (t )=3sin2t ，求 (1) u (t )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin 2d .ππu t t t ==⎰(2) 电压的均方根值.解：均方根公式为()f x =故()u t =====7． 求下列各曲线所围图形的面积： （1）y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)； 解：如图D 1=D 2解方程组⎩⎨⎧y =12x 2x 2+y 2=8得交点A (2，2)(1)D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23∴ D 1+D 2=2π+43,D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-43．（2）y =1x与直线y =x 及x =2； 解： D 1=⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -1x d x =⎣⎡⎦⎤12x 2-ln x 21=32-ln2.(2)（3）y =e x ，y =e -x 与直线x =1；解：D =⎠⎛01()e x -e -xd x =e+1e-2．(3)（4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)； 解：D =⎠⎛l n al n b e y d y =b -a ．(4)（5）抛物线y =x 2和y =-x 2+2；解：解方程组⎩⎨⎧y =x 2y =-x 2+2得交点 (1，1)，(-1，1) D =⎠⎛-11()-x 2+2-x 2d x =4⎠⎛01()-x 2+1d x =83．(5)（6）y =sin x ，y =cos x 及直线x =π4，x =94π；解：D =2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x -cos x )d x=2[]-cos x -sin x 5π4π4=42．(6)（7）抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2．∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(32，3)．故所求面积为(7)()()()()()33222302332223024343d 2643d d 69d 9.4D x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰（8） 摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ．所以()()()2π2π2π2202d 1cos d sin 1cos d 3π.aS y x a t a t t a t ta ==--=-=⎰⎰⎰(8)（9）极坐标曲线 ρ=a sin3φ；解：D =3D 1=3·a 22⎠⎜⎛0π3sin 23φd φ=3a 22 ·⎠⎜⎛0π3 1-cos6φ2d φ =3a 24 ·⎣⎡⎦⎤φ-16sin6φπ3=πa 24． (9)（10）ρ=2a cos φ；解：D =2D 1=2⎠⎜⎛0π212·4a 2·cos 2φd φ=4a 2⎠⎜⎛0π21+cos2φ2d φ =4a 2·12⎣⎡⎦⎤φ+12sin2φπ2=4a 2·12·π2=πa 2．(10)8．计算下列积分（n 为正整数）： （1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-9．利用习题22(2)证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x xx x =++⎰⎰又πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令10．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1exx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1e x xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x ⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++⎣⎦ln(x =所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证：921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =++==所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解： 1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证： ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰;解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1xxx c --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x x xx xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=-++⎰ 验证：ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.11．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰;解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰; 解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+ ⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰; 解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin x x x+⎰; 解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1x x x x ++⎰; 解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ; 解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+⎝⎰又 2x 2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln 1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.12．用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+ (7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2x x x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++. 32(ln )(9)d x x x⎰; 解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x . 解：原式tan 23sec d .x a t a t t =⎰又 32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故 11ln .22x c x =+13．证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰； 证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知：222e e e e e ed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰ 即 2e 22e e e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰ (2) 2101e d e.x x ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111000d e d ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰ 即2101e d e.x x ≤≤⎰14．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩ (2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cos ππ2=-≤≤xf x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰ 于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑ (x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰，()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππn n a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3n n f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞) (3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n n b f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos 2x f x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π01212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x x a nx x nx x n x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰ 所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nx f x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]15．在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a=-⋅=-+'=-+ 令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a 时方盒容积最大.16．设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x .解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).x f x f f x g g x g x g x x x x x ====17．设()f x 二阶可导，求20()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-. 解：2000()2()()()()lim lim 21()()()() lim []21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x h h→→→''+-+-+--=''''+---=+-=00()()()()m lim ]1 [()()]2().h h f x h f x f x h f x h hf x f x f x →→''''+---+-''''=+''=18．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.⑴ 201sinlim sin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x →+∞+； ⑶ sin lim sin x x x x x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x x x x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数） 又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在,而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.19．设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且(1)()()()()0.n f b f a f a f a -'=====试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()0n f ξ=. 证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b ∈，即1a a b <<，使得1()0f a '=；其次，对()f x '在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b ∈，即12a a a b <<<， 使得2()0;,f a ''=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中121,n a a a a b -<<<<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0n f x -=在1[,]n a b -上应用罗尔定理有1(,)(,),n a b a b ξ-∈⊂使得()()0n f ξ=.20．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=21．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差. 解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++= 5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+22．求下列函数在指定点的高阶导数：⑴()f x =求(0)f ''；⑵ 21()e ,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；⑶ 6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解： ⑴322()(1)f x x -'==- 5223()(1)22f x x x -''=--⋅ 故(0)0f ''=.⑵ 21()2e x f x -'=2121()4e ()8ex x f x f x --''='''= 故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. ⑶ 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+=故(5)(0)720107200f =⨯=，(6)(0)720f =23．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y 则2220220, , x a a a y y y x x x =''==-=-， 则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=-- 令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+= 得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ， 令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+= 得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ，故 2000012222.2S x y x y a ===24．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明：(0)0.f '= 证明：000()(0)()(0)(0)limlim ()(0)lim (0),x x x f x f f x f f x x f x f f x∆→∆→∆→∆--∆-'==∆∆-∆-'=-=--∆ 故(0)0.f '=25．当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？ 解：211111(1)lim lim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x x x →→-+==- ∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.26．当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200lim lim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.27．用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+ 证：(1)0ε∀>,要使 1sin sin 0x x x x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0x xε<-,故sin lim 0x x x→+∞=. (2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则 当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+, 故224lim 42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++, 只须122x ε<+，取2εδ=，则 当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+ 故21214lim 221x x x →--=+. (5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x x ε=≤<-, 只要取δε=，则 当00x δ<<-时，必有1sin 0x x ε<-, 故01lim sin 0x x x→=.28．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h h BC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.29．求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x x y y x x y y x x +-==+++==+∈解: (1)由11x y x -=+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1x y x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-, 所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e2()x y x -=-∈ R . (3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> . (4)由31cos y x =+得cos x =,又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤, 即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.30．试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，232(1)(22(1)x x x y x +--''=+ 令0y ''=，得1,22x x x =-=+=当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈--时0y ''>；当(22x ∈-时0y ''<；当(2)x ∈++∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2-+. 因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．无2．无3．无4．无5．无6．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无29．无30．无。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末检测试题

