数学分析刘玉琏21-2
219322169_第一型曲线瑕积分及收敛判别法
""1"2 定义在曲线"上"-是1"2 的瑕点"对"上的任一点 !"1"2 在"(E"!)上第一型可积"若对任一个='"" o1(=)
"
证完$ 定理3&) (ND:?判别法)!设N#7为曲线"的两端点"
则当 收敛时 收敛当 曲线的弧长为 定义在曲线 上 是的 " o2(=)"
1 ?
" E=)
" " C%4Z
1 ?C %4oPo
1 ?C %4o^(
" E=$
" =$=)
性质(&$线性性质设N7为曲线"的两端点-'Z
"1$1) 定义在曲线"上-同为它们的瑕点5$5) 为常
" 槡 &
/P 1 ! # + # !D) # V+D) # %#>
0"?/A+(#)P)" -( 0"))"!( !( #)"+( #))
O
1( ?"C) %4
$
任一点 #)Z "4( E"!)
表示曲线"上以N"!为端点的弧段(记为
"
当1(?"C)%4收敛时"我们容易得到其计算公式$
的弧长若 槡 "(E"-))
#
" ?/A4(E"!)P?/A !D)(()V+D)(() %( P
#)Z
#)Z &
数学分析教学大纲刘玉莲
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
数学分析教学大纲刘玉莲
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
数学系本科生课程设置与简介
数学系本科生课程设置与简介01101011 数学分析(1) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：112 学分：7简介：“数学分析”是数学专业最重要的一门专业课。
第一学期主要内容是分析基础。
第一章函数、第二章极限、第三章连续函数、第四章实数的连续性、第五章导数与微分、第六章微分基本定理及其应用、第七章不定积分、第八章定积分。
先修课要求：无教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101021 数学分析(2) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：144 学分：8简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数微分学。
级数是数学分析的重要组成部分，它分为数值级数和函数级数。
数值级数是函数级数的特殊情况，也是函数级数的基础；函数级数是表示非初等函数的一个重要的数学工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。
多元函数微分学是一元函数微分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。
并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
先修课要求：数学分析(1)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：春01101031 数学分析(3) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：40 学分：2简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数积分学。
多元函数积分学是一元函数积分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。
并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
先修课要求：数学分析(1) 、数学分析(2)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101041 数学分析选讲 Selected Topics of Analysis课程性质：专业选修课课内学时：48 学分：2简介：数学分析教材自身科学规律概述、数学分析的思想方法与表达方式浅析、数学分析解题方法概述、关于数学分析中何种类型习题宜于用反证法证明的问题、形式逻辑与辩证逻辑方面易出现的错误及其分析、函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数、中值定理与导数的应用、实数的基本定理、不定积分、定积分、数项级数、函数列与函数项级数、含参量正常积分、黎曼积分概念与性质，重积分的计算、曲线积分、曲面积分、各类积分间的联系、非正常积分、含参量非正常积分。
数学分析教学大纲
《数学分析》教学大纲第一部分说明一、本课程的目的、任务。
本课程是数学与应用数学和信息与计算科学两个专业的一门主要基础课，通过本课程的教学，一方面为后续课程，如：实变函数、复变函数、泛函分析，微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、理论力学等课程及有关的选修课等提供必要的基础知识，另一方面为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，为学生进一步深造以及指导中学数学的教学打下良好基础。
本课程的任务是使学生获得有关函数、极限、函数的连续性、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论及其应用等方面的基本概念、基本理论与基本方法，从而能用更高的观点深入理解和分析处理中学数学教材的能力和解决实际问题的能力。
并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
二、本课程的教学要求。
通过本课程的学习，使学生掌握极限理论、级数理论、微分理论及积分理论的基本概念和基本理论，熟练的掌握本课程所要求的基本计算方法和能力，基本的推理论证能力，抽象思维能力，逻辑思维能力，增强运用数学手段解决实际问题的能力。
教学重点：准确掌握极限、连续、微分和积分的概念、性质及计算；熟练掌握微分理论、积分理论和级数理论中的基本定理（实数完备性定理、中值定理、微积分基本定理、函数项级数的收敛理论、隐函数定理、曲面及曲线的积分定理）；正确地应用这些基本定理解决数学、物理及其他方面的实际问题。
教学难点：主要集中在极限论和级数论的内容中。
训练设计方案：（1）布置课后作业注重锻炼学生的解题能力，适当布置思考题培养学生分析问题的能力和创新能力。
（2）指定问题课后讨论。
自学指导方案：（1）对下节课所讲内容作课前预习；（2）对部分章节的了解性的内容提出问题让学生自学并课上讨论；（3）指定课外参考书让学生阅读或让学生上网查阅相关资料加深对课程理解。
与其它课程的联系：为后续课程常微分方程，概率论与数理统计，偏微分方程，复变函数，计算方法，实变函数与泛函分析等提供理论基础和工具。
数学分析刘玉琏21-6
1 令x sin t 2
y3 2 (1 4 x ) y 3 0
1 4 x 2
2 12 dx (1 4 x 2 )3 2 dx 3 0
第二十一章重积分§6重积分的应用
2 2 2 例(P222 §2例4) 求两个圆柱面 x 2 y 2 R2及 x z R
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y 1 4x2
D1
o
12 1 4 x 2
0.5
x
V1 (1 4 x y ) d dx
2 2 D1
0
0
(1 4 x 2 y 2 ) dy
12
0
1 3 1 2 1 4 2 cos t dt . 3 4 2 2 16 3 2 0 所求立体的体积 V 4V1 . 4 上册P227(12)式 V1也可用广义极坐标变换求得(P241).
