结构力学第4章-虚功原理和结构的位移计算

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
D
E’ F’
B1 O’ A1 C1
ds
M+dM FN+dFN D FQ+dFQ
C2
D2
ds
D1

微段总的虚功:
dW总=dW刚+dW变
由刚体虚功原理,可知:
du ds
g0 g0
dv
ds
dW刚=0
ds
dW总=dW刚+dW变=dW变 于是,微段上总的虚功: 对于全结构,有: dW总 dW变 因此有: W总=W变 (b)
根据平面杆件结构的虚功方程(4-4),其等号左侧为
F Δ 1 Δ F
P
R1 1
c FR2 c2 1 Δ FR i c i
于是有 1 Δ FR c Md FN du FQ dv 即得 Δ Md FN du FQ dv FR c (4-7 )
BV
以上都是相对位移

广义位移
1.一个截面的位移(绝对位移) (1)截面A 位置的移动(用截面形
心的移动来表示)ΔA,称为线位移, B 可分解为:
水平线位移ΔAH(也可记作uA) 竖向线位移 (挠度)ΔAV (也可记作vA)。
C
q
B1
uA
A
vA
θA
A
A1 θA
(2)截面A 位置的转动
(用该点切线方向的变化来表示)θA,称为角位移或转角。
二、虚拟单位荷载的施加方法
应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以是线位移, 也可以是角位移或相对线位移、相对角位移,即属广义位移。因此,需 特别强调,当求任意广义位移时,所需施加的虚单位荷载,应是一个在 所求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相应的广义力。 这里,“相应”是指力与位移在做功上的对应,如集中力与线位移对应, 力偶与角位移对应,等等。 i
W FP Δ
式中:
FP是做功的与力有关的因素,称为广义力,
可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。 Δ 是做功的与位移有关的因素,称为与广义力相应的广义位 移,可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角 位移等。
三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是:对于符合约束条 件的任意微小虚位移,刚体体系上所有外力所做的虚功总 →.→ 和等于零。
FP1在Δ 12上做的功:
1
M2
2
W12 FP1 Δ12
12
W12是力FP1在另外的原因(M2)引起的位移上所做的功,故为 虚功。所谓“虚”,就是表示位移与做功的力无关。在作虚功 时,力不随位移而变化是常力,故式中没有系数1/2 。
二、广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功,用力和相应位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示,即:
1
P
11
P1
P1
1
11
o

11
1 W1 P1 Δ11 2
静力荷载所做的实功为变力实功。
3、常力所做的虚功
所谓虚功,是指力在另外的原因(诸如另外的荷载、温度变化、 支座移动等)引起的位移上所做的功。 FP1 (先) 1
1’ 12 1’’
11
M2(后)
21
FP1
1
11
2
22
2
dv
ds
θ
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 (轴向变形) (剪切变形) (弯曲变形)
微段刚体位移
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 (1)刚体位移(不计微段的变形):u、v、θ (2)变形位移(反映微段的变形):du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
ds
dv= g0 ds
ΣFi δi=0
δ1
C1
FN1
FP1
ΔP
FP
FAx A
C
B1
B
ΔB
FP 2
δ2
FAy
FB
FN 2
去掉约束而代以相应的反力, 该反力便可看成外力。则有: -FP ΔP +FB ΔB=0
四、变形体的虚功原理
1、关于原理的表述
变形体系处于平衡的必要及充分条件是:
对于符合约束条件的任意微小虚位移,变形体系上所有 外力在虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变 形虚位移上所做虚功总和。
变形后的曲率半径)。
R
对于常见的在荷载作用下的弹性结构,则有
FN du ds EA FQ dv ds GA M d ds EI
式中,FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩; EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度;
μ为考虑剪应力分布不均匀系数,如对于矩形截面μ =1.2, 圆 形截面μ =10/9,薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ =A/A1
而这里(b)中的W变仅指所有微段上内力在截面的变形 位移上所做虚功的总和。
(1) 变形虚功W变
由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布 荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去,因此微段 上各力在其变形上所做的虚功为 dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv
假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用,可以认为它们作 用在截面AB上,因而当微段变形时,它们并不做功。总之,仅 考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时,外力不做功, 只有截面上的内力做功。对于平面杆系有 (d ) W dW Md F du F dv
ΔC
C C´ D E D´ F1 A B A E´ C C´
ΔD
D´ F2 D
C
A
B
AB
B
二、结构位移计算概述 计算位移的目的:(1)刚度验算 (2)为超静定结构分析打基础
产生位移的原因:(1)荷载(2)温度变化、材料胀缩(3)支座沉降、制造误差
c
c
t1
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
ds
D1

ds 微段受力状态 ds
du
g0 g0
dv
ds ds 微段位移状态
(1)按外力虚功与内力虚功计算(从变来自百度文库的连续条件考虑)
FP FR1
E F q
C
M
q
E F E’ F’
B O A C D B1 O’ A1
ds
FR2 M FN FQ
ds
FR3
B
A
ds
M+dM FN+dFN D FQ+dFQ