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末检测试题

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末检测试题第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1.已知集合{}02|2＜x x x A -=，{}210，，=B ，则=B A ▲. 2.若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为▲. 3.如图，若输入的x 值为3π，则相应输出的值为▲.4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为▲.5.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为▲.6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是▲.7.已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为▲. 8.已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为▲.9.已知函数)32sin()(π+=x x f （ ）π＜x ≤0，且21)()(==βαf f （ ）βα≠，则=+βα▲.10.已知)sin (cos αα，=m ，)12(，=n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)232sin(πα▲.11.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为▲. 12.已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为▲. 13.已知数列{}n a 中，a a =1（ ）20≤a ＜，⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n nn n n a a a a a ＞（ ）*N n ∈，记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n ▲.14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥.（1）求证：//DE 平面1ABC ； （2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC . 16.（本小题满分14分）已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（ ）0＞ω的周期为π.（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=Af ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积. 17.（本小题满分15分）如图，已知椭圆12222=+by a x （ ）0＞＞b a 的左、右焦点为1F 、2F ，P是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（ ）R ∈λ，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围. 18.（本小题满分15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy .（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=） 19.（本小题满分16分） 已知函数x e x ax x f )2()(2++=（ ）0＞a ，其中e 是自然对数的底数.（1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解. 20.（本小题满分16分）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （ ）*N m ∈，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ； （2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（ ）*N A ∈，若数列{}m b 中，1b ，2b ，3b 是公差为d （ ）0≠d 的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值.第二部分（加试部分）21.（本小题满分10分） 已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .22.（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（ ）R ∈ρ距离的最大值.23.（本小题满分10分）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率； （2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由. 24.（本小题满分10分）已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有310＜＜n a ； （2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a .参 考 答 案一、填空题1．{}12．3 3．124．144 5．4 6．257．31 8．59．76π10．725-11．312．1±13．1343 14．1(,]6-∞ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：（1）D 、E 分别为BC 、1CC 中点，1//DE BC ∴， (2)分DE ⊄平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC //DE ∴平面1ABC (6)分（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABCAD ⊂平面ABC 1CC AD ∴⊥ (8)分AB AC =，D 为BC 中点 AD BC ∴⊥，又1CC BC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，11面AD BCC B ∴⊥1BC ⊂平面11BCC B 1AD BC ∴⊥…………11分又11BC B D ⊥，1B D AD D =，1B D ，AD ⊂平面1AB D 1BC ∴⊥平面1AB D1BC ⊂平面1ABC ∴平面1AB D ⊥平面1ABC (14)分16．解：（1）1()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω++=+…………2分()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω=()sin(2)3f x x π∴=+4分又02x π≤≤， 得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，0sin(2)13x π≤+≤+ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为1]．………7分（2）()2Af=sin()3A π+=由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π=…………9分由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc =…………12分∴1sin 2ABC S bc A ∆= (14)分17．（1）22184x y +=12(2,0),(2,0)F F ∴-21OP F M F M k k k ∴===∴直线2FM的方程为：2)y x =-，直线1FM 的方程为：2)y x + (4)分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x =∴点M 的横坐标为65…………6分（2）设00(,),(,)M M P x y M x y2PO F M⊥，00(,)OP x y =2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx +=…………9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-= 解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-=…………12分0a x a -<<0()(0,)a a c x a c-∴=∈20a ac ac ∴<-< 解得：12e >综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2．…………15分18．解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-，代入抛物线方程解得：3200a =， …………3分令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米； …………5分（2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -=令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092hx h =-，则2100()922l h h =-，2292400lh l =- (9)分229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--………12分当20l <<时，'0S <；当40l <≤时，'0S >，即S在上单调减，在上单调增，S ∴在l =时取得最小值，此时l =，274h =答：当拱高为274米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．………15分19．解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++………2分令'()0f x = ，31,x =--323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= (4)分（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分2()(21)3令g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=>102a ∴<≤………8分②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a --上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤解得：11a ≤≤+112a ∴<≤ 综上，a的取值范围是(0,1+．………10分（3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++-令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-<………13分()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e-=>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-．………16分20．解：（1）1m =，则111a =≤11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤22b ∴=3m =，则119a =<，249a =<399a =≤33b ∴= (3)分（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=；1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ (5)分m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=；m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=； 221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩…………8分（3）依题意：2n n a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =，设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<， 同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t dt d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤<由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，…………10分当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d tt tt d t t -⨯= ， 21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d t t t t t d t t ++++-+⨯⨯=<不合题意，舍去； 当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t d t tt d t t t +--⨯= ， 211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=<不合题意，舍去； 当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d t tt d t t t -⨯= ， 211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，………12分此时12822125t t A ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+310b =47t ∴≤≤t为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A =，310b =10112272A ∴≤<1011222727A ∴≤<………14分当4t =时，11422125A ≤<∴无解当5t =时，12522125A ≤<∴无解当6t =时，13622125A ≤<13264125A ∴≤<当7t =时，14722125A ≤<∴无解13622125A ∴≤<*A N ∈64A ∴=或65A =综上：3d =，64A =或65．………16分-度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题Ⅱ参 考 答 案21．解：（1）设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''． 由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx nyy y'=+⎧⎨'=⎩…………5分 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦…………10分22．解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， (6)分圆心(0,4)到直线的距离为2d =，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． (10)分23．解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ． 则131()344P M =⨯=即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14．…………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下： ①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取0,,m m n 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n3110()4612412m nEm m n …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取0,,n m n创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯= 2110()3412123m n E n m n …………8分 当32m n>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当32m n 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等； 当32mn 时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32mn 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n 时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．…………10分24．（1）解：①当1n =时，114a =，有1103a << 1n ∴=时，不等式成立 …………1分 ②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a << 则当1n k =+时， 于是21113()33k k a a +-=- 103k a <<，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<< 所以当1n k =+时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a <<…………4分 （2）由（1）可得21113()33n n a a +-=- 两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+- 化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+-创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 …………7分133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --=，1213413n n a -∴=- 2n ≥时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-=，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n n n a -∴=⋅≥⋅- 11233344131313n n a a a +∴+++≥----．…………10分。

上海高一上学期期末数学试题(解析版)

