和差角公式

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两角和与差的正切公式。

两角和与差的正切公式如下：
1.两角和公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
2.两角差公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
这些公式可以用来计算两个角的和或差的正切值。

它们在三角函数的计算中很有用，尤其是在解决三角函数方程或证明三角函数恒等式时。

拓展：
这些公式可以通过三角恒等式的推导得到，可以帮助我们更好地理解三角函数之间的关系。

除了正切函数之外，正弦、余弦等三角函数也有类似的两角和与差的公式。

掌握这些公式可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和用途。

两角和差的三角公式

两角和差的三角公式两角和差的三角公式，那可是数学世界里相当重要的一部分呢！还记得我上高中那会，第一次接触到两角和差的三角公式，就像面对一个神秘的迷宫，感觉既好奇又有点不知所措。

当时我们的数学老师，是个特别有趣的老头儿，他在黑板上写下那些公式的时候，整个教室都安静得能听见粉笔写字的声音。

两角和的正弦公式：sin（α + β）= sinαcosβ + cosαsinβ ；两角差的正弦公式：sin（α - β）= sinαcosβ - cosαsinβ 。

两角和的余弦公式：cos （α + β）= cosαcosβ - sinαsinβ ；两角差的余弦公式：cos（α - β）= cosαcosβ + sinαsinβ 。

正切公式：tan（α + β）= （tanα + tanβ）/（1 - tanαtanβ）；tan（α - β）= （tanα - tanβ）/（1 + tanαtanβ）。

这些公式看起来挺复杂，可一旦你理解了其中的奥秘，就会发现它们就像是一把把神奇的钥匙，可以打开很多数学难题的大门。

就拿一个简单的例子来说吧。

假设我们要计算 sin75°的值。

如果没有两角和差的公式，那可真是让人头疼。

但有了它们，我们就可以把75°写成 45° + 30°。

sin75° = sin（45° + 30°）= sin45°cos30° + cos45°sin30°= （√2/2）×（√3/2） + （√2/2）×（1/2）= （√6 + √2）/4你看，这样是不是就轻松多啦！在实际的解题过程中，两角和差的三角公式应用广泛。

比如在几何问题中，计算三角形的内角和相关的三角函数值；在物理的振动和波动问题中，也常常需要用到这些公式来进行分析和计算。

而且啊，这些公式不仅仅是为了解题，它们还能帮助我们更好地理解三角函数的性质和变化规律。

两角和与差的公式

两角和与差的公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 C ．－43 答案 B解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案－105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13， cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( ) B ．－33D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. (2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)． ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C.思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )C ．－35D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________. 答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32.题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x )＝________. (3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x ) ＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x ) ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cos α2 ＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 题型三三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 (1)－1010 95010 (2)A解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0， ∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或255或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( ) A ．－32 B ．－12思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )， ∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )， ∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153.由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 C解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )答案 D解析由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3C ．4答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654. 4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin(50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.12°－3,(4cos 212°－2)sin 12°)＝________.答案－43解析原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9．已知 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．解因为1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α ＝ (1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α| ＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)等于()A ．－255B ．－3510C ．－31010答案 A 解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________. 答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12.由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

和角公式和差角公式推导过程

和角公式和差角公式推导过程和差角公式是三角函数中一个重要的推导公式，可以用来计算两个角度之间的和差的三角函数值。

下面是和差角公式的详细推导过程。

假设有两个角度θ和ϕ，我们需要计算它们的和差的三角函数值。

首先，我们可以利用三角函数的定义将θ和ϕ表示为对应直角三角形中的边长比值。

1.定义辅助角：令α为和角θ+ϕ的辅助角，即α=θ+ϕ。

2.三角函数的定义：根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin θ = 对边/斜边sin α = 对边/斜边对于和角θ+ϕ的辅助角α：对边=对边1+对边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：sin α = (对边1 + 对边2)/斜边1 = (sin θ + sin ϕ)/1 = sin θ + sin ϕ3.代换：我们可以将sin θ和sin ϕ用cos函数进行代换。

