离散数学 第1章 集合论
离散数学第1章 集合论

当n无限增大时,可以记为:
Ai
i1
iZ
Ai
=A1∪A2∪A3∪…
Ai
i1
iZ
A
i=
A1∩A2∩A3∩…
2023/12/1
定理1.2.5
1.等幂律:A∪A=A;A∩A=A; 2.交换律:A∪B=B∪A;A∩B=B∩A 3.结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C; 4.恒等律:A∪Φ=A; A∩U=A; 5.零 律:A∪U=U; A∩Φ=Φ; 6.分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
定理1.2.2 设A、B是任意两个集合,则 AB,BA A=B
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真包含关系
定义1.2.2 设A,B是任意两个集合,如果 BA并且A≠B
则称B是A的真子集(Proper Subset),记作BA, 称 “ ” 为 真 包 含 关 系 (Properly Inclusion Relation)。 如果B不是A的真子集,则记作B A。
1.2.1 集合的表示方法
集合是由它包含的元素完全确定的,为了表示 一个集合,通常有:
✓ 枚举法 ✓ 隐式法(叙述法) ✓ 归纳法 ✓ 递归指定 ✓ 文氏图
2023/12/1
1、枚举法(显示法)
--列出集合中全部元素或部分元素的方法叫枚举法 适用场景:
一个集合仅含有限个元素 一个集合的元素之间有明显关系
1、互异性-集合中的元素都是不同的,凡是相同的 元素,均视为同一个元素; {1,1,2}={1,2}
2、确定性-能够明确加以“区分的”对象; 3、无序性-集合中的元素是没有顺序的。
{2,1}={1,2}
2023/12/1
例1.2.5
离散数学集合论

离散数学集合论离散数学是数学的一个分支,研究离散对象和离散结构的性质。
而离散数学中的集合论则是其中的重要内容之一。
集合论是数学中最基础、最基本的一门学科,它研究的是对象组成的整体。
1. 集合的基本概念在集合论中,首先需要了解集合的一些基本概念。
集合是由确定的对象组成的整体,集合中的对象称为元素。
例如,可以将所有大写英文字母组成一个集合A,其中的元素就是大写英文字母A、B、C等等。
2. 集合的表示方法在集合论中,有多种不同的表示方法来表示一个集合。
最常用的是列举法和描述法。
列举法就是直接将集合中的元素一一列举出来,例如集合A可以表示为A={A, B, C, ...}。
描述法则是通过给出一个描述条件,来表示集合中的元素满足该条件,例如可以用描述法表示所有大写英文字母组成的集合为A={x|x是大写英文字母}。
3. 集合的运算集合论中有多种运算,包括并运算、交运算、差运算和补运算。
并运算用来找出两个集合的所有元素,交运算用来找出两个集合共有的元素,差运算用来找出一个集合中减去另一个集合后的元素,补运算用来找出一个集合中不包含在另一个集合中的元素。
4. 集合的性质集合论中有很多有趣的性质和定理。
比如,集合的并运算满足交换律和结合律,集合的交运算也满足交换律和结合律。
此外,集合的幂集即为包含该集合的所有子集的集合。
5. 集合的关系在集合论中,还有一些重要的概念是集合之间的关系。
常见的集合关系有包含关系、相等关系和互斥关系。
包含关系表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合,相等关系表示两个集合包含了完全相同的元素,互斥关系表示两个集合没有共同的元素。
6. 应用举例离散数学中的集合论有着广泛的应用。
例如,在计算机科学中,集合论是构建数据结构和算法的基础。
在人工智能中,集合论被用来表示概念和关系,进行知识表示和推理。
在统计学中,集合论被用来描述样本空间和事件的概率。
总结:离散数学集合论是离散数学中的重要内容,它研究的是由确定的对象组成的整体。
离散数学集合论

离散数学集合论离散数学是数学的一个分支,研究离散化的结构和对象,其中最基础的概念就是集合。
集合是一种包含元素的对象,元素可以是任何事物,例如数字、字母、颜色、人、动物等等。