上海高一上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．函数的定义域是________.2()log (3)f x x =-【答案】(3,)+∞【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，则x ﹣3＞0，即x ＞3，故函数的定义域为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，正确判断函数成立的条件是解决此类问题的关键． 2．不等式的解集为__________. 21x x ≥-【答案】{}12x x <≤【分析】利用分式不等式的解法求解即可.【详解】因为， 21x x ≥-所以，则，即，故， 201x x -≥-()2101x x x --≥-201x x -+≥-201x x -≤-所以，解得，故，()()21010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩121x x ≤≤⎧⎨≠⎩12x <≤所以的解集为. 21x x ≥-{}12x x <≤故答案为：.{}12x x <≤3．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭()f x x α=()0,∞+__________.α=【答案】-1【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函()f x x α=()0,∞+0α<()f x x α=数即可得答案.【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，()f x x α=()0,∞+所以，0α<所以， 12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为幂函数奇函数，且， ()f x x α=12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭所以，1α=-故答案为：-14．已知角的终边经过点，则___________.α(1,3)P -tan α=【答案】3-【分析】根据正切函数定义计算【详解】由题意． 3tan 31α==--故答案为：．3-5．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________. cm 2π10cm 2cm 【答案】## 52π5π2【分析】由扇形面积公式可直接求得结果. 【详解】扇形面积. 115102222S lr ππ==⨯⨯=故答案为：. 52π6．若，则________． 1sin cos 5αα+=sin 2α=【答案】 2425-【分析】直接将两边平方，结合二倍角公式计算可得； 1sin cos 5αα+=【详解】解：因为，所以，即1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=221sin +2sin cos cos 25αααα+=，即，所以 11+sin 225α=24sin 225α=-故答案为： 2425-7．方程的两个实根分别为，则__________.（结果表示成含20(0)x x m m +-=>12,x x 221212x x x x +=m的表达式）【答案】m 【分析】根据韦达定理运算求解.【详解】∵方程的两个实根分别为，则当时恒成立，可20(0)x x m m +-=>12,x x 140m ∆=+>0m >得， 12121x x x x m +=-⎧⎨=-⎩∴.()()22121212121x x x x x x x x m m +=+=-⨯-=故答案为：.m8．方程的解为______.()lg 21lg 1x x ++=【答案】2.【解析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩【详解】方程等价于，()lg 21lg 1x x ++=()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩所以，解得.()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩2x =故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9．函数的值域是_______. 121xy =+【答案】(0,1)【分析】由函数解析式导出，利用指数式的有界性，，即可求解y 的取值范围，即为值域. 12x y y-=【详解】由函数解析式，， 121,2x x y y y y-+=∴=，解得 120,0x y y->∴> 01y <<则值域为，(0,1)故答案为：(0,1)【点睛】指数函数，值域为，即恒成立.2x y =(0,)+∞20x >10．如果对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是____________.19x x a +++>【答案】(),8∞-【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a 的取值范围.19x x +++【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a 的取值()19198x x x x +++≥+-+=91x -≤≤-8a <范围是.(),8∞-故答案为：(),8∞-11．已知函数，若，且，则的取值范围是______．()ln f x x =0a b <<()()f a f b =2+a b【答案】()3,+∞【分析】由，可得，，得，所以()()f a f b =0a b <<01,1a b <<>ln ln a b -=1b a =22a b a a+=+，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围 2()(01)g x x x x=+<<【详解】的图象如图，()ln f x x =因为，()()f a f b =所以，ln ln a b =因为，0a b <<所以，，ln 0a <ln 0b >所以，01,1a b <<>所以，ln ln ,ln ln a a b b =-=所以，所以，ln ln a b -=ln ln ln()0a b ab +==所以，则， 1ab =1b a =所以， 22a b a a+=+令，则， 2()(01)g x x x x =+<<22()1x g x x x'-=-=当时，，01x <<()0g x '<所以在上递减，()g x (0,1)所以，()(1)123g x g >=+=所以，23+>a b 所以的取值范围为，2+a b ()3,+∞故答案为：()3,+∞12．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M ､m ，()()221202120211-++-=+x xx f x x []2022,2022-则___________.M m +=【答案】2【分析】，令()()221202120211-++-=+x xx f x x 220212021112x x x x -+-=++，易得函数为奇函数，则，从()[]220212021,202222,2021x xg x x x x -+-=∈-+()g x ()()max min g x g x =-而可得出答案.【详解】解：()()221202120211-++-=+x x x f x x 2220212021121x xx x x -+=++-+， 220212021112x xx x -+-=++令， ()[]220212021,202222,2021x xg x x x x -+-=∈-+因为， ()()22021202121x xg x g x x x -+---==-+所以函数为奇函数，()g x 所以，即，()()max min g x g x =-()()max min 0g x g x +=所以，()()()()max min max min 112f x f x g x g x +=+++=即.2M m +=故答案为：2.二、单选题13．已知，，都是实数，则“”是“”的（ ）a b c a b <22ac bc <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当时，若时不成立；a b <0c =22ac bc <当时，则必有成立，22ac bc <a b <∴“”是“”的必要不充分条件.a b <22ac bc <故选：B14．下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）A ．和y =2y =B ．和1y =0y x =C ．和y x =y =D ．和2log a y x =2log a y x =【答案】C【分析】如果函数的三要素中有一个不同，则两个函数不同；判断两个函数相同，需要判断定义域、对应关系相同.【详解】选项A ，函数的定义域为R ，定义域为，所以两个函数不同； y 2y =[)0+∞，选项A ，函数的定义域为R ，定义域为，所以两个函数不同；1y =0y x ={}|0x x ≠选项C ，因为，定义域都为R ，所以函数和y x ==y x =y =选项D ，函数的定义域为，定义域为，所以两个函数不同. 2log a y x ={}|0x x ≠2log a y x ={}|0x x >故选：C.15．函数的图像的对称性为（ ） 412x x y +=A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线对称y x =【答案】B 【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【详解】解：因为，所以， 4141()22222x x x x x x x f x -+==+=+()222(2)x x x x f x f x ---=+=+=所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．()f x y 故选：．B 16．若，则函数的两个零点分别位于区间 a b c <<()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--A ．和内B ．和内 (,)a b (,)b c (,)a -∞(,)a bC ．和内D ．和内(,)b c (,)c +∞(,)a -∞(,)c +∞【答案】A【详解】试题分析：，所以有零点，排除B ，D()()()()()()0,0f b b c b a f c c a c b =--=--(,)b c选项.当时，恒成立，没有零点，排除C ，故选A.另外，也可x c >()0f x >()()()0f a a b a c =-->知内有零点.(,)a b 【解析】零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是(,)a b (,)c a b ∈方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以[],ab·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.[],a b三、解答题17．已知集合. {}{}24(0),230A xx a a B x x x =-≥>=--<∣∣(1)若，求；3a =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围. B A ⊆a 【答案】(1) {}13xx <<∣(2)01a <≤【分析】（1）由不等式的解法，结合集合的运算求解即可；（2）由集合的包含关系得出实数的取值范围.a 【详解】（1）或，. {}{437A xx x x =-≥=≥∣∣}1x ≤{}{}223013B x x x x x =--<=-<<∣∣因为，所以. {}17A xx =<<∣{}13A B x x ⋂=<<∣（2）或，因为，， {}{4|4A x x a x x a =-≥=≥+∣}4x a ≤-B A ⊆443a +>>所以，即. 430a a -≥⎧⎨>⎩01a <≤18．（1）化简：.()()()()π3πcos πcos cos 2πsin 22sin πcos παααααα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-（2）已知，且在同一象限，求的值. 31sin ,cos 52αβ==-,αβ()cos αβ+【答案】（1）0；（2【分析】（1）根据诱导公式化简整理；（2）先根据三角函数值判断所在象限，进而利用平方,αβ关系可求，代入两角和的余弦公式运算求值.cos ,sin αβ【详解】（1）()()()()()()()π3πcos πcos cos 2πsin cos sin cos cos 22cos cos 0sin πcos πsin cos αααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+=+=-+=+---.（2）∵，且在同一象限，则为第二象限角， 31sin 0,cos 052αβ=>=-<,αβ,αβ∴，4cos =,sin 5αβ=-==故. ()413cos cos cos sin sin 525αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震I 级度量可定义为； r 2lg 23r I =+(1)若，求相应的震级；（结果精确到0.1级）61.210I =⨯(2)中国地震台网测定：2021年11月17日13时54分在江苏省盐城市大丰区海域发生5.0地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川8.0级地震的相对能量是大丰区8.0I 海域5.0级地震相对能量的多少倍？（结果精确到个位）5.0I 【答案】(1)6.1(2)31623【分析】（1）由里氏震级度量公式计算即可；（2）由公式解出，再代入数值计算即可. 2lg 23r I =+I 【详解】（1）当时，61.210I =⨯则有. 6222lg()2(lg125)2(1.085)2 6.11.213330r =+=++≈++=⨯所以相应的震级为级. 6.1（2）由，可得， 2lg 23r I =+36210r I -=所以. 3869928.0235695.022101010316231010I I ⨯-⨯-===≈所以汶川8.0级地震的相对能量是大丰区海域5.0级地震相对能量的倍.8.0I 5.0I 3162320．已知二次函数，．2()1=++f x x ax [1,2]x ∈-（1）如果函数单调递减，求实数的取值范围；()f x a （2）当时，求的最大值和最小值，并指出此时x 的取值；1a =()f x （3）求的最小值，并表示为关于a 的函数．()f x ()H a 【答案】（1）；（2）当时，，当时，；（3）(]4--∞，12x =-min 3()4f x =2x =max ()7f x =()H a =． 22,21,42452,4a a a a a a -≥⎧⎪⎪--<<⎨⎪⎪+≤-⎩【分析】（1）根据函数开口向上，对称轴为，进而结合题意得：，解不等式即可得2a x =-22a -≥答案；（2）由题知，进而根据二次函数性质即可得答案； 2213()124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭（2）根据题意，分，，三种情况讨论函数单调性求解最小值即可.4a ≤-42a -<<2a ≥【详解】解：（1）因为函数开口向上，对称轴为， 2()1=++f x x ax 2a x =-若函数在上单调递减，则，解得：. ()f x [1,2]x ∈-22a -≥4a ≤-故当函数单调递减，实数的取值范围是：. ()f x a (]4--∞，（2）当时，， 1a =2213()124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得最小值. 12x =-()f x min 3()4f x =当时，函数取得最大值.2x =()f x max ()7f x =（3）因为函数开口向上，对称轴为， 2()1=++f x x ax 2a x =-所以当，即：时，函数在上为单调递减函数，故22a -≥4a ≤-()f x [1,2]-；()()()min 225H a f x f a ===+当，即：时，函数在上为单调递增函数，故12a -≤-2a ≥()f x [1,2]-()()()min 12H a f x f a ==-=-；当，即时，函数在上为单调递减函数，在上为单调递增122a -<-<42a -<<()f x 1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦函数，故； ()()2min 124a a H a f x f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭综上，. ()H a =22,21,42452,4a a a a a a -≥⎧⎪⎪--<<⎨⎪⎪+≤-⎩【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值和单调性问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题第三问解题的关键在于由二次函数的单调性分，，三种情况讨4a ≤-42a -<<2a ≥论求解.21．设. 21()21x x f x -=+（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；()y f x =（2）求证：函数在R 上是严格增函数；()y f x =（3）若，求t 的取值范围.()2(1)10f t f t -+-<【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或．1t >2t <-【分析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用（1）（2）的结论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：()y f x =的定义域为，关于原点对称， 21()21x x f x -=+(,)∞∞-+ ()()2212112()()2112221x x x xx xx x f x f x --------====-+++∴为奇函数；()y f x =（2）证明：任取，且12,x x R ∈12x x < 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++ ()()()()()1212212212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---=-= ⎪++++++⎝⎭∵，12x x <∴，，， 21220x x >>12220x x -<2210x +>1210x +>第 11 页 共 11 页∴，即 ()()120f x f x -<()()12f x f x <∴函数在R 上是严格增函数()y f x =（2）∵在R 上是奇函数且严格增函数，()y f x =所以()()()2222(1)10(1)1111f t f t f t f t f t t t -+-<⇔-<--=-⇔-<-220t t ⇔+->，解得或 (2)(1)0t t ⇔+->1t >2t <-所以t 的取值范围是或．1t >2t <-。

