数学分析刘玉琏11-1
由求高阶导数所想到的
’ ＋… ＋ｃ －１ ：１， １
阶、二 阶 、三 阶导数 ，进 而给 出 了其 １阶导 数公 正 地融 会贯 通 。 ７ ，
式：
（Ｌ） ： ｕ ＋ ｃ Ｉ ‘ ‘ ． Ｖ
中数学课 程 中 已讲 过相 关 理论 。不完 全 数学 归 纳 生来 说 ，并不 陌生 ，运 用起 来 也 并不 困难 。 因而 在我 所提 及 的上述 求高 阶导 数 的几 道例 题 和求 两 方法 ，即先运 用不完 全 数学 归 纳法 ，得 到 一般 结
＋１ （ ＋ （ ） １ １ ） 一
如 ［ ］中 ０ ． ３．计算 函数 ｆ （ ） ＝ １ ５例 ０ （ ＋ （ Ｒ） 的 ｎ阶导 数 ，就是 先 求 出其 一 １ ） ａ∈ 阶、二阶、三阶导数 ，进而归纳得到其 ｎ 阶导数
）
故 ，＝ ｌ ｋ＋１时 ，（ ）式也 成立 。 １
所 以对 Ｖ／ ７ ， ∈Ｎ，（ ） ＝ ／ 删 ． ｔ
样处理会更好。这样则可使此公式的推导清晰明 了 ，有利 于学生 的真 正理解 运用 。
＋… ＋Ｃ ＿ 移 １ ＋Ｃ删 ’ ：。 －’ ： 都成 立 。
这样处 理 以后 ，增强 了公 式 推 导 的逻 辑严 密 在 推 导莱布 尼兹公 式 时 ，书 中先 给 出 了其 一 性 ，有 利 于学 生对知 识 内容 的理 锵 ，从 而做 到 真 其 实不完 全 数学 归纳 法 和数 学 归纳 法 ，在 高
数学分析教学大纲刘玉莲
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
数学分析教学大纲刘玉莲
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
数学系本科生课程设置与简介
数学系本科生课程设置与简介01101011 数学分析(1) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：112 学分：7简介：“数学分析”是数学专业最重要的一门专业课。
第一学期主要内容是分析基础。
第一章函数、第二章极限、第三章连续函数、第四章实数的连续性、第五章导数与微分、第六章微分基本定理及其应用、第七章不定积分、第八章定积分。
先修课要求：无教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101021 数学分析(2) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：144 学分：8简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数微分学。
级数是数学分析的重要组成部分，它分为数值级数和函数级数。
数值级数是函数级数的特殊情况，也是函数级数的基础；函数级数是表示非初等函数的一个重要的数学工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。
多元函数微分学是一元函数微分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。
并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
先修课要求：数学分析(1)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：春01101031 数学分析(3) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：40 学分：2简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数积分学。
多元函数积分学是一元函数积分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。
并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
先修课要求：数学分析(1) 、数学分析(2)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101041 数学分析选讲 Selected Topics of Analysis课程性质：专业选修课课内学时：48 学分：2简介：数学分析教材自身科学规律概述、数学分析的思想方法与表达方式浅析、数学分析解题方法概述、关于数学分析中何种类型习题宜于用反证法证明的问题、形式逻辑与辩证逻辑方面易出现的错误及其分析、函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数、中值定理与导数的应用、实数的基本定理、不定积分、定积分、数项级数、函数列与函数项级数、含参量正常积分、黎曼积分概念与性质，重积分的计算、曲线积分、曲面积分、各类积分间的联系、非正常积分、含参量非正常积分。
西安石油大学精品课程建设申报表
填表时间：2005，11，20
课程名称
数学分析
所在院（系）
理学院
课程负责人
郝华宁
职称
教授
出生年月日
1958，9，8