利用余弦函数的定义：cos θ = 邻边/斜边cos α = 邻边/斜边邻边=邻边1+邻边2斜边=斜边1=斜边2利用三角函数的定义可以得到：cos α = (邻边1 + 邻边2)/斜边1 = (cos θ + cos ϕ)/1 = cos θ + cos ϕ4.综合运用：利用三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可以得到：(sin θ + sin ϕ)² + (cos θ + cos ϕ)² = 1展开得：sin²θ + 2sin θsin ϕ+ sin²ϕ+ cos²θ + 2cos θcos ϕ +cos²ϕ = 1利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1和sin²ϕ+ cos²ϕ = 1，可以简化上式为：2sin θsin ϕ+ 2cos θcos ϕ = 0利用三角函数的乘积公式sinαsinβ = (1/2)(cos(α-β) -cos(α+β))，可以将上式继续简化为：cos(θ - ϕ) = cosϕcosθ + sinϕsinθ这就是和差角公式的推导过程。

和差角公式定义域

和差角公式定义域
正弦和差角公式是数学中常用的一种公式，它用于求解各种三角形的边长、角度和其他相关问题。

它比较容易理解，既可以应用于教学，也可以用于实际工程中解决各种三角形问题。

正弦和差角公式的定义域是三角形。

它的定义包括三个边长a,b,c和三个内角A,B,C，两个外角α,β。

它的基本公式可以
表示为：a²=b²+c²-2bc*cosαb²=a²+c²-2ac*cosβc²=a²+b²-
2ab*cos(A+B)
它的定义域可以进一步分为两个类别：一类是有解的三角形，即满足三边长的关系 a+b>c；另一类是无解的三角形，即
a+b≤c。

正弦和差角公式可以用来解决各种三角形问题，包括求解三角形的边长、角度等，也可以用于求解复杂三角形的面积、体积等问题。

例如，我们可以使用正弦和差角公式来解决一个等腰三角形的边长和外角的问题，即：a=2*sin(α/2)*cos(β/2)
α=2*arccos(a/(2*sin(β/2)))
β=2*arccos(a/(2*sin(α/2)))
正弦和差角公式也可以用于求解更复杂的问题，例如求解三角形的体积、棱镜的表面积等。

正弦和差角公式是数学中十分重要的一种公式，它的定义域是三角形，可以用来解决各种三角形问题，也可以用于求解复杂三角形的面积、体积等问题。

它可以帮助我们快速、准确地解决各种三角形问题，使用起来非常方便，是数学中非常重要的一种公式。

三角积化和差角公式

三角积化和差角公式
三角积化和差角公式是三角函数中的基本公式，用于将一个角的积或差转换为三角函数的和或差。

以下是三角积化和差角公式：
1. 三角积化公式（Product-to-Sum Formulas）：
•正弦积化公式： sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A - B) - cos(A + B)]
•余弦积化公式： cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A - B) + cos(A + B)]
•正弦和余弦的积化公式： sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A - B) + sin(A + B)]
2. 三角差角公式（Difference-to-Sum Formulas）：
•正弦差角公式： sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B) •余弦差角公式： cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B) •正切差角公式： tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))
这些公式在三角函数的计算和推导中非常有用，可以通过将一个角的积或差转换为三角函数的和或差，简化计算和问题的处理。

它们经常用于解决三角函数的恒等式、三角方程和几何问题等。

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sin和差角公式

sin和差角公式sin和差角公式是高中数学中的重要概念，它们在三角函数的计算中起着关键的作用。

下面我们将分别介绍sin和差角公式，并通过例题加深理解。

一、sin公式sin公式是指sin(A ± B)的计算公式，它可以将一个角的正弦值转化为两个角的正弦值的乘积或商。

具体公式如下：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB其中，A、B为任意角度。

这个公式的推导可以通过三角函数的几何意义和三角恒等式进行。

例如，当A、B为锐角时，我们可以将A、B对应的直角三角形放在同一坐标系中，然后利用三角恒等式sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB进行推导。

二、差角公式差角公式是指sin(A - B)和cos(A - B)的计算公式，它可以将两个角的差的正弦值和余弦值转化为两个角的正弦值和余弦值的乘积或商。

具体公式如下：sin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinBcos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB其中，A、B为任意角度。

