结构力学第4章-虚功原理和结构的位移计算

而这里（b）中的W变仅指所有微段上内力在截面的变形 位移上所做虚功的总和。
（1） 变形虚功W变
由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布 荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段 上各力在其变形上所做的虚功为 dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv
假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作 用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅 考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功， 只有截面上的内力做功。对于平面杆系有 (d ) W dW Md F du F dv
二、虚拟单位荷载的施加方法
应用单位荷载法每次只能求得一个位移。这个位移可以是线位移， 也可以是角位移或相对线位移、相对角位移，即属广义位移。因此，需 特别强调，当求任意广义位移时，所需施加的虚单位荷载，应是一个在 所求位移截面、沿所求位移方向并且与所求广义位移相应的广义力。 这里，“相应”是指力与位移在做功上的对应，如集中力与线位移对应， 力偶与角位移对应，等等。 i
第四章 虚功原理和结构的位移计算
主要内容
§4-1 概述 §4-2 变形体系的虚功原理 §4-3 结构位移计算的一般公式
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4-5 图乘法
§4-6 温度变化和支座移动下的位移计算 §4-7 互等定理
§4-1 概述
一、结构位移的概念 在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构 的变形。各杆件的横截面除移动外，还可能发生转动，这些移 动和转动称为结构的位移。
虚位移方程
实平衡力系
（a）
F
P
Δ Md FN du FQ dv
虚位移状态
虚力方程 虚平衡力系
F
P
Δ Md FN du FQ dv
实位移状态
（b）
（3）在推证式（4-4）时，没有涉及到材料的性质。因此， 变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问 题，也适用于非弹性问题。 （4）变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚 体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故 变形虚功W变=0，于是可得
D
E’ F’
B1 O’ A1 C1
ds
M+dM FN+dFN D FQ+dFQ
C2
D2
ds
D1
dθ
微段总的虚功:
dW总=dW刚+dW变
由刚体虚功原理，可知：
du ds
g0 g0
dv
ds
dW刚=0
ds
dW总=dW刚+dW变=dW变 于是，微段上总的虚功： 对于全结构，有： dW总 dW变 因此有： W总=W变 (b)
平衡力系
F
P
Δ Md FN du FQ dv （4-4）
位移状态
3、关于原理的说明
（1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变 形的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程， 也可以用来代替几何方程（即协调方程）。 （2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式。 鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此， a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（4-4）便称为变形体 系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中 的某未知力 ； b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（4-4）便称为变形体 系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状 态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用
或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚 变形能）。
W外 W变
2、关于原理的证明
FP
M
F
q
E F E’ F’
ds
FR1
E
FR2
ds
FR3
B
状态1:力状态
q M B FN FQ
A C M+dM
状态2:位移状态(另外原因引起)
C D B1 O’ A1 C1 C2 D2
O A
FN+dFN D FQ+dFQ
ΣFi δi=0
δ1
C1
FN1
FP1
ΔP
FP
FAx A
C
B1
B
ΔB
FP 2
δ2
FAy
FB
FN 2
去掉约束而代以相应的反力， 该反力便可看成外力。则有： -FP ΔP +FB ΔB=0
四、变形体的虚功原理
1、关于原理的表述
变形体系处于平衡的必要及充分条件是：
对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有 外力在虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变 形虚位移上所做虚功总和。
（式中FR i 、 M ，FN ，FQ为虚设单位力作用下引起的反力和内力）
此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作 用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该 方法适用于结构小变形情况。 广义单位荷载FP=1为外加单位荷载（FP上面不加横线表示），属单 位物理量，是量纲1的量（以往称为无量纲量）。
变

变


N

Q
W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和， 称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。
（2） 外力虚功W外
对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式W=FPΔ计算， 故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功 的总和为:
W外=SFP
（ e）
将有关W外和W 的计算式（e）和（d）代入式（c），则 平面杆件结构的虚功方程可表示为 :
变形后的曲率半径）。
R
对于常见的在荷载作用下的弹性结构，则有
FN du ds EA FQ dv ds GA M d ds EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆 形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ =A/A1
§4-2 变形体系的虚功原理
一、功、实功与虚功 1、功 功包含了力和位移两个因素。 2、实功 所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。分 为常力实功和变力实功 。
静力荷载所做的实功 静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终 值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始终保持平衡。 P1
FP1在Δ 12上做的功:
1
M2
2
W12 FP1 Δ12
12
W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为 虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功 时，力不随位移而变化是常力，故式中没有系数1/2 。
二、广义力和广义位移
对于各种形式常力所做的虚功，用力和相应位移这两个彼此 独立无关的因子的乘积来表示，即:
W FP Δ
式中:
FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，
可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。 Δ 是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义位 移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角 位移等。
三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条 件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总 →.→ 和等于零。
比较（a）、（b）两式，可得： W外=W变
就是我们需要证明的结论。 它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。 (c)
须注意的是： 这里（b）中的W变与（a）中的W内是有区别的。
（a）中的W内是指所有微段上内力在截面的总位移（包 括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如 前所述，它恒等于零；
1
P
11
P1
P1ห้องสมุดไป่ตู้
1
11
o

11
1 W1 P1 Δ11 2
静力荷载所做的实功为变力实功。
3、常力所做的虚功
所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、 支座移动等）引起的位移上所做的功。 FP1 (先) 1
1’ 12 1’’
11
M2(后)
21
FP1
1
11
2
22
2
FN+dFN FN+dFN FQ A DFQ+dFQ D F +d F Q Q ds ds
左侧相邻微段受力
某微段受力
右侧相邻微段受力
由于任何两相邻微段的相 邻截面上的内力是成对出 现的，它们大小相等，方 向相反；
又由于虚位移是光滑的、连 续的，两微段相邻的截面总 是紧密贴在一起的，而且有 相同的位移，
ds
D1
dθ
ds 微段受力状态 ds
du
g0 g0
dv
ds ds 微段位移状态
(1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）
FP FR1
E F q
C
M
q
E F E’ F’
B O A C D B1 O’ A1
ds
FR2 M FN FQ
ds
FR3
B
A
ds
M+dM FN+dFN D FQ+dFQ
W=0
刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。
§6.3
结构位移计算的一般公式
一、利用虚功原理计算结构位移
例,求K点位移，则在K点虚加一单位力Fp=1
FP2 FP1 q
ds
i
K
i
ds
c2
K1
FP=1
FR1