课程基本条件：（教学队伍、教学内容、教学条件、教学方法、教学效果、课程特色）
1、教学队伍：本课程师资队伍有郝华宁、李富民、陈军斌、宋巨龙、党林立、蔡浩江、王建刚、安刚、卢学飞。该支队伍具有高职称、年轻化、教学经验丰富的特点，其中75%的教师具有硕士及以上学位，50％的教师具有高级职称，教师平均年龄为39岁。教学队伍的师资素质较高，科研、教学业务能力较强，而且都有多次数学分析的教学经验及较高的学术水平。学生评教成绩优良，是一支力量雄厚、有很大潜力的教师队伍。教学队伍的外语、计算机能力能满足教学科研的需要。主讲、辅导教师配置合理，辅导教师与学生的比例约1：30。
注重物理与力学的背景模型（实物），几何的形象直观（形象），抽象的演算推理（数量）三者的结合，使得学生摆脱对数学知识狭隘的理解，培养学生的现代数学思想。
加强多变量函数的微Байду номын сангаас分和单变量函数的微积分概念和方法之间的对比分析。
3、教学条件：目前本课程为270学时，使用的教材是刘玉琏编写的《数学分析》（上、下册）（高等教育出版社，2003年第四版）。校图书馆和学院资料室图书资料比较丰富，国内外不同版本的数学分析教材、教学参考书以及有关期刊、杂志比较齐全，为学生扩充知识、延伸学习提供了有利条件。但我们只有5届学生，相应经验少，在各方面都急需提高。
4、教学方法：我校数学分析课程一直实行主讲教师主要负责课程内容主讲环节，专任辅导教师负责答疑、习题课和作业批改环节。在教学实践中，抓好课堂讲授、习题课、辅导答疑和习题批改等环节。在课堂教学中注意对比分析内容和方法间的关系，启发学生的思维，精讲多练，适当提问和讨论，活跃课堂气氛。教学中注重概念的实质与背景、注重表述规范，论证严谨、注重数学思想与创新能力的培养、注重现代化教学手段和教育技术的应用。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第七单元
7.2
( 1. (1) x cos xdx. x cos xdx = (3) ln(1 − x)dx. xd sin x = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C. : 295 )
ln(1 − x)dx = x ln(1 − x) − =x ln(1 − x) + x dx 1−x 1−x−1 =x ln(1 − x) − dx 1−x 1 1− =x ln(1 − x) − dx 1−x =x ln(1 − x) − x − ln(1 − x) + C =(x − 1) ln(1 − x) − x + C. (5) xn ln xdx.
√
(25)
(27)
esin x cos xdx. esin x cos xdx = esin x desin x = esin x + C.
(29)
. 1 − 3x2 1 dx √ =√ 3 1 − 3x2 dx. 1 − x4 x 1 √ dx = 2 1 − x4 cos xdx a2 + sin2 x cos xdx 1 = 2 a2 + sin x a √ 1 + lnx dx = x √ x
(7)
(9)
dx. x3 + 1 x2 1 2 1 √ dx = (x3 + 1)− 2 d(x3 + 1) = x3 + 1 + C. 3 3 3 x +1 sin x (11) dx. cos3 x sin x d cos x 1 dx = − = + C. 3 3 cos x cos x 2 cos2 x dx √ (13) . tgx − 1 cos2 x dx d(tgx − 1) √ √ = = 2 tgx − 1 + C. 2 tgx − 1 cos x tgx − 1 5
数学分析刘玉琏10-1
(1,1) y x y x
2
y x2
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1).
O
dA
x x+dx 1 x
从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间. 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 dA ( x x 2 )dx,
1
2 x 1 则 A ( x x )dx x . 0 3 0 3 3
解
x2 y2 求椭圆 2 2 1的面积. a b
椭圆的参变量函数为
x a cos t , t [0, 2 ]. y b sin t ,
由对称性知总面积等于4倍第 一象限部分面积．
2 A 4 ydx 4 b sin t ( a sin t )dt 4ab 0 sin tdt
( 2)具有可加性， 即 A Ai ;
i 1
n
(3)部分量Ai可“以不变代变”求得近似值 Ai f (i ) xi .
y
y f ( x)
A( x ) f (t )dt A( x ) f ( x )
a
x
d A f ( x )dx
A( x ) A
当x=x(t)严格单调时，则由该参变量函数及直线x=a，x=b和x轴 所围成曲边梯形的面积
A y dx y[ x ( x )] dx y( t ) x( t )dt .