与sin公式类似，差角公式的推导也可以通过三角函数的几何意义和三角恒等式进行。

例如，我们可以将A、B对应的直角三角形放在同一坐标系中，然后利用三角恒等式sin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinB和cos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB进行推导。

通过sin和差角公式，我们可以简化三角函数的计算。

下面通过例题来进一步说明。

例题1：已知sinA = 1/2，sinB = 1/3，且A、B为锐角，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。

解：根据sin公式，我们有sin(A + B) = sinA·cosB + cosA·sinB，代入已知条件，得到sin(A + B) = (1/2)·cosB + cosA·(1/3)。

两角和差角公式

两角和差角公式两角和差角公式是数学中重要的一部分，旨在解决两个角的和或差的求解问题。

在这篇文章中，我们将探讨这个公式的基本知识，以及如何使用它来解决各种数学问题。

首先，我们需要了解两角和公式和两角差公式的定义。

两角和公式是指在三角函数中，如果有两个角α和β，则它们的和可以使用公式sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ来计算。

两角差公式是指如果有两个角α和β，则它们的差可以使用公式sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ来计算。

接下来，我们来看一些具体的应用情况。

首先，如果我们需要计算sin(π/4 + π/6)，我们可以将两个角相加并使用两角和公式进行计算。

因此，我们得到sin(π/4 + π/6) = sin(π/4)cos(π/6) + cos(π/4)sin(π/6) = √2/2 * √3/2 + √2/2 * 1/2 = (√6 +√2)/4。

同样地，如果我们需要计算cos(5π/6 - π/3)，我们可以将两个角相减并使用两角差公式进行计算。

因此，我们得到cos(5π/6 -π/3) = cos(5π/6)cos(π/3) + sin(5π/6)sin(π/3) = -√3/2 * 1/2 + 1/2 * √2/2 = -√3/4 + √2/4。