高数a上册期末试题及答案

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高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。

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1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
第 7 页，共 7 页
9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )

上海高二数学第一学期期末复习卷A版(重点中学版)1(含解析)

上海高二数学第一学期期末复习卷A版(重点中学版)1(含解析)

高二数学第一学期期末复习卷1本卷说明：1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考，具体考查范围与难度系数由不同学校而定。

2、考查内容：数列与数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵和行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线与线性规划、圆锥曲线 一、填空题（每题3分，满分36分）1、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于________． 解析：a 2＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1， ∴a n ＝a 1＋ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫21⎝⎛⎭⎫32⎝⎛⎭⎫43…⎝⎛⎭⎫n n －1＝2＋ln n .2、数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.[解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3. 3、已知数列{a n }满足a s t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.4、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________.解析：a n ＝lg n 2＋3n ＋2n (n ＋3)＝lg(n 2＋3n ＋2)－lg [n (n ＋3)]＝[lg(n ＋1)－lg n ]－[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝[lg(n ＋1)－lg n ]＋[lg n －lg(n －1)]＋…＋(lg 2－lg 1)－{[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]＋[lg(n ＋2)－lg(n ＋1)]＋…＋(lg 4－lg 3)}＝[lg(n ＋1)－lg 1]－[lg(n ＋3)－lg 3]＝lg n ＋1n ＋3＋lg 3.5、已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于________．解析：由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．6、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于________．解析：BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ －3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．7、已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0. 若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．解析：以a 和b 分别为x 轴和y 轴正向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．8、在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知以A (2,2)为圆心，1为半径的圆与以B (m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4＜(m －2)2＋4＜16，所以－23＋2＜m ＜23＋2，且m ≠2. 答案：(2－23，2)∪(2,2＋23)9、若直线 的法向量恰好为直线 的方向向量，则实数m 的值为________.解析：m =1或－210、设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ，d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn ，又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.11、已知椭圆的焦点为双曲线x 216－y 29＝1的顶点，且经过抛物线x 2＝12y 的焦点，则椭圆的方程为________．解析：双曲线x 216－y 29＝1的顶点为(－4,0)，(4,0)．由题意，知椭圆的焦点为(－4,0)，(4,0)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝4.03)2(=++-my x m 03=--my x抛物线x 2＝12y 的焦点为(0,3)，由点(0,3)在椭圆上，可知点(0,3)为椭圆短轴的一个端点，故b ＝3. 所以a 2＝b 2＋c 2＝32＋42＝25. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.12、已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且NF ＝32MN ，则∠NMF ＝________.解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则NF ＝NH ＝32MN ，如图． ∴cos ∠MNH ＝32，∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.二、选择题（每题3分，满分12分）1、已知P 为锐角三角形ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA ＋3PC |的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. [自主解答] 因为PC ＝AC －AP ，所以|PA ＋3PC |2＝|3AC －4AP |2＝9AC 2－24AP ·AC ＋16AP 2.设|AP |＝x ，则|PA ＋3PC |2＝16×9－48x ＋16x 2＝16(x 2－3x ＋9)．因为三角形ABC 是锐角三角形，所以0<x <8，则当x ＝32时，|PA ＋3PC |2取得最小值为16×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫322－3×32＋9＝108，故|PA ＋3PC |的最小值为108＝6 3.2、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a ＝________.A. 3B. 4C. 5D. 6⎝⎛⎭⎫11－12＋解析：依框图知：当k ＞a 时，S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1.当S ＝95时，k ＝4，接着继续计算“k ＝k ＋1”，所以4≤a ＜5.那么，a =43、已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是（ ）．A. B. C. D.33363924252628解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)．因为P 到此抛物线准线的距离d 1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，所以d 1＋d 2的最小值为点F 到直线x ＋y －10＝0的距离|－2＋0－10|2＝6 2.4、若实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1，0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，已知点N (3，3)，则线段MN 长度的最大值是（ ）．A.5＋ 2B. 5－ 2C.5D.62,解析：由题可知2b ＝a ＋c ，∴直线方程为2ax ＋(a ＋c )y ＋2c ＝0，即a (2x ＋y )＋c (y ＋2)＝0，∴动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点A (1，－2)．设点M (x ，y )，由MP ⊥MA 可求得点M 的轨迹方程为圆Q ：x 2＋(y ＋1)2＝2，故线段MN 长度的最大值为|QN |＋r ＝5＋ 2.三、解答题（本大题满分44分）1、已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＝16且S n ＝2S n －1＋n ＋4(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项a n ；(2)令b n ＝na n ，求{}b n 的前n 项和T n ，并判断是否存在唯一不等于1的n 使T n ＝22n －17成立？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由已知S n ＝2S n －1＋n ＋4，可得S n －1＝2S n －2＋n ＋3(n ≥3，n ∈N *)，两式相减得，S n －S n －1＝2(S n －1－S n －2)＋1， 即a n ＝2a n －1＋1，从而a n ＋1＝2(a n －1＋1)，当n ＝2时，S 2＝2S 1＋6，则a 2－a 1＝6，又a 1＋a 2＝16，所以a 1＝5，a 2＝11. 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＝2(a n －1＋1)，n ≥2，n ∈N *. 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1a n －1＋1＝2(n ≥2，n ∈N *)，即数列{}a n ＋1是以6为首项，2为公比的等比数列，则a n ＋1＝6·2n －1，故a n ＝3×2n －1.(2)由(1)，知T n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n )＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6，T n －(22n －17)＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2－22n ＋23＝3(n －1)·2n ＋1－12(n 2＋45n －46)＝12(n －1)[6·2n ＋1－(n ＋46)]， 令f (n )＝6·2n ＋1－n －46，因为f (n ＋1)－f (n )＝6·2n ＋1－1>0，所以f (n )单调递增，观察可知f (2)＝6·23－(2＋46)＝0，所以存在唯一不为1的n 使T n ＝22n －17成立，此时n ＝2. 2、已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线． 解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 3、已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．4、已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6，6)，C (－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的点方向式方程，并写出线段BC 的中垂线的点法向式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线． 因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式由方程为6x －8y －13＝0， 截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式由方程为7x －y －11＝0，点方向式方程略.5、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 6、已知：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且 ，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得AC ＝BC ？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，c a 2=设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1.∵AC ＝BC ，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ≤12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l .。

上海市高一上学期期末数学试题(解析版)