在集合论中,我们将集合看作一个整体,而不考虑其中元素的顺序和重复。
集合的基本运算在集合论中,我们有以下基本的集合运算:1. 并集:将两个集合中的所有元素合并成一个集合,记作A∪B。
例如,A={1,2,3},B={3,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集:两个集合中共有的元素组成的集合,记作A∩B。
例如,A={1,2,3},B={3,4,5},则A∩B={3}。
3. 差集:从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合,记作A-B。
例如,A={1,2,3},B={3,4,5},则A-B={1,2}。
4. 补集:对于一个集合A,在全集中去掉A所包含的元素所得到的集合,记作A'。
例如,在全集U={1,2,3,4,5}中,A={1,2,3},则A'={4,5}。
集合的基本性质在集合论中,我们有以下基本的性质:1. 交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A。
2. 结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
4. 对偶律:(A∪B)'=A'∩B',(A∩B)'=A'∪B'。
集合的应用在实际应用中,集合论有很广泛的应用。
例如,在计算机科学中,集合论被广泛用于数据库的查询和数据分析中。
在概率论和统计学中,集合论被用于描述事件的概率和概率的计算。
在图论中,集合论被用于描述图的节点和边的关系。
在逻辑学中,集合论被用于描述命题和谓词的关系。
在数学中,集合论是许多学科的基础,例如数学逻辑、代数学、拓扑学等等。
总结集合论是离散数学的基础,是许多学科的基础。
吉林大学离散数学课后习题问题详解

第一章集合论基础§ 1.1基本要求1.掌握集合、子集、超集、空集、幕集、集合族的概念。
懂得两个集合间相等和包含关系的泄义和性质,能够利用泄义证明两个集合相等。
熟悉常用的集合表示方法。
2.掌握集合的基本运算:并、交、余、差、直乘积、对称差的左义以及集合运算满足的基本算律,能够利用它们来证明更复杂的集合等式。
3.掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系的概念以及关系的性质:自反性、对称性、反对称性、传递性。
会做关系的乘积。
了解关系的闭包运算:自反闭包、对称闭包、传递闭包。
4.掌握等价关系、等价类、商集的概念,了解等价关系和划分的在联系。
5.掌握部分序关系、部分序集、全序关系、全序集的概念以及部分序集中的特殊元素:最大元、最小元、极大元、极小元、上确界、小确界的左义。
能画岀有限部分序集的Hasse 图,并根据图讨论部分序集的某些性质。
6.掌握映射、映像、1-1映射等概念,会做映射的乘枳。
了解可数集合的槪念,掌握可数集合的判定方法。
7.了解关系在数据库中的应用(数据的增、删、改)以及划分在计算机中的应用。
§ 1.2主要解题方法1.2.1证明集合的包含关系方法一.用泄义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。
要证明ACB,首先任取xeA,再演绎地证出xeB成立。
由于我们选择的元素x是属于A的任何一个,而非特指的一个,故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。
当A是无限集时,因为我们不能对xwA,逐一地证明xeB成立,所以证明时的假设“x是任取的” 就特别重要。
例121设A, B, C, D是任意四个非空集合,若ACC, BCD,则AxBcCxDo证明:任取(x, y) e AxBt 往证(x, y) e CxD°由(x, y) e AxB 知,xe A, K ye Bo 又由AcC, BcD 知,xeC,且ye D,因此,(Xt y) e CxDo 故,AxBcCxDo方法二.还有一种证明集合包含关系的方法,基于集合的交和并运算的两个基本性质ACB<=> AnB=A <=> AuB=B以及一些已经证岀的集合等式。
1.1-集合的基本概念(离散数学)

幂集的性质
1.