此外，两角和差角公式还可以用于解决复杂的三角方程。

在解决这些问题时，我们可以将方程转化为两角和或差的形式，然后使用公式进行计算。

这种方法可以大大简化计算过程，并加快解题速度。

在实际应用中，两角和差角公式是非常有用的。

例如，它们可以应用于构建声学和振动系统的模型，计算机模拟中的三维渲染，以及其他科学和工程领域中的许多应用。

总的来说，两角和差角公式是数学中的重要工具，可以帮助我们解决各种三角函数问题。

如果我们掌握了这些公式的基本知识并能熟练应用，我们就可以应对更复杂的数学问题，并在实际生活和工作中更好地应用这些技术。

两角和差的正弦余弦正切公式

两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。

它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。

这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。

1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。

2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。

3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。

这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。

使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。

这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。

例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。

以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。

例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。

根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。

和差角公式和二倍角公式

和差角公式和二倍角公式一、和角公式与差角公式1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶．已知3sin 5α=，ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，12cos 13β=-，β是第三象限角，求cos()αβ-，cos()αβ+，sin()αβ+，sin()αβ-的值．4sin 5α=-，α是第三象限的角，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7B ．7-C ．73D ．73-经典精讲：【铺垫】⑴计算sin43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的结果等于（）．A ．12B C ．2 D⑴ ()()cos cos sin sin αββαββ---可以化为（），A ．()cos 2αβ-B ．cos αC ．cos βD ．()sin 2αβ-【例1】 ⑴cos15cos45cos75sin45︒︒-︒︒的值为（）A ．12 B C ．12- D ．⑴sin133cos13cos47cos77︒︒+︒︒的结果等于（）A ．12B C D ⑶计算：ππππsin 3cos 3cos 3sin 34364x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．两角和与差的正切公式的变形和逆用，常见的变形有：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+()tan tan tan tan 1tan αβαβαβ+=-+【例2】求值：①tan15tan30tan15tan30︒+︒+︒⋅︒= ； ②()()1tan551tan10+︒-︒= ；③()()1tan11tan 2(1tan 44)+︒+︒⋅⋅⋅+︒= ．考点2：公式的灵活运用【例3】 ⑴已知()1cos 5αβ+=，()3cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为_______．⑵已知()1sin 6αβ+=，()1sin 3αβ-=，则tan tan αβ的值为_______．【例4】 ⑴已知4sin cos 53cos sin 5αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则下列结论正确的是（）A ．()1cos 2αβ-=B ．()1sin 2αβ-=C ．()1cos 2αβ+=-D ．()1sin 2αβ-=-⑵已知4sin 2cos 12sin 4cos αββα+=+=，则()sin αβ+的值为．⑶已知sin sin sin 0cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，，则()cos αγ-的值为．二倍角公式1．二倍角的正弦、余弦、正切2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-．2．公式的逆向变换及常用变形1sin cos sin 22ααα=．221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，．()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±；()()cos2cos sin cos sin ααααα=+-．【挑战5分钟】求下列各三角函数的值：⑴34sin ,cos 55αα==，求sin 2,cos2,tan 2ααα；⑴π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，求cos2,sin 2,tan 2x x x ；⑴sin22.5cos22.5︒︒；⑴22cos 15sin 15︒-︒；⑴22tan 751tan 75︒-︒；⑴224cos 1533+︒；⑴1tan 42α=，求tan α；⑧7cos29α=-，并且90180α︒<<︒，求cos ,sin ,tan ααα．考点4：二倍角公式及其变形的应用【例5】 ⑴若π3sin 25θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=_________．⑵ 若π1sin 53α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3πcos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑶若ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θsin θ=（）A ．35B ．45C D ．34【例6】求值：⑴cos20cos40cos80︒︒︒；⑵π2π3π4πcos cos cos cos 9999⋅⋅⋅．【例7】 ⑴23sin 702cos 10-︒=-︒________．⑴若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（） A． B ．12- C ．12D⑶若tan 2α=，求1sin 4cos41sin 4cos4αααα+-++的值．⑴已知α是第二象限角，且sin α=，求πsin 4sin 2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值．实战演练【演练1】若α，β是同一象限的角，且1sin 3α=-，cos β=，则()sin αβ-=_____．【演练2】设ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，5sin =13απ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．【演练3】求tan20tan30tan30tan40tan40tan20︒⋅︒+︒⋅︒+︒⋅︒的值．【演练4】已知π4αβ+=，则()()1tan 1tan αβ++的值为．【演练5】已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是．。

两角和差的公式

两角和差的公式一、两角和差公式的内容。

1. 两角和的正弦公式。

- sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B2. 两角差的正弦公式。

- sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B3. 两角和的余弦公式。

- cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B4. 两角差的余弦公式。

- cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B5. 两角和的正切公式。

- tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1 - tan Atan B)(A,B,A + B≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z)6. 两角差的正切公式。

- tan(A - B)=(tan A-tan B)/(1+tan Atan B)(A,B,A - B≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z)二、公式的推导。

1. 两角和的余弦公式推导（向量法，以人教版为例）- 设单位向量→OA=(cos A,sin A)，→OB=(cos B,sin B)。

- 则→OA·→OB=|→OA||→OB|cos(A - B)= cos(A - B)（因为单位向量模长为1）。

- 又→OA·→OB=cos Acos B+sin Asin B。

- 所以cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B。

- 令B=-B，则cos(A + B)=cos Acos(-B)+sin Asin(-B)=cos Acos B-sin Asin B。

2. 两角和的正弦公式推导。

- 利用诱导公式sin(A + B)=cos[(π)/(2)-(A + B)]=cos[((π)/(2)-A)-B]。

- 根据两角差的余弦公式cos[((π)/(2)-A)-B]=cos((π)/(2)-A)cos B+sin((π)/(2)-A)sin B。

- 因为cos((π)/(2)-A)=sin A，sin((π)/(2)-A)=cos A。

tan和差角定理

tan和差角定理
tan和差角定理是数学中一个重要的公式，用于计算两个角度之间的正切值。

它可以帮助我们更方便地计算一些三角函数问题，特别是在计算机科学和物理学中。

具体来说，tan和差角定理可以表示为：
tan(x - y) = (tan x - tan y)/(1 + tan x * tan y) 其中，x和y是两个角度。

