反比例函数、二次函数知识梳理

反比例函数

核心知识梳理

1.反比例函数的定义：一般地，形如y=k／x（k是常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数.其表达式还可写为y=kxˉ¹（k≠0）或xy=k（k≠0）.对此概念要注意以下几点：①k是常数，且k≠0.②自变量x在分母中的指数为1，如y=3／x²就不是反比例函数.

③自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，函数y 的取值范围是y≠0的全体实数。

2.反比例函数的图像：反比例函数y=k／x（k是常数，且k≠0）的图像由两支曲线组成，称为“双曲线”.其图像具有以下特点：①图像的两个分支分别在不同的象限，不能连接起来.②由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。③图像既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是y=x或y=－x，对称中心为原点.④画反比例函数的图像时，可先画出一个分支，然后根据对称性画出另一分支。

3.反比例函数的性质：当k＞0时，图像的两个分支在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减

小；当k＜0时，图像的两个分支在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

4.反比例函数解析式的确定：由于反比例函数y=k／x只有一个比例系数k，所以只要知道一组x、y的值或图像任意一点的坐标，就可确定反比例函数的解析式，进而解决相关问题。

考点易错点解析

反比例函数是中考的必考内容，题型有选择题、填空题和解答题，其考点主要体现在以下几个方面：①求反比例函数的解析式②领悟反比例函数的意义，确定函数图像的位置③已知函数图像，求参数的值或取值范围，以及函数增减性的确定④利用反比例函数解决有关实际应用问题⑤反比例函数与其他函数、方程（组）、不等式（组）的有关综合问题。

有关本部分内容再解题中应注意以下几点，以避免错误的解答：

1.注意反比例函数y=k／x的表达式成立的限制条

件是k≠0，不要忽视这一点

2.正确区分反比例与反比例函数，避免因混淆相关

概念而出错。如y与x－2成反比例，并不是指y 是x的反比例函数。而是指y是x－2的反比例函数

3.在运用函数图像性质判断其增减性时，要注意必

须是在同一象限內进行

4.再利用反比例函数解决实际问题时，要注意自变

量的取值范围，以及某些隐含条件，防止因思考不全面而出错

规律方法总结

应切实掌握以下解题规律及要点：

1.过反比例函数y=k／x的图像上任意一点做

一条坐标轴的垂线，则垂足、已知点和原点这

三点做构成的三角形的面积S=½｜k｜，也即是

k=±2S，若图像在第一、三象限，则k=2S;若

图像在第二、四象限，则k=－2S.

2.已知反比例函数图像上点的横坐标大小，而

要求比较纵坐标大小时，可依据函数的增减性

在同一象限內进行比较

3.反比例函数解析式中比例系数的确定：①可

通过图像上得点的坐标求出②利用图像的性质

来确定③根据有关图形的面积求得④利用反比

函数图像与一次函数图像的交点坐标求出

4.利用反比例函数解决实际问题时。可仿照列

方程（组）、不等式（组）解应用题那样求解，

但要注意自变量的取值范围应受实际问题条件

的制约。

二次函数

核心知识梳理

1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²＋bx＋c

（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫作二次函数。

其特例是y=ax²＋bx（c=0），y=ax²＋c（b=0），y=ax²（a=0，b=0）.

2.二次函数的图像与性质：二次函数y=ax²＋bx＋c

的图像是抛物线。它是轴对称图形，对称轴是x=b ／－2a，顶点坐标是（b／－2a，4ac－b²／4a）.

①当a>0时。图像开口向上，函数有最小值，在对

称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大②当a<0时，图像开口向下，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小。

3.二次函数解析式的确定：①一般式：已知函数图

像上三点坐标时，通常设函数解析式为y=ax²＋bx ＋c（a≠0）求解。②顶点式：已知抛物线顶点坐标为（h，k）或对称轴时，其解析式可设为顶点式y=a（x－x₁）（x－x₂）（a≠0）.

4.二次函数与一元二次方程的关系：①一元二次方

程ax²+bx+c=0的根就是二次函数y=ax²＋bx＋c 的图像与x轴的交点的横坐标②抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴的交点个数可以由对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式判定：1）当b²－4ac>0时，一元二次方程有两个不等的实数根，抛物线与x轴有两个交点2）当b²－4ac=0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）3）当b²－4ac<0时，一元二次方程无实数根，抛物线与x轴没有交点。

考点易错点解析

二次函数是中考的重要内容，题型有选择题、填空题和解答题，其考点主要体现在以下几个方面：

1.以选择题和填空题为主考察二次函数的有关概念：

①抛物线的形状②抛物线的平移③抛物线与坐标

轴的交点④抛物线的顶点坐标、对称轴⑤抛物线y =ax²＋bx＋c的解析式中a、b、c之间的相互关系

⑥函数增减性的判定

2.求二次函数的解析式，此类问题的考察频率较高

3.二次函数与一元二次方程之间的关系（如图像与坐

标轴的交点等）

4.利用二次函数解决有关的实际应用问题（最大利

润、最优方案等）

5.二次函数图像与几何图形的综合问题，此类问题综

合性强、区分度明显、思维能力要求高。因此常作为压轴题出现。

有关本部分内容在解题中应注意以下几点，以避免错误的解答：

1.注意二次函数y=ax²＋bx＋c的限制条件是

a≠0，不要忽视这一点.

2.正确理解二次函数y=ax²＋bx＋c中系数a、b

和常数项c的各自几何意义。避免因一知半解而出错。

3.求二次函数的最值时，容易不考虑自变量的

取值范围而出错。要注意只有当抛物线的顶点横坐标在自变量取值范围内时，顶的纵坐标才是函数的最值，否则函数的最值在图像的端点处取得，或者没有最值。

4.在利用二次函数解决实际问题时，注意自变

量的取值应符合实际问题（某些隐含条件）的要求，防止因思考不全面而出错。

5.在有关动态几何问题中，容易对动点运动过

程中所形成的几何图形和函数关系分析考虑不周全（不能进行分类讨论）而出现错误。

规律方法总结