N

Q
W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和, 称为变形虚功(数量上等于虚变形能)。
(2) 外力虚功W外
对于平面杆系而言,因为单个外力虚功按式W=FPΔ计算, 故所有外力(包括荷载和支座反力)在虚位移上所做虚功 的总和为:
W外=SFP
( e)
将有关W外和W 的计算式(e)和(d)代入式(c),则 平面杆件结构的虚功方程可表示为 :
2.两个截面之间的位移(相对位移) (1)相对线位移
ΔAB ΔA ΔB
(2)相对角位移
A
FP A A1 B1
B
B FP
C
θC
θD
D
CD C D
E
θCD
3.一个微杆段的位移
ds A dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
v
u A’
ds du= eds
g0
ds
W=0
刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。
§6.3
结构位移计算的一般公式
一、利用虚功原理计算结构位移
例,求K点位移,则在K点虚加一单位力Fp=1
FP2 FP1 q
ds
i
K
i
ds
c2
K1
FP=1
FR1
i

d, du, dv
i
c1
FR2
M , FQ , FN
+t1 +t2
实位移状态
虚平衡力系
平衡力系
F
P
Δ Md FN du FQ dv (4-4)
位移状态
3、关于原理的说明
(1)在上面的推证过程中,只考虑了力系的平衡条件和变 形的连续条件。所以,虚功方程既可以用来代替平衡方程, 也可以用来代替几何方程(即协调方程)。 (2)虚功方程是个“两用方程”,具体应用时可有两种形式。 鉴于力系与变形彼此是独立无关的,因此, a.如果力系是给定的,则可虚设位移,式(4-4)便称为变形体 系的虚位移方程,它代表力系的平衡方程,常可用于求力系中 的某未知力 ; b.如果位移是实有的,则可虚设力系,式(4-4)便称为变形体 系的虚力方程,它代表几何协调方程,常可用于求实际位移状 态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用
g0
dθ=
ds/R =kds
v
u
ds du= eds ds
g0
dv
ds
θ
微段刚体位移
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 (轴向变形) (剪切变形) (弯曲变形)
相对轴向位移 du eds ε 为轴向伸长应变; 相对剪切位移 dv g 0 ds g 0 为平均剪切应变; 1 相对转角 d kds k 为轴线曲率( k ,R为轴线
比较(a)、(b)两式,可得: W外=W变
就是我们需要证明的结论。 它不仅适用于杆件结构,也适用于板、壳等非杆件结构。 (c)
须注意的是: 这里(b)中的W变与(a)中的W内是有区别的。
(a)中的W内是指所有微段上内力在截面的总位移(包 括刚体位移和变形位移两部分)上所做虚功的总和,如 前所述,它恒等于零;
(A1为腹板面积)。
三、结构位移计算的方法
1、几何法 例如,材料力学中主要用于计算梁的挠度的积分法。 2、虚功法 计算结构位移的虚功法是以虚功原理为基础的,所导出的单位 荷载法最为实用。单位荷载法能直接求出结构任一截面、任一 形式的位移,能适用于各种外因,且能适合于各种结构;还解 决了积分法推导位移方程较繁琐且不能直接求出任一指定截面 位移的问题。
因此,每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相 互抵消的。由此可见,必有:W内= 0 ;
因此: W总=W外
(a)
(2)按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑)
将微段的虚位移区分为刚体虚位移和变形虚位移两类
FP FR1
E F
M
q
E F
B O A
ds
FR2 M FN FQ
A B
ds
q
C
FR3
C
第四章 虚功原理和结构的位移计算
主要内容
§4-1 概述 §4-2 变形体系的虚功原理 §4-3 结构位移计算的一般公式
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4-5 图乘法
§4-6 温度变化和支座移动下的位移计算 §4-7 互等定理
§4-1 概述
一、结构位移的概念 在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变,称为结构 的变形。各杆件的横截面除移动外,还可能发生转动,这些移 动和转动称为结构的位移。
或者简单地说,外力虚功等于变形虚功(数量上等于虚 变形能)。
W外 W变
2、关于原理的证明
FP
M
F
q
E F E’ F’
ds
FR1
E
FR2
ds
FR3
B
状态1:力状态
q M B FN FQ
A C M+dM
状态2:位移状态(另外原因引起)
C D B1 O’ A1 C1 C2 D2
O A
FN+dFN D FQ+dFQ
(式中FR i 、 M ,FN ,FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力)
此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作 用下的平衡状态,利用虚力原理求结构位移的方法,称为单位荷载法。该 方法适用于结构小变形情况。 广义单位荷载FP=1为外加单位荷载(FP上面不加横线表示),属单 位物理量,是量纲1的量(以往称为无量纲量)。
C1
C2
ds
D1
将微段ds上的作用力区分为 外力与内力,微段总的虚功:
D2
dW总= dW外+dW内
整个结构的总虚功为:
dW总 dW外 dW内
du ds
g0 g0

dv
ds
ds
W总=W外+W内 或简写为:
q
BM
FN FN MB
q
C M+dM
M+dM C
q
ds A FQ
虚位移方程
实平衡力系
(a)
F
P
Δ Md FN du FQ dv
虚位移状态
虚力方程 虚平衡力系
F
P
Δ Md FN du FQ dv
实位移状态
(b)
(3)在推证式(4-4)时,没有涉及到材料的性质。因此, 变形体系的虚功方程是一个普遍方程,既适用于弹性问 题,也适用于非弹性问题。 (4)变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚 体体系发生虚位移时,各微段不产生任何变形位移,故 变形虚功W变=0,于是可得
§4-2 变形体系的虚功原理
一、功、实功与虚功 1、功 功包含了力和位移两个因素。 2、实功 所谓实功,是指力在其自身引起的位移上所做的功。分 为常力实功和变力实功 。
静力荷载所做的实功 静力荷载,是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终 值,结构在静力加载过程中,荷载与内力始终保持平衡。 P1
FN+dFN FN+dFN FQ A DFQ+dFQ D F +d F Q Q ds ds
左侧相邻微段受力
某微段受力
右侧相邻微段受力
由于任何两相邻微段的相 邻截面上的内力是成对出 现的,它们大小相等,方 向相反;
又由于虚位移是光滑的、连 续的,两微段相邻的截面总 是紧密贴在一起的,而且有 相同的位移,
相关文档
最新文档