上海市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 函数__________．()f x =【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，. 1210,2x x -≥≥2. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________． 【答案】 (){},0,0,R x y x y y ∈【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答. 【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是. (){},0,0,R x y x y y ∈故答案为： (){},0,0,R x y x yy ∈3. 集合，，若，则_____________．{}2,3x A ={},B x y ={}3A B ⋂=A B ⋃=【答案】{}1,2,3【解析】【分析】根据交集运算得出.,x y 【详解】若，则，，所以，所以．{}3A B ⋂=33x =3y =1x ={}1,2,3A B = 故答案为：{}1,2,34. 已知幂函数的图像经过点，则_____________．()y f x =()4,2()3f =【解析】【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答.()f x 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即()f x x α=R α∈(4)42f α==12α=12()f x x =，所以.(3)f =5. 已知方程的两个根为，则_____________．220x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理计算作答.【详解】显然方程有两个实根，它们为，则，220x x +-=12,x x 12121,2x x x x +=-=-所以． ()()2212211212212x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：26. 用反证法证明命题：“设x ，．若，则或”吋，假设的内容应该是R y ∈2x y +>1x >1y >_____________．【答案】且1x ≤1y ≤【解析】【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若，则或”的结论是“或”，其否定为“且”， 2x y +>1x >1y >1x >1y >1x ≤1y ≤所以假设的内容应该是：且.1x ≤1y ≤故答案为：且1x ≤1y ≤7. 已知函数在区间上是严格减函数，则实数a 的取值范围是_____________．()224f x x ax =-+[]1,2【答案】[)2,+∞【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性求解作答.【详解】函数在上是严格减函数，依题意，， ()224f x x ax =-+(,]a -∞2a ≥所以实数a 的取值范围是.[)2,+∞故答案为：[)2,+∞8. 若关于x 的不等式的解集是R ，则实数k 的取值范围是______． ()2140x k x +-+>【答案】(3,5)-【解析】【分析】根据不等式的解集是R ，可得，解不等式可得答案. ()2140x k x +-+>2(1)440k ∆=--⨯<【详解】关于x 的不等式的解集是R ， ()2140x k x +-+>则方程的判别式 ,解得， ()2140x k x +-+=2(1)440k ∆=--⨯<35k -<<即实数k 的取值范围是，(3,5)-故答案为：(3,5)-9. 已知偶函数，，且当时，，则_____________．()y f x =x ∈R 0x ≥()3221x f x x =+-()2f -=【答案】19【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义直接计算作答.【详解】R 上的偶函数，当时，， ()y f x =0x ≥()3221xf x x =+-所以. ()()3222222119f f -==⨯+-=故答案为：1910. 若则的最小值为_________.log 41,a b =-a b +【答案】1【解析】【详解】试题分析：由得， log 41,a b =-104a b =>所以（当且仅当即时，等号成立） 114a b b b +=+≥=14b b =12b =所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.11. 甲、乙两人解关于x 的不等式，甲写错了常数b ，得到的解集为，乙写错了常20x bx c ++<()3,2-数c ，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________．()3,4-【答案】()2,3-【解析】【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答.,b c 【详解】依题意，，，即，326c =-⨯=-341b -=-+=1b =-因此不等式为：，解得，20x bx c ++<260x x --<23x -<<所以原不等式的解集为． ()2,3-故答案为：()2,3-12. 已知函数的定义域为D ，对于D 中任意给定的实数x ，都有，，且()y f x =()0f x >x D -∈．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．()f x -⋅()1f x =①若，则；0D ∈()01f =②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值； 3x =()f x 3x =-()f x 15③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．()f x ()0,∞+()f x (),0∞-【答案】①②【解析】【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.【详解】对于①，，有，则，又，所以，①0D ∈0D -∈2[(0)](0)(0)1f f f =-⋅=(0)0f >()01f =正确；对于②，依题意，，，x D ∀∈0()(3)5f x f <≤=则，，即当时，取得最小值，②正确； x D -∈11(3)(3)()(3)()5(3)f f f x f f x f -⋅-=≥==-3x =-()f x 15对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数， (,0)x ∈-∞(0,)x -∈+∞1()()f x f x =-()f x -(,0)-∞因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误， 1()f x -(,0)-∞()f x (,0)-∞所以3个命题中是真命题的有①②.故答案为：①②二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a 2<－ab B. |a |<|b |C. D. 11a b >1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D ，由指数函数的单调性可知选项C 正确.【详解】法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a|＝|b|，，所以A ，B ，1122a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a<0，ab <0，所以，所以一定成立，故选110b a a b ab --=>11a b >C. 法二：因为a >0>b ，所以，所以一定成立， 110a b >>11a b>故选：C.【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．14. 函数的零点所在的区间可以是（ ） ()357f x x x =+-A.B. C. D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【解析】 【分析】利用零点存在性定理，可得答案.【详解】，，，()070f =-<()115710f =+-=-<()28107110f =+-=>，，()327157350f =+-=>()464207770f =+-=>由，则函数的零点存在的区间可以是，()()120f f <()f x ()1,2故选：B.15. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ）0a =x 21ax b ->∅A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系.x 21ax b ->∅a 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合x 21ax b ->∅0a =21b ->∅题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为0a >21ax b >+21b x a +>a<0，则，不符合题意；综上， 21ax b >+21b x a +<0a =所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.0a =x 21ax b ->∅故选：C .16. 设集合，，，{}21|10P x x ax =++>{}22|20P x x ax =++>{}21|0Q x x x b =++>其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命{}22|20Q x x x b =++>,a b ∈R 1q a 1P 2P 题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（ ）2q b 1Q 2Q A. 命题是真命题，命题是假命题1q 2q B. 命题是假命题，命题是真命题1q 2q C. 命题、都是真命题1q 2q D. 命题、都是假命题1q 2q 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.1q 1Q 2Q 2q 【详解】由于，即时，一定成立，故是的22211x ax x ax ++=+++210x ax ++>220x ax ++>1P 2P 子集，因此命题是真命题.1q 令，； 20x x b ++=114104b b ∆=-⨯⨯<⇒>令，.从而可知，当时，，此时，是的220x x b ++=44101b b ∆=-⨯⨯<⇒>1b >12Q Q R ==1Q 2Q 子集，故命题是假命题.2q 故选：A三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 解下列不等式：（1）； 212302x x -+-≤（2）. 5331x x +-≤【答案】（1）；（2）. ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭[3,1)-【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可；（2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可. 5331x x +-≤(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩【详解】（1）由可得： ， 212302x x -+-≤20461x x ≤-+解得：， x x ≥故解集为： ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）由化简为：， 5331x x +-≤531x x +--3≤0即，等价于， 261x x +-≤0(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩解得，故解集为.31x -≤<[3,1)-18. 已知全集，集合，．U =R []2,10A =-{}2B x x m =-≤（1）若，求；10m =A B （2）若，求实数m 的取值范围；A B ⋂=∅（3）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】（1）；()()212,-∞-+∞ （2）；()()212,-∞-+∞ （3）.[]0,8【解析】【分析】（1）把代入，求出集合B ，再利用并集、补集的定义求解作答.10m =（2）化简集合B ，利用交集的结果列出不等式，求解作答.（3）利用必要不充分条件的意义，结合集合的包含关系求解作答.【小问1详解】当时，，则，10m ={}[]28,12B x x m =-≤=[]2,12A B =- 所以.()()212,A B =-∞-+∞ 【小问2详解】 ，{}[]22,2B x x m m m =-≤=-+因为，则或，解得或，A B ⋂=∅210m ->22m +<-12m >4m <-所以m 的取值范围为．()()212,-∞-+∞ 【小问3详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则有，x A ∈x B ∈B A ⊂由（2）知，或，解得或，因此， 21022m m +≤⎧⎨-+>-⎩21022m m +<⎧⎨-+≥-⎩08m <≤08m ≤<08m ≤≤所以实数m 的取值范围是.[]0,819. 设常数，函数． 0a ≥()22x x a f x a+=-（1）若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；2a =()y f x =[)2,+∞（2）根据a 的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．()y f x =【答案】（1）函数在区间上是严格减函数，理由见解析()y f x =[)2,+∞（2）具体见解析【解析】【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性；()y f x =（2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可.a 【小问1详解】 当，， 2a =()241222x x x a f x a +==+--任取，有，所以 122x x ≤<1202222x x <-<-12442222x x >--所以， ()()12f x f x >所以函数在区间上是严格减函数()y f x =[)2,+∞【小问2详解】①当时，，定义域为，故函数是偶函数；0a =()()1R f x x =∈x ∈R ()y f x =②当时，，定义域为， 1a =()2121x x f x +=-()(),00,∞-+∞U ，故函数为奇函数； ()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---()y f x =③当且时，定义域为关于原点不对称，0a >1a ≠()()22,log log ,a a -∞+∞ 故函数既不是奇函数，也不是偶函数，()y f x =所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，0a =()y f x =1a =()y f x =0a >1a ≠函数是非奇非偶函数.()y f x =20. 某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%．（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案()y f x =要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条()5x f x ≤奖励方案；（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()3030x f x =+（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研()45g x =-课题组最多可以获取多少奖金？【答案】（1）答案见解析；（2）不符合；（3）195万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答.（2）根据给定函数，逐一判断方案中的3个要求是否都满足作答.（3）根据给定的函数模型，求出a 的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答.【小问1详解】“奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，[100,1600]x ∈是的增函数；()y f x =x “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值.[10,200]y ∈【小问2详解】函数在上是增函数，， ()3030x f x =+[100,1600]x ∈100250(100),(1600)33f f ==函数的值域， ()f x 100250[,][10,200]33⊆由得：，解得，因此对，不成立， ()5x f x ≤30305x x +≤180x ≥[100,180)x ∈()5x f x ≤即对，不等式不恒成立， [100,1600]x ∀∈()5x f x ≤所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求. ()3030x f x =+【小问3详解】因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，()45g x =-()g x [100,1600]x ∈有，0a >，，解得， min ()(100)104510g x g a ==-≥max ()(1600)4045200g x g a ==-≤114928a ≤≤由，不等式恒成立，得， [100,1600]x ∀∈()5x g x ≤4555x a ≤⇔≤，即时取等号， [10,40]30≥==225x =于是，解得，从而， 530a ≤6a ≤1162a ≤≤因此当，时，，当且仅当且1162a ≤≤[100,1600]x ∈()4545195g x ≤-≤-=6a =时取等号，且，1600x =195200<所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.。

