2017江苏南通市二模数学理科答案
江苏省南通市海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试题Word版含答案
海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}3,2,0,1{,02|-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=B x x x A ，则=B A ▲ ． 2.已知复数z 满足i z i =+)43(（i 为虚数单位），则=||z ▲ ． 3.函数x x x x f ln )23()(2++=的零点的集合为 ▲ ．4.若31tan ),2,0(,=∈απβα，21)tan(=+βα，则=+βα2 ▲ ． 5.将函数)32sin(π+=x y 图像上的点),12(t P π-，向右平移)0(>k k 个单位长度得到点'P ，若'P 在函数x y 2sin =的图像上，则k 的最小值为 ▲ ．6.已知函数⎩⎨⎧<++-≥+=0),cos(0,sin )(22x x x x x x x f α是奇函数，则=αcos ▲ ． 7.若双曲线),(132222R n m nm y n m x ∈=--+的焦距为4，则实数n 的取值范围为 _____▲ ．8.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤+-40301y y x y x ，则y x -2)21(的最大值为 ▲ ． 9.设n S 是公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，若25242322a a a a +=+，且279=S ，则数列}{n a 的通项公式=n a ▲ ．10.已知圆:C 0422=-+x y x 及点)2,1(),0,1(B A -，直线l 平行于AB ，与圆C 相交于N M ,两点，AB MN =若直线l 与直线AB 在圆心C 的同侧，则直线l 的方程为____▲ ．11.若0,0>>b a ，且直线06=-+by ax 与直线052)3(=+--y x b 垂直，则b a 2131+的最小值为 ▲ ．12.设R m ∈，若过点),2(m 存在三条直线与曲线x x y 33-=相切，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13.在ABC ∆中，2=AB ，060=∠A ，点D 满足DB CD 2=，且337=AD ，则=∙ ▲ ．14.在ABC ∆中，2tan 2tan 2tan222CB A ++的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若bc A 23)3sin(=+π （1）求角B 的大小；（2）若2,32==c b ，求ABC ∆的面积。
高三年级第二次模拟考试理科数学试卷-答案
NP=NF PF 3 2 ， sin
ME 3 2 ． tan
3
2 sin
0,
sin
2 3
,
由
3
2 tan
0,
得
tan
2 3
,
()
0
<
<
2
,
0
<
<
2
.
所以四边形 MNPE 面积为
S= 1 (NP ME)MN 2
6 2 tan 3 6 2 3 ． tan
当且仅当 tan = 3 ，即 tan = 3 , = 时取“=”．
tan
3
此时， () 成立．
答：当 EFD 时，沿直线 PE 裁剪，四边形 MNPE 面积最大， 3
最大值为 6 2 3 m2．
解法二： 设 BE t m， 3 t 6 ，则 ME 6 t ．
只需要函数 f (x) 的极小值 f (x0 ) 0 ，即 ax02 x0 ln x0 0 ．
又因为 g(x0 ) 2ax02 x0 1 0 ，所以 2ln x0 x0 1 0 ， 又因为函数 h(x)=2ln x x 1在 (0,+) 上是增函数，且 h(1)=0 ，
当 x (0, x0 ) 时， g(x) 0, f (x) 0 ；当 x (x0,) 时， g(x) 0, f (x) 0 ．
所以函数 f (x) 在 (0, x0 ) 上单调递减；在 (x0 , ) 上单调递增．
5 / 12
16 分 2分
4分
6分 8分 9分
2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B=．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcosA=2c﹣a，则角B的大小为．12．在△ABC中，AB⊥AC，AB=，AC=t，P是△ABC所在平面内一点，若=，则△PBC面积的最小值为．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=alnx﹣bx3，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e=2.71828．（1）当a＜0，b=﹣1时，设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，e]上有两个不同的实数解，求的取值范围．19．已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA⊥OB（O为原点），求△AOB的面积的取值范围．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，∴=1+i，化为：3+yi=（2﹣i）（1+i）=3+i，∴y=1．故答案为：1．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为19.7【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据加权平均数的定义计算即可．【解答】解：根据题意，样本容量为10，利用组中中近似计算本组数据的平均数，则=×（14×2+17×1+20×3+23×4）=19.7．故答案为：19.7．4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，又由双曲线离心率公式e2===1+，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x，又由其一条渐近线的方程为：2x﹣y=0，即y=，则有=，则其离心率e2===1+=，则有e=；故答案为：．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为14．【考点】EF：程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的x，s的值，当s=14时满足条件s ＞5，输出S的值14即可．【解答】解：输入x=1，s=0，s=1≤5，x=2，s=1+4=5≤5，x=3，s=5+9=14＞5，输出s=14，故答案为：14．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，可得结论．【解答】解：不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π；Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，对应的面积为π，∴所求概率为，故答案为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=3．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，∴+=，解得a1=．则a3==3．故答案为：3．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为16．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC1==2；∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣3，==﹣2，∴tanβ=．故答案为：．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，即可得出结论．【解答】解：由C：x2+y2﹣2x﹣4y=0得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标是C（1，2），半径是，∵直线l：mx+y﹣2m﹣1=0过定点P（2，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，∴﹣m=﹣1，∴m=﹣1．故答案为﹣1．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2bcosA=2c ﹣a ，则角B 的大小为．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c 2+a 2﹣b 2=，进而利用余弦定理可求cosB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．【解答】解：∵2bcosA=2c ﹣a ，∴cosA==，整理可得：c 2+a 2﹣b 2=，∴cosB===，∵B ∈（0，π），∴B=．故答案为：．12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB=，AC=t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若=，则△PBC 面积的最小值为．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算得出P 的坐标， 利用基本不等式求得△PBC 面积的最小值． 【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ），∵=+=（4，0）+（0，1）=（4，1），∴P （4，1）；又|BC |=，BC 的方程为tx +=1，∴点P到直线BC的距离为d=，∴△PBC的面积为S=•|BC|•d=••=|4t+﹣1|≥•|2﹣1|=，当且仅当4t=，即t=时取等号，∴△PBC面积的最小值为．故答案为：．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．|【解答】解：函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，h（x）=，画出两个函数的图象如图：，当x＜0时，﹣≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，b∈．给答案为：．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为7．【考点】7F：基本不等式．【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，可得=1．于是=+b2﹣1. +b==+2≥4，再利用柯西不等式（+b2）（1+1）≥即可得出．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故答案为：7．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，推导出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，从而平面EFG∥平面BCD，由此能证明EP∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，又CE∩CD=C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，∴AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG⊂平面BCD，∴平面EFG∥平面BCD，∵P是FG上任一点，∴EP⊂平面EFG，∴EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣利用基本不等式的性质即可得出最大值．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．利用对数研究函数的单调性即可得出极大值与最大值【解答】解：（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣≤67﹣=43，当且仅当x=3时取等号．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．可得x ∈（0，3）时，L′（x ）＞0，函数L （x ）单调递增；x ∈（3，5]时，L′（x ）＜0，函数L （x ）单调递减．∴当x=3时，函数L （x ）取得极大值即最大值．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．18．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e=2.71828． （1）当a ＜0，b=﹣1时，设函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的最大值；（2）若关于x 的方程f （x ）=0在区间（1，e ]上有两个不同的实数解，求的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出g （a ）的最大值即可；（2）问题转化为函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）b=﹣1时，f （x ）=alnx +x 3，则f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=，∵a ＜0，∴＞0，x ，f′（x ），f （x ）的变化如下：故g（a）=f （）=ln （﹣）﹣，令t （x ）=﹣xlnx +x ，则t′（x ）=﹣lnx ，令t′（x ）=0，解得：x=1， 且x=1时，t （x ）有最大值1， 故g （a ）的最大值是1，此时a=﹣3；（2）由题意得：方程alnx ﹣bx 3=0在区间（1，e ]上有2个不同的实数根，故=在区间（1，e ]上有2个不同是实数根，即函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，∵m′（x ）=，令m′（x ）=0，得：x=，x ，m′（x ），m （x ）的变化如下：），∴x ∈（1，）时，m （x ）∈（3e ，+∞），x ∈（，e ]时，m （x ）∈（3e ，e 3]，故a ，b 满足的关系式是3e＜≤e 3，即的范围是（3e ，e 3]．19．已知椭圆C ：的左焦点为F （﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA ⊥OB （O 为原点），求△AOB 的面积的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），代入椭圆得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明λ+μ为常数﹣4．②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，由此利用换元法结合已知条件能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，∴由题设知c=1，=2，a2=2c，∴a2=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l代入椭圆得x2+2k2（x+1）2=2，整理，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，，由，，知，，∴λ+μ=﹣=﹣=﹣（定值）．∴λ+μ为常数﹣4．解：②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，∴，，同理，，，==，△AOB的面积S△AOB==，令t=k2+1∈[1，+∞），则S△AOB令μ=∈（0，1），则=∈[，）．综上所述，△AOB的面积的取值范围是[，]．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H ：数列递推式．【分析】（1）λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），即可证明．（2）①设a n =a 1+（n ﹣1）d=dn ﹣d +1．由a n +1=，可得：a n +1（a n +2）=+4，（dn ﹣d +3）（dn +1）=λ（dn ﹣d +1）2+μ（dn ﹣d +1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．②由①可得：S n ==n 2．设存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S 1，S 2x +1，S 2y +1，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x +1）2+（2y +1）2+（2z ）2=2017，化为2（x 2+x +y 2+y +z 2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S 1，S 2x ，S 2y ，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x ）2+（2y ）2+（2z ）2=2017，化为x 2+y 2+z 2=504．由504为偶数，x ，y ，z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i ）若x ，y ，z 中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x 1，y=2y 1+1，z=2z 1+1，则2=251，矛盾．（ii ）若x ，y ，z 均为偶数，不妨设x=2x 1，y=2y 1，z=2z 1，则++=126，则x 1，y 1，z 1中有两个奇数一个偶数．不妨设x 1=2x 2，y 1=2y 2+1，z 1=2z 2+1，则=31．依此类推分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），∴：{a n +1}为等比数列，首项为2，公比为3．∴a n+1=2×3n﹣1，可得：a n=2×3n﹣1﹣1．（2）解：①设a n=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由a n+1=，可得：a n+1（a n+2）=+4，∴（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，a n=2n﹣1．②由①可得：S n==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．∵y2（y2+1），z2（z2+1）均为偶数，∴x2为奇数．不妨设0≤y2≤z2．当x2=1时，则+y2++z2=30， +y2≤14，检验可得：y2=0，z2=5，x2=1．当x2=3时，则+y2++z2=22， +y2≤10，检验可得：y2=1，z2=4，x2=3．当x2=5时，则+y2++z2=6， +y2≤2，检验可得：y2=0，z2=2，x2=5．即{S1，S4，S8，S44}，{S1，S12，S24，S36}，{S1，S4，S20，S40}为全部满足条件的四元子列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连接OD，计算OC，BC，即可证明结论．【解答】证明：连接OD，设圆的半径为R，BE=x，则OD=R，DE=2BE=2x，Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2=OC•OE，∴R2=OC（R+x），①∵直线DE切圆O于点D，∴DE2=BE•OE，∴4x2=x（R+x），②，∴x=，代入①，解的OC=，∴BC=OB﹣OC=，∴2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征值、特征向量的定义，建立方程，求出M，再求矩阵M的逆矩阵．【解答】解：由题意，=﹣1•，∴，∴a=2，b=2，∴M=，∴|M|=1×2﹣2×3=﹣4，∴M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a．【解答】解：曲线C1的方程为（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圆心坐标为（，3），半径为2．∵曲线C2的极坐标方程为，∴+=a，∴曲线C2的直角坐标方程为，∵曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，∴=2，解得a=1或a=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．【考点】R6：不等式的证明．【分析】不等式两边同时加上a+b+c，分组使用基本不等式即可得出结论．【解答】证明：∵a，b，c为正实数，∴a+≥2b，b+≥2c，c+≥2a，将上面三个式子相加得：a+b+c+≥2a+2b+2c，∴≥a+b+c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为=；则P（X=1）==，P（X=2）=×=，P（X=3）=×（1﹣）×=，P（X=4）=×（1﹣）×=，∴X的分布列为：EX=1×+2×+3×+4×=．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法；DC：二项式定理的应用．【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3（x ﹣2）3﹣（x﹣3）3=6，（2）猜想：f n（x）=n!．证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设n=k时猜想成立，即f k（x）=C k0x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k Ck（x﹣k）k=k!，k则n=k+1时，f k（x）=C x k+1﹣（x﹣1）k+1+C（x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=xC x k﹣（x﹣1）（x﹣1）k+（x﹣2）C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（x﹣1）k+C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k]+[（x﹣1）k﹣2C（x﹣2）k+…+（﹣1）k k（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（+）（x﹣1）k+（）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（+）（x ﹣k）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k C k k（x﹣k）k]﹣x[（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k﹣1C k k﹣1（x﹣k）k+（﹣1）k C（x﹣k﹣1）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k ﹣1）k]=xk!﹣xk!+（k+1）k!=（k+1）!．∴当n=k+1时，猜想成立．2017年5月31日。
【江苏省南通中学】2017届高二5月阶段考试数学(理)试卷 -答案
一、填空题： 1．1 2．20 3． 7 4．7
5． 10 ． 3
6． 1 2
7． 3 4
8． 1 2
9．220 10． 1
4 11．30 12．-1 13． 2 14． 31
4 二、解答题： 15．解：
（Ⅰ） A52 A22 A44 960 ；
以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 2x ；
（Ⅱ）令 g(x)
f
(x) 2(x
x3 ) ，则 g(x) 3
f
(x) 2(1
x2 )
2x4 1 x2
，因为 0
x 1，所以
g(x) 0 ， g(x) 在区间 (0,1) 上递增，所以 g(x) g(0) 0 ，即当 x (0,1) 时， f (x) 2(x x3 ) ； 3
由题意得： 4n 2n 4032 ，即 (2n 64)(2n 63) 0 ， 2n 64 或 2n 63 ，
又因为 n N ，所以 2n 64 ，故 n 6 ，
- 1 - / 10
二项展开式的第 r 1项为 Tr1 3r
C6r
12r
x3
，令
12 3
42 4
4
2
(2 1)2 1 1 ； 42
方法 2：直接应用二项分布的方差公式V (X ) np(1 p) 1 。 2
9．【解析】 C22 C32 C121 C33 C32 C121 220 。
10．【解析】V1 VDABE
VE ABD
(k
【江苏省南通中学】2017届高二5月阶段考试数学(理)试卷 及答案解析
的体积为 ，则 ___________．
11． 的展开式中，含 项的系数为___________．（用数字作答）
12．若平面向量 、 满足 ，则 的最小值是___________．
13．已知各项都为整数的数列 中， ，且对任意的 ，满足 ，
3．已知 ，那么 ___________．
4．在极坐标系中，点 与点 之间的距离等于___________．
5．已知焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为___________．
6．在 道题中有 道理科题和 道文科题，如果不放回地依次抽取 道题，在第 次抽到理科题的条件下，第 次抽到理科题的概率为___________．（用数字作答）
和 ，所以 ，即 的取值范围是 ．
18．解：（Ⅰ）因为直线 过点 且垂直于 轴，所以可设 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
所以直线 斜率为 ；
（Ⅱ）直线 与直线 平行．
理由如下：
当直线 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知， ．又因为直线 的斜率 ，
所以 ∥ ；
当直线 的斜率存在时，可设其方程为 （ ）．设 ， ，则直线 方程为 ，令 得 ．
； 。
从而 的分布列为
的数学期望为 ；
（Ⅱ）因为 ，
， ，
，所以 ，
， ，由题意得
和 ，所以 ，即 的取值范围是 。
18．【解析】（Ⅰ）因为直线 过点 且垂直于 轴，所以可设 ， ，直线 的方程
为 ，令 ，得 ，所以直线 斜率为 ；
（Ⅱ）直线 与直线 平行。
理由如下：
当直线 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知， 。又因为直线 的斜率 ，
数学---江苏省南通市2017届高三上学期调研试卷(理)(解析版)