所围的立体在第一卦限部分的体积.
解
所求立体
R
z
R
可以看成是一个曲
z
顶柱体，它的曲顶
为
R
o
z R x ,
2 2
o
R
y
R
R
y
x
x
y
y R2 x 2
D
0 x R, 它的底为 D : 2 2 0 y R x .
R
o
R
x
第二十一章重积分§6重积分的应用
它的曲顶为 z
R x ,
2
2
y
R
D
O
y R2 x 2
0 x R, 它的底为 D : 2 2 0 y R x .
-数学分析
四、教学评价
学生
同行
教学督导
获奖情况
任课老师责任 教学同行认为 主讲教师治学 心强，备课认 该课程的教学 严谨、功底扎 真，思路清晰， 内容覆盖面广， 实、经验丰富、 逻辑性强，能 结构清晰，逻 年富力强、充 吸引学生的注 辑性强，理论 满活力，师资 意力。注重启 与实际的结合， 团队的年龄、 发式教学，既 提高学生解决 学历和知识结 教书又育人。 问题的能力。 构合理.
作业
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
所谓第二课堂，是指除了传统的班级 授课形式以外，积极组织学生以兴趣 小组的形式进行专题讨论，积极鼓励 学生自己走上讲台，一方面提高了学 生自主学习的积极性，同时也给学生 提供了一个锻炼自己的机会，从而为 以后的实习奠定基础。
二、教学内容设计
6.考评体系
采用“多元考核方式”，将过程性评价与终结性评 价有机结合.
极限理论中的相关证明， 闭区间连续函数性质及其 证明，定积分的应用、无 穷级数理论中的相关证明； 含参变量的广义积分等。
特点：物理知识背景广泛， 理论性强，思维方法不易 掌握和应用，证明、推理 多且难度大，运算复杂。 容易导致学生学习厌倦， 丧失学习热情和信心，降 低教学效果。
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
第二十章 曲线积分（12）
第六章 微分中值定理及其应用（20） 第二十一章 重积分（18）
*第七章 实数的完备性
第二十二章 曲面积分（12）
第八章 不定积分（12）
*第二十三章 形上微积分学初阶
第九章 定积分（12）
第十章 定积分的应用（10）
第十一章 反常积分（10）
其中带*为选学内容。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第七单元
cos xdex ex d cos x = ex cos x − ex sin xdx sin xdex ex d sin x
=ex cos x − =ex cos x +
=ex cos x + ex sin x − =ex (cos x + sin x) − I 2I = ex (cos x + sin x), I = 2. (1) e dx. e5x dx = (3) 1 5 1 e5x d(5x) = e5x + C. 5
xd arcsin x
1 − x2 + C.
ln(x + =x ln(x + =x ln(x +
1 + x2 )dx = x ln(x + 1 + x2 ) −
1 + x2 ) −
xd ln(x +
1 + x2 )
x x √ 1+ √ dx x + 1 + x2 1 + x2 √ 1 d( 1 + x2 ) √ 1 + x2 ) − 2 1 + x2 1 + x2 + C.