上海高等数学试题及答案

上海高等数学试题及答案

上海高等数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在x=0处连续，则下列说法正确的是：A. 极限lim(x→0) f(x)存在B. 极限lim(x→0) f(x) = f(0)C. 极限lim(x→0) f(x)不存在D. 极限lim(x→0) f(x) = 0答案：B2. 以下哪个选项是函数f(x) = x^2 + 3x - 4的导数？A. 2x + 3B. 2x^2 + 3C. x^2 + 3xD. 3x^2 + 6x答案：A3. 已知函数f(x) = sin(x)，则其不定积分为：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. x + C答案：B4. 以下哪个选项是函数f(x) = e^x的原函数？A. e^x + CB. ln(x) + CC. e^(-x) + CD. x^2 + C答案：A5. 以下哪个选项是函数f(x) = x^3的二阶导数？A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 9x答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^2在x=1处的导数为______。

答案：22. 函数f(x) = cos(x)的不定积分为______。

答案：sin(x) + C3. 函数f(x) = ln(x)的导数为______。

答案：1/x4. 函数f(x) = e^(2x)的原函数为______。

答案：(1/2)e^(2x) + C5. 函数f(x) = x^3的三阶导数为______。

答案：6x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 2/3。

然后计算二阶导数f''(x) = 6x - 6，代入x = 1得到f''(1) = 0，代入x = 2/3得到f''(2/3) = -2，因此x = 2/3是极大值点，x = 1是极小值点。

【沪科版】高中数学必修一期末试卷附答案(4)

【沪科版】高中数学必修一期末试卷附答案(4)

