多元函数微分学单元测试题
第八章 多元函数微分学及其应用测试题
多元函数微分学及其应用（时间：150分钟）一、选择题(每小题3分，共15分)1、二重极限21lim 1x x y x y a x +→∞→⎛⎫- ⎪⎝⎭之值为（ ）．（A ） 0; （B ） 1; （C ） 1e -; （D ） e .2、设函数),(y x f 在),(00y x 处的偏导数),(y x f x 与),(y x f y 存在，则（ ）.（A ） ),(y x f 在),(00y x 处可微;（B ） ),(y x f 在),(00y x 处连续;（C ） ),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数存在;（D ） 以上三个结论都不正确.3、已知矩形的周长为2p ,将它绕其一边旋转而形成一个旋转体,当此旋转体的体积为最大时,矩形两边长分别为（ ）.（A ）,22p p ; （B ）2,33p p ; （C ） 3,44p p ; （D ） 23,55p p . 4、假设曲线2121522y x z x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在点（1，-1，-2）处的切线与直线533903210,x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩的夹角ϕ=（ ）.（A ） 0 ; （B ）4π; （C ） 3π; （D ）2π. 5、设(),()f x g x 是可微函数，且满足(,)(25)(25)u x y f x y g x y =++-, (,0)sin 2u x x =,(,0)0y u x =，则(,)u x y =（ ）.（A ）sin 2cos5x y ; （B ）sin 5cos 2x y ; （C ）cos5sin 2x y ; （D ）cos 2sin 5x y .二、填空题(每小题3分，共15分)1、设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点)1,2(π处的值为 ． 2、设y x y x y x z -+++=arctanln 22，则dz = ． 3、函数z y x u 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=在点(1,1,1)处的梯度为 ． 4、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微分函数，则=∂∂+∂∂yz y x z x ． 5、已知曲面xy z =上点p 处的法线l 平行于直线2121326:1-=--=-z y x l ，则法线l 的方程为 ． 三、计算题(每小题6分，共30分)1、设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有连续的二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2． 2、已知),(),,(z y x y x f z ϕ==，其中ϕ,f 均为可微分函数，求dxdz ． 3、假设函数(,,)w f x y z =，其中f 具有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由方程5551z xy z -+=所确定，求w x ∂∂，22w x ∂∂． 4、设n 是曲面222y x z +=在P （1，2，3）处指向外侧的法向量，求函数xz y x u 22233++=在点P 处沿方向n 的方向导数．5、在曲面222316x y z ++=上求一点，使曲面在此点处的切平面平行于下列两条直线：1361:458x y z l --+==，2:l x y z ==．四、(8分) 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且ϕϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===， 证明：若0=∂∂+∂∂+∂∂z u z y u y x u x ，则u 与r 无关． 五、(8分)一正圆锥的半径以每分钟7厘米的速度增大，而它的高以每分钟20厘米的速度减小，求当半径45r =厘米，高100h =厘米时该正圆锥的体积的变化率，此时体积是在增大还是减小？六、(8分)设椭圆12322=+y x 的内接等腰三角形之底边平行于椭圆长轴，求其最大面积．七、（8分） 试证光滑曲面0),(=--z y x z F 的所有切平面均与一固定非零向量平行．八、(8分)已知,,x y z 为实数，且2||3x e y z ++=，证明不等式2||1x e y z ⋅⋅≤．。
多元函数微分学练习题及答案
三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
(完整版)多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
第八章 多元函数微分练习题
5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、 函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy
《高等数学》多元函数微分学部分 练习题答案
八、多元函数的微积分： （一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂， 关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分： （1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ： 设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ： 用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ： 将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ： 将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导 方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。
多元函数的微分学典型例题
多元函数的微分学典型例题例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导 数，并指出：（1） 沿哪个方向的方向导数最大？ （2） 沿哪个方向的方向导数最小？ （3） 沿哪个方向的方向导数为零？解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z¶ ¶ a a sin cos + = ．因此（1） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4pa = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导数最大．（2） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 pa - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方向导数最小．（3） 43pa - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向导数为零．例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微， 且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向 导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求 （1） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；（2） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数． 解 （1） 设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导 数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有x f l f = ¶ ¶ 12 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ． 因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ．（2） 在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø öç è æ 5 4,5 3 ，设该方向为l ，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5145 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ．例 3 验证函数) , ( y x f ïî ï í ì = + ¹ + + = . 0 ,0 , 0 , 2 2 22 22 y x y x yx xy 在原点 ) 0 , 0 ( 连续且可偏导，但它在该点不可微．验证 注意不等式 | | 2 2 xy y x ³ + ，就有0 | | 0 2 2 22 2 2 22 ® + = + + £ + £y x y x y x y x xy ， ) , ( y x ® ) 0 , 0 ( ．故而 0 ) , ( lim)0 , 0 ( ) , ( = ® y x f y x f = ) 0 , 0 ( ．因此， ) , ( y xf 在原点 ) 0 , 0 ( 连续． x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 )0 , 0 ( ) 0 , ( = - xf x f ，由变量对称性得 y f ) 0 , 0 ( 0 = ．即该函数在原点 ) 0 , 0 ( 可偏导．