为有穷集, 若A为有穷集,|A|=n,则 为有穷集 , |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。 是两个集合, 当且仅当 设 A、 B是两个集合 , AB当且仅当 、 是两个集合 ρ(B); ρ(A)ρ ; ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象, 集合中的元素可以是任意的对象,相 互独立, 互独立,不要求一定要具备明显的共 同特征。 同特征。 例如: 例如: A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车 地球 是汽车},地球 是汽车 地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法;将集合中的元素一一列举, 列举法;将集合中的元素一一列举, 或列出足够多的元素以反映集合中元 素的特征,例如: 素的特征,例如:V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。 。 描述法 ;通过描述集合中元素的共同 特征来表示集合,例如: 特征来表示集合,例如: V= {x|x是元 是元 音字母} 是自然数} 音字母 ,B= {x|x=a2 , a是自然数 是自然数
空集、 空集、全集
约定,存在一个没有任何元素的集合, 约定,存在一个没有任何元素的集合, 称为空集(empty set) ,记为φ,有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。 来表示。 约定, 约定,所讨论的对象的全体称为全集 (universal set),记作 或U,我们所讨论 ,记作E或 , 的集合都是全集的子集 全集是相对的。 的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 全集
大一离散数学第1,2章 集合-ppt

4. 恒等律:A∪Φ=A; A∩U=A; 5. 零 律:A∪U=U; A∩Φ=Φ; 6. 分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
7. 吸收律:A∩(A∪B)=A; A∪(A∩B)=A; 8. 否定律:
AA
9. DeMorgan律: A B A B
又再∵计|算A||=A4,|,||BB||=和5,|A∪B|, 然∴后|代A|入+公|B|式-(|2A.4∩.1B)|两=4端+,5-验2=证7=等|式A∪B|
即定理即2可.4.。1成立;
(2)略。
三个集合的情形
• 定理2.4.3 设A,B和C是任意三个有限集合, 有
A∪B∪C =( A + B + C )-( A∩B + A∩C + B∩C )+ A∩B∩C
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... E+ 2 4 6 8 10 ... 2(n+1) ... 所以,E+也是可数集合。
3)
在P与N之间建立1-1对应的关系 f:N→P如下: N 0 1 2 3 4 ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... P 2 3 5 7 11 ... 所以,P也是可数集合。
4)
• 推论2.4.4 设U为全集, A,B和C是任意有 限集合,则
A∩B∩C = U -( A + B + C ) +( A∩B + A∩C + B∩C )- A∩B∩C
容斥原理的推广
• 定理2.4.5 设A1, A2, …, An是任意n个有限集合, 则
n
A1∪A2 ∪ ∪An = Ai - Ai∩Aj + Ai∩Aj∩Ak
离散数学第一章知识点总结

离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支,它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍,为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合,用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A,记作 a ∈ A;如果一个元素 b 不属于集合 A,记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法:列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来,例如 A ={1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合,例如 B ={x | x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B,那么 A 是 B 的子集,记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集,且 B 中存在元素不属于 A,那么 A 是 B 的真子集,记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素,那么 A 和 B 相等,记作 A = B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集,记作 A ∪ B,是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集,记作A ∩ B,是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集,记作 A B,是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外,还有补集的概念。
如果给定一个全集 U,集合 A 的补集记作A,是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律,如交换律、结合律、分配律等。
例如,A ∪ B = B ∪ A(并集的交换律),A ∩ B =B ∩ A(交集的交换律),(A ∪ B) ∪ C = A ∪(B ∪ C)(并集的结合律),(A ∩B) ∩ C =A ∩ (B ∩ C)(交集的结合律)等。
离散数学答案

2015春课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={{2,3,4},5,1},下面命题为真是 A (选择题) [ A ] A.1 ∈A; B.2 ∈ A; C.3 ∈A; D.{3,2,1} ⊆ A。
1-2 A,B,C 为任意集合,则他们的共同子集是 D (选择题) [ D ] A.C; B.A; C.B; D.Ø。