5x
=ex (cos x + sin x) − ex cos xdx
1 ex cos xdx = ex (cos x + sin x) + C 2
:
(5)
dx . 4 − 3x 1 d(4 − 3x) 1 dx =− = − ln |4 − 3x| + C. 4 − 3x 3 4 − 3x 3 dx . cos2 7x dx 1 d7x 1 = = tg7x + C. 2 2 cos 7x 7 cos 7x 7 cos3 x sin xdx. cos3 x sin xdx = − 1 cos3 d cos x = − cos4 x + C. 4
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
数学分析教学中若干问题的思考
３ 教 学措施
（ １ ）钻研与熟悉教材 要上好 数学分析 这 门课程，必须熟悉这门课程的整体框架，与其他数学专业基础课程的联系以及 与 中学数学之间的联系． ①不能单一的使用一套教材． 本文作者在使用复旦大学的 数学分析 教材时，尽量不改变它的整体 框架，同时又参考了华东师大的 （ （ 数学分析 【、刘玉琏的 （ ３ 】 （ 数学分析讲义 【、吴炯圻的 （ 剞 （ 高等数学》【 】 等教材，尽量做到吃透教材的组织结构，重点和难点，对每个单元的系统性和连贯性做到心中有数，领会 教材所需达到的教学 目标和素质教育的 目的． 例如“ 弧长的微分” 在单变量微分学 中有介绍，在单变量积分 学中有涉及， 在学习第一类 曲线积分时也有用到，刚接触到此概念时应为以后的教学做适当的铺垫和指引． 同时教材 中介绍的方法较多，其 中有些方法是有共通的地方 （ 曲线与曲面积分的计算类似做变量替换； 如
好这门课程的同时，让他们了解其他课程的重要性．
③不能忽略高等数学 与初等数学的联系与区别． 高等数学较初等数学而言，其方法 、思维的灵活性有
了很大的提升． 虽然现在 中学数学改革把变量的一些思想逐步渗透到了教学 当中，但是取得的成效仍不是 很理想，只有时刻把握 中学数学改革动态，才有助于高等数学的教学． 例如数列与函数极限，作为微积分 的基础，极限的讲解至关重要，它是整个 《 数学分析 教学 中的重点 内容之一，也是一大难点，没有中学 数学 中扎实的函数及其图像与性质的基础，对它的理解是困难的，要尽量做到 让学生从常量数学稳步过渡
２１ ０ １年第 ３期 （ 总第 ７ ） ３期
漳 州师 范学院学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｚ ｏ ｏ ｍａ ｎｖ ｒｉ Ｎ ｔ Ｓ ｉ ｏ ｒ ａ ｏ Ｚ ａ ｇ ｈ ｕＮ ｒ ｌ ｉｅ ｓ ｙ（ ａ ． ｃ． Ｕ ｔ ）
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十二单元
−∞
−∞
0
+∞
=2
e−axdx
0
= − 2e−ax +∞ = 2 .
a
0
a
(6)
+∞
e−ax sin bxdx . (a > 0) .
0
1
e−ax
sin bxdx
=
e−ax a2 + b2(−a sin bx
−
b cos bx)
+
C(
§7.2 6),
+∞ 0
e−ax
sin bxdx
=
e−ax − a2 + b2(a sin bx
.
f (x) f (xn) ,
|f (xn)| > ε0, .
f (xn) > 0,
f (x) > 0,
(1)
,
f (x) > ε0. 2
xn+δ f (x)dx > ε0 xn+δ dx = ε0δ(
xn
2 xn
2
|f (x) − f (xn)| = |f (x)| + );
f (xn) < 0,
=
1
d = 1, λ = n − m > 1,
; λ = n − m 1,
.
(6)
+∞ arg tan x
dx
0
x
arg tan x
1
.
lim
x→0+
x
=
lim
x→0+
1
+
x2
=
1.