1 a a
b
b
注：教材(P240)上的公式.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例2( P 240) 求由摆线x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0)的一 拱与x轴所围平面图形的面积.
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第七单元
cos xdex ex d cos x = ex cos x − ex sin xdx sin xdex ex d sin x
=ex cos x − =ex cos x +
=ex cos x + ex sin x − =ex (cos x + sin x) − I 2I = ex (cos x + sin x), I = 2. (1) e dx. e5x dx = (3) 1 5 1 e5x d(5x) = e5x + C. 5
xd arcsin x
1 − x2 + C.
ln(x + =x ln(x + =x ln(x +
1 + x2 )dx = x ln(x + 1 + x2 ) −
1 + x2 ) −
xd ln(x +
1 + x2 )
x x √ 1+ √ dx x + 1 + x2 1 + x2 √ 1 d( 1 + x2 ) √ 1 + x2 ) − 2 1 + x2 1 + x2 + C.
5x
=ex (cos x + sin x) − ex cos xdx
1 ex cos xdx = ex (cos x + sin x) + C 2
:
(5)
dx . 4 − 3x 1 d(4 − 3x) 1 dx =− = − ln |4 − 3x| + C. 4 − 3x 3 4 − 3x 3 dx . cos2 7x dx 1 d7x 1 = = tg7x + C. 2 2 cos 7x 7 cos 7x 7 cos3 x sin xdx. cos3 x sin xdx = − 1 cos3 d cos x = − cos4 x + C. 4
1、数学分析讲义(上、下)刘玉琏编高教出版社
1、数学分析讲义（上、下）刘玉琏编高教出版社1、数学分析讲义(上、下)刘玉琏编高教出版社2、高等数学(上、下)同济大学应用数学系编高教出版社3、工科数学分析(上、下) 哈尔滨工业大学数学系编科学出版社4、数学分析中典型问题与方法，裴礼文编，高等教育出版社5、数学分析习题课讲义(上、下) 刘隆复编吉林大学出版社6、数学分析—内容、方法与技巧(上、下) 孙清华主编华中科技大学出版社局7、高等数学例题与习题集石建城编西安交通大学出版社8、高等数学典型题题典刘坤林编东北大学出版社9、微积分典型题详解陈跃机械工业出版社10、高等数学典型题精解陈兰祥编学苑出版社11、数学复习全书(理工类)北大，清华，中国人大编，国家行政学院出版社12、数学复习全书(经济类)北大，清华，中国人大编，国家行政学院出版社 13、题型集粹与练习题集(理工类)陈文灯编世界图书出版社 14、高等数学习题集(提高篇)赵达夫编机械工业出版社 15、微积分习题集(基础篇)严守权编机械工业出版社16、微积分复习指导与典型例题分析刘西坦编机械工业出版社当前位置:数学分析>>参考书目一、选用教材《数学分析》，复旦大学数学系，陈传璋等编著，高等教育出版社( 二、参考书目1、数学分析，复旦大学数学系，陈纪修等编著，高等教育出版社(2、数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社。
3、数学分析中的问题和反例，汪林，云南科学出版社。
4、数学分析讲义练习题解，刘玉琏，刘伟等编著，高等教育出版社。
5、数学分析问题研究与评注，汪林等编著，科学出版社。
6、W. Rmdin， Principle of Mathematical Analysis (Second edition)，Mc Graw-Hill ， New York， 1964。
7、华东师范大学数学系编，《数学分析》，高等教育出版社，1991。
8、《数学分析》，吉林大学数学系编，人民教育出版社(9、《数学分析》，周民强(编)，上海科学出版社(10、《数学分析》，格?马?菲赫金格尔茨著吴宗仁、陆秀丽(译)，人民教育出版社( 此外，还有北京大学，清华大学、中山大学等院校编写的《数学分析》教材可供参考(课程特色1、拥有一支科研成绩突出、教学水平高的师资队伍。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十二单元
−∞
−∞
0
+∞
=2
e−axdx
0
= − 2e−ax +∞ = 2 .
a
0
a
(6)
+∞
e−ax sin bxdx . (a > 0) .