江苏省南通市2017届高三上学期调研试卷（理）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，，则A ∪B ＝ ．2.函数的定义域是 ．3.命题“，”的否定是 ．4.设幂函数的图象经过点，则= ．5.计算 ．6.函数在点处切线的斜率为 ．7.已知定义在R 上的奇函数满足，且时，则的值为 ．8.已知为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解 集是 ．9.对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“” 的 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 10.已知，若，，则= ． 11.已知函数在处取得极小值10，则的值为 ． 12.定义在上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是___________．13.若实数满足，则的最小值为 ．14.已知函数.表示中的最小值，若函数{}|03,A x x x R =<∈≤{}|12,B x x x R =-∈≤≤1()lg(1)1f x x x=++-(0,)2x π∀∈sin 1x <()f x kx α=()4,2k α+121(lg lg 25)1004--÷=()2log f x x =()1,2A ()f x (4)()f x f x +=(0,2)x ∈2()1f x x =+(7)f ()f x R 0x ≥()22x f x =-()16f x -≤(),,y f x x R =∈|()|y f x =()y f x =是奇函数1a b >>10log log 3a b b a +=b a a b =a b +322()7f x x ax bx a a =++--1x =baR ()f x ()f x y e=′()y f x=,,,a b c d 24ln 220b a a c d +-+-+=()()22a cb d -+-()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-{}min ,a b ,a b恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)设集合，.(1) 若，求;(2) 若，求实数m 的取值范围． 16.(本小题满分14分)已知函数(1) 当时，试判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(2) 若不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围． 17.(本小题满分14分) 已知函数． (1) 求函数的单调递减区间；(2) 当时，有最小值，求实数a 的值．18.(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式（，为常数），其中与成反比，与的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. (1) 求的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 19.(本小题满分16分)()()(){}()min ,0h x f x g x x =>m 12432x A x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤≤{}()222300B x x mx m m =+-<>2m =A B ⋂B A ⊇()33x xf x λ-=+⋅()R λ∈1λ=()33x xf x λ-=+⋅()6f x ≤[]0,2x ∈()1ln ,f x a x a R x=+∈()f x 1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()h x ()()()h x f x g x =+37x <<m ()f x ()3x -()g x ()7x -()h x已知函数．(1) 当时，求满足的x 的取值； (2) 若函数是定义在R 上的奇函数①存在，不等式有解，求t 的取值范围；②若函数满足，若对任意,不等式恒成立，求实数m 的最大值.20.(本小题满分16分)给出定义在上的两个函数,. （1）若在处取最值．求a 的值；（2）若函数在区间上单调递减，求实数a 的取值范围； （3）试确定函数的零点个数，并说明理由．()133x x af x b+-+=+1a b ==()3x f x =()f x R t ∈()()2222f t t f t k -<-()g x ()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦x R ∈(2)()11g x m g x ⋅-≥()+∞,02()ln f x x a x =-()g x x =-()f x 1=x 2()()()h x f x g x =+(]0,1()()()6m x f x g x =--参考答案：一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.【答案】[－1，3]【解析】A ∪B ＝＝[－1，3] 2.【答案】3.【答案】，sin x ≥1.【解析】 “，”的否定是，sin x ≥1.4.【答案】【解析】由题意得.5.【答案】－206.【答案】【解析】 7.【答案】【解析】,所以 8.【答案】{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈ ≤≤≤()()1,11,-⋃+∞()0,2x π∃∈(0,)2x π∀∈sin 1x <()0,2x π∃∈3211,422k αα==⇒=∴32k α+=1ln 2()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴== 2-(4)()T 4f x f x +=⇒=(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=-[]2,4-9.【答案】必要而不充分【解析】充分性不成立，如图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，，，所以的图象关于y 轴对称. 10.【答案】【解析】因为，所以，又，因此，因为，所以11.【答案】12.【答案】（﹣∞，2） 【解析】由，，所以的增区间是（﹣∞，2） 13.【答案】514.【答案】2y x =()y f x =是奇函数|()||()||()|f x f xf x -=-=|()|y f x =1a b >>log 1b a >101101log log log log 33log 33a b b b b b a a a a +=⇒+=⇒=或（舍）3a b =b a a b =3333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒=a b +=12-()21()0f x x ef x '≤≥⇒≥′时()21()0f x x ef x '><⇒<′时()y f x =()53,44--【解析】，因为，所以要使恰有三个零点，须满足，解得 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】(1)(2)(2) ，,要使 1只要， ……………………………………………………12分 所以综上，知m 的取值范围是：……………………………………………14分16.【答案】(1) 偶函数(2)()23f x x m '=+()10g =()()(){}()min ,0h x f x g x x =>()10,0,0f f m ><<51534244m m >->⇒-<<-{}22x x -<≤203m <≤()3,B m m =-A B ⊆32253m m m --⎧⇒⎨⎩≤≤≥203m <≤203m <≤27λ-≤(2) 由于得，即， 令，原不等式等价于在上恒成立，………………………………………8分 亦即在上恒成立 ………………………………………10分令，当时，， ………………………………………12分 所以 ………………………………………14分17.【答案】(1) 时，的单调递减区间为，时，的单调递减区间为．(2)()6f x ≤336x x λ-+⋅≤363xx λ+≤[]()31,9xt t =∈6t tλ+≤[]1,9t ∈26t t λ-+≤[]1,9t ∈()26g t t t =-+[]1,9t ∈9t =()()min 927g t g ==-27λ-≤0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2ln 2a =则的单调递减区间为， ………………………………………4分时，令得：， 则的单调递减区间为． ………………………………………6分①时，在上单调递减，，无解 ………………………………………8分 ②时， 在上单调递增，，解得：，适合题意； ………………………………………12分 ③时，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；综上：． ………………………………………14分 18.解：(1) 因为与成反比，与的平方成正比，所以可设：，， 则则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套()f x ()0,+∞0a >()0f x <′10x a<<()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a ≤()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦min ()(1)10f x f ==≠2a ≥()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 112ln 022f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭22ln 2a =≥12a <<()f x 11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min 11ln 0f x f a a a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭a e =2ln 2a =()f x 3x -()g x 7x -()13k f x x =-()()227g x k x =-12.00k k ≠≠，，()()()()21273k h x f x g x k x x =+=+--所以，，即，解得：， ……………6分所以， （） ………………………………………8分 (2) 由（1）可知，套题每日的销售量，答：当销售价格为元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分19.解：(2) 因为是奇函数，所以，所以化简并变形得：()()521, 3.569h h ==12124212492694k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12104k k =⎧⎨=⎩()()210473h x x x =+--37x <<()()210473h x x x =+--4.3()f x ()()0f x f x -+=1133033x x x x a ab b -++-+-++=++()()333260x xa b ab --++-=要使上式对任意的成立，则解得：，因为的定义域是，所以舍去所以， 所以 ………………………………………6分 ① 对任意有： 因为，所以，所以，因此在R 上递减． ………………………………………8分因为，所以，即在时有解 所以，解得：，所以的取值范围为 ………………………………………10分②因为，所以即 ………………………………………12分令，，30260a b ab -=-=且1133a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩或()f x R 13a b =-⎧⎨=-⎩1,3a b ==()13133x x f x +-+=+()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭1212,,x x R x x ∈<()()()()211212121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫⎪-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭12x x <21330x x ->()()12f x f x >()f x ()()2222f t t f t k -<-2222t t t k ->-220t t k +-<R t ∈440t ∆=+>1t >-()1,-+∞()()()12333x xf xg x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦()()3323x x g x f x --=-()33x x g x -=+()9h t t t =+()291h t t=-′时，，所以在上单调递减时，，所以在上单调递增所以，所以所以，实数m 的最大值为6 ………………………………………16分20.解：(1) 由已知，即: ,解得： 经检验 满足题意所以 ………………………………………4分因为，所以，所以 所以，所以 ……………………………………10分 （3）函数有两个零点．因为所以 ………12分当时，，当时，所以， ……………………………………14分()2,3t ∈()0h t <′()h t ()2,3()3,t ∈+∞()0h t >′()h t ()3,+∞()()min 36h t h ==6m ≤()2a f x x x =-′(1)0f =′20a -=2a =2a =2a=(]0,1x ∈[)11,x ∈+∞2min112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()max 2F x =a ≥2()()()6m x f x g x =--()22ln 6m x x x x =--+())()1222221x m x x x x =--=′()1,0∈x ()0<'x m ()+∞∈,1x ()0>'x m ()()min 140m x m ==-<， 故由零点存在定理可知：函数在 存在一个零点，函数在 存在一个零点，所以函数有两个零点． ……………………………………16分 3241-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（）8424812(21))0e e e m e e -++-=>（4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（()x m 4(,1)e -()x m 4(1,)e ()()()6m x f x g x =--。
(江苏)高三数学-江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．3．函数的单调增区间为．4．函数的定义域为．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为．6．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=．8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f （x ）的图象在点（x 0，f （x 0））和点处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数f （x ）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m ，使f （x ）＜m 对任意的x ∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P 是直线2x ﹣y +3=0上的一个动点，定点M （﹣1，2），Q ，是线段PM 延长线上的一点，且PM=MQ ，求点Q 的轨迹方程．22．设圆x 2+y 2+2x ﹣15=0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．23．已知函数f （x ）=ln （1+x ），x ∈[0，+∞），f'（x ）是f （x ）的导函数．设g （x ）=f （x ）﹣axf'（x ）（a 为常数），求函数g （x ）在[0，+∞）上的最小值． 24．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （﹣1，1），P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA （1）求点P 的轨迹C 的方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且=λ，直线OP 与QA 交于点M ．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故A∩B={1}．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，3] ．【考点】特称命题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（1﹣a）2﹣4≤0∴﹣1≤a≤3故答案为：[﹣1，3]．3．函数的单调增区间为．【考点】复合函数的单调性．【分析】根据正切函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：由kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为；故答案为：．4．函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x ﹣4y+4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点（4，2），∴2=4α∴α=∴f（x）=f'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0故答案为：x﹣4y+4=06．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=9．【考点】函数的值．【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（﹣2）+f（log212）的值．【解答】解：由函数f（x）=，可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=sin（2x﹣）．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象求出函数f（x）的解析式即可得到结论．【解答】解：由图象知A=1，，即函数的周期T=π，∵T=，∴ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴+φ=+2kπ，即φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故答案为：sin（2x﹣）8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以偶函数f（x）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m ﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，解得．故答案为．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=8．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由已知求得M到右焦点的距离，然后结合三种圆锥曲线统一的定义得答案．【解答】解：如图，由椭圆C：=1，知a2=25，b2=9，∴c2=a2﹣b2=16，∴c=4．则e=，∵点N是MF的中点，O是椭圆的中心，ON=4，∴|MF′|=8，则|MF|=2a﹣|MF′|=10﹣8=2，设点M到椭圆C的左准线的距离为d，则，得d=．故答案为：．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用整体构造思想，将cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．【解答】解：∵0，∴，．sin（α+）=∵sin（α+）=故，∴．∴cos（α+）=；又∵，sin（α+）=cos[﹣（α+）]=cos（α）=，∴sin（α）=﹣．cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]=cos（α+）cos（α）﹣sin（α+）sin（α）=×+=．故答案为：0．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8] ．【考点】分段函数的应用．【分析】x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，可得当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，又当x=8时，y=﹣2x=﹣16，结合条件，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：x≤0时，f（x=12x﹣x3，∴f′（x）=﹣3（x+2）（x﹣2），∴x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，∴当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，∵当x=8时，y=﹣2x=﹣16，∴当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8]．故答案为：[﹣2，8]．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件并结合图形可得到，，这样代入进行数量积的运算即可得出，解该方程即可求出AB的长．【解答】解：根据条件：====；∴；解得．故答案为：．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是[1，e] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a，x∈[0，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围．【解答】解：由题意可得y0=sinx0∈[﹣1，1]，f（y0）=，∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a 在[0，1]上有解．令g（x）=e x+x﹣x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．∵当x∈[0，1]时，g′（x）=e x+1﹣2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，故答案为：[1，e]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由∠BAD=∠B+∠ADB，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可求AD，得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理即可解得DC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABD中，因为，所以，即sinB=，…3分所以sin∠BAD=sin（∠B+∠ADB），因为：∠ADB=，所以：sin∠BAD=×=…7分（2）由正弦定理，得…依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos ∠ADC，即，所以DC2﹣2DC﹣5=0，解得：（负值舍去）．…16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的计算公式，变形化简可得ab=15，借助三角函数基本关系计算可得sinC的值，由三角形面积公式计算可得答案；（2）由向量平行的坐标计算公式可得2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，化简可得，进而可得，即可得B的值，分析B、C 的大小关系，可得答案．【解答】解：（1）根据题意，∵，∴，∴ab=15，又∵，C∈（0，π），．所以．（2）根据题意，∵，∴2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，即，，即，显然cos2B≠0，所以，所以或，即或，因为，所以，所以（舍去），即．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．，可求f（θ）的表达式；【分析】（1）利用f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得最值．【解答】解：（1）连接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcosθ，BC=Rsinθ，θ∈（0，）=R2（sinθcosθ+cosθ）；∴f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数可得f′（θ）=﹣R2（2sinθ﹣1）（sinθ+1）令f′（θ）=0，则sinθ=∵θ∈（0，）∴θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，θ∈（，）时，f′（θ）＜0，∴θ=时，f（θ）取得最大，即θ=时，征地面积最大．18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【考点】向量在几何中的应用．（1）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0【分析】相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（3）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论（+）•是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．【解答】解：（1）由圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称知圆心A在直线x+y﹣1=0上，由得A（﹣1，2），设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，∴，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20，（2）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣2符合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0连接AQ，则AQ⊥MN，∵，∴，由，得，∴直线l的方程为3x﹣4y+6=0，∴所求直线l的方程为x=﹣2或3x﹣4y+6=0，（3）∵AQ⊥BP，∴•=0，∴（+）•=2•=2（）•=2（+•）=2•，当直线l与x轴垂直时，得，则=（0，），又=（1，2），∴（+）•=2•=2•=0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），由，解得，∴=（，），∴（+）•=2•=2•=2（+）=﹣10综上所述，（ +）•是定值，且为﹣1019．