假如 ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 可微，就应有) , ( y x f = - ) 0 , 0 ( f x f ) 0 , 0 ( + x y f ) 0 , 0 ( ) ( 2 2 y x y + +o ，即 ) , ( y x f = ) ( 2 2 y x + o ．但这是不可能的，因为沿路径 ) 0 ( ¹ = k kx y ，就有= + ® 2 2 )0 , 0 ( ) , ( ), ( limyx y x f kx x = + ® 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xykx x 0 1 lim 2 2 2 2 2 0 ¹ + = + ® k k x k x kx x ．可见， ) , ( y x f ¹ ) ( 2 2 y x + o ．因此， ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 不可微． 例 4 验证函数) , ( y x f ï îï íì = + ¹ + + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin ) ( 2 2 22 22 2 2 y x y x y x y x 的偏导函数 ) , ( y x f x 和 ) , ( y x f y 在原点 ) 0 , 0 ( 不连续，但它却在该点可微．验证x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 1sin lim ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 0 = = - ® xx x f x f x ； ) , ( y x ¹ ) 0 , 0 ( 时，) , ( y x f x 22 2222222121 2sin()cos () x x x y x y x y x yæö =++- ç÷ +++ èø 2 2 2 2 2 2 1cos2 1 sin2 y x y x x y x x + + - + = ．因此， ) , ( y x f x ï î ï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x x y x x 由变量对称，得) , ( y x f y ï îï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x y y x y ) , ( y x f x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．事实上，沿路径 x y = ， ® ) , ( x x ) 0 , 0 ( 时，2 2 2 2 1 cos 2 2 2 1 sin2 ) , ( x x x x x x x f x - = 中，第一项趋于零，而第二项 22 1cos 1 x x - 的极限不存在(比如取 pk x k 2 1=， +¥ ® k 时有 0 ® k x ，而2 2 1cos 1 kk x x -¥ ® )．可见， x y x f ) 0 , 0 ( ) , ( lim ® ) , ( y x 不存在，因此 ) , ( y xf x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．同理可证 ) , ( y x f y 在点 ) 0 , 0 ( 不连续． 但由于0 1sin ) , ( 0 2 2 22 2 2 22 ® + £ + + =+ £y x y x y x y x y x f ，® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，就有 0 ) , ( 22® + yx y x f ，于是就有0 ) , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2222® + =+ - - - yx y x f yx yf x f f y x f y x ， ® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，即 ) ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2 2 y x y f x f f y x f y x + + + = - o ． 可见 f 在点 ) 0 , 0 ( 可微． 例 5 证明函数) , ( y x f ï îïí ì = + ¹ + + = . 0 , 0 , 0 , 2 22 22 42 2 y x y x y x xy 在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因此不可 微．证 设 ) sin , cos ( a a = l 则= - = ¶ ¶ ® tf t t f l f t )0 , 0 ( ) sin , cos ( lim 0 a a 32 2244 0 2cos sin lim ( cos sin )t t t t t a a a a ® = +3 0 , , , 22 2tan sin , , . 22p p a p p a a a ì= ï ï = íï ¹ ï î 可见在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在．但沿路径 2y x = ，有 = ® ) , ( lim )0 , 0 ( ) , ( 2y x f y y f y y y y y ¹ = + ® 1 2 lim 4 4 22 0 ) 0 , 0 ( 可见 f 在 原点 ) 0 , 0 ( 并不连续，因此不可微． 例 6 计算下列函数的高阶导数或高阶微分： （1） x yz arctan = ，求 2 2 x z ¶ ¶ ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 22 y z ¶ ¶ ；解 x z ¶ ¶ 2 2 2 2 2 1 y x y x y x y + - = + -= ， y z ¶ ¶ 22 22 1 1 y x x xy x + = + =． 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 2 ) ( 2 y x xy + = ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 2 2 ) ( y x x y + - = ， 2 2 y z ¶ ¶ = 22 2 )( 2 y x xy+ - ． （2） xyxe z = ，求 y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 和 23 y x z¶ ¶ ¶ ．解 x z ¶ ¶ = ) 1 ( xy e xye e xyxy xy + = + ， 2 2 x z ¶ ¶ ) 2 ( ) 1 ( xy ye y e xy ye xy xy xy + = + + = ；yx z¶ ¶ ¶ 2 ) 2 ( ) 1 ( xy xe xe xy xe xy xy xy + = + + = ． y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 = = ¶ ¶ ¶¶ x y x z 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y x z x 2 xyxy xy xy e xy xye xye xy e ) 2 3 ( ) 2 ( + = + + + ；2 3 y x z ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = y x z y 2 ( )= + + xy xy xe xy xe x ) 2 ( xye y x x x ) 3 ( 2 + ． （3） ) ln(xy x z = ，求 z d 2 ； 解 x z 1 ) ln( ) ln( + = + = xy xy xy xy， xy z y xy x 1 = = ， x xy y z xx 1= = ；y z y x xy x = = 2 ， yy z 2 yx- = ．2222222 2 12 xx xy yy d z dx dy z z dx z dxdy z dy x y x dx dxdy dy x y yæö¶¶ =+=++ ç÷ ¶¶ èø =+- ．（4） ) ( sin 2 by ax z + = ，求 z d 3 ．解 x z ) ( 2 sin by ax a + = ， xx z ) ( 2 cos 2 2 by ax a + = ， = 3x z ) ( 2 sin 4 3 by ax a + - ，) ( 2 sin 4 2 axby b a z xxy - = ； y z ) ( 2 sin by ax b + = ， ) ( 2 cos 2 2 by ax b z yy + = ，= = yyx xyy z z ) ( 2 sin 4 2 by ax ab + - ． = 3 y z ) ( 2 sin 4 3 by ax b + - ．z d 3 = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ z y dy x dx 33223322333 x x y xy y z dx z dx dy z dxdy z dy +++ ) ( 2 sin 12 ) ( 2 sin 4 2 3 by ax b a by ax a + - + - = ) ( 2 sin 12 2 by ax ab + - 3 4sin 2()b ax by -+ ) ( 2 sin ) ( 4 3 by ax b a + + - = ．例 7 利用链式规则求偏导数 ：（1） ÷ ÷ øö ç ç è æ = , y x xy f u ．求 x u¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 y u ¶ ¶ ．解 设 xy t = ， yxs = ．