一、选择题1．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．函数1,(0)()0,(0)x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ） A ．2b <-且0c > B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0cD ．2b ≥-且0c3．已知函数()21,04,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x a =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<），则123ax x x ++的取值范围是( ) A ．()2,0-B ．[]2,0-C ．[]2,0-D ．(]2,0-4．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（ ）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减5．已知函数()sin 2f x x x =-，且()0.3231ln ,log ,223a fb fc f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下结论正确的是 A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>6．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R 8．定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度的最大值为（ ）A ．1B ．74C ．114D ．729．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．710．已知集合2{|120}A x x x =--≤, {|211}B x m x m =-<<+.且A B B =，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．[-1，2) B ．[-1，3]C ．[-2，+∞)D ．[-1，+∞)11．已知集合A ={x |-3≤x -1＜1}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，若C ⊆A ∩B ，则满足条件的集合C的个数是（ ）. A ．7B ．8C ．15D ．1612．对于集合A 和B ，令{,,},A B x x a b a A b B +==+∈∈如果{2,},S x x k k Z ==∈{}|21,T x x k x Z ==+∈，则S T +=（ ）A ．整数集ZB ．SC ．TD ．{41,}x x k k Z =+∈二、填空题13．已知函数()333xxf x -=+-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________. 14．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.15．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.16．下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)； ②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =； ④11()()122xf x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1. 17．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则12020f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是______________. 18．若关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围是______. 19．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉，则同时满足条件①②③的集合A 的个数为______20．设集合A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义: 0,,0,1,,1,x A x B m n x A x B ⎧∉∉⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩.①若A B ⊆；则对任意(),10x R m n ∈-=；②若对任意,0x R mn ∈=，则A B φ⋂=；③若对任意,1x R m n ∈+=，则A ，B 的关系为R A C B =.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号)三、解答题21．已知函数()11f x x=-，实数a 、b 满足a b <． （1）在下面平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若函数在区间[],a b 上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求+a b 的值；（3）若函数()f x 的定义域是[],a b ，值域是[](),0ma mb m >，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）设()44log 23xg x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.23．已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数.（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有()()420xxf f λ+≥成立.求实数λ的取值范围.24．已知：2256x ≤且21log 2x ≥ （1）求x 的取值范围；（2）求函数f （x）＝2log 22x ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 25．已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数； （3）求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值. 26．已知函数()()2log 4f x x =-的定义域为集合A ，集合{}211B x m x m =-≤<+.（1）当0m =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若AB =∅，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数()220y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()20xy x e =≥ 交点个数即可．如图所示：当1x =时，201x e<< 观察图象可得：它们有2个交点． 故答案选C点睛：本题主要考查了函数的性质运用，理解题目中两点都在函数图象上，且关于原点对称的意思，结合函数图象即可得出结果2．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的方程的根进行分析，得到五个根的情况，从而判断出0c ，之后利用()f x b =-有四个根，结合函数图象求得结果. 【详解】当0x =时()0f x =，当0x =为()()20fx bf x c ++=的一个根时可得0c.所以()()20f x bf x c ++=即()()20f x bf x +=有4个不同的根， ()0f x ≠，()f x b ∴=-有4个根.0x ≠时()11122f x x x x x x x=+=+≥=，图象如图所示：由图可知22b b ->⇒<-.综上可得2,0b c <-=. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的个数判断参数的取值范围的问题，充要条件的判断，在解题的过程中，注意数形结合思想的应用，属于中档题目.3．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，由函数()f x 的图象与直线y a =的交点得123,,x x x 的范围与关系，从而可求得123ax x x ++的取值范围． 【详解】函数()y f x a =-的零点就是函数()y f x =的图象与直线y a =的交点的横坐标，作出函数()y f x =的图象，作出直线y a =，如图，由图可知122x x +=-，由241x =得12x =（12x =-舍去），∴3102x <≤，234x a =，∴23123334224(2,0]x ax x x x x ++=-+=-+∈-． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是掌握转化与化归思想，函数零点转化为函数图象与直线的交点，由数形结合思想确定零点的性质，得出结论．4．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数； 因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.5．D解析：D 【解析】因为()cos 20f x x '=-<，所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数，又因为0.3213log 0,ln ln 1,12232e <<=<<，即0.3213log ln 232<<，所以由函数的单调性可得：0.3213(log )(ln )(2)32f f f >>，应选答案D ．6．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.7．A解析：A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.8．B解析：B 【分析】根据定义作出函数()f x 的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】其中(1,1)A ，(3,3)B ，即()233,133313x x x f x x x x ⎧--=⎨-+⋅<<⎩或，当3()4f x =时，当3x 或1x 时，由33|3|4x --=，得9|3|4x -=，即34C x =或214G x =，当7()4f x =时，当13x <<时，由27334x x -+=，得52E x =，由图象知若()f x 在区间[m ，]n 上的值域为3[4，7]4，则区间[m ，]n 长度的最大值为537244E C x x -=-=，故选：B ． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 9．A解析：A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 10．D解析：D 【分析】 先求出集合A ,由A B B =,即B A ⊆,再分B φ=和B φ≠两种情况进行求解.【详解】由2120x x --≤,得34x -≤≤. 即[3,4]A =-. 由AB B =,即B A ⊆.当B φ=时，满足条件,则211m m -≥+解得2m ≥.当B φ≠时，要使得B A ⊆，则12121314m m m m +>-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩.解得：12m -≤<.综上满足条件的m 的范围是：1m ≥-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数范围问题，考查分类讨论思想，属于中档题.11．D解析：D 【分析】推导出C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C 的个数． 【详解】∵集合A ={x |-3≤x -1＜1}={x |-2≤x ＜2}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}， ∴满足条件的集合C 的个数是：24=16． 故选：D ． 【点睛】本题考查满足条件的集合C 的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．C解析：C 【分析】由题意分别找到集合S ,T 中的一个元素，然后结合题中定义的运算确定S T +的值即可. 【详解】由题意设集合S 中的元素为：2,k k Z ∈，集合T 中的元素为：21,m m Z +∈， 则S T +中的元素为：()22121k m k m ++=++， 举出可知集合S T T +=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】将函数（且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象利用图象【详解】所以为偶函数设则因为所以即因为所以所以所 解析：27a ≥【分析】将函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点转化为函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点，再根据函数()f x 的奇偶性和单调性作出函数|()|f x 的图象与函数log (2)a y x =+的图象，利用图象 【详解】()333()x x f x f x --=+-=，所以()f x 为偶函数，设120x x ≤<，则112212()()333333x x x xf x f x ---=+---+12121(33)(1)3x x x x +=--，因为12,x x <所以1233x x <，即12330x x -<，因为120x x ≤<，所以120x x +>，所以1231x x +>，所以121103x x +->，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在[0,)+∞上递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上递减， 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =-，因为函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，所以函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点， 作出两个函数的图象如图：由图可知，log (02)(0)log (12)(1)1a a f f a ⎧+<⎪+≤⎨⎪>⎩，即log 211log 331a a a <⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，解得27a ≥.故答案为：27a ≥. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解14．4【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数解析：4根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±，当0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-+=--的图像，即可求解.【详解】241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±，1220,4223,-<-+<-<--<-0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.15．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型 解析：[)0,4由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.16．①②④【分析】①根据指数函数的性质进行判断②根据对数的运算法则进行判断③根据函数的运算性质进行运算④根据偶函数的定义进行判断⑤根据集合关系利用排除法进行判断【详解】①当时（1）则函数的图象经过定点；解析：①②④ 【分析】①根据指数函数的性质进行判断，②根据对数的运算法则进行判断，③根据函数的运算性质进行运算，④根据偶函数的定义进行判断，⑤根据集合关系，利用排除法进行判断． 【详解】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确， ②已知2log 3x =，843y=，则2823y=，282log 3y =， 则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确， ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-， 则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)xx x f x x x +=-=--， 则122112()?··()2(12)2(21)2(12)x x xx x x f x x x x f x --+++-=-=-==---， 即()f x 为偶函数，故④正确，⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误， 故正确的是①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数的性质，函数奇偶性的判断，以及对数的运算法则，综合性较强，涉及的知识点较多．17．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f （x ）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f （x ）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x ∈（0+∞）都有ff （x ）﹣＝2可设f （x ）﹣＝c 故f （x ）＝+c解析：2021 【分析】由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解． 【详解】已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣1x]＝2， 可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1c＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1x+1， 则f （12020）＝2021． 故答案为：2021 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．18．【分析】由题意可知关于的不等式在上有解作出函数和函数的图象考虑直线与函数的图象相切以及直线过点数形结合可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解即关于的不等式在上有解作出两函数图象当由与相切时解析：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意可知关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出函数2y x a =-和函数222y x =-的图象，考虑直线2y x a =-与函数222y x =-的图象相切，以及直线()2y x a =--过点()0,2，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，即关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出两函数2y x a =-，222y x =-图象，当由2y x a =-与222y x =-相切时，则2222x a x -=-，即22220x x a +--=，()4828200a a ∆=++=+=，解得52a =-.由()2y x a =--过点()0,2得2a =.由图可知5142a -<<，因此，522a -<<，即实数a 的取值范围为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用含绝对值的不等式在区间上有解求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．8【分析】由条件可得：当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的补集；3属于的补集时6属于；而元素5没有限制【详解】由①；②若则；③若则当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的解析：8 【分析】由条件可得：当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4UA ∉，即4A ∈，但元素3与集合A的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制． 【详解】由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉．当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4UA ∉，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ； 而元素5没有限制．{1,4,6},{2,3,5},{2,3},{1,4,5,6},{1,3,4},{2,4,5},{2,A ∴=6},{1,3,4,5}，同时满足条件①②③的集合A 的个数为8个． 故答案为：8．【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．①②③【分析】对于①按照和两种情况讨论可得①正确;对于②根据不可能都为1可得不可能既属于又属于可得②正确;对于③根据中的一个为0另一个为1可得时必有或时必有由此可知③正确【详解】对于①因为所以当时根解析：①②③ 【分析】对于①,按照x A ∈和x A ∉两种情况讨论,可得①正确;对于②,根据,m n 不可能都为1,可得x 不可能既属于A ,又属于B 可得②正确;对于③,根据,m n 中的一个为0,另一个为1,可得x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,由此可知③正确. 【详解】对于①,因为A B ⊆,所以当x A ∉时,根据定义可得0m =,所以(1)0m n -=, 当x A ∈,则必有x B ∈,根据定义有1n =,所以(1)0m n -=, 故对于任意x ∈R ,都有(1)0m n -=,故①正确;对于②,因为对任意,0x R mn ∈=,所以,m n 中不可能都为1,即x A ∈和x B ∈不可能同时成立,所以A B φ⋂=,故②正确;对于③,因为对任意,1x R m n ∈+=,所以,m n 中的一个为0,另一个为1,即x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,所以R A C B =,故③正确.综上所述: 所有正确命题的序号为:①②③. 故答案为①②③ 【点睛】本题考查了元素与集合,集合与集合之间的关系,对新定义的理解能力,属于中档题.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）1；（3）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，进而可作出函数()f x 的图象； （2）分别解方程()13f x =和()3f x =，结合图象可得出a 、b 的值，进而可求得结果； （3）由题意可知函数()f x 在区间[],a b 上单调递增，分析得出方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得()(]()() 11,0,11111,,01,xxf xxxx⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈-∞⋃+∞⎪⎩，则由图形变换可画出函数图象，如图：（2）当()13f x=时，此时1113x-=，解得32x=或34x=；当()3f x=时，此时113x-=，解得12x=-或14x=.由（1）中的图象可知，若使得函数()f x在区间[],a b上的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则[](),0,a b⊆+∞，由图象可得1344a b==，，所以1a b+=；（3）因为函数()f x的定义域是[],a b，值域是[](),0ma mb m>，分以下几种情况讨论：①若0a b<<，则0ma mb<<，由图象可知，函数()f x在[],a b上单调递增，函数()f x在[],a b上的值域为()(),f a f b⎡⎤⎣⎦，由图象可知()()f af b⎧>⎪⎨>⎪⎩，不合乎题意；②若01a b<<<，则函数()f x在[],a b上单调递减，所以函数()11f xx=-在[],a b上的值域为()(),f b f a⎡⎤⎣⎦，则()()1111f b mabf a mba⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，上述两个等式相减得1mab=，将1mab=代入11mab-=可得10，矛盾；③若01a b <<≤，则[]0,ma mb ∈，而0ma >，0mb >，矛盾； ④若1b a >≥，函数()f x 在[],a b 上单调递增，又函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()f a ma fb mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111ma a mbb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则a 、b 为方程11mx x-=的两个根，即210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等实根， 可设()21g x mx x =-+，则有()14010112m g m m⎧⎪∆=->⎪=≥⎨⎪⎪>⎩，解得104m <<，所以实数m 的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 22．（1）12k =-；（2）{}()31,-+∞.【分析】（1）根据偶函数得到()()f x f x =-，化简得到441log 241x x x kx -+==-+，解得答案.（2）化简得方程142223xx x a a +=⋅-，设20xt =>得到()241103a t at ---=有且仅有一个正根，考虑1a =和1a ≠两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-，∴()()44log 41log 41xxkx kx -++=+-，441log 241x x x kx -+==-+，即2x kx =-对一切x ∈R 恒成立，∴12k =-.（2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，即方程()4414log 41log 223xx x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根. 化简得：方程142223xx x a a +=⋅-有且只有一个实根. 令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根， 当1a =时，34t =-，不合题意； 当1a ≠且()244103a a ⎛⎫∆=+-= ⎪⎝⎭，解得34a =或3a =-. 若34a =，12t =-，不合题意；若3a =-，12t =满足； 当1a ≠且()244103a a ⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭时，即34a >或3a <-且101a -<-，故1a >； 综上，实数a 的取值范围是{}()31,-+∞.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键. 23．（1）22m n =⎧⎨=⎩；（2）1λ≥-. 【分析】（1）根据()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-即可求解实数m ，n 的值；（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围. 【详解】（1）当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦，因为()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()()1122f x x n m x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴-=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. 2020m n -=⎧∴⎨-=⎩，22m n =⎧∴⎨=⎩， 又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩，综上：22m n =⎧∴⎨=⎩. （2）40x >，20x >，原不等式化为11242222042xx xxλλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令122xx t =+，则2t ≥， 原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥，1λ∴≥-合理；②当22λ->时，即4<-λ时，()n2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然不成立.综上实数λ的取值范围为：1λ≥-. 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，奇函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档.24．（18x ；（2）min max 1(),()24f x f x =-= 【分析】（1）利用指数与对数不等式求出x 的范围，求出交集即可．（2）通过x 的范围求出log 2x 的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即可． 【详解】（1）由2x ≤256得x≤8，21log 2x >得2,28x x ∴.（2）由（18x 得21log 32x ，f （x ）＝2log 2x ⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭＝（log 2x ﹣log 22）()2=（log 2x ﹣1）（log 2x ﹣2）＝2231log 24x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当log 2x ＝32，f （x ）min ＝﹣14；当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换元，配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．25．（1）()()20f x x x x=-+≠；（2）证明见解析；（3）()max 1f x =-，()min 235f x =-. 【分析】 （1）将点坐标代入解析式，求出,a b 的值；（2）设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，判断()()12f x f x >即可；（3）利用函数的单调性，将端点值代入，即可得答案；【详解】（1）由()f x 的图象过A 、B ， 则1212a b b a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ()()20f x x x x=-+≠. （2）证明：设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <， ∴()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2121122112122=2x x x x x x x x x x x x --+-+= 由1x ，()20,x ∈+∞，得120x x >，1220x x +>. 由12x x <，得210x x ->. ()()12 0f x f x ∴->，即()()12f x f x >.∴函数()f x 在()0,∞+上为减函数.（3）由（2）知函数为减函数，∴()()max 21f x f ==-，()()min 2355f x f ==-. 【点睛】 利用待定系数法求函数的解析式，利用定义证明函数的单调性注意取值的任意性，及作差、因式分解、判断符号的步骤.26．（1）[)1,4AB =-（2）3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】 （1）计算得到142A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，[)1,1B =-，求并集得到答案. （2）讨论B =∅和B ≠∅两种情况，分别计算到答案.（3）讨论B =∅和B ≠∅两种情况，分别计算到答案.【详解】（1）由40210x x ->⎧⎨->⎩，解得142A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，当0m =时，[)1,1B =-， 所以[)1,4A B =-.（2）当B =∅时，211m m -≥+，2m ≥，符合B A ⊆.当B ≠∅时，根据B A ⊆得211121214m m m m -<+⎧⎪⎪->⎨⎪+≤⎪⎩，解得324m <<. 综上所述，m 的取值范围是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （3）当B =∅时，211m m -≥+，2m ≥，符合A B =∅.当B ≠∅时，211112m m m -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩或211214m m m -<+⎧⎨->⎩，解得12m ≤-. 综上所述，m 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了集合的并集，根据集合包含关系求参数，根据交集结果求参数，意在考查学生对于集合运算的综合应用.。