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）＜m对任意的x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）若，代入计算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切线互相垂直，整理得，设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，即可解得a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由得，，解得…（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，，由题意得，即，…整理得，设，由，得t∈（2，3），则有8t2﹣6at+a2+5=0，…设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，解得或8≤a＜11，所以a的取值范围是…（3），令g（x）=﹣2x2+ax﹣4，由题意，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，则有，解得…设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，则x1和x2是g（x）在区间（1，+∞）上的两个不同零点，不妨设x1＜x2，则①，得且关于a在上递增，因此…又由①可得②，当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减，结合②可得=…设，则，所以h（x）在上递增，所以，从而，所以，又f（1）=0，所以存在m≥3﹣4ln2，使f（x）＜m，综上，存在满足条件的m，m的取值范围为[3﹣4ln2，+∞）…数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P是直线2x﹣y+3=0上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q，是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ，求点Q的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】利用代入法，即可求点Q的轨迹方程．【解答】解：由题意知，M为PQ中点，…设Q（x，y），则P为（﹣2﹣x，4﹣y），代入2x﹣y+3=0，得2x﹣y+5=0…22．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4…由题设得A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：…23．已知函数f（x）=ln（1+x），x∈[0，+∞），f'（x）是f（x）的导函数．设g （x）=f（x）﹣axf'（x）（a为常数），求函数g（x）在[0，+∞）上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：由题意，…令g'（x）＞0，即x+1﹣a＞0，得x＞a﹣1，当a﹣1≤0，即a≤1时，g（x）在[0，+∞）上单调递增，g min（x）=g（0）=ln（1+0）﹣0=0…当a﹣1＞0即a＞1时，g（x）在[a﹣1，+∞）上单调递增，在[0，a﹣1]上单调递减，所以g（x）min=h（a﹣1）=lna﹣a+1…综上：…24．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA交于点M．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；平行向量与共线向量．【分析】（1）设点P （x ，y ）．由于k OP +k OA =k PA ，利用斜率计算公式可得，化简即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P ，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ，分两种情况讨论：一种是点M 为线段AQ 的中点，另一种是点A 是QM 的一个三等分点．利用=λ，可得PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1．再利用分点坐标公式，解出即可判断是否符合条件的点P 存在．【解答】解：（1）设点P （x ，y ）．∵k OP +k OA =k PA ，∴，化为y=x 2（x ≠0，﹣1）．即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S △PQA =2S △PAM ，①如图所示，点M 为线段AQ 的中点．∵=λ，∴PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1． ∴，解得．此时P （﹣1，1），Q （0，0）分别与A ，O 重合，因此不符合题意．故假设不成立，此时不存在满足条件的点P ．②如图所示，当点M 在QA 的延长线时，由S △PQA =2S △PAM ，可得，∵=λ，∴，PQ∥OA．由PQ∥OA，可得k PQ=k AO=﹣1．设M（m，n）．由，，可得：﹣1﹣x2=2（m+1），﹣x1=2m，化为x1﹣x2=3．联立，解得，此时，P（1，1）满足条件．综上可知：P（1，1）满足条件．。
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017-2018学年高三数学二模试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿h5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．2016年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x ∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k≠时，由②得判别式△=（k+1）2（3k﹣1）2，1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k＜且k≠时，方程②整理为[（2k﹣1）x+k（k+1）]（x﹣k﹣1）=0，解得x1=，x2=k+1，由于判别式△＞0，∴x1≠x2，其中x2=k+1＞k，x1﹣k=≥0，即x1≥k，故原方程有两解，3）当k＞时，由2）知，x1﹣k=＜0，即x1＜k，故x1不是原方程的解，而x2=k+1＞k，则原方程有唯一解，综上所述，当k≥或k=时，原方程有唯一解，当0≤k＜且k≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）．（ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2， ∴数列{a n }是等差数列，公差为2． （2）解：（i ）由（1）可得：a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，S n =n 2．∵存在整数k ≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m（3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．2016年9月20日。
【江苏省南通市】2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷(附答案与解析)
江苏省南通市2017届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．棱锥的体积公式：1V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．{3}AB =，则A B =________为虚数单位，则z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．6．若实数x ，y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =＋的最大值为________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：8．如图，在正四棱柱1111–ABCD A B C D 中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为 ______3cm ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．13．已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E PC 为的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证：（1）直线PA BDE ∥平面； （2）平面BDE PCD ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O OP 作的垂线交直线y 于点Q ，求2211OP OQ +的值． 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F AD 为的中点，点E BC 在边上，裁剪时先将四边形CDFE EF MNFE 沿直线翻折到处（点C ，D BC M 分别落在直线下方点，N 处，FN BC P 交边于点），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP ∠=π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积．B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为11112ABCD A B C D -的正方体中，11P C D 为棱的中点，1Q BB 为棱上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP AQ 与所成角的余弦值； （2）若直线1AA APQ 与平面所成的角为45︒，求实数λ的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点2F 的距离为． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E x P 处的切线与轴相交于点，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017届高三第一次调研测试数学试卷∞2)(2,+)+2,62]二、解答题：本大题共∠OA OB AOBcos2-ABOA OB3，PC PD P=，PCD．PN MN=2m ）解法一：=0 EFDθ(<19．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x+-'=--=，（0x >）．2分令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 6分因为当10a -≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e e af -+=，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,+)∞上有零点．综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点．8分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x--'=>，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>． 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,+)∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数h()=2ln 1x x x +-在(0,+)∞上是增函数，且h(1)=0， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<．13分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a a g a a a a-=--=>， 所以011x a <<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01(,)ex 上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．16分下面证明：ln 1x x ≤-．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（0x >）． 令()0t x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x ≤-成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x xa x +=，（0x >）有两个不等的实数解． 又因为ln 1x x ≤-，所以222ln 211(1)1x x x a x x x+-=≤=--+，（0x >）． 因为0x >时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当1a =时，1x =，即关于x 的方程2ln x xa x +=有且只有一个实数解．所以<<1a 0．13分（以下解法同解法1）20．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， 2分 整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =． 又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=． 6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列． 8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n ∈*N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取20]1n =+，则当10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2,)+∞．16分21．A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE =， 所以21322x x x ⨯==，所以2x =． 2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．6分又因为2CE x ==，所以OCE △的面积1122S OH CE ==⨯ 10分B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．【解】设ab Acd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵–1A 的属于特征值的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，．4分因为点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，．8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线.π()4θρ=∈R .被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB =． 10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， 3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②．6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，8分所以(0,0),(2,2)A B ，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =． 10分D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，8分所以max 5y =，此时3sinx =． 22．【解】以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为=(1,2,2)AP ，=(2,0,1)AQ ，所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ <>==，．所以AP 与AQ ． 4分（2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为(,,)x n y z =，则0,0,AP AQ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即220,220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以(2,2,2)n λλ=--．6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111||=||||||2,AA AA AA cos n <>==n n ， 23．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3分（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF 的距离为3|2|t t t d +-= 5分联立方程2,420,x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122tt AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7分所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x 在)+∞上单调递增．所以当x 32min 4)()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分。
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(2)(解析版)
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（2）一、填空题（本题共14个小题，每小题5分，共70分）1．复数（i为虚数单位）的模为．2．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），则•（﹣）=．3．在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是．4．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为．5．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．6．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．7．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f （x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为．9．在正项等比数列{a n}中，若3a1，成等差数列，则=．10．给出下列等式：=2cos，=2cos，=2cos…请从中归纳出第n（n∈N*）个等式：=．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y=0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2， (10)记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．13．已知实数x，y满足，设z=max{3x﹣y，4x﹣2y}，则z的取值范围是（max{a，b}表示a，b两数中的较大数）14．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是．二、填空题（本大题共6小题，共90分）15．在平面直角坐标系中，设向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），其中A，B为△ABC 的两个内角．（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：B为锐角．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．17．如图，摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，设摄影爱好者的眼睛（S）离地面的高度为m．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN，绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点Q（﹣2，0），x轴上方的动点P使直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列．（1）求证：动点P的横坐标为定值；（2）设直线PA，PB与圆O的另一个交点为S，T，求证：点Q，S，T三点共线．19．已知定义在R上的函数f（x）=，（其中a≠0）的图象不间断．（1）求m，n的值；（2）若a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点个数，并说明理由．20．若存在非零常数p，对任意的正整数n，a n+12=ana n+2+p，则称数列{a n}是“T数列”．（1）若数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*），求证：{a n}是“T数列”；（2）设{a n}是各项均不为0的“T数列”．①若p＜0，求证：{a n}不是等差数列；②若p＞0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时，{a n}是等差数列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知△ABC的两条内角平分线AD，BE交于点F，且∠C=60°．求证：C，D，E，F四点共圆．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤∠AOx≤，以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c，d满足a+b=cd=1，求证：（ac+bd）（ad+bc）≥1．【必做题】25．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P（0＜P＜1）．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是（1）求P的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）26．设函数f n（θ）=sin nθ+cos nθ，n∈N*，且f1（θ）=a，其中常数a为区间（0，1）内的有理数．（1）求f n（θ）的表达式（用a和n表示）（2）求证：对任意的正整数n，f n（θ）为有理数．2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本题共14个小题，每小题5分，共70分）1．复数（i为虚数单位）的模为．【考点】A8：复数求模．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：=，则复数的模为：．故答案为：．2．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），则•（﹣）=4．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，进行计算即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣3，2），∴﹣=（4，0），∴•（﹣）=1×4+2×0=4．故答案为：4．3．在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意可得：所有的基本事件有3个，再计算出符合条件的事件数为2个，进而结合古典概率的计算公式得到答案．【解答】解：根据题意可得此概率模型是古典概率模型，从53张卡片中随机抽取2张共有的取法有C32=3种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法为0，1与1，2，2种，所以根据古典概率的计算公式可得：取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．故答案为：．4．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出这组数据的标准差．【解答】解：∵一组数据3，5，4，7，6，∴这组数据的平均数=（3+5+4+7+6）=5，∴这组数据的方差为：S2= [（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]=2，∴这组数据的标准差S=．5．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=6时，满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．【解答】解：模拟执行算法流程，可得n=1，x=1x=，n=2不满足条件n＞5，x=，n=3不满足条件n＞5，x=，n=4不满足条件n＞5，x=，n=5不满足条件n＞5，x=，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．故答案为：．6．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为1．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．7．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE=AB=1，则侧高SE==，故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．故答案为：4+4．