用尺规作线段和角

2.4 用尺规作线段和角
A卷：基础题
一、选择题
1．下列作图属于尺规作图的是（）
A．画线段MN=3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
2．下列尺规作图的语句正确的是（）
A．延长射线AB到点C B．延长直线AB到点C
C．延长线段AB到点C，使BC=AB D．延长线段AB到点C，使AC=BC
3．下列尺规作图的语句错误的是（）
A．作∠AOB，使∠AOB=3∠α B．以点O为圆心作弧
C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β4．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是（）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等
D．内错角相等，两直线平行
5．如图所示，已知线段a，b，c（a>b+c），求作线段AB，使AB=a-b-c．•下面利用尺规作图正确的是（）
二、填空题
6．如下左图所示，AF=_______．（用a ，b ，c 表示）
7．画线段AB ；延长线段AB 到点C ，使BC=2AB ；反向延长AB 到点D ，使AD=•AC ，则线段
CD=______AB ．
8．已知∠AOB=22.5°，分别以射线OA ，OB 为始边，在∠AOB 的外部作∠AOC=∠AOB ，∠BOD=2∠AOB ，则OC 与OD 的位置关系是______．
9．如上右图所示，求作一个角等于已知角∠AOB ．作法：（1）作射线_______； （2）以______为圆心，以_____为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ； （3）以______为圆心，以_____为半径画弧，交O ′B ′于点D ′； （4）以点D ′为圆心，以______为半径画弧，交前面的弧于点C ′； （5）过______作射线O ′A ′． ∠A ′O ′B ′就是所求作的角． 三、作图题
10．如图所示，已知线段a ，b ，c ，利用尺规作一条线段，使它等于a+b-2c ，•并写出作
法．
c
b
a
11．如图所示，已知线段a和b，直线AB与CD相交于点O．利用尺规，•按下列要求作图：（1）在射线OA，OB上分别作线段OA′，OB′，使它们都与线段a相等；（2）在射线OC，OD上分别作线段OC′，OD′，使它们都与线段b相等；（3）依次连接A′，C′，B′，•D′，A′．
你得到了一个怎样的图形？（不写作法，保留作图痕迹）
B卷：提高题
一、七彩题
1．（一题多解题）如图所示，利用尺规作∠A′O′B′=3∠AOB．
2．（一题多变题）如图所示，已知∠α和∠β，利用尺规作∠BOD=∠α+2∠β．
（1）一变：利用尺规作∠AOB，使∠AOB=∠α-∠β．
（2）二变：利用尺规作∠AOB，使∠AOB=2（∠α-∠β）．
二、知识交叉题
3．（当堂交叉题）已知线段a，b，且a>b，如图，利用尺规求作一条线段，•使其等于2a-b．
a
b
三、实际应用题
4．如图所示，在一个三角形支架上要加一根横杆DE，使DE∥BC，•请你用尺规作出DE 的位置．（不写作法，保留作图痕迹），并说说你的根据．
四、经典中考题
5．（2007，南京（节选），7分）已知直线L及L外一点，按下列要求写出画法，并保留画图痕迹．在下图中，只用圆规在直线L外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线L 平行．
参考答案
A卷
一、
1．D 点拨：只有用没有刻度的直尺和圆规作图才被称为尺规作图，而像用三角形，刻度尺，量角器等其他作图工具作图一般称为工具作图，所以A，B，C都属于工具作图，只有D才是尺规作图．
2．C 点拨：因为射线和直线不需要延长，所以A，B的说法是错误的，•而延长线段AB 到点C，只能使BC=AB，不能使AC=BC（实事上此时AC=AB+BC），所以C正确，D错误，故选C．
3．B 点拨：用圆规作弧不仅要有圆心，还要有半径，而B中有圆心，没有半径，•所以B 中说法是错误的．
4．D 5．D
二、
6．2a-2b-c 点拨：由题图可知AF=AC-CF，而AC=2a，CF=2b+c，
所以AF=•2a-•（2b+c）=2a-2b-c．
7．6 点拨：如图所示，因为BC=2AB，所以AC=3AB，又AD=AC，•所以CD=•AC+AD=3AB+3AB=6AB．
8．OC⊥OD 点拨：因为∠AOB=22.5°，∠AOC=∠AOB，∠BOD=2∠AOB，
• 所以∠AOC=22.5°，∠BOD=2×22.5°=45°，
又因为∠AOC和∠BOD•都在∠AOB•的外部，•
所以∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=22.5°+22.5°+45°=90°，所以OC⊥OD．
9．（1）O′B′（2）点O；任意长（3）点O′；OC的长（或OD的长）
（4）CD的长（5）点C′
点拨：要熟练掌握用尺规作图作一个角等于已知角的作法步骤．
三、
10．解：作法：如图所示．
（1）作射线AM；（2）以点A为圆心，以线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B；（3）以点B为圆心，以线段b的长为半径画弧，交射线BM于点C；（4）以点C为圆心，以线段c的长为半径画弧，交线段CA于点D，以点D为圆心，以线段c的长为半径画弧，交线段DA于点E；（5）线段AE就是所求作的线段．
11．解：作图：如图所示．依次连接A′，C′，B′，D′，A′得到的图形是平行四边形．
B卷
一、
1．解：作法一：如图所示．（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（2）分别以点C，点D为圆心，以CD的长为半径画弧，•交前面的弧于点E和点F；（3）分别过点E，点F作射线OA′，OB′，则∠A′O′B′就是所求作的角．
作法二：如答图所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点G，再以点G为圆心，以CD的长为半径画弧，•交前面的弧于点H；（5）过点H画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．
点拨：本题采用了两种方法作一个等于已知角的3倍的角，•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．
2．解：作法：如图所示．①作∠BOC=∠α；②以射线OC为一边，在∠BOC•的外部作∠COA，使∠COA=∠β；③以射线OA为一边，在∠COA外部作∠AOD，使∠AOD=∠β，则∠BOD 就是所求作的角．
（1）作法：如答图所示。

①作∠AOC=∠α；②以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠COB，使∠COB=∠β，则∠AOB就是所求作的角。

（2）作法：如图所示．①作∠COD=∠α；②以射线OD为一边，在∠COD•的外部作∠DOA，使∠DOA=∠α；③以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE=∠β；④以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB=∠β，则∠AOB就是所求作的角．
二、
3．解：作法：如答图．（1）作射线AM；（2）以点A为圆心，以线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B；（3）以点B为圆心，以线段a的长为半径在AB的外部画弧，交射线AM于点C；（4）以点C为圆心，以线段b的长为半径画弧，交线段AC于点D，则线段AD•就是所求作的线段．
三、
4．解：如图所示．
作图根据：因为∠ADE与∠C是内错角，且∠ADE=∠C，
所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
四、
5．解：作法：如答图所示，在直线L上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，再以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P，则点P即为所求．
点拨：注意本题的要求：只用圆规作图，用其他方式作图都不符合要求．。