齿轮信号特征识别的谱相关密度分析

艿（厂一虹净）］
（８）
根据式（６）得到调幅信号的解析ＳＣＤ Ｓ。（厂）：
Ｓ。（，）一Ｓ：（，）＊艿（厂一（ｃ，。）一Ｓ：（厂一ｃｃＪ。）（９） 式中，＊表示，频率域上的卷积．由此可知，Ｓ。（，） 仅仅是ｓ：（，）的移频形式，且载波频率在调制信号 的特征识别中不是主要提取对象，因此在循环频率 域和频率域仅含调制特征的ｓ；（厂），是调制信息提 取的主要依据．由式（８）可知，Ｓ￡（厂）仅在双频率平
析的理论结果．考虑到二阶循环平稳的二次变换将
会引起信号各分量之间的交叉项，本文引入解析的
思想，用解析信号代替原始信号进行ＳＣＤ理论分
析，不仅得到相对简化的频谱结构，而且使得调制信
号的ＳＣＤ分析有了统一的表述形式．
２．１调幅信号
Leabharlann Baidu
对于仅含调幅特征的调制信号：
ｚ（￡）一ｃｏｓ∞。￡（∑Ｂ，ｃｏｓ‰，￡＋ｃ）
收穑日期：２００５一０７一０１ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０１７５０６８；５０３３５０３０） 作者简介：毕果（１９７８一），女，河南南阳人，博士生，主要研究方向为机械设备状态监测和故障诊断，非平稳信号处理等．
陈进（联系人），男，教授，博士生导师，电话（Ｔｅｌ．）０２１—５４７４７４５０一２０１；Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｉｎｃｈｅｎ＠ｓｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．
，
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐｅｃｔｒａｌ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｄｅｎｓｉｔｙ；ｇｅａｒ；ｍｏｄｕｌａｔｅｄ ｓｉｇｎａｌ；ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ
齿轮振动信号是典型的调幅、调频共同存在的 调制信号，调制现象随齿轮故障的发生、发展而有所 改变．因此，调制引起的边频特征变化是齿轮运转状 态最直接的反映．作为主要的解调方法，包络谱具有 非常优越的解调幅能力，但是对于调频却无能为力． 而齿轮初期故障较为微弱，主要以调频形式体现，因
ｓ：（厂）一ｍ２一∑。∑。ｃＨ…。艿［口一（ｍ一咒）‰］×
上 海 交通 大 学 学报
第４０卷
毋Ｉ厂一（ｍ＋，ｚ）芸ｆ
Ｌ
ＺＪ
’（１２）
式中，参数Ｃ。＝Ｊ。（Ｂ）Ｊ。（Ｂ）ｅｊ伽～ｍ．因此，存在调
频现象时，已不再像调幅现象，ＳＣＤ中的特征谱峰
数量由所包含的调幅频率个数决定；即便单一的调
制频率也会产生无穷多特征谱峰，峰值大小由调制
形式的ＳＣＤ同调幅信号和调频信号一样具有式（９）
的形式．此时的Ｓ：（厂）由调幅调频共同产生，利用上
述分析方法得到：
Ｓ：（，）一Ｓ爻Ｍ（厂）眨多Ｓ；Ｍ（，）
（１４）
式中，Ｓ‰（厂）、Ｓ‰（，）的表达式如式（８）、（１３）所示． 因此，对于一般调制信号，二维卷积的结果使得调制
频率处的ＳＣＤ切片上，除该调制频率相关的频率特
［郭ｃｏｓ‰ｚ（卜专）＋ｃ］）．，）㈤
根据ＳＣＤ的定义，经过积分变换等数学运算可 以得到Ｒ：（ｒ）对应的ＳＣＤ Ｓ：（厂），由于其在４个象 限对称，因此仅显示第１象限（‰；≥‰。≥ｏ）：
ｓ：（，）一一导塞Ｂ，艿（口一‰，）·ｄ（厂一警）＋
丢∑∑Ｂ，Ｂ。ｌ艿（口一（‰ｚ±‰ｅ））× － ‘￡＝１＾一１