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据条件f（x0）≤f（x）≤f（x1+2016π）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的周期的性质建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则f（x0）为函数的最小值，f（x0+2016π）为函数的最大值，则x0+2016π﹣x0 =n•=2016π，∵T=，∴=2016π，即ω=×=，∵n∈N•，∴当n=1时，ω=为最小值，故答案为：．9．在正项等比数列{a n}中，若3a1，成等差数列，则=．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，根据3a1，成等差数列，可得：2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵3a1，成等差数列，∴2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，∴q2﹣2q﹣3=0，q＞0，解得q=3．则==．故答案为：．10．给出下列等式：=2cos，=2cos，=2cos…请从中归纳出第n（n∈N*）个等式：=2cos．【考点】F1：归纳推理．【分析】通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n个等式即可．【解答】解：因为=2cos，=2cos，=2cos…，等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为角的余弦值，角满足：，所以=2cos．故答案为：2cos．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y=0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：∵直线和圆相切，∴，∵圆心C在直线l的上方，∴a+2b＞0，从而a+2b=5，∴ab，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，故ab的最大值为，故答案为：12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2， (10)记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为180．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B3C3的方程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=•=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．故答案为：180．13．已知实数x，y满足，设z=max{3x﹣y，4x﹣2y}，则z的取值范围是[﹣10，8] （max{a，b}表示a，b两数中的较大数）【考点】7C：简单线性规划．【分析】设z1=3x﹣y，z2=4x﹣2y，作出可行域，平移直线y=3x可得z1∈[﹣10，6]，同理可得z2=4x ﹣2y∈[﹣16，8]，综合可得z的取值范围．【解答】解：由题意设z1=3x﹣y，z2=4x﹣2y，作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=3x﹣z1，平移直线y=3x可知，当直线经过点A（﹣2，4）时，截距﹣z1取最大值，z取最小值﹣10，当直线经过点B（2，0）时，截距﹣z1取最小值，z取最大值6，∴z1∈[﹣10，6]，同理可得z2=4x﹣2y∈[﹣16，8]，∴z的取值范围为：[﹣10，8]故答案为：[﹣10，8]14．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是[1，] ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为﹣1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为k1=（ax0+a﹣1）e x0，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为k2=（x0﹣2）e﹣x0，由题设有k1•k2=﹣1从而有（ax0+a﹣1）e x0•（x0﹣2）e﹣x0=﹣1，∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵x0∈[0，]，得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a=，又a′=﹣，令导数大于0得，1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故答案为：[1，]．二、填空题（本大题共6小题，共90分）15．在平面直角坐标系中，设向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），其中A，B为△ABC 的两个内角．（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：B为锐角．【考点】9R：平面向量数量积的运算；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合两角和的余弦公式和诱导公式即可得证；（2）运用两向量共线的条件和两角和的正弦公式和诱导公式即可得证．【解答】证明：（1）向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），若，则=0，即cosAcosB﹣sinAsinB=0，即有cos（A+B）=0，即cos（π﹣C）=0，则cosC=0，即有C为直角．（2）若∥，则sinAcosB=﹣3cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=﹣2cosAsinB，sin（A+B）=﹣2cosAsinB，即sinC=﹣2cosAsinB，由sinB＞0，sinC＞0，则cosA＜0，由sinA＞0，sinB＞0，则cosB＞0，则有B为锐角．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知及勾股定理可证BC⊥SB，结合已知PA⊥BC，可证BC⊥平面PSB，从而可证平面PSB⊥平面ABCD；（2）可证BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，即可证明l∥BC．【解答】证明：（1）∵A，D分别为边SB，SC的中点，且BC=8，∴AD∥BC且AD=4，∵AB=SA=3，CD=SD=5，∴SA2+AD2=SD2，∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，∴BC⊥SB，…∵PA⊥BC，PA∩SB=A，PA，SB⊂平面PSB∴BC⊥平面PSB，∵BC⊂平面ABCD，∴平面PSB⊥平面ABCD；…（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，所以l∥BC．…17．如图，摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，设摄影爱好者的眼睛（S）离地面的高度为m．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN，绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB 中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt △SAB 中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt △SCO 中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O 为原点，以水平方向向右为x 轴正方向建立平面直角坐 标系．设M （cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N （﹣cosθ，﹣sinθ），由（1）知S （3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣=，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11||•||=∈[11，13]…所以cos ∠MSN ∈[，1]，∴∠MSN ＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2+y 2=1与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点Q （﹣2，0），x 轴上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列． （1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点为S ，T ，求证：点Q ，S ，T 三点共线．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）求得A，B的坐标，设P（x0，y0）（y0≠0），运用直线的斜率公式，由等差数列的性质，化简整理，计算即可得到动点P的横坐标为定值；（2）求出PA，PB的斜率，将PA的直线方程代入圆的方程，化简可得S的坐标，同理可得T的坐标，求得QS，QT的斜率，即可得到三点Q，S，T共线．【解答】证明：（1）由题意可知A（﹣1，0），B（1，0），设P（x0，y0）（y0≠0），则k PQ=，k PB=，k PA=，直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列，即有2k PQ=k PA+k PB，即=+，由y0≠0，解得x0=﹣，则动点P的横坐标为定值﹣；（2）由（1）知，P（﹣，y0），k PA==2y0，k PB==﹣y0，直线PA：y=2y0（x+1），代入圆x2+y2=1得（1+4y02）x2+8y02x+4y02﹣1=0，由于﹣1和x S是方程的两根，可得﹣x S=，即有x S=，y S=，同理可得x T=，y T=，由==，=═=，即有直线QS，QT的斜率相等，则S，T，Q共线．19．已知定义在R上的函数f（x）=，（其中a≠0）的图象不间断．（1）求m，n的值；（2）若a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点个数，并说明理由．【考点】5B：分段函数的应用；52：函数零点的判定定理．【分析】（1）由f（x）的图象不间断，可得f（0）=1，f（4）=0，解方程可得m，n；（2）运用指数函数的单调性，可得a＜0，求出三次函数的导数，求出对称轴，判别式小于等于0，解不等式可得a的范围；（3）由题意可得y=x3+（b﹣4）x2﹣（4b+）x+1，y′=3x2+2（b﹣4）x﹣（4b+），△=4（b﹣4）2+12（4b+）=4b2+16b+67＞0，求得函数y的单调区间和极值，对b讨论，①当b＞0时，②当b＜﹣1时，③当﹣1＜b＜0时，④当b=0时，⑤当b=﹣1时，运用解方程和函数零点存在定理，即可得到零点个数．【解答】解：（1）由f（x）的图象不间断，可得f（0）=1，f（4）=0，即为n=1，64a+16（b﹣4a）﹣4（4b+m）+n=0，解得m=，n=1；（2）由y=2﹣x在R上递减，可得f（x）是R上的单调函数，则在y=a（log4x﹣1）中，y′=＜0，故a＜0；在y=ax3+（b﹣4a）x2﹣（4b+）x+1中，由a+b=0，y′=3ax2﹣10ax+4a﹣，对称轴为x=，△=100a2﹣12a（4a﹣）≤0，解得﹣≤a＜0；（3）由题意可得y=x3+（b﹣4）x2﹣（4b+）x+1，y′=3x2+2（b﹣4）x﹣（4b+），△=4（b﹣4）2+12（4b+）=4b2+16b+67＞0，所以关于x的方程，y′=0有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），当x＜x1时，y′＞0，函数y递增；当x1＜x＜x2时，y′＜0，函数y递减；当x＞x2时，y′＞0，函数y递增．即有函数y在x1处取得极大值，在x2处取得极小值．①当b＞0时，2﹣x+b=0无解，log4x﹣1+b=0无解．又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＞0，f（2）+b=8+4（b﹣4）﹣2（4b+）+1+b=﹣﹣3b＜0，f（x）+b=0在（0，4）有两解，则g（x）=f（x）+b共有2个零点；②当b＜﹣1时，2﹣x+b=0有一解x=log（﹣b），log4x﹣1+b=0有一解x=41﹣b，又f（0）+b=1+b＜0，f（4）+b=b＜0，f（）+b=+（b﹣4）﹣（4b+）+1+b=﹣b＞0，则f（x）+b=0在（0，4）有4解，则g（x）=f（x）+b共有4个零点；③当﹣1＜b＜0时，2﹣x+b=0无解，log4x﹣1+b=0有一解x=41﹣b，又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＜0，则f（x）+b=0在（0，4）有2解，则g（x）=f（x）+b共有2个零点；④当b=0时，有x=4和x=两个解；⑤当b=﹣1时，有x=0，x=16，x=三个解．综上可得，当b＞﹣1时，g（x）有2个零点；当当b=﹣1时，g（x）有3个零点；当b＜﹣1时，g（x）有4个零点．20．若存在非零常数p，对任意的正整数n，a n+12=ana n+2+p，则称数列{a n}是“T数列”．（1）若数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*），求证：{a n}是“T数列”；（2）设{a n}是各项均不为0的“T数列”．①若p＜0，求证：{a n}不是等差数列；②若p＞0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时，{a n}是等差数列．【考点】8F：等差数列的性质；8H：数列递推式．【分析】（1）由S n=n2求出数列的通项公式，代入a n+12=a n a n+2+p成立，说明数列{a n}是“T数列”；（2）①由反证法，若{a n}是等差数列，代入a n+12=ana n+2+p得到小于0的p不存在，说明假设错误；②由a1，a2，a3成等差数列，代入a n+12=ana n+2+p得到p=d2，由同一法说明{a n}是等差数列．【解答】证明：（1）由S n=n2，得a n=2n﹣1，a n+12=（2n+1）2=4n2+4n+1，a n a n +2=（2n ﹣1）（2n +3）=4n 2+4n ﹣3， ∴a n +12=a n a n +2+4， ∴{a n }是“T 数列”；（2）①由a n +12=a n a n +2+p ，p ＜0，若{a n }是等差数列，则，代入a n +12=a n a n +2+p ，得，即，∵p ＜0，此式显然不成立， ∴{a n }不是等差数列；②由a n +12=a n a n +2+p ，得+p ，当a 1，a 2，a 3成等差数列时，则，即p=d 2．∴a n +12=a n a n +2+d 2．假设{a n }是公差为d 的等差数列， 则a n +1=a n +d ，a n +2=a n +2d ， 代入a n +12=a n a n +2+d 2成立．∴假设成立，即{a n }是公差为d 的等差数列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且∠C=60°．求证：C ，D ，E ，F 四点共圆．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【分析】首先利用三角形内角和定理的应用和角平分线定理求出：∠DFE +∠C=180°，进一步利用四边形对角互补求出四点共圆．【解答】证明：知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且∠C=60°所以：∠AFB=180°﹣（∠BAC+∠ABC）=180°﹣=120°由于：∠AFB=∠DFE，所以：∠DFE+∠C=180°故：C，D，E，F四点共圆．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B，得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤∠AOx≤，以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B的轨迹方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】首先根据题意建立等量关系：ρ0=2ρcosθ0，进一步建立，最后建立方程组求得结果，要注意条件的应用．【解答】解：设A（ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依题意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以点B的轨迹方程为，．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c，d满足a+b=cd=1，求证：（ac+bd）（ad+bc）≥1．【考点】R6：不等式的证明．【分析】展开，利用基本不等式，结合a，b，c，d满足a+b=cd=1，即可证明结论．【解答】证明：（ac+bd）（ad+bc）=（a2+b2）cd+ab（c2+d2）≥（a2+b2）cd+2abcd=（a+b）2cd，因为a，b，c，d满足a+b=cd=1，所以（a+b）2cd=1，所以：（ac+bd）（ad+bc）≥1．【必做题】25．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P（0＜P＜1）．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是（1）求P的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用对立事件，结合恰用完3次投篮机会的概率是，求P的值；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）设事件A：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件A：“前两次投篮均不中”由题意，P（A）=1﹣（1﹣p）2=，∴p=；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，则P（ξ=0）=（1﹣p）2=，P（ξ=1）=p（1﹣p）2+（1﹣p）p（1﹣p）=，P（ξ=3）=p3=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，∴ξ的概率分列为数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．26．设函数f n（θ）=sin nθ+cos nθ，n∈N*，且f1（θ）=a，其中常数a为区间（0，1）内的有理数．（1）求f n（θ）的表达式（用a和n表示）（2）求证：对任意的正整数n，f n（θ）为有理数．【考点】DC：二项式定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用sinθ+cosθ=a，sin2θ+cos2θ=1，求出sinθ，可得f n（θ）的表达式（用α和n表示）（2）利用二项式的展开式，即可得出结论．【解答】（1）解：由题意，sinθ+cosθ=a，sin2θ+cos2θ=1，所以2sin2θ﹣2asinθ+a2﹣1=0，所以si nθ=，所以f n（θ）=（）n+（）n；（2）证明：f n（θ）=（）n+（）n=2•+2•+…+…∈Q．2017年5月30日。
江苏省南通市高考数学二模试卷(理科)
江苏省南通市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·江西模拟) 已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A . 2B .C . 5D . 52. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A . {3}B . {2，3}C . {0，2，3}D . {﹣2，0，2}3. （2分）(2017·辽宁模拟) 若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .5. （2分）数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为（）A . 3690B . 3660C . 1845D . 18306. （2分）设x,y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是（）A . 0.42B . 0.28C . 0.36D . 0.629. （2分）同时具有性质“（1）最小正周期是；（2）图像关于直线对称；（3）在上是增函数”的一个函数是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·黄冈模拟) «孙子算经»中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（）A . 74B . 75C . 76D . 7711. （2分） (2016高一上·台州期末) 已知向量，满足| |=2，| + |=2，| ﹣ |=2 ，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .12. （2分）电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有________ 种．（用数值作答）14. （1分）(2017·淮安模拟) 已知函数f（x）=x+alnx，若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线过原点，则实数a的值为________．15. （1分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为________．16. （1分）双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为________三、解答题： (共7题；共55分)17. （5分）根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1 ， a2 ，…，an ，…，a2015（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知函数f（x）=a2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是a1 ，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，求函数f（x）=a2sin（ωx+φ）在区间[﹣，]上的值域．18. （5分） (2017高二下·咸阳期末) 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．19. （5分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E 为棱A1C1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1C1D⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣C1的余弦值．20. （10分）(2014·重庆理) 如图，设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2 ， =2 ，△DF1F2的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．21. （15分） (2016高三上·常州期中) 设函数f（x）=x（x﹣1）2 ， x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．22. （10分） (2016高二下·黄骅期中) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．23. （5分）(2015·河北模拟) 已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。