x u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = x s s f x t t f s f y t f y ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 ， y u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = y s s f y t t f sfy x t f x ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = y s s t f y t t f y t f 2 2 2 22 22 11 f f t f s y s y s t y s y æö¶¶¶¶¶ -++ ç÷ ¶¶¶¶¶¶ èø = ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ s t f y x t f x y t f 2 2 2 2 22 222 11 f f x f x y s y s t y s æö¶¶¶ -+- ç÷ ¶¶¶¶ èø 2 2 t f xy ¶ ¶ = s t f y x ¶ ¶ ¶ - 2 3 s fy t f ¶ ¶ - ¶ ¶ + 2 1 ．2 2 y u ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = y u y 2 f x f x y t y s æö ¶¶¶ =- ç÷ ¶¶¶èø 23 2 2 2 2 y xs f y x y s s t f y t t f x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = = ÷ ÷ øöç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y s s f y t t s f 2 2 2 23 2 2 2 2 2 y xs f y x s t f y x tf x x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 s f y x t sf x s f y x s f y x s t f y x t f x ¶¶ +¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ． （2） ) ( 222z y x f u + + = ．求 x u ¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， z u¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 xu ¶ ¶ ．解 设 2 2 2 z y x t + + = ．x u ¶ ¶ ( 2 ) ( f x x tt f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ， y u ¶ ¶ ( 2 ) ( f y yt t f ¢ = ¶ ¶ ¢= ) 2 2 2 z y x + + ， z u ¶ ¶ ( 2 ) ( f z zt t f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ( )= + + ¢ ¶ ¶) ( 2 2 2 2 z y x f x y 4( xyf ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ； 22 xu ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u x ( ) 222 2() xf x y z x ¶¢ ++ ¶ 2( f ¢ = ) 2 2 2 z y x + + 2 4x + ( f ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ． 例 8 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续导数．写出 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 y z ¶ ¶ + 在坐标变换2 2 y x u - = ， xy v 2 = 下的表达式．解x z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ x u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ x v ¶ ¶ x 2 = u z ¶ ¶ + y 2 vz¶ ¶ ，2 2 x z ¶ ¶ 2 = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + x v v u z x u u z x 2 2 2 2 22 2 2 z u z v y v u x v x æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø 2 2 24 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 222 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ ．y z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ y u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ y v ¶ ¶ y 2 - = u z ¶ ¶ + x 2 vz¶ ¶ ，2 2 y z ¶ ¶ 2 - = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ - y v v u z y u u z y 2 2 2 2 22 2 2 z u z v x v u y v y æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø u z vz x v u z xy u z y ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 2 4 8 4 222 2 2 2 2． 则2 2 x z ¶ ¶ 22 y z ¶ ¶ + 2 2 2 4 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 2 22 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + u z v z x v u z xy u z y 2 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ + 2 2 2 22 2 ) ( 4 v z u z y x ． 例 9 （1）写出函数 ) , ( y x f 9 8 6 2 23 2 2 3 3 + - - - - + = y x xy y x y x 在点 ) 2 , 1 ( 的Taylor 展开式．解= ) 2 , 1 ( f 16 - ， = ) 2 , 1 ( x f 13 - ， = ) 2 , 1 ( y f 6 - ； = ) 2 , 1 ( xx f 10， = ) 2 , 1 ( xy f 12 - ， = ) 2 , 1 ( yy f 8；= ) 2 , 1 ( 3 x f 18， = ) 2 , 1 ( xxy f 4 - ， 4 ) 2 , 1 ( - = xyy f ， 6 ) 2 , 1 ( 3 = y f ．更高阶的导数全为零 ．因此， ) , ( y x f = + ) 2 , 1 ( f + - ) 1 )( 2 , 1 ( x f x ( 1 , 2 )(2)y f y - + - + 2 ) 1 )( 2 , 1 ( x f xx + - - ) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( 2 y x f xy 2( 1 , 2 )(2) yy f y - 3 3 ( 1 , 2 )(1) x f x +- 3 ) 2 ( ) 1 )( 2 , 1 ( 3 2 + - - + y x f xxy 2) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( - - y x f xyy 3 3 ( 1 , 2 )(2)y f y +- 22 1613(1)6(2)5(1)12(1)(2)4(2)x y x x y y =-----+----+- 3 2 2 3 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 - + - - - - - - - + y y x y x x ．（2） 求函数 ) , ( y x f y x e + = 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式，并写出余项．解x f ¶ ¶ y x e + = ， y f ¶ ¶ yx e + = ，一般地，有 k h k h yx f ¶ ¶ ¶ + y x e + = ，则 1 ) 0 , 0 ( 00 = = ¶ ¶ ¶ + + e yx f kh k h ． 因此， ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式为) , ( y x f å = + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = n k kf y y x x k 0 ) 0 , 0 ( ! 1 )! 1 ( 1 + n 1( , )n x y f x y x y q q + æö ¶¶ + ç÷ ¶¶ èø å = + + = nk k y x k 0 ) ( ! 1 )! 1 ( 1 + n yx n e y y x x 1q q + + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ， ) 1 0 ( < <q ．例 10 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） 0 arctan = - + a y a y x ，求 dx dy 和 2 2 dxy d ；解 0 1 1 2 = ¢ - ÷ øöç è æ + + ¢+ a y a y x a y ，即 a y y x a y a ¢ = + + ¢ + 2 2 ) ( ) 1 ( ，即 dx dy 22 ) ( y x a + = ． 