ＢＪ Ｇ“Ｄ， ＣＨＥＮ．厂ｉ押， ＨＥ，甜咒， ＬＪ Ｆ“一ｆ口ｉ，ＺＨｏ【，Ｆ甜一ｆ＾口押ｇ （Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂ．ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｓｈｏｃｋ＆Ｎｏｉｓｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖ．，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２４０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｅａｒｌｙ ｇｅａｒ ｆａｕｌｔ ｉｓ ａ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ ｅｎｖｅｌｏｐｅ
幅值Ｂ＝［ｏ．５，ｏ．３］；载波频率工一１００ Ｈｚ，初始相 位ｏ．３ ７ｃ，常数Ｃ一１．信号长度１６ ３８４点，采样频率
２ ０４８ Ｈｚ．
图１为该调制信号的时域波形、幅值谱分析、包
络谱分析和ＳＣＤ等高线图．其中，ｓ表示信号的幅
值．幅值谱反映出信号围绕载波频率１００ Ｈｚ具有丰
富的边带特征，但是由于调制情况较为复杂，仅从边
ｚ（￡）一ｎ（≠）ｃｏｓ［ｃｃＪ。￡＋６（￡）＋晚］
（３）
式中；∞。为啮合频率；以为初始相位，口（￡）为调幅信
号；６（￡）为调频信号．口（￡）、６（￡）是由齿轮转频及其谐
波频率组成的周期信号，齿轮箱内的其他频率特征
也有可能产生调制作用．
本文分别对调幅、调频信号进行二阶循环统计
量的研究，在此基础上得到一般调制信号的ＳＣＤ分
实际中，利用ＳＣＤ进行调制信号特征提取时， 无法直接由式（６）、（１１）得到ＣＡ的包络，因此，利用 ＩＰ（ｒ）Ｉ ２一ＩＲ：（ｒ）Ｉ ２得到其包络的模平方形式，从 而进一步利用式（２）的定义得到ＳＣＤ，这一运算使 得调制信号ＳＣＤ切片处的半频特征全部转化为整 倍频，并可能产生某些高次谐波成分，但对分析结果 影响不大．
征外，围绕这些谱线还存在由于其他调制而引起的
边带成分．当调制频率众多，调制因子较大时，复杂
的边带情况不利于特征识别．
对于齿轮振动信号，其调制现象往往由齿轮箱
中的某些特征频率及其谐波成分产生，其中以啮合
齿轮副的转频较为突出，其他调制微乎其微．因此， 虽然存在边带成分，但是相对于包络解调仅仅能够 提取信号的调幅特征，ＳＣＤ在一定程度上能够更加 准确地反映其调制现象．
（４）
式中：叫。表示载波频率；‰，表示各个调制频率；Ｂ， 和Ｃ为常数．根据Ｂｅｄｒｏｓｉａｎ乘积定理［８］，其解析形
万方数据
式为
主（￡）一幽‘（∑Ｂ脚ｓ‰，￡＋ｃ）
（５）
利用式（２）得到该解析信号的ＣＡ：
Ｒ。（ｒ）＝Ｒ：（ｒ）·ｅｉ％‘
（６）
式中，Ｒ：（ｒ）为Ｒ“（ｒ）的复数包络：
职牡（｛［郭ｃｏｓ‰ｚ（冲专）＋ｃ］×
带无法断定调制信息．如图１（ｃ）的包络谱所示，对
该信号进行包络解调也仅得到口。、ｎ。谱峰，对应调
潮 ０
５０
１００
１５０
２００
用ｚ
（ｂ）幅值谱分析
万方数据
∥Ｈｚ （ｃ）包络谱分析
口，Ｈｚ （ｄ）ｓｃＤ等高线图
万方数据
第７期
毕果，等：齿轮信号特征识别的谱相关密度分析
平稳分析二次变换的特点，利用解析形式代替原始 信号，不仅减化了谱图结构，而且统一了调幅、调频 以及两者共存的各类调制信号ＳＣＤ的表述形式，给 出了一般调制信号二阶循环平稳分析的理论框架．
１二阶循环平稳理论
非平稳随机信号ｚ（￡）的时变自相关函数可以 表示为‘５］