2017年江苏省南通市如皋市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省南通市如皋市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝．2．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，，则x+y＝．3．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为．4．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．5．（5分）运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．6．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3＝7，S6＝63．则S9＝．7．（5分）若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为．8．（5分）平面直角坐标系中，角θ满足，，，设点B是角θ终边上一动点，则的最小值是．9．（5分）设不等式组表示的平面区域为a，P（x，y）是区域D上任意一点，则|x﹣2|﹣|2y|的最小值是．10．（5分）已知函数f（x）＝e x（x﹣b）（b∈R）．若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是．11．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点．若，，则＝．12．（5分）动直线y＝kx+4﹣3k与函数的图象交于A、B两点，点P（x，y）是平面上的动点，满足，则x2+y2的取值范围为．13．（5分）已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F2，点M在圆x2+y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为．14．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量＝（cos A，cos B），＝（b+2c，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，b+c＝8，求AC边上的高h的大小．16．（14分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABC，点M、D 分别是线段AA1、BC的中点．（1）求证：AD⊥CC1；（2）求证：AD∥平面MBC1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是椭圆+＝1的左右顶点，离心率为，且椭圆过定点，P为椭圆右准线上任意一点，直线P A，PB分别交椭圆于M，N．（1）求椭圆的方程；（2）若线段MN与x轴交于Q点且，求λ的取值范围．18．（16分）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD＝2θ，（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；（2）求商业街的总收益的最大值．19．（16分）数列{a n}对于确定的正整数m，若存在正整数n使得a m+n＝a m+a n成立，则称数列{a n}为“m阶可分拆数列”．（1）设{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，证明{a n}为“3阶可分拆数列”；（2）设数列{a n}的前n项和为（a＞0），若数列{a n}为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；（3）设，试探求是否存在m使得若数列{a n}为“m阶可分拆数列”．若存在，请求出所有m，若不存在，请说明理由．20．（16分）若实数x0满足p（x0）＝x0，则称x＝x0为函数p（x）的不动点．（1）求函数f（x）＝lnx+1的不动点；（2）设函数g（x）＝ax3+bx2+cx+3，其中a，b，c为实数．①若a＝0时，存在一个实数，使得x＝x0既是g（x）的不动点，又是g'（x）的不动点（g'（x）是函数g（x）的导函数），求实数b的取值范围；②令h（x）＝g'（x）（a≠0），若存在实数m，使m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，求证：函数h（x）存在不动点．数学Ⅱ（附加题）[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，A的逆矩阵A﹣1＝（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是ρsin2θ＝6cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程ρsin2θ＝6cosθ化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．23．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB＝90°，A1B1∥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【必做题】本题满分0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．已知函数f（x）＝（x﹣1）e x+1（x＞0）求证：（1）f（x）＞0（2）对∀n∈N*，若，x1＝1，求证：．2017年江苏省南通市如皋市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝{2，3，4}．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{2，3，4}．故答案为：{2，3，4}．2．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，，则x+y＝2．【解答】解：＝＝1﹣i，∴，解得x＝1，y＝1．则x+y＝2．故答案为：2．3．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为700．【解答】解：由图[2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500＝0.7；则在[2000，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000＝700．故答案为：700．4．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1＝，S2＝，∵S1＞2S2，∴AP＞2BP，∴S1＞2S2的概率是．故答案为：．5．（5分）运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为13．【解答】解：当i＝0时，满足进行循环的条件，S＝1，i＝3；当i＝4时，满足进行循环的条件，S＝7，i＝6；当i＝7时，满足进行循环的条件，S＝13，i＝9；当i＝9时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为13．故答案为：136．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3＝7，S6＝63．则S9＝511．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n．S3＝7，S6＝63．∴由等比数列的性质得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，即7，56，S9﹣63，∴562＝7（S9﹣63），解得S9＝511．故答案为：511．7．（5分）若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为8．【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD，底面ABCD的中心为O取CD中点E，连结PE，OE．则PE⊥CD．OE＝．∵S侧面＝4S△PCD＝4××CD×PE＝4，∴PE＝．∴PO＝＝3，∴正四棱锥体积V＝＝8．故答案为：8．8．（5分）平面直角坐标系中，角θ满足，，，设点B是角θ终边上一动点，则的最小值是．【解答】解：∵，，∴sinθ＝2sin cos＝﹣2××＝﹣，cosθ＝2cos2﹣1＝﹣，∵点B是角θ终边上一点，不妨设||＝25m（m＞0），则B（﹣7m，﹣24m），∵，∴﹣＝（﹣1+7m，24m），∴2＝（﹣1+7m）2+（24m）2＝625m2﹣14m+1，当m＝时，有最小值，最小值为，故的最小值是，故答案为：．9．（5分）设不等式组表示的平面区域为a，P（x，y）是区域D上任意一点，则|x﹣2|﹣|2y|的最小值是﹣7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由图象知y≥0，设z＝|x﹣2|﹣|2y|，则z＝|x﹣2|﹣2y，即y＝|x﹣2|﹣z，作出曲线y＝|x﹣2|，平移曲线y＝|x﹣2|﹣z，由图象知当曲线y＝|x﹣2|﹣z，经过点B时，曲线的顶点最大，此时﹣z最小，由得得B（3，4），此时z＝|3﹣2|﹣2×4＝1﹣8＝﹣7，故答案为：﹣710．（5分）已知函数f（x）＝e x（x﹣b）（b∈R）．若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：∵f（x）＝e x（x﹣b），∴f′（x）＝e x（x﹣b+1），若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则若存在x∈[，2]，使得e x（x﹣b）+xe x（x﹣b+1）＞0，即存在x∈[，2]，使得b＜成立，令g（x）＝，x∈[，2]，则g′（x）＝＞0，g（x）在[，2]递增，∴g（x）最大值＝g（2）＝，故b＜，故答案为：（﹣∞，）．11．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点．若，，则＝﹣1．【解答】解：D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点，∴＝+，＝﹣+，∴•＝﹣＝，∴2＝+＝，∵＝+＝+，＝﹣+，∴•＝﹣＝×﹣＝﹣1，故答案为：﹣1．12．（5分）动直线y＝kx+4﹣3k与函数的图象交于A、B两点，点P（x，y）是平面上的动点，满足，则x2+y2的取值范围为[16，36]．【解答】解：y＝k（x﹣3）+4 必经过点Q（3，4）是以新原点O'（3，4）坐标下的y'＝kx'是以新原点O'（3，4）坐标下的x'y′1所以交点A，B为新原点O'下的A（，），B（﹣，﹣）P A＝（﹣m）+（﹣n）iPB＝（﹣﹣m）+（﹣﹣n）i|P A+PB|＝|﹣2m﹣2ni|＝2|m+ni|＝1即m2+n2＝1 是一个圆，即P的轨迹是以（3，4）为圆心的单位圆，∴x2+y2的取值范围为[16，36]，故答案为[16，36]．13．（5分）已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F2，点M在圆x2+y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为＝1．【解答】解：椭圆C：的离心率为，则a＝2c，b＝c，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|PF2|2＝（x1﹣c）2+y12＝（x1﹣4c）2，∴|PF2|＝2c﹣x1，连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝x12+y12﹣3c2＝x12，∴|PM|＝x1，∴|PF2|+|PM|＝2c，同理可求|QF2|+|QM|＝2c，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|＝4c．∵△PF2Q的周长为4，∴c＝1，∴，∴椭圆C的方程为＝1．故答案为＝1．14．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为9．【解答】解：∵a＞0，b＞0，，即＝1．∴＝×＝（2a+b）＝5++≥5+2×＝9，当且仅当a＝b＝12时取等号．若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为9．故答案为：9．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量＝（cos A，cos B），＝（b+2c，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，b+c＝8，求AC边上的高h的大小．【解答】解：（1）△ABC中，向量＝（cos A，cos B），＝（b+2c，a），且⊥，∴•＝（b+2c）cos A+a cos B＝0，由正弦定理得（sin B+2sin C）cos A+sin A cos B＝0，∴sin B cos A+cos B sin A+2sin C cos A＝0，∴sin（A+B）+2sin C cos A＝0，即sin C+2sin C cos A＝0；又C∈（0，π），∴sin C≠0，∴cos A＝﹣；又A∈（0，π），∴A＝；（2）若a＝4，b+c＝8，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣2bc cos＝b2+c2+bc＝48；又（b+c）2＝b2+c2+2bc＝64，∴bc＝16；解得b＝c＝4，∴AC边上的高为h＝4•sin（π﹣）＝2．16．（14分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABC，点M、D 分别是线段AA1、BC的中点．（1）求证：AD⊥CC1；（2）求证：AD∥平面MBC1．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，点D是线段BC的中点，∴AD⊥BC，又平面BB1C1C⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，平面BB1C1C∩底面ABC＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C，又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1．（2）连结B1C，与BC1交于点E，连结EM，DE，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点E为B1C的中点，∵点D是BC的中点，∴DE∥B1B，DE＝B1B，又占M是AA1的中点，AA1∥BB1，∴AM∥B1B，AM＝BB1，∴AM DE，∴四边形ADEM是平行四边形，∴EM∥AD，又EM⊂平面MBC1，AD⊄平面MBC1，∴AD∥平面MBC1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是椭圆+＝1的左右顶点，离心率为，且椭圆过定点，P为椭圆右准线上任意一点，直线P A，PB分别交椭圆于M，N．（1）求椭圆的方程；（2）若线段MN与x轴交于Q点且，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆离心率e＝＝，则a＝2c，则b2＝a2﹣c2＝3c2，将代入椭圆方程：，即，解得：c＝1，则a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知：则准线方程x＝＝4，设P（4，t），A（﹣2，0），B（2，0）则直线P A的斜率k1＝＝，直线P A的方程y＝（x+2），直线PB的斜率k1＝＝，直线PB的方程y＝（x﹣2），，解得：，则M（，），同理可得：N（，），由设Q（x，0），由，则＝（x﹣，﹣），＝（﹣x，），﹣＝λ，则λ＝＝＝＝3﹣，则＜λ＜3，λ的取值范围（，3）．18．（16分）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD＝2θ，（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；（2）求商业街的总收益的最大值．【解答】解：（1）①当θ∈（0，]时，ED＝2θ，EF＝+cosθ；∴f（θ）＝2aθ+2a（+2cosθ）；②当θ∈（，）时，ED+F A+BC＝4θ﹣，EF＝2cosθ；∴f（θ）＝（4θ﹣）a+2a（4cosθ）；由①②可得，f（θ）＝；（2）①当θ∈（0，]时，f′（θ）＝2a（1﹣2sinθ）；由a＞0，填表如下：]，∴当θ＝时，f（θ）有最大值为（2+2+）a；②当θ∈（，）时，f′（θ）＝a（4﹣8sinθ）；∵a＞0，且sinθ∈（，1），∴f′（θ）＝a（4﹣8sinθ）＜0，∴f（θ）在θ∈（，）时单调递减，∴f（θ）＜f（）；又∵f（）＜f（），∴当θ∈（0，）时，在θ＝时f（θ）取得最大值为（2+2+）a；即θ＝时，商业街总收益最大，最大值为（2+2+）a．19．（16分）数列{a n}对于确定的正整数m，若存在正整数n使得a m+n＝a m+a n成立，则称数列{a n}为“m阶可分拆数列”．（1）设{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，证明{a n}为“3阶可分拆数列”；（2）设数列{a n}的前n项和为（a＞0），若数列{a n}为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；（3）设，试探求是否存在m使得若数列{a n}为“m阶可分拆数列”．若存在，请求出所有m，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：a n＝2+2（n﹣1）＝2n．则a3+n＝2×（3+n）＝6+2n＝a3+a n．∴{a n}为“3阶可分拆数列”．（2）解：（a＞0），a1＝S1＝2﹣a，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）＝2n﹣1．∵数列{a n}为“1阶可分拆数列”，∴a n+1＝a1+a n，∴2n＝2﹣a+2n﹣1，∴a＝2﹣2n﹣1．令n＝1时，a＝1．（3）解：假设数列{a n}为“m阶可分拆数列”．则a m+n＝a m+a n成立，∴2n+m+（n+m）2+12＝2m+m2+12+2n+n2+12，化为：2n+m+2mn＝2m+2n+12，∴（2m﹣1）（2n﹣1）+2mn＝13．可得：m＝1，n＝3；m＝2，n不存在；m＝3，n＝1．m≥4时n不存在．∴只有两组：m＝1，n＝3；m＝3，n＝1．20．（16分）若实数x0满足p（x0）＝x0，则称x＝x0为函数p（x）的不动点．（1）求函数f（x）＝lnx+1的不动点；（2）设函数g（x）＝ax3+bx2+cx+3，其中a，b，c为实数．①若a＝0时，存在一个实数，使得x＝x0既是g（x）的不动点，又是g'（x）的不动点（g'（x）是函数g（x）的导函数），求实数b的取值范围；②令h（x）＝g'（x）（a≠0），若存在实数m，使m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，求证：函数h（x）存在不动点．【解答】（1）解：由题意可知lnx+1＝x，令φ（x）＝lnx﹣x+1，则φ′（x）＝，当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）为减函数，∴φ（x）先增后减，有极大值为φ（1）＝0．∴函数f（x）＝lnx+1的不动点为x＝1；（2）①解：由题意可知，，消去c，得，x0∈[，2]，∴b∈[]．②证明：h（x）＝g'（x）＝3ax2+2bx+c．由题意知，m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，故可设公比为q，则，故方程h（x）＝qx有三个根m，h（m），h（h（m）），又∵a≠0，∴h（x）＝g'（x）＝3ax2+2bx+c为二次函数，故方程h（x）＝qx为二次方程，最多有两个不等根，则m，h（m），h（h（m））中至少有两个值相等．当h（m）＝m时，方程h（x）＝x有实数根m，也即函数h（x）存在不动点，符合题意；当h（h（m））＝m时，则qh（m）＝m，q2m＝m，故q2＝1，又各项均为正数，则q＝1，即h（m）＝m，同上，函数h（x）存在不动点，符合题意；当h（h（m））＝h（m）时，则qh（m）＝qm，h（m）＝m，同上，函数h（x）存在不动点，符合题意．综上所述，函数h（x）存在不动点．数学Ⅱ（附加题）[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，A的逆矩阵A﹣1＝（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．【解答】解：（1）因为AA﹣1＝＝＝，所以解得a＝1，b＝﹣．…（5分）（2）由（1）得A＝则A的特征多项式f（λ）＝＝（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是ρsin2θ＝6cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程ρsin2θ＝6cosθ化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρsin2θ＝6cosθ，即ρ2sin2θ＝6ρcosθ，化为直角坐标方程：y2＝6x，表示焦点在x轴上的抛物线、顶点为原点，向右开口．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C可得：t2﹣4t﹣12＝0，解得t＝6或﹣2．∴|AB|＝|﹣2﹣6|＝8．23．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB＝90°，A1B1∥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB＝∠A1AC＝90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC＝90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1＝A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB＝AC＝AA1＝2A1B1＝2A1C1＝2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量＝（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为＝（x，y，z），由，得取y＝2，得＝（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以＝＝＝．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）＝λ（0，﹣1，2），所以x1＝0，y1＝2﹣λ，z1＝2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为＝（x0，y0，z0），由，得取y0＝1，得（显然λ＝0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…（14分）【必做题】本题满分0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．已知函数f（x）＝（x﹣1）e x+1（x＞0）求证：（1）f（x）＞0（2）对∀n∈N*，若，x1＝1，求证：．【解答】证明：（1）∵f（x）＝（x﹣1）e x+1，∴f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，当x＞0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，因此f（x）＞f（0）＝0；（2）首先用数学归纳法证明x n＞．①当n＝1时，x1＝1＞，∴x1＞成立．②假设n＝k时，x k＞．那么当n＝k+1时，，则，当x＞0时，由不等式e x﹣1＞x得＞1且g（x）＝在（0，+∞）单调递增，∵x k＞，∴＞＞．∴x k+1＞．由①②可知，对任意的正整数n，总有x n＞，则．由（1）知（1﹣x n）＜0，∴＜x n．由，知x n+1＜x n．∴．。
南通市2017届高三第二次调研测试
i ←1While i < 6 i ←i +2 S ←2i +3 End While Print S（第3题）南通市2017届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：（1）球的体积公式：34πV R =球，其中R 为球的半径．（2）锥体的体积公式：13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ．2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．4． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组（第4题）及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ． 5． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标 是 ▲ ．7． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实 心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ． 8． 函数()f x 的定义域是 ▲ ．9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值 是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7，则 BC →·DC →的值是 ▲ ．12．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ．14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最小值 时，a 的值是 ▲ ．(第11题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知()πsin 4α+=，()ππ2α∈，． 求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ． 求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →=12OC →，求直线AB 的斜率．C 1ACA 1B 1 D(第16题)E18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30° 方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是 走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由；北(第18题)（3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．南通市2017届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD ⋅=⋅．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）（第21—A 题）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x ++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n b b b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥．例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第2次 变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值； （2）求证：0C mj m i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．）南通市2017届高三第二次调研测试（第3题）i ←1While i < 6 i ←i +2 S ←2i +3 End While Print S数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ．【答案】{}03， 2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ．3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．【答案】174． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ． 【答案】1805． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ． 【答案】4（或0.16）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横 坐标是 ▲ ．【答案】27． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个 实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ．（第4题）8． 函数()f x 的定义域是 ▲ ． 【答案】[]22-，9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ． 