由 2 2 ) ( y x y a + ¢ = ，再求导 0 ) 1 )( ( 2 ) ( 2 = ¢ + + ¢ + + ¢ ¢ y y x y y x y ，解得 2 ) ( ) 1 )( ( 2 y x y y x y y + ¢ + + ¢ - = ¢ ¢ ，代入 = ¢ y 22)( y x a + ，得 2 2 dx y d 22 23 () () x y a a x y ++ = + ． （2） 0 = -xyz e z，求 x z ¶ ¶ 、 y z ¶ ¶、 2 2 xz ¶ ¶ 和 y x z ¶ ¶ ¶ 2 ；解 方程 0 = -xyz e z 两端对x 求导，得 0 = - - x z x xyz yz e z ， x z ¶ ¶ xye yzz - = ；方程 0 = -xyz e z 两端对y 求导，得 0 = - - z z y xyz xz e z ， y z ¶ ¶ xye xzz - = ．0 = - - x z x xyz yz e z 再对x 求导，得 0 2 = - - - - + xx x x zx z xx xyz yz xz z e z e z ，解得2 2 x z ¶ ¶ xy e e z z y x z z zx x - - + + = 2 ) ( 32 2 2 2 ) ( ) ( xy e e z y xy e z y ze zzz z - - - + = ． 同理得y x z ¶ ¶ ¶ 2 32 2 2 2 )( ) ( xy e e z x xy e z x ze zzz z - - - + = ． （3） 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f ，求 x z ¶ ¶ 和 yz ¶ ¶．解 设 y x u + = ， z y v + = ， x z w + = ，方程 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f 两端对x 求导，得 = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x w w f x v v f x u u f 0 1 = ÷ ø ö ç è æ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ x z w f x z v f u f，解得 x z¶ ¶ w v u w f f f f + + - = ；同理得 y z ¶ ¶ wv v u f f f f + + - = ．例 11 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数 ：（1） ï î ï í ì = + + = - - . 4 32 ,0 22 2 2 22 a z y x y x z 求 dx dy ， dx dz ， 2 2 dx y d 和 2 2 dx z d ； 解 方程对x 求导，注意 y 和z 是x 的函数，就有 î íì = ¢ + ¢ + = ¢ - - ¢ . 0 6 4 2 , 0 2 2 z z y y x y yx z *) 解得 dx dy ) 3 1 ( 2 6 z y xz x + + - = ， dx dzzx z y xy 3 1 ) 3 1 ( 2 2 + = + = ．方程 *)在对x 求导，有 ï î ï íì = ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ ¢ + = ¢ - ¢ ¢ - - ¢ ¢ . 0 6 6 4 4 , 0 2 2 2 2 2 2 z z z y y yx y y y z 解得 2 2 dx yd ) 3 1 ( 4 12 6 ) 3 1 ( 4 2 2 z y z z z y x + + ¢ + + ¢ + - = ， 2 2 dxz d ) 3 1 ( 2 6 ) 1 ( 4 4 2 2 z y z y xy y y y + ¢ - - + ¢ + = ；代入 dx dy 和 dxdz的表达式，即得2 2 dx y d 2 22 3 ) 3 1 ( 2 3 ) 3 1 ( 4 ) 6 1 ( 4 ) 3 1 ( 4 12 z y x z y z x z y z x + -+ + - + + - = ， 2 2 dx z d 222 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1 ( 2 ) 6 )( 1 ( ) 4 (2 1 z x z y xz x y x + - + + + + - = ． （2） î í ì - = + = . ) , (, ) , , ( 2y v x u g v y v x u f u 求 x u ¶ ¶ 和 y v ¶ ¶ ． 解 设 y v s + = ， x u t - = ， y v r 2 = ，方程对x 求导，注意u 和v 是x 的函 数，就有î íì + = + + = . ) , ( ) , (, ) , , ( ) , , ( ) , , (2 x r x t x x s x x u x r r t g t y v t g v s s x u f s x u f u s x u f u 即î íì + - = + + = . 2 ) , ( ) 1 )( , (, ) , , ( ) , , ( ) , , ( x r x t x x s x x u x yvv r t g u r t g v v s x u f s x u f u s x uf u 解得x u¶ ¶ ), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f r t yvg s x u f t s r u t s r x - - - + - - = ； 方程对 y 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有ï îï í ì + + = + + = . ) 2 )( , ( ) , ( , 1) )( , , ( ) , , ( 2 v yvv r t g u r t g v v s x u f u s x u f u y r y t y y s y u y 解得y v ¶ ¶), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( 2 r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f v r t yvg s x u f t s r u r s r s - - - - - -= ． 例 12 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续偏导数． 在极坐标 q cos r x = ， q sin r y = 变换下，求 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf¶ ¶ 关于极坐标的表达式．解2 2 y x r + = ， xy arctan = q ．所以= ¶ ¶ x f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x f x r r f q q 2 2 2 2 y x y f y x x r f + ¶ ¶ - + ¶ ¶ q qq q ¶ ¶ - ¶ ¶ = f r r f sin cos ， = ¶ ¶ y f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ y f y r r f q q 2 2 2 2 y x x f y x y r f + ¶ ¶ + + ¶ ¶ q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = f r r f cos sin ； 2 2 x f ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶¶ = q q q f r r f x sin cos r ¶ ¶ = q cos sin cos f f r r q q q ¶¶ æö - ç÷ ¶¶ èø q q ¶ ¶ -r sin sin cos f f r r q q q ¶¶ æö- ç÷¶¶ èør fr f rf r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 22 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 sin sin 2 cos ； 类似有22 yf ¶ ¶ r f r f r f r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin 2 cos sin 2 sin ． 于是得 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf ¶ ¶ = r fr f r r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 1 2 2 2 2 2 q ．例 13 证明：通过线性变换 y x u l + = ， y x v m + = ，可以北将方程A 2 2 x f ¶ ¶B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf，( 0 2 < - B AC )化简为 0 2 = ¶ ¶ ¶ v u f．并说明此时l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根．证 由 y x u l + = 和 y x v m + = 得x f ¶ ¶ v f u f ¶ ¶ + ¶ ¶ = ， y u ¶ ¶ vfu f ¶ ¶ + ¶ ¶ = m l ． 