0
1
e−ax
sin bxdx
=
e−ax a2 + b2(−a sin bx
−
b cos bx)
+
C(
§7.2 6),
+∞ 0
e−ax
sin bxdx
=
e−ax − a2 + b2(a sin bx
.
f (x) f (xn) ,
|f (xn)| > ε0, .
f (xn) > 0,
f (x) > 0,
(1)
,
f (x) > ε0. 2
xn+δ f (x)dx > ε0 xn+δ dx = ε0δ(
xn
2 xn
2
|f (x) − f (xn)| = |f (x)| + );
f (xn) < 0,
=
1
d = 1, λ = n − m > 1,
; λ = n − m 1,
.
(6)
+∞ arg tan x
dx
0
x
arg tan x
1
.
lim
x→0+
x
=
lim
x→0+
1
+
x2
=
1.
arg tan x
,
0
数学分析刘玉琏11-1
lim
b
f ( x )dx J ,
则称此极限 J 为函数 f 在无穷区间(−∞,b]上的无穷限反常积分(简 称无穷积分)，记作
J
即
b
f ( x )dx ,
b
b
f ( x )dx f ( x )dx ulim u
当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷
lim f ( x )dx J ,
u
b
则称此极限为无界函数 f 在区间(a,b]上的反常积分，记作
J f ( x )dx ,
a
b
即
b
a
f ( x )dx , f ( x )dx lim
u a u
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分 发散. 此时点a也称为 f 的瑕点,
＋
得： 该无穷积分当 p 1时收敛；而当 p 1时发散. dx 例4(2)(P266) 计算无穷积分 . 2 1 x 0 dx dx dx 解 1 x 2 1 x 2 0 1 x2
arctan x arctan x 0
积分发散.
(3) ( , )上 对于定义在(−∞,+∞)上的无穷积分，如果两个无穷积分
第十一章反常积分§1反常积分概念
a
f ( x )dx和
a
f ( x )dx
(a为任一实数)都收敛，则称上述两无穷积分之和为函数 f 在无穷区 间(−∞,+∞)上的反常积分(简称无穷积分)，记作
第十一章反常积分§1反常积分概念
注 (1)上述结论以后是经常用到的，要熟记; (2)上述结论可以推广为以下几种情形： b 1 ( i ) b 0，瑕积分 q dx 当 0 q 1时收敛；而当 q 1时发散; 0 x b 1 ( ii ) 瑕积分 dx 当 0 q 1时收敛；而当q 1时发散; a ( x a )q b 1 ( iii ) 瑕积分 dx 当 0 q 1时收敛；而当 q 1时发散. a (b x )q ＋ 1 (3)( P 269) 对反常积分 dx （p 0）,定义 p 0 x ＋ 1 1 1 1 0 x p dx 0 x p dx 1 x p dx 由前例的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知
《数学分析(中)》课程标准
《数学分析（中）》课程标准1.课程说明《数学分析(中)》课程标准课程编码〔36733 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(中)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。
（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。
通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（上）》，后续课程有数学分析（下）。
2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中一元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。
通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握一元函数的微积分及级数的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算，能够判断级数的敛散性。
3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。
表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。
（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。
6.课程资源（1）硬件要求：多媒体课件（2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第四单元
[a, b].
, n(
)
:
{(yi − δyi, y + δyi)|yi ∈ [a, b], i = 1, 2, · · · , n}
[a, b].∀x ∈ (yi − δyi, y + δyi) ∩ [a, b],
f (x) = f (yi), i = 1, 2, · · · , n. 2
m = min{f (yi)|i = 1, 2, · · · , n} > 0.