【答案】5-10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ． 【答案】2281x y +=11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7， 则BC →·DC →的值是 ▲ ．【答案】912．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(01)，14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最 小值时，a 的值是 ▲ ． 【答案】4-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．(第11题)15．（本小题满分14分）已知()πsin 4α+=，()ππ2α∈，． 求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．解：（1）法一：因为()ππα∈，，所以()π3π5πα+∈，，又()πsin 4α+=，所以()πcos 4α+=． …… 3分所以()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()ππππcos cos sin sin 4444αα=+++=35=-． …… 6分法二：由()πsin 4α+得，ππsin cos cos sin 44αα+，即1sin cos 5αα+=． ① …… 3分又22sin cos 1αα+=. ②由①②解得3cos 5α=-或cos α=45．因为()ππ2α∈，，所以3cos 5α=-． …… 6分 （2）因为()ππα∈，，3cos 5α=-，所以4sin 5α=． …… 8分所以()4324sin22sin cos 25525ααα==⨯⨯-=-，()2237cos22cos 12525αα=-=⨯-=-． …… 12分所以()πππsin 2sin 2cos cos2sin 444ααα-=-()()2472525=--=． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ． 求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形A 1ACC 1为平行四边形． 又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点． …… 2分同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC ． …… 4分 又BC ⊂平面B 1BCC 1，DE ⊄平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1． …… 7分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥． …… 9分 又AC BC ⊥，1ACAA A =，1AC AA ⊂，平面11A ACC ，所以BC ⊥平面11A ACC ． …… 12分 因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． …… 14分C 1ACA 1B 1 D(第16题)E17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →=12OC →，求直线AB 的斜率．解：（1）因为椭圆的离心率为23，23=，即2259b a=．①又因为点C ()523，在椭圆上，所以2242519a b +=． ② …… 3分 由①②解得2295a b ==，．因为0a b >>，所以3a b ==， …… 5分（2）法一：由①知，2259b a =，所以椭圆方程为2222915y x a a+=，即222595x y a +=．设直线OC 的方程为x my =()0m >，11()B x y ，，22()C x y ，．由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222595m y y a +=， 所以222559a y m =+．因为20y >，所以2y =…… 8分 因为AB →=12OC →，所以//AB OC ．可设直线AB 的方程为x m y a =-．由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =+，得121059am y m =+． …… 11分因为AB →=12OC →，所以()()11221122x a y x y +=，，，于是212y y =，(第17题)2059am m =+()0m >，所以m =． 所以直线AB的斜率为1m =． …… 14分法二：由（1）可知，椭圆方程为222595x y a +=，则(0)A a -，． 设11()B x y ，，22()C x y ，．由AB →=12OC →，得()()11221122x a y x y +=，，，所以1212x x a =-，1212y y =． …… 8分 因为点B ，点C 都在椭圆222595x y a +=上， 所以()()22222222225951595.22x y a y x a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得24a x =，2y =， …… 12分所以直线AB的斜率22y k x == …… 14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏 东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 解：（1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲），依题意，3AC BC =． …… 2分 在△ABC 中，由正弦定理得，北sin sin BC BAC ABC AC ∠=∠sin1203==．因为sin17°≈，所以17BAC ∠=°． 从而缉私艇应向北偏东47方向追击． …… 5分 在△ABC 中，由余弦定理得，2224cos1208BC AC BC+-=，解得BC 1.68615≈．又B 到边界线l 的距离为3.84sin30 1.8-=．因为1.68615 1.8<，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分 （2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ． 则(2B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则3PA PB=3=．整理得，()(229944x y -+=， …… 12分所以点()P x y ，的轨迹是以点(94为圆心，32为半径的圆． 因为圆心(94到领海边界线l ： 3.8x =的距离为1.55，大于圆半径3，所以缉私艇能在领海内截住走私船． …… 14分 答：（1）缉私艇应向北偏东47方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分19．（本小题满分16分）已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；A BC图甲（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以11e ln e ln e e x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=． 所以函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=． …… 2分（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln e x p x g x f x x λλ=+=+，则e ()ex xx p x x λ-'=． …… 4分 假设e λ≤．① 若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分 ② 若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分 （3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0． 记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1，则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=． ① 当1e a ≤时，因为211ee x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥， 所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：当1e a >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x-'-=()≤，当()1e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()．另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．综上，1ea ≤． …… 16分20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．解：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． …… 2分 （2）{}n a 不是等比数列．理由如下： 假设{}n a 是等比数列，公比为q ，当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=，所以2(1)6r q q q ++=， （i ） …… 4分 当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+，所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ） …… 6分由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立．故{}n a 不是等比数列． …… 8分（3）当r =2时，易知3122a a a +=．由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得 2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯--=…… ()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--，所以11121n n a a a a a a----==⋅⋅⋅=，令21a a -=d ，则11n a a d n -=-(2)n ≥． …… 14分 所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式， 所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD ⋅=⋅． 证明：连结OC ．因为ACB ADC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠．3分 因为OC =OD ，所以OCD ADC ∠=∠． 所以ACB OCD ∠=∠．所以△ABC ∽△ODC ． …… 8分 所以AC BC OC CD=，即AC CD OC BC ⋅=⋅．因为12OC AD =，所以2AD BC AC CD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （第21—A 题）所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分 解得0b =，12d =，所以10102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． …… 6分 根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分 法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦两边同时左乘逆矩阵1-A 得， 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． …… 6分 解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =． …… 3分将直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）代入28y x =得，2240l -+=， …… 6分解得1l =2l =则12l l -=所以线段AB的长为 …… 10分 法二：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =， …… 3分将直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）化为普通方程为30x y -+=， …… 6分由28302y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得，122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或926.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以AB…… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x ++++≥． 证明：因为x y z ，，均为正实数，且1xyz =，所以3122xy yz x x y +=≥，3122yz xz y y z+=≥，3122xz xy z z x +=≥． …… 8分 所以333111xy yz zx x y y z z x ++++≥． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望． 解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以()4548C 13()1114C P A P A =-=-=．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314． …… 4分（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3． 依题意，()24X ax a x =+-，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则4548C 1(8)(0)14C P X a P x =====，133548C C 3(7)(1)7C P X a P x =====，223548C C3(6)(2)7C P X a P x =====，313548C C 1(5)(3)14C P X a P x =====．从而X 的概率分布为：…… 8分所以X 的数学期望()133191876514771414E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯=．…… 10分23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n b b b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥．例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第 2次变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值； （2）求证：0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．） 解：（1）依题意，()12345678n ⋅⋅⋅，，，，，，，，，经1次变换为：()35791113151n ⋅⋅⋅+，，，，，，，，， 经2次变换为：()812162024284n ⋅⋅⋅+，，，，，，，， 经3次变换为：()202836445212n ⋅⋅⋅+，，，，，，，所以3552b =，． …… 3分（2）下面用数学归纳法证明对*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． （i ）当1m =时，11110C j i i i i j j b a a a ++==+=∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，，结论成立； （ii ）假设*()m k k =∈N 时，k i b =，0C kj i jk j a+=∑，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 5分 则1m k =+时，11k i k i k i b b b ++=+，，，10C C kkjj i j ki j k j j a a +++===+∑∑1101C C kk j j i j ki j k j j a a +-++===+∑∑()0111C C C C kj j ki ki j k k i k k j a a a -+++==+++∑0111111C C C kj k i k i j k i k k j a a a +++++++==++∑ 110C k j i j k j a +++==∑，所以结论对1m k =+时也成立．由（i ）（ii ）知，*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 10分。
2017年江苏省扬州市、淮安市、南通市、泰州市、宿迁市高三二模数学试卷
2017年江苏省扬州市、淮安市、南通市、泰州市、宿迁市高三二模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______．2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是______．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果是______．i←1While i<6i←i+2S←2i+3End WhilePrint S4. 现有根某品种的棉花纤维，从中随机抽取根，纤维长度（单位：）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这根中纤维长度不小于的根数是纤维长度频数______．5. 张卡片上分别写有，，，，，从中任取张，则这张卡片上的数是的倍数的概率是______．6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标是______．7. 现有一个底面半径为，母线长为的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是______ ．8. 函数的定义域是______．9. 已知是公差不为的等差数列，是其前项和，若，，则的值是______．10. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是______．11. 在半径为的圆周上按顺序均匀分布着六个点．则______．12. 在中，已知，，则的最大值是______．13. 已知函数，其中，若函数有个不同的零点，则的取值范围是______．14. 已知对任意的，恒成立，则当取得最小值时，的值是______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 已知，．（1）求的值；（2）求的值．16. 如图，在直三棱柱中，，与交于点，与交于点．求证：（1） 平面；（2）平面平面．17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点的坐标为，求，的值；（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上一点，且，求直线的斜率．18. 一缉私艇巡航至距领海边界线（一条南北方向的直线）海里的处，发现在其北偏东方向相距海里的处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（参考数据：，）（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由．19. 已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若，在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．20. 设数列的前项和为，且满足：①；②，其中，且．（1）求的值；（2）数列能否是等比数列?请说明理由；（3）求证：当时，数列是等差数列．21. 如图，已知内接于，连接并延长交于点，．求证：．22. 设矩阵满足：，求矩阵的逆矩阵．23. 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长．24. 设，，均为正实数，且，求证：．25. 某乐队参加一户外音乐节，准备从首原创新曲和首经典歌曲中随机选择首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为．求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望．26. 设，，有序数组经次变换后得到数组，其中，，，．例如：有序数组经次变换后得到数组，即；经第次变换后得到数组．（注时，，，则）（1）若，求的值；（2）求证：，其中．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1），即，化简：由解得或．因为，所以．（2）因为，，所以，那么：，，所以．16. （1）在直三棱柱中，四边形为平行四边形．又为与的交点，所以为的中点．同理，为的中点，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）在直三棱柱中，平面，又平面，所以．又，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．17. （1）因为椭圆的离心率为，所以，即又因为点在椭圆上，所以由解得，．因为，所以，．（2）法一：由知，，所以椭圆方程为，即．设直线的方程为，，．由得，所以．因为，所以．因为，所以．可设直线的方程为．由得，所以或，得．因为，所以，于是，即，所以．所以直线的斜率为．法二：由（1）可知，椭圆方程，则．设，．由，得，所以，．因为点，点都在椭圆上，所以解得，，所以直线的斜率．18. （1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图甲），．在中，由正弦定理得，．因为，所以．从而缉私艇应向北偏东方向追击．在中，由余弦定理得，，解得．又到边界线的距离为．因为，所以能在领海上成功拦截走私船．答：缉私艇应向北偏东方向追击．（2）如图乙，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．，设缉私艇在处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则，即，整理得，，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．因为圆心到领海边界线：的距离为，大于圆半径，所以缉私艇能在领海内截住走私船．答：缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．19. （1）当时，，，切点，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为：，即．（2），定义域为，，①当，即时，令，因为，所以，令，因为，所以．②当，即时，恒成立，综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，在上单调递增．（3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值．由第（2）问，①当，即时，在上单调递减，所以，所以，因为，所以；②当，即时，在上单调递增，所以，所以，③当，即时，所以，因为，所以，所以，此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或．20. （1）时，，其中，且．又．所以，解得．（2）设，，所以，，化为：，．联立解得，（不合题意），舍去，因此数列不是等比数列．（3）时，，所以，，．化为：，，．假设数列的前项成等差数列，公差为．则，化为，因此第项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列成等差数列．21. 因为，是的直径，所以垂直平分，设垂足为，因为，，所以，所以，所以，所以．22. ，设，则，，则，，，，，，矩阵的逆矩阵．23. 方法一：将曲线（为参数）化为普通方程为．将直线（为参数）代入得，，解得，．则．所以线段的长为方法二：将曲线（为参数）化为普通方程为．将直线（为参数）化为普通方程为，由得，或所以的长为．24. 因为，，均为正实数，且，所以，所以由柯西不等式可得所以．25. （1）设“至少演唱首原创新曲”为事件，则事件的对立事件为：“没有首原创新曲被演唱”．所以．答：该乐队至少演唱首原创新曲的概率为．（2）设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数，则的所有可能值为，，，．依题意，，故的所有可能值依次为，，，．则，，，．从而的概率分布为：所以的数学期望．26. （1）依题意，第一次变换为，第二次变换为，第三次变换为，所以．（2）用数学归纳法证明：对，，其中，（i）当时，，其中，结论成立，（ii）假设，时，，其中，则，时，所以结论对，时也成立，由（i）（ii）可知，对，，其中成立．第11页（共11 页）。
2017届南通二模