2 2 x f ¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 2 v f ¶ ¶ ， 2 2 y f ¶ ¶ lm l 2 2 2 2 + ¶ ¶ = u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 222 v f ¶ ¶ m ， = ¶ ¶ ¶ v u f 2 ) ( 2 2 m l l + + ¶ ¶ u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 22 vf ¶ ¶ m ． 代入A 2 2 x f ¶ ¶ B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2 C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf ，化简得) 2 ( 2l l C B A + + 2 2 u f ¶ ¶ + ) 2 ( 2 m m C B A + + 2 2 vf ¶ ¶] 2 ) ( 2 2 [ lm m l C B A + + + + 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．可见，当且仅当l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根时，方 程就化成 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．例 14 求椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 的平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面．解 所求切平面的法向量为 ) 6 , 4 , 2 ( z y x ，应有 56 3 4 1 2 z y x = = k 令== ，就有 2 k x = ， k y 4 3 = ， k z 6 5 = ，代入方程 498 3 2 2 2 2 = + + z y x ，有 498 2483 2 = k ，得12 ± = k ． 在点M ) 10 , 9 , 6 ( 和N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的切平面与平面 7 5 3 = + + z y x 平 行．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = - + + z y x ；在点N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( - - - ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = + - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = + + + z y x ．综上，椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 上，平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面 有两块，它们是 0 83 5 3 = ± + + z y x ．例15 证明曲面 a z y x = + + ) 0 ( > a 上任一点的切平面在各坐标轴上的 截距之和等于a ．证 设M ) , , ( 0 0 0 z y x 为曲面 a z y x = + + 上任的一点，曲面在该点的切面为0 2 2 2 00 00 00 = - + - + - z z z y y y x x x ，即0 ) ( 0 0 0 0 00 = + + - + + z y x z z y y x x ， 亦即0 0 0 0 = - + + a z z y y x x ．化为截距式即为 1 0 0 0= + + az zay y ax x ． 可见在各坐标轴上的截距之和为a az ay ax = + + 0 0 0 = + + ) ( 0 0 0 z y x a ．例 16 在 ] 1 , 0 [ 上用怎样的直线 b ax + = x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方 误差的积分 = ) , ( b a J ò - 10 2 ) ( dx y x 为极小意义下的最佳近似．解 = ) , ( b a J = - - ò 10 22) ( dx b ax x 51 32 23 2 2 + - - + + b a ab b a ．现求其中极小值．ï ï îï ï íì- + = - + = .3 2 2 ,2 1 3 2 a b J b a J b a 解得有唯一驻点M ÷ ø ö ç èæ- 6 1 , 1 ．0 3 1 1 2 3 2 | ) ( > = - ´ = - M ab bb aa J J J ，又 0 32| > = Maa J ，因此， ) , ( b a J 在点 M ÷ ø ö ç è æ- 6 1 , 1 取极小值．因为 ) , ( b a J 在R 2 中仅有唯一的极小值，可见该极小值还是最小值．因此，在 ] 1 , 0 [ 上用直线 61- = x x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分为极小的意义下是最佳的近似．例 17 要做一圆柱形帐篷，并给它加一个圆锥形的顶．问在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H 及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？解 设体积为定值V ，则 ÷ ø ö ç èæ+ = h H R V 3 1 2 p ，得 h R V H 3 1 2 - = p ．帐篷的全面积为2 2 2 2 322 2 ) , ( h R R Rh R V h R R RH h R S + + - =+ + = p p p p ， 0 > R ， 0 > H ． R S 0 3 2 2 2 2 2 22 2 = + + + + - - = hR R h R h R V p p p ，(*)0 3 2 2 2 = + + - = hR RhR S h p p ．(**)由(**)式的得 h h R 232 2 = + ，代入(*)式，有R S 0 6 4 5 12 242 2 = + + - = h R R h R Vh p p ，由 0 6 2 > h R ，应有 0 12 5 4 2 2 2 = - + Vh h R R p p ． 这就是驻点出应满足的关系式．由于该问题在于有最小值，这也是帐篷的全面 积 ) , ( h R S 取最小值时，圆柱的半径R 与圆锥的高h 所应满足的关系式． 例 18 抛物面 2 2 y x z + = 被平面 1 = + + z y x 截成一椭圆．求原点到这个椭圆的 最长距离与最短距离．解 这是求函数 2 2 2 ) , , ( z y x z y x d + + = 在约束条件 0 2 2 = - - y x z 与0 1= - + + z y x 之下的条件极值问题 ．构造 Lagrange 函数= ) , , , , ( m l z y x L l - + + 2 2 2 z y x m + - - ) ( 2 2 y x z ) 1 ( - + + z y x ．(5) . 0 1 (4) , 0 (3) , 0 2) 2 ( , 0 2 2 ) 1 ( , 0 2 2 2 2 ï ï ï î ïï ïí ì = - + + = = - + = = + - = = + + = = + + = z y x Lz y x L z L y y Lx x L z y x m l m l m l m l 由（1）和（2）有 0 ) 1 )( ( 2 = + - l y x ，由于 1 - ¹ l (否则由（1）得 0 = m ，据（3）得 2 1 - = z ，代入（4） ，导致 0 212 2 = + + y x 无解)，得 y x = ．把 y x = 代入（4）和（5） ，解得 2 3 1 2 , 1 ± - =x ， 231 2, 1 ± - = y ， 3 2 2 1 m = - = x z ．即得两个 驻点A ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 和B ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 ． 而该 问题必有最大值和最小值，因此，点A 和B 就是最大和最小值点．由于d ÷ ÷ ø öç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9- = ； d ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9+ = ． 可见点A 和B 分别是最小和最大值点．即原点到这个椭圆的最长距离为 3 5 9+ ，最短距离为 3 5 9- ．例 19 求椭圆 12 3 2 2 = + y x 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大．解 所指内接等腰三角形的一半(如图) 是 ABC D ，设C 的坐标为(,) x y ，则三角(0,2)A yx(0,)B y o(,)C x y形 ABC D 面积为 ) 2 ( y x - 之半，于是所求内接等腰三角形的面积为 ) 2 ( y x - ．问题是求函数 ) 2 ( ) , ( y x y x S - = 在约束条件 12 3 2 2 = + y x 之下的条件极值． 设Lagrange 函数为) 12 3 ( ) 2 ( ) , , ( 2 2 - + + - = y x y x y x L l l ，( 0 > x ， 2 2 < < - y )，则ï î ïí ì = - + = = + -= = + - = (3) . 0 12 3 (2) , 0 6 ) 1 ( , 0 22 2 2 y x L y x L x y L y x ll l 从方程（1）和（2）中消去l ，得 y y x 6 3 2 2 - = ，代入（3） ，得 0 2 2 = - - y y ，解得 231± = y ． 2 = y 时， 0 ) 2 , ( = x S ．因此，得唯一的驻点 ) 1 , 3 ( - ．该问题有最大值，当底边右端点的坐标为 ) 1 , 3 ( - 时，所得内接等腰三角形的面 积最大．。
(多元函数微分学)测试卷解答
B
）.