1-3 设 S = {N,Z,Q,R},判断下列命题是否正确(是非题)(1) N ⊆ Q,Q ∈S,则 N ⊆ S,否[错](2)-1 ∈Z,Z ∈S,则 -1 ∈S 。
否[错]1-4 设集合 B = {4,3} ∩Ø, C = {4,3} ∩{ Ø },D ={ 3,4,Ø },E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0},F = { 4,Ø,3,3},试问:集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A (选择题) [A ]A. C;B. D;C. E;D. F.1-5 用列元法表示下列集合:A = { x│x ∈N 且 3-x 〈 3 }(选择题) [D ]A. N;B. Z;C. Q;D. Z+1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题)按照所研究的问题来确定集合的元素。
而我们所要研究的问题当然是随意的。
所以,集合的定义(就是集合成分的确定)就带有任意性。
第二章二元关系2-1 给定 X =(3, 2,1),R 是 X 上的二元关系,其表达式如下:R = {〈x,y〉x,y ∈X 且 x > y } (综合题)求:(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。
所谓谓词表达法,即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来,如本题几例所示。
有的书上称其为抽象原则。
反过来,列元法则是遵照元素的性质和要求,逐一将他们列出来,以备下用,结果如下:R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>};(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};(2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1};(3)R 的性质:自反,对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系,由方程 x + 3y = 12 决定,即R = {〈x,y〉│x,y ∈Z+ 且 x + 3y = 12},试给出 dom(R 。
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法表示
2 集合的对称 差运算
指定法表示
2 了解无限集 的基本概念
65-6
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1.2
集合
一、集合的概念
集合(set)由指定范围内的某些特定对象 聚集在一起构成。 指定 范围 中国所有真皮沙发的聚集 特定对 象
指定范围内的每一个对象称为这个集合的元素 (element)。
2015/12/25 65-25
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真包含关系
定义1.2.2 设A,B是任意两个集合,如果
BA并且A≠B 则称B是A的真子集(roper subset),记作BA, 称 “ ” 为 真 包 含 关 系 (properly inclusion relation)。
因为集合A = B,所以A中的每个元素都是B中的元 素,我们称集合B包含集合A。
2015/12/25 65-23
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2、包含和真包含关系
定义1.2.1 设A,B是任意两个集合,如果
B的每个元素都是A的元素,
则称B是A的子集合,简称子集(Subset), 这时也称A包含B,或B被A包含,记作AB 或BA, 称“”或“”为包含关系(Inclusion Relation) 。 如果B不被A所包含,则记作B A 。 上述包含定义的数学语言描述为: BA对任意x,如xB,则xA。
A=B当且仅当A与B具有相同的元素,否则,AB。
2015/12/25 65-22
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例1.2.6
设
A = {BASIC, PASCAL, ADA},
B = {ADA, BASIC, PASCAL},
请判断A和B的关系。
解 根据集合元素的无序性和外延性原理可得, A = B。
2015/12/25 65-7
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二、集合的记法
通常用带 ( 不带 ) 标号的大写字母 A 、 B 、 C 、 ... 、 A1、B1 、C1 、...、X、Y、Z、...表示集合; 通常用带(不带)标号的小写字母a、b、c、...、
a1、 b1 、c1 、...、x、y、z、...表示元素。
解 A = Φ。 (2)空集是绝对唯一的。
2015/12/25 65-29
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定理1.2.3 (1)的证明
分析 采用反证法。 即假设存在一个集合A,Φ不是它的子集 ,然后根 据子集的定义来得出矛盾即可。
证明:假设存在一个集合 A,有 A , 则根据子集 的定义知,存在元素 x ,但 x A 。这与空集 不含任何元素矛盾,从而结论成立。
例1.2.9
设A = {a}是一个集合,B = {{a}, {{a}}},试问
{A}∈B和{A}B
同时成立吗? 分析
∵ {A} = {{a}},{{a}}∈B ∴ {A}∈B成立; ∵ {A} = {{a}},{a}∈B ∴ {A}B成立。 解 {A}∈B和AB同时成立。
2015/12/25 65-28
例1.2.5
设E = {x|(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0}, x∈R}
F = {x|(x∈ Z+)且(x2<12)}。
试指出集合E和F中的元素。
解
集合E = {1, 2, 3},F = {1, 2, 3}。
集合E, F中的元素完全相同,我们称这样的 两个集合相等。
定理1.2.1(外延性原理)
无限集合 特殊集合
65-5
3
4 5
2015/12/25
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1.1 本章学习要求
重点掌握 一般掌握 了解
1 1 集合的概念 及集合间关系 2 集合的表示 3 集合运算及 定律 4 幂集P(A)
2015/12/25
2 1 集合的归纳
3 1 集合的递归
罗素悖论
例 在一个很僻静的孤岛上,住着一些人家, 岛上只有一位理发师,该理发师专给那些并 且只给那些不自己理发的人理发。那么,谁 给这位理发师理发?