南通市2017届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．（第4题）9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，则PB的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)2-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值．（第12题）（第16题）BCDP M N【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=，…… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，（第17题）又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． (5)分方法二：由题意，知24a ，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为221y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x ==， 所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k -+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， 由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)x D ，，所以01x FD =+． …… 10分 同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB =． 综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+-22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ， DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， 设直线EF 的方程为1(2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分 O（第18题）代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t+，． …… 5分所以14t tEF =+， 即1EF t =+（02t <<）． …… 7分 方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t ty '=+-+--=， …… 13分 因为12t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分O答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为11()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调． 【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当1a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则11ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减， 综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结P A ，PB ，CD ，BC ．因为∠P AB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠P AB =∠PBA ，（第21-A 题）所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-． 令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分D ACBSPE方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =． （1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，，所以(222)SB =-，，，(012)SC =-，，，(002)DS =，，． 设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=n ，10SC ⋅=n ， 得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ．设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A -- …… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos 5PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP =，，，5CP =所以线段CP …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。
【江苏省南通中学】2017届高二5月阶段考试数学(理)试卷 -答案
所以 dn (3)n 1 ，将 bn 4n 1 ，
dn (3)n 1 代入不等式 t (dn 1) bn 得 t (3)n 4n 1．
当 n 为偶数时， t ( 4)n (1)n 恒成立，所以 t ( 4)2 (1)2 5 ；
33
3 33
当 n 为奇数， t [( 4)n (1)n ] 恒成立，所以 t [( 4)1 (1)1] 1．
nCnn
n(Cn01
C1 n1
C n1 n1
)
，因此
n
(ai Cni ) a0 (Cn0 Cn1 Cn2 Cnn ) d (Cn1 2Cn2 nCnn )
i0
a0 2n nd 2n1
an 2n1 ；
2n
②令 x 1 ，则 ai 2 22 23
a2
1 a2 2
1． 18
从而 X 的分布列为
X
0
1
2
3
2
4
5
1
P
9
9
18
18
X 的数学期望为 E(X ) 0 2 1 4 2 5 3 1 7 ； 9 9 18 18 6
（Ⅱ）因为 P(X
0) (1
1 2
)C20
(1 a)2
1 (1 a)2 ， 2
P( X
- 3 - / 10
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 k 2 时， f (x) k(x x3 ) 对 x (0,1) 恒成立． 3
当 k 2 时，令 h(x) f (x) k(x x3 ) ， 3
则 2 h(x) f (x) k(1 x2 ) kx4 k 2 k(x2 1 x2
南通市通州区2017届中考二模数学试题含答案
南通市通州区 2017 届中考二模数学试题含答案2017 届初三年级第二次模拟调研测试数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共 6 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必然自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的地址．3．答案必定按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、稿本纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分．在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项吻合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应地址上）．．．．．．．1.计算(－4)＋6的结果为A ．－ 2B ． 2C．－ 10 D ． 22．我国最大的领海是南海，总面积有 3 500 000 平方公里，将数 3 500 000 用科学记数法表示应为A ．× 106B．× 107C． 35× 105D．× 1083．以下列图形中，是中心对称图形的是A ．B ．C． D ．21·cn·jy·com4．如图，数轴上有四个点M， P， N，Q，若点 M， N 表示的数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数对应的点是M P N QA ．点 M B．点 N C．点 P D ．点 Q5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是A ．三棱柱主视图左视图B ．三棱锥C．圆锥俯视图（第 5 题）D ．圆柱6．已知方程3x2－ 4x－ 4＝0 的两个实数根分别为x1， x2．则 x1＋ x2的值为244A ． 4B ． 3C ． 3D ．－ 37． 八年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其他学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2 倍，求骑车学生的速度 . 设骑车学生的速度为 x km/h ，则所列方程正确的选项是 A .101020B.1010 20x2 x2xx10 10 110 10 1C.x2 x3D.x32 x8． 若圆锥的母线长是12，侧面张开图的圆心角是 120 °，则它的底面圆的半径为 A . 2B . 4C. 6D . 89． 如图，点 A 为反比率函数y ＝ 8 (x ﹥ 0)图象上一点，点B 为反比率函数 y ＝ k(x ﹤ 0)图象上一点，直xx线 AB 过原点 O ，且 OA ＝ 2OB ，则 k 的值为A ． 2B ． 4C ．－ 2D ．－ 4yA8ADy ＝xFky ＝ B OxxBEC（第 9 题）（第 10 题）10．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 4，BC ＝ 6，E 为 BC 的中点 . 将△ ABE 沿 AE 折叠，使点B 落在矩形内点 F 处，连接 CF ，则△ CDF 的面积为D .二、填空题 （本大题共 8 小题，每题3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题卡相应地址 上）．．．．．．11．9 的算术平方根为 ▲．12．如图，若 AB ∥ CD ，∠ 1＝ 65°，则∠ 2 的度数为 ▲°．13．分解因式： 12a 2－ 3b 2＝ ▲ ．14．如图，⊙ O 的内接四边形ABCD 中，∠ BOD ＝ 100 °，则∠ BCD ＝ ▲°．15．如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度．若标杆BE 的高为，测得 AB ＝，BC ＝，则楼高 CD 为 ▲ m ．BD1BACOEC 2D DAABC16．小洪依照演讲比赛中九位评委所给的分数制作了以下表格：平均数中位数众数方差若是去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据必然不发生变化的是▲ ．17．将正六边形 ABCDEF 放入平面直角坐标系xOy 后，若点 A ， B ， E 的坐标分别为（ a ， b ），（－ 3，－ 1），（－ a ， b ），则点 D 的坐标为 ▲ ．y18. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点 A 是AB直线 y ＝34 3上一动点，将点 A 向右3 x ＋3O Cx平移 1 个单位获取点B ，点C （1， 0），则（第 18 题）OB ＋ CB 的最小值为▲ ．三、解答题 （本大题共 10 小题，共 96 分．请在答题卡指定地区 内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤）19. （本小题满分 10 分）（ 1）计算 ( x ＋ y) 2－ y( 2x ＋ y) ；（ 2）先化简，再求代数式的值：(a22 2 a 1 ) ÷a 4，其中 a ＝ 25 ．a2a a 4a 4a20． （本小题满分 9 分）近来几年来，我国很多地区连续出现雾霾天气．某市记者为了认识“雾霾天气的主要成因”，随机检查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了以下尚不完满的统计图表：组别 见解频数（人数）A 大气气压低，空气不流动 mB 地面灰尘大，空气湿度低40 C 汽车尾气排放 n D 工厂造成的污染120 E其他60检查结果扇形统计图10%CB A20%DE请依照图表中供应的信息解答以下问题：（ 1）填空： m＝▲，n＝▲，扇形统计图中 E 组所占的百分比为▲% ；（ 2）若该市人口约有400 万人，请你计算其中持 D 组“见解”的市民人数；（ 3）关于“雾霾”这个环境问题，请用简短的语言发出建议．21．（本小题满分8 分）一个不透明的口袋中装有四个完满相同的小球，把它们分别标号为1， 2， 3， 4．从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，请用列表法或画树形图的方法，求两次摸出的小球上所标数字之和大于 4 的概率．22．（本小题满分8 分）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 AD 的距离，在点 A 处测得∠ BAD ＝ 37°，沿 AD 方向前进150 米到达点 C，测得∠ BCD ＝ 45°. 求小岛 B 到河边公路 AD 的距离 .（参照数据：sin37°≈， cos37°≈， tan37 °≈）BAC D( 第 22 题)23．（本小题满分8 分）如图，⊙ O 的直径 AB＝ 10，弦 AC＝ 6，∠ BAC 的均分线交⊙O 于点 D ，过点 D 作⊙ O 的切线交 AC 的延长线于点 E. 求 DE 的长 .BO DA C E（第 23 题）24． （本小题满分 9 分）若是一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关系方程 .x 12，（ 1）若不等式组2的一个关系方程的解是整数，则这个关系方程可以1 x3x 6是 ▲ （写出一个即可）；（ 2）若方程 3－ x ＝2x ，3＋ x ＝2(x ＋ 1)都是关于 x 的不等式组x ，2x m的关系方程，试求 m2 x 2≤ m的取值范围 .25． （本小题满分 8 分）在△ ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠ BAC ＝ 45o. △ AEF 是由△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转获取， 连接 BE ， CF 订交于点 D.F（ 1）求证： BE ＝ CF ；A（ 2）当四边形 ABDF 是菱形时，求CD 的长 .EDBC（第 25 题）26． （本小题满分 10 分）k请用学过的方法研究一类新函数y（ k 为常数， k ≠ 0）的图象和性质．x6（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数yx 的图象（可以不列表）；（2）关于函数 yk，当自变量 x 的值增大时，函数值 y 怎样变化？x（3）函数y kyk的图象可以经过怎样的变化获取函数的图象？x x 2y21－2－1 O 1 2x－2－1（第 26 题）27．（本小题满分13 分）如图，矩形ABCD 中， AB＝ 4，AD＝ 6，点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 的延长线上，连接DP ，QP，且∠ APD ＝∠ QPD， PQ 交 BC 于点 G.（1）求证： DQ＝ PQ；（2）求 AP· DQ 的最大值；（3）若 P 为 AB 的中点，求PG 的长 .D C QGA P B（第 27 题）28.（本小题满分13 分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c（ c≠4a），其图象L 经过点 A（－ 2，0） .（1）求证： b2－ 4ac＞0；（2）若点 B（－2a c， b＋ 3）在图象 L 上，求 b 的值；（3）在（ 2）的条件下，若图象 L 的对称轴为直线 x＝3，且经过点 C（ 6，－ 8），点D（ 0， n）在 y 轴负半轴上，直线BD 与 OC 订交于点E，当△ ODE 为等腰三角形时，求n 的值 .★ 保密资料阅卷使用2017 年中考第二次适应性试卷数学试题参照答案与评分标准说明： 本评分标准每题给出了一种解法供参照，若是考生的解法与本解答不相同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分．）题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10选项BADDACCBAB二、填空题（本大题共8 小题，每题3 分，共 24 分．）11 ． 3 12． 6513． 3(2a ＋ b)(2a －b)14 ． 13015 ． 16．中位数17．（ 3，－ 1）18 ． 13三、解答题（本大题共10 小题，共 96 分．）19．（本小题满分 10 分）（ 1）解：原式＝ x 2＋2xy ＋ y 2－ 2xy － y 2 ··························4 分＝ x 2 ··········································5 分a2－a（ 2）解：原式＝ [ － a 1 2 ] ···························6 分－2) － 2) －a( a (a a4 ＋－ －－a＝(a2)(a2) a( a1)····························7 分－2) 2－4a(aa－ 4a ＝a······································8 分－2) 2－4a(a a1＝ (a －2) 2·········································9 分当 a ＝ 2－ 5 时，1＝12＝1··················10 分(a －2)2－－2)5(2 520．（本小题满分 9 分）（ 1） 80， 100， 15； ·········································3 分（ 2） 400×120＝ 120（万），400答：其中持D 组“见解”的市民人数约为120 万人；··············6 分（ 3）依照所抽取样本中持 C 、 D 两种见解的人数占总人数的比率较大，所以建议今后的环境改进中严格控制工厂的污染排放，同时市民多乘坐公共汽车，减少个人车出行的次数． ··································9 分21．（本小题满分 8 分）12 3 41（ 1，2） （ 1， 3） （ 1， 4）2 （ 2，1）（ 2， 3） （ 2， 4）3（ 3，1） （ 3，2）（ 3， 4）4 （ 4，1） （ 4，2） （ 4， 3）··················································5 分因为所有等可能的结果数共有12 种，其中所标数字之和大于 4 的占 8 种，··················································6 分所以 P （数字之和大于4）＝ 128＝ 23.···························8 分22．（本小题满分 8 分）解：过 B 作 BE ⊥ CD 垂足为 E ，设 BE ＝ x 米，·······················1 分BBE在 Rt △ ABE 中， tanA ＝ AE ， ··············2 分AE ＝ BE ＝ BE ＝ 4 x ， ··············3 分tanA tan37 3 °AC EBE D在 Rt △ ABE 中， tan ∠ BCD ＝ CE ， ···········4 分( 第 22 题)CE ＝BE＝x ＝ x ， ············5 分tan ∠ BCDtan45 °4∵ AC ＝ AE － CE ，∴ 3 x － x ＝ 150解得 x ＝ 450 (7)分答：小岛 B 到河边公路 AD 的距离为 450 米 . ··························8 分23．（本小题满分 8 分）解：连接 OD ，过点 O 作 OH ⊥ AC ，垂足为 H ． ·····················1 分B由垂径定理得 AH =1AC=3 ．2在 Rt △AOH 中， OH ＝ 52－ 32＝ 4． ············2 分OD∵ DE 切⊙ O 于 D ，∴ OD ⊥ DE ，∠ ODE ＝ 90°． ·················3 分AHCE∵ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ．（第 23 题）∵OA＝OD，∴∠ BAD ＝∠ ODA ，∴∠ CAD ＝∠ ODA ，∴ OD ∥ AC．··············5 分∴∠ E＝ 180°－90°＝ 90°．又OH⊥ AC，∴∠ OHE ＝ 90°，∴四边形 ODEH 为矩形．·····················7 分∴DE＝OH ＝ 4．··························8 分24．（本小题满分9 分）（ 1） x－ 2＝ 0；（答案不唯一）·································3分（ 2）解方程 3－ x＝2x 得 x＝ 1，解方程1分3＋ x＝ 2(x＋ ) 得 x＝ 2， (5)2解不等式组，分x 2 x m得 m＜ x≤ m＋ 2， (7)x 2 ≤ m∵1，2 都是该不等式组的解，∴ 0≤m＜1．·········································9 分25．（本小题满分8 分）（1）由△ABC≌△ ADE 且 AB=AC，得∴AE=AD =AC=AB，∠ BAC=∠ EAF，∴∠BAE=∠ CAF．∴△ ABE≌△ ACF，····································3 分∴BE=CF．··········································4 分（2）∵四边形 ABDF 是菱形，∴ AB∥ DF ，∴∠ ACF ＝∠ BAC＝ 45°．································5 分∵ AC=AF，∴∠ CAF ＝ 90°，即△ ACF 是以 CF 为斜边的等腰直角三角形，∴ CF＝ 2 2 ． (7)分又∵ DF =AB＝ 2，∴ CD＝ 2 2 － 2．···························8 分26．（本小题满分10 分）（1）图略；··········································4 分（2）若 k>0，当 x<0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小；··························6分若 k<0，当 x<0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大；··························8分（ 3）函数y k2 个单位长度获取函数yk···10 分的图象向左平移的图象．x x 227．（本小题满分13 分）（ 1）∵四边形 ABDF 是矩形，∴ AB ∥CD ，∴∠ APD ＝∠ QDP ． ··································1 分∵∠ APD ＝∠ QPD ，∴∠ QPD ＝∠ QDP ， ···································2 分∴ DQ ＝ PQ ． ·········································3 分（ 2）过点 Q 作 QE ⊥ DP ，垂足为 E ，则 DE ＝ 1DP ． (5)分 2∵∠ DEQ ＝∠ PAD ＝90°，∠ QDP ＝∠ APD ，∴△ QDE ∽△ DPA ，∴DQ＝DE， ··························6 分DP AP12∴ AP ·DQ ＝ DP · DE ＝2DP ．在 Rt △ DAP 中，有 DP 2＝ DA 2＋ AP 2 ＝36＋ AP 2，∴ AP ·DQ ＝ 1（ 36＋ AP2）． ·······························7 分 2∵点 P 在 AB 上，∴ AP ≤ 4，∴ AP ·DQ ≤ 26，即 AP · DQ 的最大值为26． ·················8 分1（ 3）∵ P 为 AB 的中点，∴ AP ＝ BP ＝ 2AB ＝ 2，由（ 2）得， DQ ＝ 14（ 36＋ 22）＝ 10． ··························9 分∴ CQ ＝DQ － DC ＝6．设 CG ＝ x ，则 BG ＝ 6－ x ，由（ 1）得， DQ ∥ AB ，∴CQ ＝CG， ··························11 分BP BG即 6＝ 2x6－ x，解得x ＝ 9， ································12 分2∴ BG ＝ 6－ 92＝32，∴ PG ＝ PB 2＋ BG 2＝ 5． (13)分 228．（本小题满分 13 分）（ 1）证明：由题意，得4a － 2b ＋ c ＝0，∴ b ＝2a ＋ 1c ． ················1 分22121 2． ·························2 分∴ b － 4ac ＝ (2a ＋c) － 4ac ＝(2a －c)22∵ c ≠ 4a ，∴ 2a － 1 c ≠ 0，∴ (2a － 1c)2＞ 0，即 b 2－4ac ＞ 0． ············3 分2 2（ 2）解：∵点 B （－ c，b ＋ 3）在图象 L 上，2a∴ a c2 b (c) c b3，整理，得 c(4 a 2b c)b 3 ．·······4 分4 a22a4a∵ 4a－ 2b＋ c＝0，∴ b＋3＝ 0，，解得 b＝－ 3．················6 分（ 3）解：由题意，得33 ，且 36a－18＋ c＝－ 8，解得 a＝1， c＝－ 8．2a2∴图象 L 的剖析式为12y＝ x － 3x－ 8．···························7 分2设OC 与对称轴交于点 Q，图象 L 与 y 轴订交于点 P，则Q(3，－ 4)， P(0，－ 8)， OQ＝ PQ＝5．分两种情况：①当 OD=OE 时，如图 1，过点 Q 作直线 MQ ∥DB ，交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 H，则 OM OQ，∴ OM =OQ=5. ∴点 M 的坐标为（0，－ 5） .OD OE设直线 MQ 的剖析式为 y k1x 5 .∴ 3k1 5 4 ，解得 k11 . 3∴ MQ 的剖析式为y1x 5 .易得点 H （ 15， 0） .3又∵ MH ∥ DB，ODOB . OM OH即n 8，∴ n8.·····························10 分5153②当 EO=ED 时，如图2，∵ OQ=PQ，∴ 1=2，又 EO=ED，∴ 1= 3.∴2= 3，∴ PQ∥ DB .设直线 PQ 交于点 N，其函数表达式为y k2 x8∴ 3k28 4 ，解得 k24 . 3∴ PQ 的剖析式为y48 . ∴点 N的坐标为（6， 0）.x3∵ PN∥ DB ，∴OD n832. ···········12 分OB ，∴，解得 nOP ON863综上所述，当△ ODE 是等腰三角形时，n 的值为8 或32. ····13 分y 33yA O EB H xNA O1BxQ QDM2ECP P CD3（第 28题答图 1）（第 28 题答图 2）。
2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷(附答案与解析)