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1
一、填空题 （每格3分，共15分）
1、884231lim ________322
x x x x x →∞-+=+-. 2、若函数sin 0()20kx x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在0x =处连续，则_____k =.
3、设ln y x x =，则()1_____________y ''=.
4
、设是()f x 的一个原函数，则()21xf x dx -=⎰_____________.
5、微分方程20y y '''-=的通解为___________.
二、选择题（每题3分，共15分）
1、函数()f x 在点0x x =连续是函数在该点可导的 （ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件
2、函数211
x y x -=-的间断点1x =的类型是 （ ）. （A ）第一类可去间断点 （B ）第一类跳跃间断点
（C ）第二类无穷间断点 （D ）第二类震荡间断点
3、函数22y x x =-在区间[]0,2上满足罗尔定理条件的点ξ= （ ）.
（A ） 3 （B ）2 （C ）1 （D ）0
4、下列式子中正确的是 （ ）.
（A) 210
0x d e dx dx =⎰ （B) 22x x d e e c =+⎰ （C ）221x t x d e dt e c dx =+⎰ （D) 22x x d e dx e c dx
=+⎰. 5、下列反常积分中收敛的是 （ ）. （A ）0x e dx +∞⎰
（B ）1ln x dx x +∞⎰ （C
）1-⎰ （D ）121dx x --∞⎰
三、计算题（每题6分，共36分）
1、 ()
02lim ln 12x x
x e e x x -→--+
2、 21lim(tan )cos x x x
π
→-
3、cos x y x = ()0x >，求1x dy
=.
4、23t t x e y e
-⎧=⎨=⎩，求22d y dx
5、()ln 1x x dx +⎰
6、
321
21arctan 1x x dx x -++⎰
四、解答题（每题7分，共21分）
1、求函数()32531f x x x x =-+-的单调区间与极值，凹凸区间与拐点.
2、求微分方程sin y x y x x '+
=满足初始条件1x y π==的特解.
3、求微分方程23x y y y e '''--=通解.
五、应用题（本题8分）
设平面图形由曲线21y x =+及其上点()1,2处切线与直线0x =围成，求：
（1） 此平面图形的面积；（2）该平面图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积.
六、证明题（本题5分） 证明：当02x π<<时， 31tan 3
x x x >+.
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

）。

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