流体力学第八章气体的一元流动

第8章 气体的一元流动一、 学习的目的和任务1．掌握可压缩气体的伯努利方程 2．理解声速和马赫数这两个概念3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系 4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。

二、 重点、难点1．重点： 声速、马赫数、可压气体的伯努利方程、等温管道流动、绝热管道流动 2．难点：声速的导出、管道流动参数的计算由于气体的可压缩性很大，尤其是在高速流动的过程中，不但压强会变化，密度也会显着地变化。

这和前面研究液体的章节中，视密度为常数有很大的不同。

气体动力学研究又称可压缩流体动力学，研究可压缩性流体的运动规律及其应用。

其在航天航空中有广泛的应用，随着研究技术的日益成熟，气体动力学在其它领域也有相应的应用。

本章将简要介绍气体的一元流动。

8.1 气体的伯努利方程在气体流动速度不太快的情况下，其压力变化不大，则气体各点的密度变化也不大，因此可把其密度视为常数，即把气体看成是不可压缩流体。

这和第四章研究理想不可压缩流体相似，所以理想流体伯努利方程完全适用，即2211221222p u p u z z g g g gρρ++=++上式中12,p p ——流体气体两点的压强；12,u u ——流动气体两点的平均流速在气体动力学中，常以g ρ乘以上式（）后气体伯努利方程的各项表示称压强的形式，即2212112222u u p gz p gz ρρρρ++=++由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下1gz ρ和2gz ρ很相近，故上式就可以表示为22121222u u p p ρρ+=+前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式就不能适用了。

必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程,推导如下。

如图8-1所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度ds ，两边气流断面1、2的断面面积、流速、压强、密度和温度分别为A 、u 、p 、ρ、T ；A dA +、u du +、p dp +、d ρρ+、T dT +。

取流段1-2作为自由体，在时间dt 内，这段自由体所作的功为()()()W pAudt p dp A dA u du dt =-+++根据恒流源的连续性方程式，有uA C ρ=（常数），所以上式可写成 由于在微元内，可认为ρ和d ρρ+很相近，则上式可化简为()p p dpdpW Cdt Cdt ρρ--==-又对1-2自由体进行动能分析，其动能变化量为222111()22E m u du m u ∆=+-同样地根据恒流源的连续性方程式uA C ρ=（常数），故有12m m uA C ρ===上式就可以写成1(2)2E Cdt udu Cudtdu ∆==根据功能原理有WE =∆,化简得0dpudu ρ+=图8-1ds 微元流段该式就是一元气体恒定流的运动微分方程对上式进行积分，就得一元气体恒定流的能量方程22dpu C ρ+=⎰式中C 为常数。

上式表明了气体的密度不是常数，而是压强（和温度）的函数，气体流动密度的变化和热力学过程有关，对上式的研究取要用到热力学的知识。

下面简要介绍工程中常见的等温流动和绝热流动的方程。

（1） 等温过程等温过程是保持温度不变的热力学过程。

因pRT ρ=，其中T =定值，则有pC ρ=（常数），代入式并积分，得2ln 2pu p C ρ+=（2） 绝热过程绝热过程是指与外界没有热交换的热力学过程。

可逆、绝热过程称为等熵过程。

绝热过程方程pC γρ=（常数），代入式并积分，得 212pu C γγρ+=-式中γ为绝热指数。

8.2声速和马赫数8.2.1声速微小扰动波在介质中的传播速度称为声速。

如弹拨琴弦，使弦振动了空气，其压强和密度都发生了微弱的变化，并以波的形式在介质中传播。

由于人耳能接收到的振动频率有限，声速并不限于人耳能接收的声音传播速度。

凡在介质中的扰动传播速度都称为声速。

如图8-2所示，截面面积为A 的活塞在充满静止空气的等径长管内运动，0u =时（0t =），管内压强为p ，空气密度为ρ，温度为T ;若以微小速度du 向右推进时间dt ，压缩空气后，压强、密度和温度分别变成了p dp +，d ρρ+和T dT +。

活塞从右移动了dudt ，活塞微小扰动产生的声速传播了cdt ，c 就为声速。

取上面的控制体，列连续性方程得图8-2 微小扰动波的传播()()cdtA d c du dtA ρρρ=+-化简并略去高阶无穷小项，得du cd ρρ=又由动量定理，得()[()]pA p dp A cA c du c ρ-+=--同样化简并略去高阶无穷小项，得dp cdu ρ=联立式和式，得c =上式就为声速方程式的微分形式。

密度对压强的变化率d dp ρ反映了流体的压缩性，d dp ρ越大，则dpd ρ越小，声速c 也越小；反则声速c 越大。

由此可知，声速c 反映了流体的可压缩性，即声速c 越小，流体越容易压缩；声速c 越大，流体也越不易压缩。

由于微小扰动波的传播速度很快，其引起的温度变化也很微弱，在研究微小扰动时，可认为其压缩或膨胀过程是绝热且可逆的，这就是热力学中的等熵过程。

则有绝热方程为pC γρ=（常数）式中γ为绝热指数。

可写为p C γρ=上式两边对ρ求导，得11dp p pC d γγγγργργρρρ--===又由理想气体状态方程g pR T ρ=和上式、式联立，得c ==综合上述分析，有 （1）由式得，密度对压强的变化率d dp ρ反映了流体的压缩性，d dp ρ越大，则dpd ρ越小，声速c 也越小；反则声速c 越大。