在点( 0, 1, 2 )处 n Fx , Fy , Fz
( 0 , 1, 2 )
2, 2, 1
∴切平面方程为: 2( x 0) 2( y 1) ( z 2) 0
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5．设函数 u xz 3 yz x z , 则函数 u 在点 (1,-2, 1)处方向导数的最大值为（
2. 设曲面 z = x y上点 P 的切平面平行于平面4 x
+2 y +z =16, 则 P 点到已知平面的距离为( 24 1 ( A)21 ( B) 21 (C ) ( D) 21 21 分析：切平面Π1的法向量为 )
n 1 Fx , Fy , Fz y, x , 1
已知平面Π2的法向量为 n 2 4, 2, 1
z 2 y x 2 y f y f1 ( xe ) y f 2 ( ) y x g (sin y ) y y y
x y 2 y f y f1 xe f 2 2 x g cos y y
2 2 2
Fx 6 x , Fy 4 y , Fz 6z ∴曲面在已知点处的指向外侧的法向量为
n ( Fx , Fy , Fz )
( 0, 3 , 2 )
( 0, 4 3, 6 2 )
1 故所求向量为 n 0, 2, 3 5
0
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8．椭球面 3x 2 y2 z 2 16上点( -1, -2, 3 )处
（D）不能确定
分析:A f xx (0, 0) 2, B f xy (0, 0) 1, C f yy (0, 0) 2
多元函数微分学单元测试题及答案解析
多元函数微分学单元测试题A一、选择题1. 极限24200limy x y x yy x x +→→= （ ）A.等于0；B.不存在；C.等于 12；D.存在且不等于0或12. 2.设),(b a f y '存在，则yy b a f y b a f y ),(),(lim 0--+→= （ ）A.),(b a f y '；B. 0； C . 2),(b a f y '； D.21),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.) ,(lim 00y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.5.函数xy xyz +=arcsin的定义域是 （ ） A.{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；C.{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；D.{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（ ）(A) 220x y +>； （B ）220x y ->； （C ）220x y +<； （D ）220x y -<.7、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是 （ D ） A 、（1，2） B 、（1，-2） C 、（-1，2） D 、（-1，-1） 二、判断题1. 点集E 的内点必属于E. （ ）2. 设y x z ln 2+=，则yx x z 12+=∂∂. （ ） 3. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处未必连续 （ ）4.二阶混合偏导数与求偏导的次序无关 （ ）5.具有偏导数的函数的驻点必定是极值点. （ ） 6、若(,)(,)xy yx f x y f x y 和都在点00(,)x y 连续，则0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。
多元函数的微分和积分单元测试
多元函数的微分和积分单元测试1. 本题考查多元函数的偏导数计算。
给定函数$f(x,y)=3x^2y-2xy^3$，求$f_x$和$f_y$。
2. 计算二重积分$\iint_D e^{x+y} \,dx\,dy$，其中积分区域$D$为$0\leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1$。
3. 利用二重积分的性质计算$\iint_D (x^2+y^2) \,dx\,dy$，其中积分区域$D$为$x^2+y^2 \leq 1$。
4. 求曲线积分$\int_C x\,dy$，其中曲线$C$由$y=x^2$和$y=1$所围成。
5. 计算三重积分$\iiint_E xyz \,dx\,dy\,dz$，其中积分区域$E$为$0\leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3$。
6. 计算球体$x^2+y^2+z^2 \leq 1$的体积。
7. 求梯度算子$\nabla f$，其中$f(x,y,z)=x^2y^2z^2$。
8. 利用Green公式计算曲线积分$\oint_C (x^2+y^2) \,dx+(xy^2) \,dy$，其中曲线$C$为$x^2+y^2=1$。
9. 求二重积分$\iint_D (x+y) \,dx\,dy$，其中积分区域$D$由曲线$y=x^2$和$y=2x$所围成。
10. 计算曲面积分$\iint_S z \,dS$，其中曲面$S$为$z=x^2+y^2, 0 \leqx \leq 1, 0 \leq y \leq 1$。
以上为多元函数的微分和积分单元测试题目，希朇考生认真答题，对于不会的题目可以在草稿纸上作答。
祝各位考生顺利完成考试！。
高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案
高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案《高等数学》单元自测题答案第八章多元函数微分学一．填空题1.3ln 3xy y ；2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3131+； 6. 3 ； 7.22； 8.k j i 345++.二．选择题1.B ；2.D ；3. C ；4.D ；5.A ；6.B ；7. B ；8.A .三.解答题1. 解 22222222222211)221(1y x yx y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++=+++=??. 2. 解22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2222111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 222222222222)()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-==. 3. 解设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''--=--=-=??z x z x F F x z zx . 4. 证明 rx z y x x x r =++=??22222, 3222211r x r x r r x r x r -=??-=??, 同理 32221r y r y r -==??, 32221r z r z r -=??, 所以 r r r r rz y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=??+??+??.5. 解 '22'1f xy yf x z -=??, )1(1)1(''22''212'22''12''11'12f x xf xy f x f x xf y f y x z +--++= =''223''11'22'11f xy xyf f x f -+-. 6. 解令=+-==-+=,063,09632'2'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又66''+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy ,在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值;在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值.7. 解设 14),,(222-++=z y x z y x F , 则=n }2,2,2{},,{'''z y x F F F z y x =,}6,4,2{)3,2,1(=n ,切平面方程为0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x , 即 01432=-++z y x , 法线方程为332211-=-=-z y x . 8. 解设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xyV z =,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令=-==-=,02,022'2'y V x S x V y S y x得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 33304 22V V V Vz =?=.。
多元函数微分学练习试卷1(题后含答案及解析)