因子Ｂ决定．实际上，式（１２）在口一．厂平面上的特征
点，类似于调幅情况，位于直线簇，一±ａ／２土忌‰的
交点上（忌为整数），即，Ｓ：（厂）在ａ—ｍ‰处的切片上
的特征频率为厂＝ｍ‰／２．
Ｌ
当６（￡）一≥置：Ｂ ｓｉｎ（‰口＋以，），为多个频率成
分时，Ｓ￡（厂）将由每一个调制频率得到的式（１２）以
二维卷积的形式组合表示：
Ｓ；（厂）＝Ｓ：－（厂）ｏ Ｓ：ｚ（厂）ｏ…ｏ Ｓ：ｃ（厂）（１３） 因此，当６（￡）为谐波形式时，二维卷积的结果使得
Ｓ口（厂）还可以由式（１１）表示，但参数Ｃ埘由于卷积而
有所改变，此时式中的‰为基频．
２．３齿轮信号
对于式（３）的齿轮信号模型，其解析形式的时变
自相关同样为包络、载波形式，因此，最终信号解析
能力．仿真分析和齿轮故障实例验证了该分析方法对于调制特征的提取能力，表明该方法能够准确
反映齿轮振动信号调制特征的变化，适用于齿轮初期故障的监测和识别．
关键词：谱相关密度；齿轮；调制信号；特征识别
中图分类号：ＴＰ ２０６；ＴＰ ９１１
文献标识码：Ａ
Ｔｈｅ ＡｐｐＩ．ＣａｔｉＯｎ Ｏｆ ＳｐｅｃｔｒａＩ ＣＯｒｒｅＩａｔｉＯｎ ＤｅｎＳｉｔｙ ｔＯ Ｇｅａｒ ＳｉｇｎａＩ ＣｈａｒａＣｔｅｒ ｌｄｅｎｔｊｆｉｃａｔｉＯｎ
此，包络谱分析在早期故障特征提取上并不理想． 随着对循环平稳研究的深入，利用谱相关密度
（Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ Ｄｅｎｓｉｔｙ，ＳＣＤ）实现调制特征 提取受到越来越多的关注，这些研究工作多以简单 调幅信号或单一频率调制信号为模型，研究该方法 的解调能力［１。４］．本文在此基础上，考虑到二阶循环
３ 仿真验证
根据式（３）构造调幅、调频共存的多调制频率的
调制信号：
２
ｚ（￡）一（∑职ｃｏｓ（２丌＾ｔ￡）＋ｃ）×
＾＝１
２
ｃｏｓ（２７ｃ＾ｆ＋芝：Ｂ。ｃｏｓ（２研盯ｂ１￡）＋
，”一ｌ
２
∑Ｂ。ｃｏｓ（２呵ｎｚ￡）＋见）
（１５）
，ｎ＝１
式中：调幅频率＾一［７，１６］Ｈｚ，对应幅值均为Ｏ．５；
调频为两组能量相等的谐波频率，＾一［１０，１２］Ｈｚ，
第４０卷第７期 ２００６年７月
上海交通大学学报 ＪＯｕＲＮＡＬ ｏＦ ｓＨＡ＆ＧＨＡＩ ＪＩＡｏＴｏＮＧ ｕＮＩｖＥＲｓＩＴＹ
文章编号：１００６—２４６７（２００６）０７—１０８４一０５
ｖ０１．４０ Ｎｏ．７ Ｊｕｌ．２００６
齿轮信号特征识别的谱相关密度分析
毕 果， 陈 进， 何 俊， 李富才， 周福昌
面ａ一，上某些点上有值，都位于直线簇厂＝±口／２ ±‰。的交点上（‰，遍历所有的调制频率），在调制 频率处的Ｓ￡（．厂）切片惟一得到相应的半频特征．因 此，循环平稳分析可以单一提取信号中的调制信息． ２．２调频信号
对于单正弦调频信号：
ｚ（￡）一ｃ。ｓ［吣＋以＋ｍ）］Ｉ （１０）
６（￡）一Ｂ ｓｉｎ［‰ｆ＋巩）
（上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实验室，上海２００２４０）
摘要：针对齿轮初期故障以调频形式表现且包络解调仅能够解调幅的现状，以一般调制信号为
模型，引入解析思想，对各类型调制信号进行二阶循环平稳分析，理论推导了各自的分析结果，给出
了调制信号谱相关密度分析的统一构架，证明了解析形式的谱相关密度同时提取调幅、调频特征的
Ｊ
式中：６（￡）为调频信号；‰为调制频率；见和钆为初 始相位；Ｂ为调制因子．
ｚ（ｆ）解析形式的ＣＡ可以表示为
Ｒ。（ｒ）一Ｒ；（ｒ）·ｄ％。一 （ｅＪ［６（斗ｒ／２）一６（卜ｒ／２）］．ｅ．ｊ球＞，·ｅｊ‰。