arg tan x
,
0
《数学分析(中)》课程标准
《数学分析（中）》课程标准1.课程说明《数学分析(中)》课程标准课程编码〔36733 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(中)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。
（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。
通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（上）》，后续课程有数学分析（下）。
2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中一元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。
通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握一元函数的微积分及级数的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算，能够判断级数的敛散性。
3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。
表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。
（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。
6.课程资源（1）硬件要求：多媒体课件（2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。
导数在证明不等式中的应用
…刘玉琏、 沛仁编 ， 学分析讲义》高等教 育 傅 《 数 ，
出版 社 ． ９ ４ １８．
［Ｒ玉琏、 ２０ Ｊ 杨奎元 、 吕风编 ，数学分析讲义 学习 《 指 导书》 ，高等教育 出 版社 ，９７ １８．
与 之ｉ 的大小 ／ ｊ
２ ８ ５ ３ １ ｎ
— — — — — — —
。
点 ＝ ， ＜ １ ＜１ ｘ － 寺 当０ 时， （ ）１ － ， ｇ ｘ （ ｆｘ ｇｘ ； ）ａ ｆ ）Ｊ存 ａＩ ， ｆ 解 ） 或 ， ＞ 】 （ ｆ ） Ｏ ，』 ， 内 有 得定 ｆ， （ ｆ） ３ （－ ） ！ １ ！ Ｊ ） ） ２ 丌 （ ，或 珊 ０ ； （ ） １ 分析： 要证不等式 即 令 Ｆ） ｆ ｘ ｘ 由于 ｆ 】 （§ｆ） （ ０ 所以 ，（ ＜ ； ｛ ＜ 时， ＞（ ， ） ． （ ｘ ｘ （ ｇ） ｇ ） ｘ ｘ 一 ） ０当 ＜ １ １ 一曲 ｌ ｌ —Ｃ Ｓ Ｏ Ｃ Ｓ 一Ｃ Ｓ Ｏ Ｏ ０ 甘Ｆｘ ， 以汪明 ｆ１ ｇ ） 价于 证明 Ｆｘ （ ） 所 ０ ｆ＜ ｘ ＿ － （等 ｘ （ ） １ ＜ — 一 — ７ ， １ ０ 。 所 以 ， ） ０ 因此 ， 在 ＝ １ ＞。 咐 处取得极小值 ， 由柯西中值定理有 例 ２证明 １ｇａ ｂ Ｉ （ ｂ ０ ．＋） Ｏ ａ （ ＞ ＋ ｃｏ ＞） 对 １ １ １ （ Ｘ ！ ＣＳ） Ｏ 切 ａｌ ＞ 都成立 且，） 吉 （ （ ） 。比 ， ） １ （＝ｌ 较 （＝，１ ， ０ ， ） 知 （２ Ｉ ＝ ２ ｏ＜ｆ 、２ ｘ ∈ （ ） ＜ ） 证明 ： 设 ＝ ０ ， １ ， １ｇ ｘ∈（， 则 ） ） ＝ １
件：
对例 ｌ
（ 在闭区间Ｉｂ 连续 ｉ ） ａ止 ’ （） ｉ 在开区间（Ｊ 内可导 ， 区间（ ） ｉ ａ） ） 则存 内 至少存在一点 ∈ ， 使得
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十四单元
C [x cos(n, x)
+ y cos(n, y )]ds = ,
C
[x cos(n, x) + y cos(n, y )]ds = 2
C
xdy − ydx = 2A.
C
14.
f (x, y )
,
G ∂2f ∂2f + = 0, ∂x2 ∂y 2 6
f (x, y ) G
.
f (x, y ) G ∂f ds = 0. ∂n
2+y , 1 + x2
Q(x, y ) =
x(y + 1) . 2+y
∂P 1 = , ∂y 2+y , ln
C
∂Q y+1 = . ∂x 2+y , y+1 1 − dxdy 2+y 2+y
D
.
2+y x(y + 1) dy = dx + 2 1+x 2+y y dxdy = 2+y
1 1
D
=
D
2 [x2 + (2 − x)2 ]dx + [x2 − (2 − x)2 ](−dx) = . 3 4 = . 3 (0,0,0) (1,1,1),
C2
,
= C
C1
+ .
1)
;2)
(0,0,0)
,
(1,0,0) 1)
(1,1,0) C1 ,
(1,1,1)
x = t, y = t, z = t, 0
14.1
392 1. (2)
c xyds,
c
: c : |x| + |y | = a(a > 0). , 14.a. c = c1 + c2 + c3 + c4 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dx f ( x , y ) dy dy f ( x , y ) dx
c c a
d
d
b
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
例 计算 I ( x 2 y 2 1)dxdy，其中D为矩形 :[1,1] [2, 2].