1 − ε < sin x0(
sup{sin x|x ∈ (0, 2π]} = 1.
arcsin(1 − ε) < x0).
,
inf{sin x|x ∈ (0, 2π]} = −1.
5. : A
,sup A = a( inf A = b).
sup A = a,
1 ∀x ∈ A x ≤ a; 2 ∀ε > 0∃x0 ∈ A, a − ε < x0. , 1 ∀(−x) ∈ −A, −x0 < −a &#, c − ε < f (x0) ≤ c.
∃δ = b − x0 > 0, ∀x : b − δ < x < b ∀x : x0 < x < b, c−ε < f (x0) ≤ f (x) ≤ c
lim f (x) = c.
x→b−
2.4 14
17
.
,
c
,
9.1( )(244) 9.1( )(266) 9.2( )(290) 9.4(309)
9.1( )(252) 9.2( )(273) 9.3(298)
1
10.1(323) 10.3(334)
11.1(366) 11.3(378)
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十四单元
C [x cos(n, x)
+ y cos(n, y )]ds = ,
C
[x cos(n, x) + y cos(n, y )]ds = 2
C
xdy − ydx = 2A.
C
14.
f (x, y )
,
G ∂2f ∂2f + = 0, ∂x2 ∂y 2 6
f (x, y ) G
.
f (x, y ) G ∂f ds = 0. ∂n
2+y , 1 + x2
Q(x, y ) =
x(y + 1) . 2+y
∂P 1 = , ∂y 2+y , ln
C
∂Q y+1 = . ∂x 2+y , y+1 1 − dxdy 2+y 2+y
D
.
2+y x(y + 1) dy = dx + 2 1+x 2+y y dxdy = 2+y
1 1
D
=
D
2 [x2 + (2 − x)2 ]dx + [x2 − (2 − x)2 ](−dx) = . 3 4 = . 3 (0,0,0) (1,1,1),
C2
,
= C
C1
+ .
1)
;2)
(0,0,0)
,
(1,0,0) 1)
(1,1,0) C1 ,
(1,1,1)
x = t, y = t, z = t, 0
14.1
392 1. (2)
c xyds,
c
: c : |x| + |y | = a(a > 0). , 14.a. c = c1 + c2 + c3 + c4 .
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证
(1) p 1,
1 1 x p dx
1 dx (ln x) lim ln x
1x
1
x
.
(2) p 1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p
1
lim
x
x1 p 1 p
1 1 p
y
1
y x2
p
1
1
,
p
1,
, p 1.
O1
y 1 x
u
x
因此
当p>1时该无穷积分收敛，其值为
曲边梯形"的面积.
解 由于这个图形不是封闭的曲 y 边梯形，而在 x 轴的正方向是开口 的，即这里的区间为[1,+∞).
1 y x2
故u 1, 则对应的曲边梯形面
o
1
ux
积为
A
u 1
1 x2
dx
1 x
u 1
1
1. u
显然当u改变时，曲边梯形的面积也随之改变.
故u 时，lim u
u1
1
1
x2 dx
ln 2
1 tp
dt
,
由上例的结论
得：该无穷积分当 p 1时收敛；而当 p 1时发散.
例4(2)(P266) 计算无穷积分
dx 1 x2 .
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
第十一章反常积分§1反常积分概念
例 讨论无穷积分 e pxdx 的收敛性. a
解 显然 p = 0 时, dx发散;
当 p ≠ 0 时，
a
e pxdx lim
a
u
u e
a
pxdx
lim
u
e px
p
u a
e ap
lim
u
e pa p
e pu p
p
,
,
p 0, p 0.
注 (i)从本质上说，当无穷积分 f ( x)dx收敛时它是一个 a
数(极限值); 当无穷积分 f ( x)dx发散时它只是一个记号. a
(ii)无穷积分的几何意义
f ( x)dx收敛的几何意义是：若 f ( x)在[ a , )上为非负 a
连续函数，则其值就是介于曲线 y f ( x)，直线 x a 以及 x 轴之 间那一块向右无限延伸的区域的面积.（如图所示）
2h g
R r
2
.