多元函数微分学练习试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学3．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学4．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学5．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微分学填空题6．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学7．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学解答题8．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学9．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学10．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学11．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学12．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学13．求下列函数的定义域：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学14．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学15．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学16．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学17．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学18．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学19．求下列函数的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学20．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学21．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学22．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学23．求下列函数在给定的偏导数：正确答案：涉及知识点：多元函数微分学。
第九章多元函数微分法及其应用+单元自测题答案(1)
第九章 多元函数微分法及其应用1、 填空题1) 设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x2) 函数223z x xy y =++的偏导数x z =y x 32+，y z =y x 23+3) 函数xyz e =在点(2,1)处的全微分dz =dy e dx e 222+4) 设sin z uv t =+，而,cos t u e v t ==，则dzdt=t t u ve t cos sin +- 5) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 必要 条件 6)()()xy xy y x 42lim0,0,+-→=41-7) 函数xy x y z 2222-+=在(){}02,2=-x y y x 间断8) 设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为111111--=-=-z y x9) 曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为()()()0162812=-++--z y x10) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu()2,2,192- 11) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为35 2、 求ln()z x x y =+的二阶偏导数解：y x x y x x z +++=∂∂)ln( yx xy z +=∂∂2222)(2)(1y x y x y x y y x x z ++=+++=∂∂ 222)()(1y x yy x x y x y x z +=+-+=∂∂∂ 22)(y x y x y z +=∂∂∂ 222)(y x xy z +-=∂∂ 3、 sin uz e v =，而,u xy v x y ==+，求z x ∂∂和z y∂∂ 解：)cos()sin(cos sin y x e y x ye v e v ye xv v z x u u z x z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )cos()sin(cos sin y x e y x xe v e v xe yv v z y u u z y z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 4、 已知20xyzez e --+=，求z x ∂∂，z y ∂∂，22xz∂∂解：令z xy e z e z y x F +-=-2),,( 则xy x ye F --= xyy xeF --= z z e F +-=2所以 2-=-=∂∂-z xy z x e ye F F x z 2-=-=∂∂-zxyz y e xe F F y z 322222222)2(])2[()2(2)2()2()2(-+--=-----=-∂∂---=∂∂-------z xy z z xy z z xyz xy z xy z zxyz xye e e e e y e e ye e ye e e y e x z eye e ey x z5、 设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求,,,u u v vx y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：将方程的两边对X 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂vx v x xu y u x v y x ux 在条件下022≠+=-y x x y y x 则22y x yv xu xy y x x v yu x u ++-=----=∂∂22y x xvyu xy y x v y u x xv +-=---=∂∂将方程的两边对y 求导并移项，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂u y v x yu y v yv y y ux 在条件下022≠+=-y x xy y x22y x yu xv x y y x x u y v y u +-=---=∂∂22y x yvxu xy y x u y vxyv++-=--=∂∂6、 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.解：⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+2532322dx dz dx dy x dx dz z dx dyy则z y z x z y z x dx dy 61041015532252223++-=---=z y xy z y xy dx dz 610694532223232+-+-=----=169)1,1,1(=dxdy 161)1,1,1(-=dxdz 故所求切线方程为：1)1(169)1(1611--=-=-z y x 所求法平面方程为：0)1()1(9)1(16=---+-z x x7、 求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程. 解：令1),,(22--+=z y x z y x F 则}1,2,2{},,{-==y x F F F n z y x}1,2,4{)4,1,2(-=n切平面方程：0)4()1(2)2(4=---+-z y x法线方程：142142--=-=-z y x 8、 求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(Q 的方向的方向导数.解：}1,1{=PQ 则与PQ 同向的单位向量是}22,22{1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz故方向导数为223)0,1(=∂∂lz9、 问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：→→→+-=k j i g r a d u 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu10、求函数y x y x y x f 44),(22+-+=的极值解：⎩⎨⎧=+==-=042042y f x f yx 得驻点（2，-2）2=xx f 0=xy f 2=yy f 在(2,-2)点002>>-A B AC 且函数在(2,-2)有极小值 -811、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸. 解：设长为x 宽为y 高为z问题可看作xyz V =在条件byz bxz axy A 22++=下的最值 令())22(,,,A byz bxz axy xyz z y x F -+++=λλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==++==++=)(22)(022)(02)1(02４ ３ ２ byz bxz axy A y b x b xy F z b x a xz F z b y a yz F z yx λλλλλλ 由（1）—（2）可得 y x =或)-y x (与实际意义矛盾，舍去可推出=-=λa z 将y x =代入（3）得 λb y x 4-==（5） 将（5）代入（1）得到 λa z 2-= （6） 将（5）（6）代入（4）可以得到 2248abA=λ,分别代入（5）（6）可得 a A y x 3＝＝宽长，aA b a z 32＝高 12、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.解：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++-++++=z y x u z y x z y x u z y x F λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++==+-==++==++=)(01)()(02)(022)1(02222５ ４ ３ ２ z y x y x z u z F u y y F u x x F z y x λλλ 由(1)(2)知 )1(2λμ+-==y x （6），由（3）得 2μλ-=z （7）由（4）（5）得x x 2122-= （8） 将（6）（7）代入（8）得到)31)(1(±-+=λμ （9）将（9）代入（1）得到 231 -==y x （10） 由（5）得到 3221±=-=x z （11）将（10）（11）代入 2222z y x d ++=求得最长距离为：359+，最短距离为：359-。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
多元函数微分习题-（1）
多元函数微分习题-（1）多元函数微分法及其应⽤同步测试（2009年4⽉）注:红⾊的题⽬超出范围,不做.测试1⼀、填空题（3分×4=12分）1、设22,y x x y y x f -=??? ?+，则=),(y x f 。
2、=+→222)0,0(),(sin lim y x yx y x 。
