流体力学第八章气体的一元流动

第8章 气体的一元流动

一、 学习的目的和任务

1．掌握可压缩气体的伯努利方程 2．理解声速和马赫数这两个概念

3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系 4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。

二、 重点、难点

1．重点： 声速、马赫数、可压气体的伯努利方程、等温管道流动、绝热管道流动 2．难点：

声速的导出、管道流动参数的计算

由于气体的可压缩性很大，尤其是在高速流动的过程中，不但压强会变化，密度也会显着地变化。这和前面研究液体的章节中，视密度为常数有很大的不同。

气体动力学研究又称可压缩流体动力学，研究可压缩性流体的运动规律及其应用。其在航天航空中有广泛的应用，随着研究技术的日益成熟，气体动力学在其它领域也有相应的应用。本章将简要介绍气体的一元流动。

8.1 气体的伯努利方程

在气体流动速度不太快的情况下，其压力变化不大，则气体各点的密度变化也不大，因此可把其密度视为常数，即把气体看成是不可压缩流体。这和第四章研究理想不可压缩流体相似，所以理想流体伯努利方程完全适用，即

22

1122

1222p u p u z z g g g g

ρρ++=++

上式中12,p p ——流体气体两点的压强；

12,u u ——流动气体两点的平均流速

在气体动力学中，常以g ρ乘以上式（）后气体伯努利方程的各项表示称压强的形式，即

2

2

12

11222

2

u u p gz p gz ρρρρ++

=++

由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下1gz ρ和2gz ρ很相近，故上式就可以表示为

2

212

122

2

u u p p ρρ+

=+

前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式就不能适用了。必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程,推导如下。

如图8-1所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度ds ，两边气流断面1、2的断面

面积、流速、压强、密度和温度分别为

A 、u 、

p 、ρ、T ；A dA +、u du +、

p dp +、d ρρ+、T dT +。

取流段1-2作为自由体，在时间dt 内，这段自

由体所作的功为

()()()W pAudt p dp A dA u du dt =-+++

根据恒流源的连续性方程式，有uA C ρ=（常数），所以上式可写成 由于在微元内，可认为ρ和d ρρ+很相近，则上式可化简为

(

)p p dp

dp

W Cdt Cdt ρ

ρ

--==-

又对1-2自由体进行动能分析，其动能变化量为

222111

()22

E m u du m u ∆=

+-

同样地根据恒流源的连续性方程式uA C ρ=（常数），故有12m m uA C ρ===

上式就可以写成

1

(2)2

E Cdt udu Cudtdu ∆==

根据功能原理有W

E =∆,化简得

0dp

udu ρ

+=

图8-1

ds 微元流段

该式就是一元气体恒定流的运动微分方程

对上式进行积分，就得一元气体恒定流的能量方程

22

dp

u C ρ+=⎰

式中C 为常数。上式表明了气体的密度不是常数，而是压强（和温度）的函数，气体流动密度的变化和热力学过程有关，对上式的研究取要用到热力学的知识。下面简要介绍工程中常见的等温流动和绝热流动的方程。

（1） 等温过程

等温过程是保持温度不变的热力学过程。因p

RT ρ

=，其中T =定值，则有

p

C ρ

=（常数），代入

式并积分，得

2

ln 2p

u p C ρ+=

（2） 绝热过程

绝热过程是指与外界没有热交换的热力学过程。可逆、绝热过程称为等熵过程。绝热过程方程

p

C γ

ρ=（常数），代入式并积分，得 2

12

p

u C γγρ+=-

式中γ为绝热指数。

8.2

声速和马赫数

8.2.1

声速

微小扰动波在介质中的传播速度称为声速。如弹拨琴弦，使弦振动了空气，其压强和密度都发生了微弱的变化，并以波的形式在介质中传播。由于人耳能接收到的振动频率有限，声速并不限于人耳能接收的声音传播速度。凡在介质中的扰动传播速度都称为声速。

如图8-2所示，截面面积为A 的活塞在充满静止空气的等径长管内运动，0u =时（0t =），管内压

强为

p ，空气密度为ρ，温度为T ;若以微小速度du 向右推进时间dt ，压缩空气后，压强、密度和温度

分别变成了

p dp +，d ρρ+和T dT +。活塞从右移动了dudt ，活塞微小扰动产生的声速传播了

cdt ，c 就为声速。

取上面的控制体，列连续性方程得

图8-2 微小扰动波的传播

()()cdtA d c du dtA ρρρ=+-

化简并略去高阶无穷小项，得

du cd ρρ=

又由动量定理，得

()[()]pA p dp A cA c du c ρ-+=--

同样化简并略去高阶无穷小项，得

dp cdu ρ=

联立式和式，得

c =

上式就为声速方程式的微分形式。

密度对压强的变化率

d dp ρ反映了流体的压缩性，d dp ρ越大，则dp

d ρ

越小，声速c 也越小；反则声速c 越大。由此可知，声速c 反映了流体的可压缩性，即声速c 越小，流体越容易压缩；声速c 越大，流体也越不易压缩。

由于微小扰动波的传播速度很快，其引起的温度变化也很微弱，在研究微小扰动时，可认为其压缩或

膨胀过程是绝热且可逆的，这就是热力学中的等熵过程。则有绝热方程为

p

C γ

ρ

=（常数）

式中γ为绝热指数。 可写为

p C γρ=

上式两边对ρ求导，得

11dp p p

C d γγγγργργρρρ

--===

又由理想气体状态方程

g p

R T ρ

=和上式、式联立，得

c ==