归结为如何计算下列两种类型的积分：
b
(1) f ( x)dx; f ( x)dx; f ( x)dx;
a
(2) b f ( x)dx, 这里f ( x)在 a或 b或 c(c 处于 a与 b之间)无界. a
例
求曲线y
1 x2
第十一章反常积分§1反常积分概念
, x轴及直线x 1的右侧所围成的"开口
1; p1 当p≤1时该无穷积分发散.
注
a 0，无穷积分
a
1 xp
dx当
p
1时收敛；而当
p
1时发散.
第十一章反常积分§1反常积分概念
例4(1)(P266) 讨论无穷积分
P266
＋ 2
1 x(ln x) p
dx的收敛性.
例3解 设 t ln x，则
＋ 1 2 x(ln x) p dx
lim (1 ) 1,
u
u
则所求的“开口曲边梯形”的面积为1.
二 两类反常积分的定义
第十一章反常积分§1反常积分概念
1.无穷积分:无穷区间有三种，分别给出其定义.
(1) [ a , ) 上
定义1(P265) 设函数 f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何 有限区间[a,u]上可积，如果存在极限
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经济管理数学分析
第十一章 反常积分
§1 反常积分概念 §2 无穷积分的性质与收敛判别 §3 瑕积分念
第十一章反常积分§1反常积分概念
一 问题的提出
定积分
b
a
f
( x)dx
有两个基本条件，即：
R
mgR2 x2
dx
lim mgR2( 1
r
R
1) r
mgR
*例2(P264) 圆柱形桶内壁高为h, 内半径为R,桶底有一半径为
r 的小孔. 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少
时间？
h
0 r2
R2
dx lim
2g(h x)
uh
2 R2 g r2 ( h
h u)
y
y f (x)
Oa
x
(2) ( , b] 上
第十一章反常积分§1反常积分概念
设函数 f 定义在无穷区间(−∞,b]上，且在任何有限区间[u,b] 上可积，如果存在极限
b
lim f ( x)dx J ,
u u
则称此极限 J 为函数 f 在无穷区间(−∞,b]上的无穷限反常积分(简 称无穷积分)，记作
b
J f ( x)dx,
即
b f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
u u
当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷
积分发散.
(3) ( , )上
第十一章反常积分§1反常积分概念
对于定义在(−∞,+∞)上的无穷积分，如果两个无穷积分
a
f ( x)dx和
f ( x)dx
u
lim f ( x)dx J ,
u a
则称此极限 J 为函数 f 在无穷区间[a,+∞)上的无穷限反常积分(简 称无穷积分)，记作
a f ( x)dx,
即
f ( x)dx lim
u
f ( x)dx
a
u a
当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷
积分发散.
第十一章反常积分§1反常积分概念
积分区间[a,b]是有限区间，且 f(x) 在[a,b]上是有界函数.
实际应用中往往遇到： (1) 有界函数在无穷区间上的积分; (2) 无界函数在有限区间上的积分.
第十一章反常积分§1反常积分概念
*例1(第二宇宙速度问题,P264) 在地球表面垂直发射火箭.要使
火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？
故原无穷积分当p>0时收敛于 eap , 当p≤0时发散. p
简记公式(补充)：设F( x)是 f ( x)的一个原函数，则
f ( x) dx F ( x) lim F ( x) F (a).
a
a
x
例3(P266)
证明无穷积分
1
1 xp
dx
第十一章反常积分§1反常积分概念
当p>1时收敛,当p≤1时发散.
a
(a为任一实数)都收敛，则称上述两无穷积分之和为函数 f 在无穷区
间(−∞,+∞)上的反常积分(简称无穷积分)，记作
f ( x)dx
即
a
f ( x)dx f ( x)dx f (x)dx
a
lim
a f ( x)dx lim
v
f ( x)dx
u u
v a
注 f ( x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关.