3、设xyze z y xf =),,(，则=zy x f 3 。
4、曲线==zx x y 22在点)1,1,1(0P 处的切线⽅程为。
⼆、选择题（4分×3=12分）1、设有⼆元函数=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(242y x y x y x yx y x f 则 [ ]。
A 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； C 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续；D 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各⼀阶偏导数存在的[ ]。
A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既⾮必要也⾮充分条件。
3、点)0,0(O 的函数xyz=的[ ]。
A 、极⼩值点；B 、驻点但⾮极值点；C 、极⼤值点；D 、最⼤值点。
三、计算题（6分×5=30分）1、设=+≠++=.00,0),ln(),(222222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各⼀阶偏导数。
2、设+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。
3、设),(y x f z =由⽅程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz 。
多元函数微积分练习题共6页
练习题一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限yx yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xy sin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x = 8求下列函数的全微分（1）xy xe z = （2）221yx z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求xz ∂∂，yz ∂∂（2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求xz ∂∂，yz ∂∂（3）v u e z -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求xz ∂∂，yz ∂∂（5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求xz ∂∂，yz ∂∂；11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf . 二 多元函数积分学部分练习题 1、改变下列二次积分的积分次序（1）⎰⎰1102),(x dy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分（1）⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域.（3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+Dd y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分（1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x 在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z ，其中Ω是球面1222≤++z y x .8 计算下列曲线积分（1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+L dy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧；（4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分.（7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=L xdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r ϖϖϖϖ++=，计算r rot ϖ.（2）设()A xyz xi yj zk =++r r r r，计算divA r希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
多元函数微分学单元测试题
多元函数微分学单元测试题一、填空题（每小题4分，共16分）1、 设u=22444y x x x -+，则=∂∂22x u2、 函数z=ln （x ·lny ）的定义域为3、 设u=22y x x +，则在极坐标下，=∂∂θu4、 设f （x ，y ）=()⎪⎩⎪⎨⎧=∙≠∙000sin 12y x y x y x xy ，则()='1,0x f二、单项选择题（每题4分，共16分）1、设函数z=1-22y x +，则点（0，0）是函数z 的（ ）A 、极小值点且是最小值点B 、极大值点且是最大值点C 、极小值点但非最小值点D 、极大值点但非最大值点2、设f （x ，y ）=arcsin x y，则()1,2x f '=（ ）A 、-41B 、41C 、-21D 、213、0)(0,0/=y x z x 和()0,0y x z y '=0是函数z=z （x ，y ）在点（0,0y x ）处取得极值的（）A 、必要条件而非充分条件B 、充分条件而非必要条件C 、充要条件D 、既非必要也非充分条件4、曲线⎩⎨⎧=++=--020z y x z y x 在点（0,1，-1）处的法平面方程为（ ） A 、x+y+z=0 B 、y+z=0C 、y-z-2=0D 、x+y=0三、解答下列各题（每题7分，共28分）1、求函数z=()x y x sin sin ++的驻点。
2、设函数z=z （x ，y ），由z+x=dt e xy t ⎰-02所确立，试求x z ∂∂，yz ∂∂3、求极限lim 0→→y x ()xy y x y x sin 11232+-5、 求函数u=32z xy 在点（1,1,1）处方向导数的最大值与最小值四、（9分）设f(x,y)=y e x cos ,g(x,y)=y e x sin ,证明：()()()y x f y x g y x f 2,2,,22=-五、（9分）将已知正数a 分成两个正数x 、y 之和，使得q p y x 为最大，其中p 、q 是已知的正数六、（10分）横截面为长方形的半圆柱形的张口仪器，使其表面积等于s ，当仪器的长度与断面半径个为多少时，有最大体积？七、（12分）设z=xy+f （x+y ，x-y ），而x=ln （s+t ）,y=2s-3t,其中f 具有连续偏导数，求sz ∂∂答案：一、1、12228y x - 2、x>0,y>1或x<0,0<y<1 3、-sin θ 4、1 二、B A D C三、1、略 2、略 3、-21 4、当{}3,2,11410-=l 时，l u ∂∂取最小值14-=g 四、略 五、当q p aq y q p ap x +=+=,时，q p y x 的值最大 六、当R=ππs h s 332,3=时，仪器有最大体积 七、略。
多元函数微分学练习题及答案
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy
ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题 一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y） （ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
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多元函数微分学单元测试题
一、填空题（每小题4分，共16分）
1、 设u=22444y x x x -+，则=∂∂22x u
2、 函数z=ln （x ·lny ）的定义域为
3、 设u=22y x x +，则在极坐标下，=∂∂θu
4、 设f （x ，y ）=()⎪⎩⎪⎨⎧
=∙≠∙0
00sin 1
2y x y x y x xy ，则()='1,0x f
二、单项选择题（每题4分，共16分）
1、设函数z=1-22y x +，则点（0，0）是函数z 的（ ）
A 、极小值点且是最小值点
B 、极大值点且是最大值点
C 、极小值点但非最小值点
D 、极大值点但非最大值点
2、设f （x ，y ）=arcsin x y
，则()1,2x f '=（ ）
A 、-41
B 、41
C 、-21
D 、21
3、0)(0,0/=y x z x 和()0,0y x z y '=0是函数z=z （x ，y ）在点（0,0y x ）处取得极值的（
）
A 、必要条件而非充分条件
B 、充分条件而非必要条件
C 、充要条件
D 、既非必要也非充分条件
4、曲线⎩⎨⎧=++=--0
20z y x z y x 在点（0,1，-1）处的法平面方程为（ ） A 、x+y+z=0 B 、y+z=0
C 、y-z-2=0
D 、x+y=0
三、解答下列各题（每题7分，共28分）
1、求函数z=()x y x sin sin ++的驻点。
2、设函数z=z （x ，y ），由z+x=
dt e xy t ⎰-02所确立，试求x z ∂∂，y
z ∂∂
3、求极限lim 0
→→y x ()xy y x y x sin 11232+-
5、 求函数u=32z xy 在点（1,1,1）处方向导数的最大值与最小值
四、（9分）设f(x,y)=y e x cos ,g(x,y)=y e x sin ,证明：
()()()y x f y x g y x f 2,2,,22=-
五、（9分）将已知正数a 分成两个正数x 、y 之和，使得q p y x 为最大，其中p 、q 是已知的正数
六、（10分）横截面为长方形的半圆柱形的张口仪器，使其表面积等于s ，当仪器的长度与断面半径个为多少时，有最大体积？
七、（12分）设z=xy+f （x+y ，x-y ），而x=ln （s+t ）,y=2s-3t,其中f 具有连续偏导数，求s
z ∂∂
答案：
一、1、1222
8y x - 2、x>0,y>1或x<0,0<y<1 3、-sin θ 4、1 二、B A D C
三、1、略 2、略 3、-
21 4、当{}3,2,114
10-=l 时，l u ∂∂取最小值14-=g 四、略 五、当q p aq y q p ap x +=+=
,时，q p y x 的值最大 六、当R=
π
πs h s 332,3=时，仪器有最大体积 七、略。