1∑ ( x - x )2，其中 x = n 1∑ x ． n 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数 y = 2sin(3x - ) 的最小正周期为________．6．若实数 x ， y 满足 ⎨则 z =3x ＋2 y 的最大值为________． x ≥ 0,江苏省南通市 2017 届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据 x ， x ，…， x 的方差 s 2 =12nni =1ini =1i1棱锥的体积公式：V = Sh ，其中 S 为棱锥的底面积， h 为高．棱锥 3．．．．．．．．π32．设集合 A = {1,3} ， B = {a + 2,5}， AB = {3}，则 A B = ________．3．复数 z = (1+2i)2 ，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为 0.48 ，摸出黄球的概率为 0.35 ， 则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值为________．⎧2 x + y ≤ 4, ⎪ x + 3 y ≤ 7,⎪ ⎪⎩ y ≥ 0,7．抽样统计甲、乙两名学生的 5 次训练成绩（单位：分），结果如下：学生甲乙第 1 次6580 第 2 次8070 第 3 次7075 第 4 次8580 第 5 次7570则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________．8．如图，在正四棱柱 ABCD –A B C D 中， AB = 3 cm ， AA = 1cm ，则三棱锥 D - A BD 的体积为1 1 1 1111______ cm 3．b二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线x2y2-a2b2=1(a>0，>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．11．在△ABC中，若BC BA+2A C AB=CA CB，则sin Asin C的值为________．π12．已知两曲线f(x)=2sin x，g(x)=a cos x，x∈(0,)相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，2则实数a的值为________．13．已知函数f(x)=|x|+|x-4|，则不等式f(x2+2)>f(x)的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A(1,1)，且AB⊥A C，则线段BC的长的取值范围为________．．．．．．．．程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系x Oy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=（1）求cosβ的值；255．（2）若点A的横坐标为513，求点B的坐标．16．（本小题满分14分）2如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，P A⊥PD．求证：（1）直线P A∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆为1．（1）求椭圆的标准方程；x2y22+=1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离a2b22（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y=2于点Q，求11+的值．OP2OQ218．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6m，宽m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=π4时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)=ax2-x-lnx，a∈R．dkn21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则-1⎥⎦1【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、(（1）当a=38时，求函数f(x)的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点；（3）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{a}的公差d不为0，且a，a，…，a，…(k<k<…<k<…)成等比数列，公比为q．n k k k12n12n（1）若k=1，k=3，k=8，求123a1的值；d（2）当a1为何值时，数列{k}为等比数列；n（3）若数列{k}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式a+a>2k恒成立，求a的取值范围．n n n1数学Ⅱ（附加题）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）⎡1⎤已知向量⎢⎣是矩阵A的属于特征值–的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P'(3,3)，求矩阵A．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线θ=πρ∈R)被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．4D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数y=3sin x+22+2cos2x的最大值．．．．．．．．证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体A BCD-A B C D中，P为棱C D的中点，Q为棱BB上的点，且BQ=λB B(λ≠0)．11111111（1）若λ=1，求AP与AQ所成角的余弦值；2（2）若直线AA与平面APQ所成的角为45︒，求实数λ的值．123．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py(p>0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2 ⨯1⨯1 = ，5 ．（2）因为 cos β = 3江苏省南通市 2017 届高三第一次调研测试数学试卷答 案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1．2π32． {1,3,5}3． -3 4． 0.17 5．5 6．77．20 8．329． 510．132211． 212． 2 3313． (-∞, -2)( 2,+ ∞)14． [ 6 - 2, 6 + 2]二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．【解】（1）在 △AOB 中，由余弦定理得，AB 2 = OA 2 + OB 2 - 2OA OB cos ∠AOB ，所以cos ∠AOB = OA 2 + OB 2 - AB 22OA OB12+ 12- ( 2 5 )2= 53 5 即 cos β = 3π5 ， β ∈ (0 , 2 ) ，2 分6 分所以sinβ=1-cos2β=1-()2=413，由三角函数定义可得，cosα=所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=5⨯=-3365，135135= 6565)．a=2+y2=1．当OP的斜率为0时，OP=2，OQ=2，所以122k2得(2k2+1)x2=2，解得x2=2k2+1，⎩355．8分因为点A的横坐标为5513，因为α为锐角，所以sinα=1-cos2α=1-(5)2=131213．10分3124⨯-135135 12分sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12⨯3+5⨯45665．所以点B(-33,5616．【证明】（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥P A．又因为OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，所以直线P A∥平面BDE．（2）因为OE∥P A，P A⊥PD，所以OE⊥PD．因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC PD=P，所以OE⊥平面PCD．又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．14分4分6分8分10分12分14分17．【解】（1）由题意得，c22，a2c-c=1，2分解得a=2，c=1，b=1．所以椭圆的方程为x2（2）由题意知OP的斜率存在．OP2+1OQ2=1．4分6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．⎧x2⎪+y2=1,由⎨2，所以y2=⎪y=kx,2k2+1所以OP2=2k2+22k2+1．9分k x ．由 ⎨ 1 得 x = - 2k ，所以 OQ 2 = 2k 2 + 2 ． ⎪ y = - x OP 2 + OQ 2 = 2k 2 + 1OP 2 + 4时，由条件得4 ．2 ．所以 FN ⊥ BC ，设 ∠EFD = θ (0 < θ < ) ，由条件，知 ∠EFP = ∠EFD = ∠FEP = θ ．sin(π - 2θ ) = sin 2θ ， tan θ ．⎪3 - 2 sin 2θ > 0, ⎪sin 2θ > ,由 ⎨3 - 2⎪tan θ >0 < θ < π 2 , 0 < θ < . 2 = [(3 - 2因为 OP ⊥ OQ ，所以直线 OQ 的方程为 y = - 1⎧ y = 2 ,⎪ ⎩ k12 分所以 1 1 2k 2 + 2 + 12k 2 + 2 = 1．综上，可知 1 1OQ 2 = 1 ．14 分18．【解】（1）当 ∠EFP =π∠EFP = ∠EFD = ∠FEP = π所以 ∠FPE = π四边形 MNPE 为矩形． 所以四边形 MNPE 的面积S = PN MN = 2 m 2 ．（2）解法一：π 23 分5 分所以 PF = 2 2sin 2θ ，NP =NF - PF = 3 - 2ME = 3 - 28 分⎧ ⎧ 2 3 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ tan θ > 0, 得 ⎨ 3 ,(* )⎪ ⎪ ⎩⎪ π所以四边形 MNPE 面积为1S = ( N P + ME)MN212 sin 2θ )+(3 -2tan θ )]⨯ 2tan θ -tan θ -tan θ )tan θ = 6 - 2 3 ．tan θ ，即tan θ = 3 ,θ =3 时，沿直线 PE 裁剪，四边形 MNPE 面积最大，⎪3 < t < 6,⎪ ⎪ 2 3 - t + 13- t 22(3 - t ) )+(6 - t )] ⨯ 2 t - 3 ]=6 - 2 2sin 2θ=6 - 22(sin 2 θ + cos 2 θ ) 2sin θ cos θ = 6 - (tan θ + 3≤ 6 - 2 tan θ3当且仅当 tan θ =3π3 时取“=”．12 分14 分此时， (*) 成立．答：当 ∠EFD =π最大值为 6 - 2 3 m 2．解法二：设 BE = t m ， 3 < t < 6 ，则 ME = 6 - t ．因为 ∠EFP = ∠EFD = ∠FEP ，所以 PE = PF ，即 (3 - BP)2 + 22 = t - BP ．16 分所以 BP =8 分 13 - t 2 13 - t 22(3 - t ) ， NP =3 - PF =3 - PE =3 - (t - BP)=3 - t + 2(3 - t ) ．⎧⎪⎧3 < t < 6, ⎪⎪ 13 - t 2 由 ⎨ > 0, 得 ⎨t > 13,(* )⎪ 2(3 - t )⎩t - 12t + 31 < 0.⎪⎩2(3 - t ) > 0所以四边形 MNPE 面积为1S = ( N P + ME)MN21 13 - t2 = [(3 - t + 2= 3t 2 - 30t + 672(3 - t )32= 6 - [ (t - 3)+212 分当且仅当(t-3)=23m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，t-3，即t=3+3=3+8时，f(x)=4x-1-x=(3x+2)(x-2)x=x<0，342323时取“=”．14分此时，(*)成立．答：当点E距B点3+23最大值为6-23m2．16分19．【解】（1）当a=338x2-x-lnx．所以f'(x)=314x，（x>0）．2分令f'(x)=0，得x=2，当x∈(0,2)时，f'(x)<0；当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．1所以当x=2时，f(x)有最小值f(2)=--ln2．24分（2）由f(x)=ax2-x-lnx，得f'(x)=2ax-1-1所以当a≤0时，f'(x)=2ax2-x-1函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，2ax2-x-1x,x>0．所以当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点．6分1e2-e+a因为当-1≤a≤0时，f(1)=a-1<0，f()=e e2所以当-1≤a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上有零点．>0，综上，当-1≤a≤0时，函数f(x)有且只有一个零点．（3）解法一：由（2）知，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上最多有一个零点．因为函数f(x)有两个零点，所以a>0．由f(x)=ax2-x-lnx，得f'(x)=2ax2-x-1,(x>0)，令g(x)=2ax2-x-1．x因为g(0)=-1<0，2a>0，所以函数g(x)在(0,+∞)上只有一个零点，设为x．当x∈(0,x)时，g(x)<0,f'(x)<0；当x∈(x,+∞)时，g(x)>0,f'(x)>0．00所以函数f(x)在(0,x)上单调递减；在(x,+∞)上单调递增．008分9分x < 1．= ( 1 + )2 - 1 当 0 < a < 1 时， g ( ) = 2a 因为 f ( ) = a 1 e 2 - e + a 又因为 f ( ) = 4a a - ln ≥ - ( - 1) = 1 > 0（因为 ln x ≤ x - 1 ），且 f ( x ) < 0 ． a a a x =要使得函数 f ( x ) 在 (0,+ ∞) 上有两个零点，只需要函数 f ( x ) 的极小值 f ( x ) < 0 ，即 ax 2 - x - ln x < 0 ．又因为 g ( x ) = 2ax 2 - x - 1 = 0 ，所以 2ln x + x - 1 > 0 ，0 0 0 0又因为函数 h( x)=2ln x + x - 1 在 (0,+ ∞) 上是增函数，且 h(1)=0 ，所以 x > 1 ，得 0 < 1又由 2ax 2 - x - 1 = 0 ，得 2a = ( 0 0 1 x )2 +1x所以 0 < a < 1 ．以下验证当 0 < a < 1 时，函数 f ( x ) 有两个零点．13 分1a a 2 - 1 1 - a a - 1 = a > 0 ，所以1 < x < 0 1 a ．1e e 2 e e 2- + 1 = > 0 ，且 f ( x ) < 0 ．1所以函数 f ( x ) 在 ( , x ) 上有一个零点．e 02a a 2 - 2 2 2 2 02所以函数 f ( x ) 在 ( x , ) 上有一个零点．0 a1 2所以当 0 < a < 1 时，函数 f ( x ) 在 ( , ) 内有两个零点．e a综上，实数 a 的取值范围为 (0,1) ．下面证明： ln x ≤ x - 1 ．16 分设 t ( x ) = x - 1 - lnx ，所以 t '( x ) = 1 - 1 x - 1 x ，（ x > 0 ）．令 t '( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 x ∈ (0,1) 时， t '( x ) < 0 ；当 x ∈ (1, +∞) 时， t '( x ) > 0 ．所以函数 t ( x ) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增．所以当 x = 1 时， t ( x ) 有最小值 t (1)= 0 ． 所以 t ( x ) = x - 1 - lnx ≥ 0 ，得 ln x ≤ x - 1 成立． 解法二：由（2）知，当 a ≤ 0 时，函数 f ( x ) 在 (0,+ ∞) 上最多有一个零点． 因为函数 f ( x ) 有两个零点，所以 a > 0 ．9 分x 2 ≤ 2x - 1所以 a = x + ln x 整理可得： 4d 2= 3a d ．因为 d ≠ 0 ，所以 1 = 4 dk n k nk1所以 n +1 = k q n dk nk1kn由 f ( x ) = ax 2 - x - lnx = 0 ，得关于 x 的方程 a = x + ln xx 2 ，（ x > 0 ）有两个不等的实数解．又因为 ln x ≤ x - 1 ，1x 2 = -( x - 1)2 + 1 ，（ x > 0 ）．1因为 x > 0 时， -( - 1)2 + 1 ≤ 1 ，所以 a ≤ 1 ．x又当 a = 1 时， x = 1 ，即关于 x 的方程 a = x + ln xx 2有且只有一个实数解．所以 0 < a <1 ．（以下解法同解法 1）20．【解】（1）由已知可得： a ， a ， a 成等比数列，所以 (a + 2d )2 = a (a + 7d ) ，138111a1 d 3 ．13 分2 分4 分（2）设数列{k } 为等比数列，则 kn22= k k ．1 3又因为 a ， a ， a 成等比数列，k 1k 2k 3所以 [a + (k - 1)d ][a + (k - 1)d ] = [a + (k - 1)d ]2 ．111312整理，得 a (2k - k - k ) = d (k k - k 2 - k - k + 2k ) ．12131 32132因为 k 22 = k k ，所以 a (2 k - k - k ) = d (2 k - k - k ) ．1 3 12 13 2 1 3因为 2k ≠ k + k ，所以 a = d ，即 a1 = 1 ．21316 分当 a1 = 1时， a dn= a+ (n - 1)d = nd ，所以 a = k d ． 1 n又因为 a = a q n -1 = k dq n -1 ，所以 k = k q n -1 ．1 n 1kk k qn -1 n 11 = q ，数列 {k } 为等比数列．n综上，当 a1 = 1 时，数列{k } 为等比数列．n（3）因为数列{k } 为等比数列，由（2）知 a = d ， k = k q n -1 (q > 1) ．n1 n 1a = a q n -1 = k dq n -1 = k a q n -1 ， a = a + (n - 1)d = na ．1 1 1 n 1 1因为对于任意 n ∈ N *，不等式 a + a > 2k 恒成立．nn所以不等式 na + k a q n -1 > 2k q n -1 ，11 1 18 分n+k q n-1，0<a<q n1q1ex<2ln q)2]+1，则当n>n时，原式得证．a≤2．因为OH2=OE2-EH2=4-(x)2=54．2OH CE=即a>12k q n-11n+k q n-1112k q n-1111=1+q n22k q n1恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数ε(0<ε<1)，总存在正整数n，使得n1<ε．1要证n1<ε，即证ln n<n ln q+lnε．n11因为ln x≤11112x，则ln n1=2ln n12<n12，111解不等式n2<n ln q+lnε，即(n2)2ln q-n2+lnε>0，11111可得n2>11+1-4ln q lnε1+1-4ln q lnε2ln q，所以n1>(2ln q)2．1+1-4ln q lnε不妨取n=[(010所以0<1112，所以a≥2，即得a的取值范围是[2,+∞)．1116分21．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【解】设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得C A CB=CD CE，所以1⨯3=x2x=2x2，所以x=6取DE中点H，则OH⊥DE．328，所以OH=10又因为CE=2x=6，2分6分所以△OCE的面积S=112⨯10154⨯6=4．10分已知向量⎢⎥是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A 【解】设A=⎢-1⎥⎦所以⎢d⎥⎦⎢⎣-1⎥⎦⎣-1⎦⎣1⎦⎩c-d=1．所以⎢c d⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎣3⎦⎩c+d=3．21⎥⎦4410分43分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）⎡1⎤⎣-1⎦对应的变换作用下变为P'(3,3)，求矩阵A．⎡a ⎣c b⎤d⎥⎦，⎡1⎤因为向量⎢⎣是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量，⎡a ⎣c b⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎧a-b=-1，=(-1)⎢⎥=⎢⎥．所以⎨4分因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P'(3,3)，⎡a b⎤⎡1⎤⎡3⎤⎧a+b=3，=⎢⎥．所以⎨⎣8分⎡12⎤解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以A=⎢⎣．10分C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线.θ=【解】解法一：π4(ρ∈R).被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．在ρ=4sinθ中，令θ=ππ，得ρ=4sin=22，即AB=22．解法二：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ=π(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x①，曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0②．6分4 (ρ ∈ R ) 被曲线 ρ = 4sin θ 所截得的弦长 AB = 2 2 ．3 | A P|| A Q | = 15 ．⎧ x = 0， ⎧ x = 2，由①②得 ⎨ 或 ⎨⎩ y = 0， ⎩ y = 2，所以 A(0,0) , B(2,2) ， 所以直线θ =πD ．[选修 4 - 5 ：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 求函数 y = 3sin x + 2 2 + 2cos 2 x 的最大值．【解】 y = 3sin x + 2 2 + 2cos2 x =3sin x + 4 cos 2 x由柯西不等式得y 2 = (3sin x + 4 cos 2 x )2 ≤ (32 + 42 )(sin 2 x + cos 2 x) = 25 ，8 分10 分2 分8 分所以 y max= 5 ，此时 sin x = 5 ．所以函数 y = 3sin x + 2 2 + 2cos 2 x 的最大值为 5．22．【解】以{AB, AD , AA }为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系 A - xyz ．1（1）因为 AP=(1,2,2) ， AQ =(2,0,1) ，10 分所以 cos < AP ，AQ > = AP AQ 1⨯ 2 + 2 ⨯ 0 + 2 ⨯1 9 ⨯ 5 =4 515 ．所以 AP 与 AQ 所成角的余弦值为 4 54 分（2）由题意可知， AA = (0,0,2) ， AQ = (2,0,2 λ ) ．1设平面 APQ 的法向量为 n = ( x , y , z) ，⎧⎪n AP = 0, 则 ⎨⎪⎩n AQ = 0, ⎧ x + 2 y + 2 z = 0,即 ⎨ ⎩2 x + 2λ z = 0．所以 | cos < n, AA >| = | n AA 1 |= 2 ， |n || A A | 2 (2λ)2 + (2 - λ)2 + (-2)25 ．2，2 ，2 = 2 ，即 p = 2 ，4 x 2 ，所以 y ' = 4 ), t ≠ 0 ，则抛物线在点 E 处的切线方程为 y - 2 ，即点 P( ,0) ．4 ) 到直线 PF 的距离为 d =4 | t | 4 + t 2 4 + t 联立方程 ⎨⎩ 2 t 2 ⨯ 4 =令 z = -2 ，则 x = 2λ ， y = 2 - λ ．所以 n = (2λ,2 - λ, -2) ．6 分又因为直线 AA 与平面 APQ 所成角为 45︒ ，14 2=1 1可得 5λ 2 - 4λ = 0 ，又因为 λ ≠ 0 ，所以 λ = 423．【解】（1）抛物线 x 2= 2 py( p > 0) 的准线方程为 y = -p因为 M (m ,1) ，由抛物线定义，知 MF = 1 + p所以1 + p10 分所以抛物线的方程为 x 2 = 4 y ．3 分（2）因为 y = 1 12 x ．设点 E(t, t 2 t 2 14 = 2 t ( x - t ) ．令 y = 0 ，则 x = t t2 t 2 t因为 P( ,0) ， F (0,1) ，所以直线 PF 的方程为 y = - ( x - ) ，即 2x + ty - t = 0 ．2 t 2 则点 E(t, t 2t 3| 2t + - t |⎧ x 2⎪ y = ,4消元，得 t 2 y 2 - (2t 2 + 16) y + t 2 = 0 ．⎪2 x + ty - t = 0,因为 ∆ = (2t 2 + 16)2 - 4t 4 = 64(t 2 + 4) > 0 ，所以 y =1 2t2 + 16 + 64(t 2 + 4) 2t 2 + 16 - 64(t 2 + 4)2t 2 ， y 2 = 2t 2 ，所以 AB = y + 1 + y + 1 = y + y + 2 =1 2 1 2 2t 2 + 16 4(t 2 + 4)t 2 + 2 = t 2 ．7 分所以 △EAB 的面积为 S = 1 ⨯ 4(t 2 + 4) | t | 4 + t 2 31 (t2 + 4) 22 ⨯| t | ．- 16 - / 17不妨设 g ( x ) = ( x 2 + 4) 2 23 1( x 2+ 4) 2 ( x > 0) ，则 g '( x ) = x x 2(2 x 2 - 4) ．因为 x ∈ (0, 2) 时， g '( x ) < 0 ，所以 g ( x ) 在 (0, 2) 上单调递减；x ∈ ( 2, +∞) 上， g '( x ) > 0 ，所以 g ( x ) 在 ( 2, +∞) 上单调递增．所以当 x = 2 时， g ( x ) 3min = (2 + 4) 2= 6 3 ．所以 △EAB 的面积的最小值为 3 3 ．10 分。