解:设C={x|x是不给自己理发的人} b是这位理发师 如 bC,则 bC; 如 bC,则 bC。
2015/12/25 65-20
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65-30
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定理1.2.3 (2)的证明
对“惟一性”的证明通常采用反证法。 即假设“不惟一”,得出矛盾,从而说明结论正 确。 假设Φ1和Φ2是两个空集,且Φ1≠Φ2, 再证明Φ1=Φ2,出现矛盾,从而说明结论成立。 与Φ1≠Φ2矛盾 那么怎么证明Φ1=Φ2? 根据定理1.2.2, Φ1=Φ2 Φ1Φ2,Φ1Φ2
文氏图
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1、枚举法(显示法)
--列出集合中全部元素或部分元素的方法叫枚举法
适用场景:
一个集合仅含有限个元素
一个集合的元素之间有明显关系
例1.2.1
(1)A={a,b,c,d} (2)B = {0, 1, 4, 9, 16, …, n2, …}
2015/12/25
显然,对任意集合A,都有AA。
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例1.2.7
设A = {BASIC, PASCAL, ADA}, B = {ADA, BASIC, PASCAL}, 请判断A和B之间的包含关系。 解 根据集合间包含关系的定义知,AB且AB。 又从例1.2.6知,集合A = B,于是我们有: 定理1.2.2 设A、B是任意两个集合,则 AB,BA A=B
65-17
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5、文氏图解法
文氏图解法是一种利用平面上点的集合作成
的对集合的图解。一般用平面上的圆形或方形表
示一个集合。
A
A
2015/12/25
65-18
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四、集合与元素的关系
元素与集合之间的“属于关系”是“明确”的。
2015/12/25 65-11
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枚举法的优缺点
是一种显式表示法
优点:具有透明性
缺点:在表示具有某种特性的集合或集合中元素过 多时受到了一定的局限,而且,从计算机的角度看, 显式法是一种“静态”表示法,如果一下子将这么 多的“数据”输入到计算机中去,那将占据大量的 “内存”。
2015/12/25 65-15
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例1.2.3
集合A按如下方式定义:
(1)0和1都是A中的元素;
( 2 )如果 a, b 是 A 中的元素,则 ab, ba 也是 A 中的 元素;
( 3)有限次使用 (1)、(2)后所得到的字符串都是 A 中的元素。 试指出其定义方式,并举出集合A中的3个元素。
如果B不是A的真子集,则记作B A。
上述真子集的数学语言描述为: BA 对任意x,如xB,则xA,并且 存在yA,但是yB
2015/12/25 65-26
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例1.2.8
判断下列集合之间是否具有真包含关系。 (1){a, b}和{a, b, c, d};
2015/12/25
65-14
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3、归纳法
归纳法是通过归纳定义集合,主要由三部分组成:
第一部分:基础。指出某些最基本的元素属于某集 合; 第二部分:归纳。指出由基本元素造出新元素的方 法;
第三部分:极小性。指出该集合的界限。
注意:第一部分和第二部分指出一个集合至少包括 的元素,第三部分指出一个集合至多要包含的元素
其突出优点是原则上不要求列出集合中全部元素, 而只要给出该集合中元素的特性。
2015/12/25 65-13
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例1.2.2
1. A = {x|x 是“ discrete mathematics” 中的所 有字母}; 2. Z = {x|x是一个整数}; 3. S = {x|x是整数,并且x2+1 = 0}; 4. Q+ = {x|x是一个正有理数}。
2015/12/25
65-16
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4、递归指定集合
通过计算规则定义集合中的元素
例1.2.4 设 a0 =1, ai+1 =2ai (i0)
定义S={a0 ,a1 ,a2 ,...}={ak | k0},
试写出集合S中的所有元素。
2015/12/25
对某个集合A和元素a来说,
a属于集合A,记为aA
或者
两者必居其一且仅居其一。
朴素集合论
a不属于集合A,记为aA
例如,对元素2和N,就有2属于N,即 2N, 对元素-2和N,就有-2不属于N,即 -2N。
2015/12/25 65-19
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2015/12/25
65-8
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固定的符号
N
Z
Q
R
C