这个公式可以使用基本的三角函数关系来推导出来，也可以通过使用欧拉公式和复数表示来推导出来。

使用tan和差角公式，我们可以计算任意两个角度之间的正切值。

例如，如果我们要计算tan(30° - 20°)，我们可以使用tan和差
角公式：
tan(30° - 20°) = (tan 30° - tan 20°)/(1 + tan 30° * tan 20°)
然后，我们可以使用三角函数表来计算tan 30°和tan 20°，
然后将它们代入公式，最终得到答案。

除此之外，tan和差角公式还可以用于解决一些三角函数方程。

例如，如果我们要解决tan(x - 45°) = 1的方程，我们可以使用tan和差角公式：
(tan x - tan 45°)/(1 + tan x * tan 45°) = 1 然后，我们可以解这个方程并找到x的解。

总的来说，tan和差角公式是一个非常有用的数学公式，在许多不同的领域都有应用。

它可以帮助我们计算角度之间的正切值，并解
决一些三角函数方程。

因此，学习和理解这个公式对于数学爱好者和专业人士来说都非常重要。

和角与差角公式

§1−4 差角公式(甲)差角與和角公式已知兩個角度α、β的正弦、餘弦與正切值，是否可以得知α+β與α−β的正弦、餘弦與正切值呢？我們要推導一連串的公式⎯差角與和角公式來回答這個問題。

(1)餘弦的差角公式：首先討論如何用α，β的正弦與餘弦表示cos(α−β)。

令廣義角α，β皆為標準位置角(O為原點)，則其終邊分別與單位圓交於A(cosα，sinα)與B(cosβ，sinβ)，因為同界角的正弦與餘弦分別相等，所以考慮「0° ≤α，β≤ 360° 」即可。

又因為cos(α－β)＝cos(β－α)，所以可令α ≥ β，而不影響cos(α−β)的求法。

(1°)當A，O，B不共線時，如下圖，可令α＞β。

(a)∠AOB＝α－β(b)∠AOB＝360°－( α－β )因為α－β(或是360°−(α−β))是△OAB的內角，且其夾邊OA，OB之長都是1，所以由餘弦定理可以將第三邊AB之長表為cos(α－β)的式子；另一方面，由距離公式可以將AB之長表為α，β之正弦與餘弦的式子。

如此一來，差角α－β的餘弦，便可藉由單角α，β的正弦與餘弦求出來。

由餘弦定理知：AB2＝OA2＋OB2－2OA‧OB‧cos（∠AOB）＝12＋12－2‧1‧1‧cos（α－β）＝2－2 cos(α－β)。

另外，由距離公式知：AB2＝( cosα－cosβ )2＋( sinα－sinβ )2＝( cos2α＋sin2α )－2 ( cosαcosβ＋sinαsinβ )＋( cos2β＋sin2β )＝2－2（cosα cosβ＋sinα sinβ），所以2－2 cos(α－β)＝2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ），即cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。

(2°) 當α＝β時，則cos(α－β)＝cos 0°＝1，且cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos2α＋sin2α＝1，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，仍然成立。

三角函数和差角公式

三角函数差角公式又称三角函数的减法定理，是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。

三角函数两角和差公式是
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-ta三角函数两角和差公式推导过程
证明方法并不唯一，在这里提供一种我认为比较容易理解的方法。

如下图所示，从A 出发作∠α和∠β，在∠β的一条射线上取一点D ，过D 作∠β的另一条射线的垂线，设垂足为E。

然后过E 作∠α的另一条射线的垂线，设垂足为B。

再延长EB，作CD ⊥CE。

三角函数两角和差公式推导过程
如果假设AD = 1，那么在△AED 中，AE = cosβ，DE = sinβ。

先来证明第1 个公式：在△CDE 中，CE = sinβcosα;在△ABE 中，BE = cosβsinα;在△ADF 中，DF = sin ( α+β)。

因为DF = BC = BE + CE，所以sin ( α+β) = cosβsinα+ sinβcosα。