（１１）
因此，类似调幅情况，调频信号解析形式的ＣＡ也可 表示成包络、载波的结构，最终信号解析形式的 ＳＣＤ也具有式（９）的形式．利用Ｂｅｓｓｅｌ公式可以得 到包络的ＳＣＤ：
ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｉｓ ｕｎａｂｌｅ ｔｏ ｉｄｅｎｔｉｆｙ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｄ ａｎｏｔｈｅｒ ｄｅｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ——ｔｈｅ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ
ｄｅｎｓｉｔｙ（ＳＣＤ）．Ａｎａｌｙｔｉｃ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ＳＣＤ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｏｄｕＩａｔｅｄ ｓｉｇｎａｌｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｒａｍｅ ｏｆ ｍｏｄｕｌａｔｅｄ ｓｉｇｎａｌｓ ｉｓ ａｃｑｕｉｒｅｄ ａｆｔｅｒ ｗｏｒｋｉｎｇ ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｍｏｄｕｌａｔｅｄ ｓｉｇｎａｌｓ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｖｅｒｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ＳＣＤ ｔｏ ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌｓ，ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｗｏｒｋ ｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＳＣＤ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ａ ｒｏｂｕｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ ａｎｄ ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｒｌｙ ｇｅａｒ ｆａｕｌｔｓ．
］
＿“
∽＋才ｚ’（卜号）ｅ巾）｝＠，
‘
ｓ：（厂）＝Ｆ［Ｒ：（ｒ）］一Ｆ［Ｆ［Ｒ，，（￡，＿ｒ）］］ｊ
式中：口为循环频率；，为常规频率；Ｆ［］表示对某
一因子进行Ｆｏｕｒｉｅｒ变换；＜）。表示在整个时间域上
积分．
‘
２ 齿轮模型ＳＣＤ分析原理
齿轮某阶啮合频率附近的窄带信号是典型的调
幅、调频共存的调制信号，其振动信号模型为‘７３
蹦∽）＝Ｅ㈨＋号）ｚ’（卜专）｝（１）
如果兄（ｆ，ｆ）相对于时间ｚ呈周期或准周期变 化，则称该随机信号二阶循环平稳．对见（￡，ｒ）中的
时间因子￡和时延因子ｒ进行相应的Ｆｏｕ“ｅｒ变换，
可以得到循环自相关（Ｃｙｃｌｉｃ Ａｕｔｏｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ，ＣＡ）
Ｒ：（ｒ）和ＳＣＤ Ｓ：（，）［６］：
Ｒ：（ｒ）＝Ｆ［Ｒ。（￡，ｒ）］＝