2 2 1 3 2 2 解 I dx ( x y 1)dy 1 x y y y dx 1 2 3 2 1 28 64 2 4 x dx . 1 3 3 1 2 1 2 1 3 2 2 2 或者 I dy ( x y 1)dx 2 x y x x dy 2 1 1 3 2 8 64 2 2 y dy . 例1(P219) 2 3 3
D1
D2
D3
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x , y )d
D D1 D2 D3
例3( P 221) 计算二重积分 d , 其中D由直线y 2 x , x 2 y及
D
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
二 一般区域上二重积分的计算
1. x型区域上二重积分的计算 区域 D { ( x, y) | y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b }
y y y ( x) 2 D
y y1 ( x )
称为 x 型区域 定理 21.10(P220) 设 f (x,y)在 x型区域
1
D 2
1
推论(补充) 设φ(x)在[a,b]上可积，ψ(y)在[c,d]上可积，则乘积 函数 f (x,y) = φ(x) .ψ(y) 在 D = [a,b]×[c,d] 上也可积，且
f ( x, y )dxdy
D
b a
( x )dx ( y )dy .
c
d
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
例 求 ( x 2 y )dxdy，其中D是由抛物线y x 2和x y 2所围
D
平面闭区域.
y x 2， 解 两曲线的交点由 得(0, 0)， (1,1). 2 x y ，
2 ( x y )dxdy D
x y2
D 上连续，y1(x) , y2(x) 在[a,b]上连续，则
o a
b x
f ( x, y )d x d y
D
b a
d x y ( x ) f ( x , y ) d y
1
y2 ( x )
称之为先对y后对x的累次积分.
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
2. y型区域上二重积分的计算 区域
对每个 y∈[c,d]，积分
d c
b a
f ( x , y )dx 存在，则累次积分
b a
也存在，且
D
dy f ( x , y )dx
d c
f ( x, y)d
f ( x, y) d
D b a
dy f ( x , y )dx.
a
b
特别地，当 f (x,y) 在矩形区域 D=[a,b]×[c,d]上连续时，有
dx 2 e dy
x
x
y x
1 x(e e x )dx
2
1
3 1 e e. 8 2
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
习题：P222§2习题 1-3题
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
备例 改变累次积分 dx
0
1
1 x
0
f ( x, y )dy的次序.
对每个 x∈[a,b]，积分 c f ( x , y )dy 存在，则累次积分
d
也存在，且
b a
dx f ( x , y )dy
c
b a d
d
f ( x, y)d
D
dx f ( x , y )dy.
c
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
定理 21.9(P219) 设f (x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且
x y 3所围的三角形区域.
解
联立边界曲线方程求解，得交点
(0, 0), (1, 2),(2,1).
当把D看作x型区域时，相应的
2 x, 0 x 1, x y2 ( x ) y1 ( x ) . 2 3 x,1 x 2,
所以
d d d
西南财经大学 省级精品课程 《经济管理数学分析》 课题组版权所有 请勿外传
第二十一章 重积分
§2 直角坐标系下二重积分的计算
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
一 矩形区域D=[a,b]×[c,d]上二重积分的计算
定理 21.8(P218) 设f (x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且
y x2
dx
0
1
1
x x2
( x 2 y)dy
x 1 2 2 x y y dx 0 2 x2 1 1 33 2 2 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
y
dx 0
1
1 3 y2 y e dy 3
1 1 . 6 3e
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
x型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用 积分公式(P220图21-6)
解
y 1 x
积分区域如图
1 1 y 0 0
原式 dy
f ( x, y )dx.
备例 的次序.
改变累次积分 dx
0
1
2 x x2
0
f ( x , y )dy dx
1
2
2 x
0
f ( x , y )dy
y 2 x
解
积分区域如图
1 2 y 1 1 y 2
y D
x x2 ( y )
D { ( x, y) | x1 ( y) x x2 ( y), c y d } d
称为y型区域. 若 D 为y型区域，则
o
c
x x1 ( y )
x
d c
d y
x2 ( y ) x1 ( y )
f ( x , y )d x .
称之角坐标系下二重积分的计算
例 计算积分I 1 dy 1 e dx 1 dy
y x
4 2 2
1 2
y
y x
1
y y
e dx .
y x
解 由于 e dx 不能用初等函数表示，
所以先改变积分次序， 作出积分区域的草 图， 所以
I
y x
y x2
1
1 2
D
1
D1
D2
0
dx x dy dx x dy
2 1 2
2x
2
3 x
2 x x 2 x dx 3 x dx 0 1 2 2 1
3 3 2 3 2 x 3x x . 4 1 2 4 0
例2( P 221) 求 x e
D
2 y2
dxdy，其中D是以(0, 0),(1,1),( 0,1)为顶
点的三角形.
解 由于 e
y2
dy 无法用初等函数表示，所
以不能用x型区域下的累次积分计算该二重积分.
x e
D
2 y2
dxdy
2 y2
dy x e
0 0
1
y 2x x2
原式 dy
0
f ( x, y)dx.