第14章 弹塑性变形与极限载荷分析

s ( S t Sc ) (14 - 13)
At 为横截面上拉应力区面积
Ac 为横截面上压应力区面积
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰
x
Mz y Iz
1）极限弯矩
当弹性弯曲时，横截面上最大应力在离中性轴最远的点上。 当最大应力达到屈服点时，该处材料开始屈服，相应的弯矩值 sIz 为屈服弯矩
M zS
ymax
sWz
(14 - 12)
弯矩继续增加，由于是理想 弹塑性材料，已进入屈服状态的 点的应力不再增大；而附近点的 应力在增大并达到屈服点。这样， 横截面出现了塑性区与弹性区， 其应力分布如图
( s ) ( s ) (14 - 3)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料
0 s
( p 0) ( p 0) (14 - 4)
p 为塑性应变
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰 1）极限弯矩 当截面上各点应力均达到 s 时，梁进入塑性极限状态，此 时的弯矩即为极限弯矩 M zu。 At s Ac s 因为横截面上没有轴力 At Ac
M zu y sdA y sdA
At Ac
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 图中所示的一次超静定结构，各杆的横截面相同并均为理想 弹塑性材料，a b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、 杆3的内力分别为 FN 、FN 、FN ，可以分析得到，在外力一定 F 时， N FN FN 。 当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1 尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
2）设杆1与杆3已屈服，杆 2未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕C点转动的趋势。 MC 0 , M D 0 F FN1s 2 FN2s 3 A s
例
FN 2 2 FN1s FN3s 3 A s FN2s 这种状态也不可能出现。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
s s
m
(14 - 6)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
由对14-1节中一次超静定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次超静定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
1）极限扭矩 2）残余应力 卸载时，横截面上各点切应力的减少正比于切应变的减少。 根据几何方程，卸载后切应变的减少可写成
d D x D( ) dx d D x GD( ) dx
即卸载时横截面上各点切应力的减 少量 D x与成正比。若设截面上扭矩的 减少量为DT DT D x Ip
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F1 后加 F2 先加 F2 后加 F1
x
d dx
d x S S dx d S G x GS
S
d dx
s
1 3
dx
(14 - 9)
3 6T G 4 R π s 圆轴弹塑性扭转变形公式
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 1）极限扭矩 残余应力
Fu
表
F [ Fu ]
式中
[ Fu ] Fu n
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
E s
1 2 3 1 2 3
直到杆2也 屈服 ，该结 构才失去抵 抗变形能力 而成为几何 可变“机构”
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 由于塑性变形所形成的几何可变“机构”，称为塑性机构。 使构件或结构变成塑性机构时的载荷称为极限载荷。
与塑性机构相应的状态称为塑性极限状态。 若以塑性极限状态作为构件或结构的危险状态，并用 示极限载荷，那么相应的强度条件应为
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
以前我们所研究的问题是限制在材料始终保持在线性弹性范围 内，外力、内力、应力、应变、变形与位移各量间不仅成线性关系， 而且还单值对应。对某一构件或结构在一定外力作用下必产生确定 的内力、应力、应变、变形与位移。这就是说，如果外力增大n倍， 其对应的内力、应力、应变、变形与位移也增大n倍。这样，力作 用的最终效果（例如产生的应变与变形等）只决定于力的最终值， 而与力作用的先后次序无关。在对构件或结构进行强度计算时，采 用极限应力法，即对塑性材料制成的构件或结构，当其危险点一点 处相当应力达到材料的屈服强度 s时，便认为整个构件或 或 0.2 结构已处于极限状态而不能继续承受更大的载荷。
Ts R sI p 1 3 s Ts πR s (14 - 7) Ip R 2 当扭矩继续增加，截面边缘处应力不 再增大，而靠近边缘的各点应力在增 大，塑性区域向内延伸，截面分成了 塑性区 Ap 与弹性区 Ae 两个区域
2 A sdA A s s dA T
例
F 3FN1s 2 FN2s 7 A s FN 3 2 FN1s FN2s 4 A s FN3s
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 杆3的轴力超过其屈服值 FN3s， 故这种状态不可能出现。
d dx
s
3 6T G 4 R π s
1 3
(14 - 9)
在式(14-9)中，显然d/dx 不应该 为无穷大。因此，对于理想弹塑性材料 的圆轴，扭矩的上限，即极限扭矩应为 2π Tu s R 3 (14 - 10) 3 当截面扭矩 T Tu 时，s 0 ， 横截面上切应力均匀分布，均等于τ s
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
2）极限载荷法 上述分析可知，对塑性材料制成的超静定结构或应力非均匀 分布的构件，当其危险点一点处相当应力达到材料屈服强度时，
整个构件或结构仍能继续承受更大的载荷。这样，极限应力法在
此已无法分析构件或结构发生弹塑性变形后的承载能力，需要研 究新的分析方法。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
1）极限扭矩 2）残余应力
x
T0 s I s p s T0 Ip
(0 s ) ( s R) (14 - 11)
由式(14-11)可见，虽然扭矩已完 全卸掉，但横截面上仍然存在应力， 称此应力为残余切应力。
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料
E E ( s ) s
( s ) ( s ) (14 - 5)
E E
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
即
1）极限扭矩 2）残余应力 如果卸载开始时横截面的扭矩为 T0 ，完全卸载后扭矩为零， DT ，那么 T0 T
D x
0
Ip
这样，卸载后横截面各点切应力为 T0 (0 s ) s I s p x s T0 ( s R) Ip (14 - 11)
p e
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
2 1 A SdA A s s dA T 3 6T 3 s 4 R 完成积分，解得 s
p eபைடு நூலகம்
1）极限扭矩

π s
(T TS )
(14 - 8)
由
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
事实上，对塑性材料制成的应力非均匀分 布的构件或超静定结构，例如图中所示的简支 梁，当危险截面Ⅰ-Ⅰ上危险点A或B处应力等于 材料的屈服强度 s或 0.2时，便出现塑性变形。 但是，由于Ⅰ-Ⅰ截面上应力线性分布，整个截 面除 A 、 B 两点外，其他各点应力并没有达 到 s或 0，仍处于弹形变性状态。此时，可 .2 继续增大载荷，梁Ⅰ-Ⅰ上会有更多的点进入塑 性变形状态，形成了塑性区域，梁进入了弹塑 性变形状态。
n次超静定结构的求解，需要n个补充条件。这里再加上欲 求的极限载荷，则共需要 n+1个补充条件。而当n次超静定桁架 处 于 塑 性 极 限 状 态 时 ， 已 屈 服 的 n+1 根 杆 的 内 力 成 为 已 知 （ F N Ai s (i 1,2,3 , n 1) ），这恰好提供了n+1个补充条件。 i 这样，超静定桁架的极限载荷可根据塑性极限状态时平衡条件求 得。
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14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0
这种状态能出现。故 极限载荷
例
Fu 2.5 A s
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力 1）极限扭矩 假如材料是理想弹塑性，当圆轴的扭矩增加时，横截面上的 切应力也在增大。当截面边缘处的最大切应力达到材料的屈服点 时，边缘处各点首先进入屈服状态。此刻，截面上应力分布为
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 A 的 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆的 材料相同，其拉、压屈服强度均为 s。试求该结构的极限载荷。 3）设杆2与杆3已屈服，杆 1未屈服。此时，载荷 Fu 有使 刚性梁绕B点转动的趋势。 MB 0 , MD 0 Fu ( FN2s 3FN3s ) / 2 2.5 A s FN1 ( FN2s FN3s ) / 2 0.5 A s FN1s