由此可知，声速c 反映了流体的可压缩性，即声速c 越小，流体越容易压缩；声速c 越大，流体也越不易压缩。

（2）特别的，对于空气来说， 1.4,287.1/()g R J kg K γ==⋅，则空气中的声速为/c s =（3）从式可看出，声速c 不但和绝热指数γ有关，也和气体的常数g R 和热力学温度T 有关。

所以不同气体声速一般不同，相同气体在不同热力学温度下的声速也不同。

8.2.2 马赫（Ma ）数为了研究的方便，引入气体流动的当地速度u 与同地介质中声速c 的比值，称为马赫数，以符号Ma 表示uMa c=马赫数是气体动力学中最采用的参数之一，它也反映了气体在流动时可压缩的程度。

马赫数越大，表示气体可压缩的程度越大，为可压缩流体；马赫数越小，表示气体可压缩性小，当达到一定程度时，可近似看作不可压缩流体。

根据马赫数Ma 的取值，可分为（1）u c =，即1Ma =时，称为声速流动； （2）u c >，即1Ma >时，称为超声速流动； （3）u c <，即1Ma <时，称为亚声速流动。

下面讨论微小扰动波的传播规律，可分为四种情况： (1) 如图8-3()a 所示，0u=，扰动源静止。

扰动波将以声速向四周对称传播，波面为一同心球面，不限时间，扰动波布满整个空间。

(2) 如图8-3()b 所示，u c <，扰动源以亚声速向右移动。

扰动波以声速向外传播，由于扰动源移动速度小于声速，只要时间足够，扰动波也能布满整个空间。

(3) 如图8-3()c 所示，u c =，扰动源以声速向右移动。

由于扰动源移动速度等于声速，所以扰动波只能传播到扰动源的下游半平面。

(4) 如图8-3()d 所示，u c >，扰动源以超声速向右移动。

由于扰动源移动速度大于声速，扰动波的球形波面被整个地带向扰动源的下游，所以扰动波只能传播到扰动源的下游区域，其区域为一个以扰动源为顶点的圆锥面内。

称该圆锥为马赫锥。

锥的半顶角θ称为马赫角，从图中可以看出1sin c u Maθ==上面分析了扰动源分别在静止以及亚声速、声速和超声速从右移动时，微小扰动波的传播规律。

由此可知，01Ma ≤<，即在振源静止或以亚声速移动的情况下，扰动波能传播到整个空间；而1Ma ≥，即在振源以声速或超声速移动时，扰动波只能传播到半空间或一圆锥面内。

8.3 一元气流的流动特性在引入了声速和马赫数的概念后，对于可压缩气体的流动有一些自己的特性。

这里我们介绍两个重要特性。

8.3.1气体流速与密度的关系由第一节的式和第两节的式，得2dpdp d d udu c d ρρρρρρ=-=-=-将马赫数uMa c=代入上式，有 2d du Ma uρρ=-上式表明了密度相对变化量和速度相对变化量之间的关系。

从该式可以看出，等式中有个负号，表示两者的相对变化量是相反的。

即加速的气流，密度会减小，从而使压强降低、气体膨胀；反则，减速气流，密度增大，导致压强增大、气体压缩。

马赫数Ma 为两者相对变化量的系数。

因此，当1Ma >时，即超声速流动，密度的相对变化量大于速度的相对变化量；当1Ma <时，即亚声速流动，密度的相对变化量小于速度的相对变化量。

以下再分析流速与断面积的关系8.3.2气体流速与流道断面积的关系对一元气流得连续性方程uA C ρ=（常数）两边取对数，得 对上式微分，得或d du dA u Aρρ=--将式代入上式，得2(1)dA duMa A u=-从上式我们可以看到，1Ma =是一个临界点。

下面讨论其在亚声速和超声速流动下的情况。

（1） 亚声速流动时，即1Ma <。

面积相对变化量和速度相对变化量反向发展，说明了气体在亚声速加速流动时，过流断面逐渐收缩；减速流动时，过流断面积逐渐扩大。

（2） 超声速流动时，即1Ma >。

这种情况正好和亚声速流动相反，沿流线加速时，过流断面逐渐扩大；减速流动时，过流断面逐渐收缩。

上式就表明，亚声速和超声速流动在加速或减速流动的情况截然相反。

8.4 气体在管道中的等温流动实际工程中，许多工业输气管道，如天然气、煤气等管道，管道很长，且大部分长期暴露在外界中，管道中的气体能和外界进行充分的热交换，所以其温度基本与周边环境一样。

该类气体管道可视为等温管道。

8.4.1基本方程气体在实际管道中流动要受到摩擦阻力，故存在流程损失，但在流动中，气体压强、密度都有所改变，所以不能直接应用达西公式，只能在微小ds 段上应用。

即22f ds u dh D λ=对于前面推导出的可压缩流体方程式，在工业管道中加上摩擦损失后就可以写成202dpu udu ds Dλρ++=式中λ为沿程阻力系数，上式就是气体运动微分方程。

根据连续性方程，有111222u A u A uA ρρρ==,对于等径管道因12A A A ==,得11u u ρρ=又由热力学等温过程方程pC ρ= 即1C p ρ-=和111C p ρ-=，有或11p p ρρ=和11p uu p=将式代入式并改写为211102pdp du dsp u u Dλρ++=如图8-3所示，设在等温管道中，取一微小流段ds ，在1-2段对上式进行定积分，得 上式积分得21p -若管道较长，且气流速度变化不大，则可以认为212lnu lu Dλ<<,略去对数项，上式可写成 2p =1u =质量流量公式为2114m D Q u πρ==上面各项就是计算等温管道压强、流速和流量的计算公式。