高等数学 向量代数与空间解析几何 (7.4.2)--空间的平面和直线

习题7.4

1. 判断下列四点是否共面:

(1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)A B C D -;

(2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)A B C D --.

2. 设≠0a ,

(1) 若⋅=⋅a b a c , 则是否必有=b c ?

(2) 若⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?

(3) 若⋅=⋅a b a c ,且⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?

3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置：

(1) 3210x y -+=; (2) 250x +=； (3) 0x y -=； (4)0Ax Cz +=.

4. 求满足下列条件的平面方程：

(1) 过点0(1,2,3)M -, 法向量为(2,1,5)=--n ;

(2) 在x 轴,y 轴和z 轴上的截距分别为2,3,1-;

(3) 过点(5,7,4)-且在x y z 、、轴上截距相等；

(4) 过点(3,6,2)P -，且垂直于OP (O 为原点)；

(5) 过点1(2,1,3)M -,2(5,1,4)M -和3(2,2,4)M -；

(6) 过Ox 轴和点(4,3,1)--；

(7) 平行于Oy 轴，且通过点(1,5,1)-和(3,2,2)-；

(8) 平行于xOz 平面，且通过点(3,2,7)-；

(9) 过点(1,3,2)-，且平行于平面520x y z +--=；

(10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)-，且垂直于平面35210x y z +--=；

(11) 平行于平面2250x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为１

5. 指出下列直线的位置性态：

(1) 123102

x y z -++==- (2)

113100

x y z +-+==; (3) 6,5,3x t y t z t =-==-;

(4) 12,23,0x t y t z =-=-+=. 6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程：

(1) 过点0(1,2,3)M , 方向向量为(2,1,1)=-s ;

(2) 过点0(1,2,0)M -, 方向向量为3-s =i k ;

(3) 过点(2,3,8)-，且平行于y 轴;

(4) 过点(2,3,8)-，且平行于直线243325

x y z --+==-; (5) 过点(1,3,2)-，且垂直于平面520x y z +--=；

(6) 过点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -；

(7) 过点(1,3,2)-，且与z 轴垂直相交；

(8) 过点(1,2,1)-，且平行于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩

(9) 垂直于三点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -和3(0,1,5)M 所在平面，且过点1M ；

(10) 过点(3,4,4)-，且与坐标轴夹角分别为π3,π4,2π3

的直线方程.

7. 求平面4210x y z -+-=与三个坐标面的交线方程.

8. 将下列直线方程化为标准式方程：

(1)240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩ (2)35,28.x z y z =-⎧⎨=-⎩

9. (1) 求点(1,3,2)-到平面32610x y z +--=的距离；

(2) 求两平行平面326350,326560x y z x y z +--=+--=间的距离;

(3) 求平行于平面221x y z +-=且与其距离为2的平面；

(4) 证明：两平行平面120,0Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=之间的距离是

d =10. 求下面各组平面的夹角, 并判断它们是否平行或垂直？

(1) 1x z +=,1y z -=;

(2) 86210x y z --+-=,430x y z +-=;

(3) 26310x y z -+-=,3450x y z --+=;

(4) 236120x y z -+-=,2270x y z ++-=.

11. 求下面各组直线的夹角，并判断它们是否平行？相交？或异面？在相交情况下求出它们

的交点：

(1) 1451:

243x y z L -+-==-，221:132x y z L -+==； (2) 111:214x y z L --==，222:123

x y z L ++==； (3) 1:6,19,3L x t y t z t =-=+=-，2:12,43,L x s y s z s =+=-=；

(4) 1:1,2,3L x t y t z t =+=-=，2:2,12,4L x s y s z s =-=+=+.

12. 求下面各组直线与平面的夹角，并判断它们是否平行？垂直？相交？在相交情况下求出

它们的交点：

(1) 34:

273x y z L ++==--, :42230x y z ∏---=; (2) :

327x y z L ==-, :32731x y z ∏-+=; (3) 223:

314x y z L -+-==-, :3x y z ∏++=; (4) 221:312

x y z L +-+==,:23380x y z ∏++-=. 13. (1) 求过点(3,2,1)--且垂直于直线

11413x y z -+==-的平面; (2) 求点(1,0,1)-到直线51132

x y z --==-的距离；